Correction Devoir `a la maison 01

. Correction Devoir à la maison 01.
2011 – 2012
Classe de Première ES2/L2
Exercice :
On note f la fontion f : x 7−→
1 2
x − 3x + 2
2
1. f (x) est un polynôme du second degré donc Df = R .
1
(x − α)2 + β
2
1
1
1
f (x) = (x2 − 2αx + α2 ) + β = x2 − αx + α2 + β
2
2
2
Par identification avec la forme développée, on a :
(
(
α=3
−α = −3
9
5
1 2
⇐⇒
β =2− =−
α +β =2
2
2
2
5
1
2
Donc f (x) = (x − 3) −
2
2
2. On cherche α et β deux réels tels que f (x) =
3. Tableau des variations de f :
x
f
−∞
3
&
+∞
%
5
−
2
4. f (x) =
√
√
5
1
1
1
(x − 3)2 − = [(x − 3)2 − 5] = (x − 3 + 5)(x − 3 − 5)
2
2
2
2
5. Tableau des signes
de f (x)
√
√
x 7→ x − 3 + √5 est une fonction affine croissante qui s’annule en x = 3 − √5
x 7→ x − 3 − 5 est une fonction affine croissante qui s’annule en x = 3 + 5
√
x √
−∞
3− 5
x − 3 + √5
−
0
+
x−3− 5
−
|
−
f (x)
+
0
−
√
3+ 5
|
0
0
+∞
+
+
+
1 2
x − 3x + 2 donc A(0; 2) est le point d’intersection entre Cf et l’axe des ordonnées.
2
√
√
√
√
1
Le forme factorisée est f (x) = (x − 3 + 5)(x − 3 − 5) donc B(3 + 5; 0) et C(3 − 5; 0) sont les points d’intersection entre Cf et
2
l’axe des abscisses.
6. La forme développée de f (x) est f (x) =
7. Représentation graphique de la fonction f :