2016-2017-tes-ds4

T ES A-B
Devoir n°4
mardi 7 décembre 2016
Exercice 1 : (7 points)
Pour chaque question, dire si la proposition est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement la réponse.
1. Proposition 1 : L’ensemble des solutions de l’équation
est
2. On considère une fonction
représentative de la fonction
Proposition 2 : La fonction
définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 13] et on donne ci-dessous la courbe
, fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle [0 ; 13]
est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 4]
3. La suite (un) est définie par : u0  140 et, pour tout naturel n, un1  0.75un  25 .
Proposition : pour tout n, un  140  0.75n  25
4. La suite (vn) est une suite géométrique de premier terme v1 = 300 et de raison q = 0.8.
Proposition : v1  v2  ...  v34  1499 arrondi à l’unité.
5. Soient les suites (wn) et (tn) définies par :
 w0  10
et tn  wn  1

 wn 1  3wn  2
Proposition : (tn) est une suite géométrique
6. f est la fonction définie sur ℝ par f ( x)  xe x  e x  20
Proposition : f est strictement croissante sur [0 ; +[
Exercice 2 : (8 points)
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est
vendue.
L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies
fabriquées et vendues en une semaine ( varie donc dans l’intervalle [0 ; 3,6]).
Le bénéfice hebdomadaire est noté
, il est exprimé en milliers d’euros.
L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
A étude graphique
On a représenté ci-dessous la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à 100 poulies près ou à 100 euros près suivant les cas. Faire apparaitre les traits
justificatifs sur le graphique.
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal
à 13000€.
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?
Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il réalisé ?
B étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté
, exprimé en milliers d’euros, vaut :
1. a. On note la fonction dérivée de la fonction . Montrer que, pour tout réel de l’intervalle [0 ; 3,6],
on a
b. Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l’intervalle [0 ; 3,6].
c. Dresser le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 3,6]. Arrondir à
si nécessaire.
2. a. Justifier que l’équation
sur l’intervalle [0 ; 3,6].
b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de chacune de ces solutions à 0,01 près.
c. En déduire, à la dizaine près, le nombre de poulies à produire pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à
13000€.
Exercice 3 : (5 points)
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle [1,5 ; 6] par :
On note f ’ sa fonction dérivée.
1. Justifier que l’équation f(x)=1 admet une unique solution
2. Donner une valeur approchée de au dixième.
sur l’intervalle [4 ;5]
Corrigé
7 points
Exercice 1 :
Pour chaque question, dire si la proposition est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement la
réponse.
1. Proposition 1 : L’ensemble des solutions de l’équation
est
1 pt
VRAI
2. On considère une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 13] et on donne ci-dessous la
courbe représentative de la fonction
, fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle [0 ; 13]
Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 4]
est positive sur [0 ;4] et négative sur [4 ;13] donc est croissante sur [0 :4] et décroissante sur
[4 ;13].
FAUX
1 pt
3. La suite (un) est définie par : u0  140 et, pour tout naturel n, un1  0.75un  25 .
Proposition : pour tout n, un  140  0.75n  25
1 pt
FAUX
4. La suite (vn) est une suite géométrique de premier terme v1 = 300 et de raison q = 0.8.
Proposition : v1  v2  ...  v34  1499 arrondi à l’unité.
1 pt
VRAI
5. Soient les suites (wn) et (tn) définies par :
 w0  10
et tn  wn  1

 wn 1  3wn  2
Proposition : (tn) est une suite géométrique
1.5 pts
Donc
est une suite géométrique (de raison 3)
VRAI
6. f est la fonction définie sur ℝ par f ( x)  xe x  e x  20
Proposition : f est strictement croissante sur [0 ; +[
x
Signe de x
Signe de
Signe de
Variation de f
0
0
+
+
+
1.5 pts
19
VRAI
Exercice 2 :
8 points
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute
la production est vendue.
L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers
de poulies fabriquées et vendues en une semaine ( varie donc dans l’intervalle [0 ; 3,6]).
Le bénéfice hebdomadaire est noté
, il est exprimé en milliers d’euros.
L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées
indépendamment.
A étude graphique
On a représenté ci-dessous la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à 100 poulies près ou à 100 euros près suivant les cas. Faire apparaitre
les traits justificatifs sur le graphique.
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit
supérieur ou égal à 13000€. B(x) 13 : S [2, 46; 3, 4].
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?
Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il réalisé ?
Cherchons graphiquement le maximum de B et pour quel(s) valeur(s) ce maximum est atteint : le
maximum de B est environ 15, 1 et il est atteint pour x 3.
Par conséquent, le bénéfice maximum envisageable est d’environ 15 100 euros pour environ 3 000
poulies fabriquées et vendues.
0.5 pt
1 pt
B étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté
, exprimé en milliers d’euros, vaut :
1. a. On note la fonction dérivée de la fonction . Montrer que, pour tout réel
l’intervalle [0 ; 3,6], on a
B est dérivable sur I, et B est de la forme −5 + u × v avec u(x) = 4 − x
v(x) =
v’(x) = . D’où, pour tout x I :
B’(x) = 0 + u’(x)v(x) + v’(x)u(x) = −1 ×
+ (4 − x) = (−1 + 4 − x)
de
1.5 pts
u’(x) = −1 et
= (3 − x)
b. Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l’intervalle [0 ; 3,6].
Pour tout x réel et a fortiori pour tout x I, > 0, ainsi le signe de B’ sur I est le même que
le signe de l’expression affine 3 − x sur I.
3 − x s’annule en 3 ( I).
De plus le coefficient directeur de 3 − x est −1 donc négatif, ainsi 3 − x est strictement positif sur
[0 ; 3] et strictement négatif sur [3 ; 3; 6].
On obtient le tableau de signe de B’:
c. Dresser le tableau de variation de la fonction
nécessaire.
sur [0 ; 3,6]. Arrondir à
1 pt
si
1 pt
2. a. Justifier que l’équation
3,6].
sur l’intervalle [0 ;
1.5 pts
b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de chacune de ces solutions à
0,01 près.
1 pt
c. En déduire, à la dizaine près, le nombre de poulies à produire pour que le bénéfice soit
supérieur ou égal à 13000€.
Il faut donc produire entre 2460 et 3400 poulies
0.5 pt
Exercice 3 :
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle [1,5 ; 6] par :
On note f ’ sa fonction dérivée.
1. Justifier que l’équation f(x)=1 admet une unique solution
sur l’intervalle [4 ;5]
f(x) est une fonction du type
On a donc
x
Signe de -25x+57
Signe de
Signe de
Signe de
Variation de f
1.5
+
+
+
+
1.23
2.28
0
0
2.56
5 points
4.5 pts :
Dérivée : 1.5
Signe de f’ :1
Variation de f :1
TVI : 1
6
+
+
-
0.29
D’où le tableau de variation sur l’intervalle [4 ; 5]
x
4
5
1.25
Variation de f
0.63
D’après le tableau de variation ci-dessus et le TVI, l’équation
solution sur [1.5 ; 6]
2. Donner une valeur approchée de au dixième.
On trouve
admet une unique
0.5 pt