TRANSLATIONS

Chapitre 14
TRANSLATIONS - VECTEURS
14.1
Translation
Définition 14.1
Soient A et B deux points distincts du plan Π.
La translation tAB qui applique A sur B est la transformation du plan pour laquelle l’image d’un
point quelconque P est le point Q tel que
B
Q
A
P
• les droites P Q et AB sont parallèles,
• les demi-droites [P Q et [AB sont dirigées dans le même sens,
• les segments [P Q] et [AB] ont même longueur.
Physiquement, la translation tAB correspond à un glissement du plan Π sur lui-même tel que A vienne
s’appliquer sur B .
Notation 14.2
La translation qui applique A sur B est notée tAB .
L’image du point P par cette translation est alors notée tAB (P ).
Ecrire Q = tAB (P ) revient à dire que Q est l’image de P par la translation qui applique A sur B .
Conséquences 14.3
• Si le point P appartient à la droite AB , alors son image Q par la translation tAB appartient
aussi à la droite AB .
138
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
139
Q
B
P
A
Figure 14.1: A, B, P et Q sont alignés
• Lorsque le point P n’appartient pas à la droite AB , Q est l’image de P par la translation tAB
si et seulement si le quadrilatère ABQP est un parallélogramme.
B
A
Q
P
Figure 14.2: ABQP est un parallélogramme.
14.2
Propriétés d’une translation
• Une translation est déterminée quand on connaı̂t un point et son image (quand on connaı̂t un de
ses couples).
• Tout point du plan a une et une seule image par une translation et est l’image d’un et un seul
point du plan. Une translation est donc une permutation du plan.
• La permutation du plan qui applique tout point du plan sur lui-même et qui est notée 1Π est la
translation identique.
• Quelques invariants
Par une translation, l’image
– d’une droite est une droite parallèle,
– d’une demi-droite est une demi-droite parallèle et de meêm sens,
– d’un segment est un segment parallèle et de même longueur,
– d’un angle est un angle de même amplitude et de même orientation,
– d’une paire de droites parallèles est une paire de droites parallèles,
– d’une paire de droites sécantes est une paire de droites sécantes,
– d’une paire de droites perpendiculaires est une paire de droites perpendiculaires,
– ...
L’ensemble de toutes les translations du plan est noté : T
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
140
Exercice 14.4
Les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en O .
Construire l’image de ce parallélogramme par la translation tAO .
Exercice 14.5
Les droites a et b sont parallèles distinctes.
1. Combien de translation appliquent a sur b?
2. Donner un couple de chacune de ces translations.
Exercice 14.6
Dessiner deux segments [AB] et [CD] tels qu’il n’existe aucune translation qui les applique l’un sur
l’autre. Justifier!
Exercice 14.7
Dans la figure ci-dessous, A, C , et A0 sont alignés.
A'
C
A
B
1. Construis l’image de B et l’image de C par la translation qui applique A sur A0 .
2. Quelles sont les caractéristiques communes aux segments [AA0 ], [BB 0 ] et [CC 0 ]?
3. Repère deux parallélogrammes sur la figure construite.
14.3
Egalité de deux translations
Deux translations qui produisent les mêmes images doivent évidemment être considérées comme égales.
Définition 14.8
Deux translations sont égales si et seulement si, à tout point du plan, elles font correspondre la même
image.
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
141
B
A
Q
D
P
C
Figure 14.3: tAB = tCD = tP Q
14.4
Vecteur d’une translation
14.4.1
Définition et notation
Etant donné deux points distincts A et B , considérons la translation tAB .
A chaque point du plan, cette translation fait correspondre une image. Ainsi, aux points P , Q, R , ...,
elle associe respectivement les points P 0 , Q0 , R0 , ... tels que
• AB k P P 0 k QQ0 k RR0 k · · ·
• [AB , [P P 0 , [QQ0 , [RR0 , ... de même sens
• |AB| = |P P 0 | = |QQ0 | = |RR0 | = ...
Q'
Q
B
A
P'
R'
P
R
La translation tAB engendre, de la sorte, des couples1 de points : (P, P 0 ), (Q, Q0 ), (R, R0 ), · · · Chacun
de ces couples permet, à lui seul, de (re)définir la translation :
tAB = tP P 0 = tQQ0 = tRR0 = · · ·
Tous les couples engendrés par la translation jouent un rôle équivalent au couple originel (A, B).
L’ensemble de ces couples, en nombre infini, est un vecteur, c’est le vecteur associé à la translation
tAB ou, plus simplement, le vecteur de la translation tAB .
1 Pour
rappel, dans le terme couple l’ordre a de l’importance, ce qui n’est pas le cas dans la notion de paire.
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
142
Définition 14.9
Dans le plan Π, le vecteur de la translation tAB est l’ensemble
½
¾
0
0
(P, P )|P ∈ π et P = tAB (P ) .
Cet ensemble est constitué des couples engendrés par la translation; chacun de ces couples est un
représentant du vecteur.
Notation 14.10
−−→
Le vecteur de la translation tAB est noté AB .
14.4.2
Caractéristiques
Reconsidérons les couples de points (A, B), (P, P 0 ), (Q, Q0 ), (R, R0 ), · · · engendrés par la translation tAB .
Direction
Les droites AB, P P 0 , QQ0 , RR0 , · · · sont parallèles;
−−→
elles définissent la direction du vecteur AB .
Sens
Les demi-droites [AB, [P P 0 , [QQ0 , [RR0 , · · · sont dirigées dans le même sens;
−−→
elles donnent le sens du vecteur AB .
Longueur
Les segments [AB], [P P 0 ], [QQ0 ], [RR0 ], · · · ont la même longueur,
−−→
celle-ci est la longueur du vecteur AB .
−−→
Ainsi, un vecteur AB possède trois caractéristiques :
• une direction,
• un sens,
• une longueur.
14.5
Egalité de deux vecteurs
Rappelons que deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils sont constitués des mêmes éléments.
Proposition 14.11
−−→
−−→
Les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si les translations tAB et tCD sont égales.
Proposition 14.12
−−→
−−→
Etant donné quatre points A, B, C et D non alignés, les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement
si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Proposition 14.13
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Proposition 14.14
−−→
−−→
−→
−−→
Si les vecteurs AB et CD sont égaux, alors les vecteurs AC et BD sont égaux.
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
143
1. Supposons d’abord que les points A, B, C et D ne sont pas alignés.
B
D
A
C
−−→
−−→
Alors, étant donné que les vecteurs AB et CD sont égaux, le quadrilatère ABDC est un
parallélogramme. Comme ce même quadrlatère peut aussi être noté ACDB , il en découle que les
−→
−−→
vecteurs AC et BD sont égaux.
2. Supposons à présent que les points A, B, C et D sont alignés.
D
C
B
A
−→
−−→
Il est alors immédiat que les vecteurs AC et BD ont la même direction. Il reste à démontrer
qu’ils ont le même sens et la même longueur.
−−→
−−→
Comme les vecteurs AB et CD sont égaux, (C, D) est un couple de points engendré par la
translation tAB . Par conséquent, cette translation applique A sur B et C sur D , donc le segment [AC] sur le segment [BD] et la demi-droite [AC sur la demi-droite [BD . Comme toute
translation conserve la longueur des segments et le sens des demi-droites, nous en concluons que
−→
−−→
les vecteurs AC et BD ont la même longueur et le même sens.
14.6
Représentation graphique d’un vecteur
−−→
Graphiquement, le vecteur AB est représenté (concrétisé) par le segment [AB] pourvu d’une flèche, un
segment orienté. Le segment en lui-même sert à montrer la direction et la longueur du vecteur; quant
à la flèche, elle indique le sens du vecteur.
B
A
−−→
Dans cette représentation du vecteur AB au départ du couple (A, B), les points A et B sont
respectivement dénommés origine et extrémité du vecteur.
Remarque 14.15
Il est impossible de représenter un vecteur, on peut juste le représenter (partiellement) à l’aide d’un
segment orienté.
−−→
−−→
Ainsi, quels que soient les points distincts A et B , les vecteurs AB et BA sont différents, bien qu’ils
soient représentés par le même segment [AB]; ils ont en effet la même direction et la même longueur,
mais ils ne sont pas orientés dans le même sens.
De même, si P QRS est un carré,
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
144
S
R
P
Q
−−→
−−→
• les vecteurs P Q et QR ne sont pas égaux : même longueur, mais directions différentes;
−−→
−→
• les vecteurs QR et SP ne sont pas égaux : même direction, même longueur, mais sens différents;
−−→
−→
• les vecteurs P Q et SR sont égaux : même direction, même sens et même longueur.
14.7
Le vecteur nul
Définition 14.16
A chaque point P du plan, la translation identique (ou nulle) associe P lui-même. Elle engendre donc
l’ensemble de couples de points suivant :
½
¾
(P, P )|P ∈ Π ;
Cet ensemble est le vecteur associé à la translation identique (ou nulle); c’est le vecteur nul.
Chaque couple de points de la forme (P, P ) est un représentant de ce vecteur.
Notation 14.17
−→ −−→ −−→
Le vecteur nul peut être noté AA, BB, CC, · · · en référence à ses représentants que sont les couples
→
−
(A, A), (B, B), (C, C), · · · Mais, il est aussi désigné par 0 ,
−
→ −→ −−→ −−→
0 = AA = BB = CC = · · ·
Remarque 14.18
Puisqu’il est associé à la translation identique, pour laquelle tous les points du plan restent fixes, il est
facile d’admettre que le vecteur nul n’a ni direction, ni sens et que sa longueur est égale à 0 .
14.8
Une autre notation des vecteurs
Nous allons munir l’ensemble des vecteurs d’une addition et d’une multiplication scalaire. Pour énoncer
les propriétés de ces opérations, il n’est pas nécessaire de connaı̂tre les translations auxquelles sont
associés les vecteurs. Dès lors, une autre notation des vecteurs va nous être utile.
Lorsqu’on ne souhaite pas faire référence explicitement à la translation à laquelle est associé un vecteur,
−
→
→
celui-ci est noté par une lettre minuscule surmontée d’une flèche; par exemple, →
u,−
v ,−
w.
−−→
→
Le fait d’écrire −
u = AB indique alors que ce vecteur est associé à la translation tAB et que (A, B) est
→
un représentant du vecteur −
u.
−−→
→
Par abus de langage, nous dirons aussi de AB qu’il est un représentant du vecteur −
u.
Notons V l’ensemble de tous les vecteurs du plan.
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
14.9
145
Norme d’un vecteur
Une unité de mesure ayant préalablement été choisie ,
• la mesure de la longueur du segment [AB] est la distance du point A au point B , on la note
|AB|,
−−→
−−→
• cette distance s’appelle aussi la norme du vecteur AB , on la note ||AB|| et on a donc
−−→
||AB|| = |AB|
14.10
Exercices
1. En se basant sur la figure ci-dessous, il faut dire si les affirmations données sont vraies ou fausses
et justifier!
X'
E
v
X
Y'
Y
Z'
M
Z
N
w
A
−−→
(X, X 0 ) ∈ XX 0
→
(X, X 0 ) ∈ −
v
0
(X, X ) ∈ V
(X, X 0 ) = (Y, Y 0 )
−−→
(e) XY ∈ V
−−→ −−−→
(f) XY = X 0 Y 0
−−→
(g) (Y, Y 0 ) ∈ XX 0
(a)
(b)
(c)
(d)
(n) V est un ensemble infini de couples
(o) V est un ensemble infini de vecteurs
−−→
(p) XY est un ensemble infini de couples
−−→
(q) XY est un ensemble infini de vecteurs
B
−−→
(h) (Z, Z 0 ) ∈ XX 0
−−→
→
w = AB
(i) −
−−→
→
(j) −
w = BA
−−→ −→
(k) EE = AA
−−→
(l) EE ∈ V
−−→ −−→
(m) M N = AB
CHAPITRE 14. TRANSLATIONS - VECTEURS
146
2. Dans la figure ci-dessous,
(a) Reconnaı̂tre les représentants de vecteurs égaux.
(b) Reconnaı̂tre les représentants de vecteurs parallèles.
B
A
Q
O
C
D
R
T
G
E
P
K
I
H
F
L
J
N
U
S
M
V
Chapitre 15
ADDITION DE VECTEURS
15.1
Composée de deux translations
Etant donné trois points A, B et C , considérons les translations tAB et tBC .
B
A
C
Q
P
R
Au point P , tAB associe un point Q et, à ce dernier, tBC associe un point R , ce que nous schématisons
de la manière suivante :
P −→ Q −→ R
tAB
tBC
Nous allons démontrer que la transformation du plan qui, au point P associe le point R , par enchaı̂nement des translations tAB et tBC est elle-même une translation, plus précisément la translation
tAC .
−−→
Les couples de points (A, B) et (P, Q) étant engendrés par une même translation, les vecteurs AB
−−→
et P Q sont égaux.
−→
−−→
En vertu de la proposition 14.14, les vecteurs AP et BQ sont alors égaux.
De même, les couples de points (B, C) et (Q, R) sont engendrés par une même translation; de ce
−−→
−−→
fait, les vecteurs BC et QR sont égaux.
−−→
−→
En vertu de la proposition 14.14, les vecteurs BQ et CR sont alors égaux.
−→ −−→
−−→ −→
−→
−→
Puisque AP = BQ et que BQ = CR , les vecteurs AP et CR sont égaux.
−→
−→
Finalement, en vertu de la proposition 14.14, les vecteurs AC et P R sont égaux.
Ceci prouve que le couple de points (P, R) est bien engendré par la translation tAC .
147
CHAPITRE 15. ADDITION DE VECTEURS
148
Définition 15.1
Etant donné deux transformations du plan t et s, la composée de ces transformations, notée s ◦ t,
est la transformation du plan qui résulte de l’enchaı̂nement des transformations t et s , appliquées dans
cet ordre.
Plus précisément, si la transformation t associe le point Q à un point quelconque P du plan et, ensuite,
si la transformation s associe à Q le point R , ce que nous représentons par le schéma ci-dessous
P −→ Q −→ R
t
s
alors la composée s ◦ t est la transformation qui à P associe R .
Ainsi, par définition, pour tout point P du plan, nous avons
(s ◦ t)(P ) = s(t(P )).
Proposition 15.2
La composée de deux translations est une translation; de manière plus précise
tBC ◦ tAB = tAC
Autrement dit, la composée de la translation qui applique A sur B et de la translation qui applique B
sur C , exécutées dans cet ordre, est la translation qui applique A sur C .
15.2
Somme de deux vecteurs
−−→
−−→
Soient les vecteurs AB et BC .
Ceux-ci sont respectivement associés aux translations tAB et tBC .
Définition 15.3
−−→ −−→
La somme des vecteurs AB et BC est le vecteur associé à la composée tBC ◦tAB de ces deux translations,
c’est-à-dire le vecteur de la translation tAC .
Par définition, nous avons donc
−−→ −−→ −→
AB + BC = AC
Cette égalité définissant la somme de deux vecteurs est connue sous le nom de relation de CHASLES.
Remarque 15.4
Dans la relation de Chasles ci-dessus, le second membre est indépendant du point B . Il s’ensuit qu’un
vecteur peut-être décomposé en une somme de deux autres d’une infinité de façons. Ainsi, quel que soit
le point P , nous avons
−→ −−→ −−→
AP + P B = AB
Construction
−
→
Soient deux vecteurs →
u et −
v.
→
→
Pour obtenir graphiquement le représentant de leur somme −
u +−
v , trois cas différents se présentent à
nous :
CHAPITRE 15. ADDITION DE VECTEURS
149
Les représentants des vecteurs sont consécutifs
Deux représentants de vecteurs sont dits consécutifs si l’extrémité de l’un correspond à l’origine
de l’autre. Dans ce cas un représentant du vecteur somme s’obtient très facilement :
C
C
u+v
v
v
B
B
u
A
A
u
Les représentants des vecteurs ont même origine
On utilise alors la règle du parallélogramme :
D
C
u+v
C
v
v
B
B
A
A
u
u
Les représentants des vecteurs sont quelconques
On se ramène à un des deux cas précédents.
u
v
v
u+v
u
v
u
u+v
CHAPITRE 15. ADDITION DE VECTEURS
150
Exercice 15.5
−
→
Dans chacun des cas, construisez →
u +−
v :
B
u
A
u
v
B
v
C
A
C
v
A
C
B
u
Exercice 15.6
Dans chacun des cas suivants, construire le point X tel que
−−→ →
→
→
OX = −
u +−
v +−
w
u
u
O
O
v
v
w
w
u
w
O
v
O
w
u
v
CHAPITRE 15. ADDITION DE VECTEURS
Propriétés 15.7
• L’addition de vecteurs est une opération interne et partout définie :
−
→
→
→
∀→
u,−
v ∈V : −
u +−
v ∈V
• L’addition de vecteurs est commutative :
−
→
→
−
−
→
∀→
u,−
v :−
u +→
v =→
v +−
u.
• L’addition de vecteurs est associative :
→
→
−
→
→
→
→
→
→
∀−
u,−
v ,→
w ∈ V : (−
u +−
v)+−
w =−
u + (−
v +−
w ).
→
• Le vecteur nul −
o est neutre pour l’addition de vecteurs :
→
→
→
→
→
→
∀−
u ∈V :−
u +−
o =−
o +−
u =−
u.
→
−
• Tout vecteur −
u possède un opposé (symétrique) −→
u tel que
−
→
→
−
u + (−−
u) = →
o.
−−→
−−→
−
→
→
v = AB ⇔ −−
v = BA
−−→
−−→
BA = −AB
−−→
−−→
BA est l’opposé de AB .
On résume ces 5 propriétés de la manière suivante
(V, +) est un groupe commutatif
15.3
Soustraction de deux vecteurs
La soustraction de deux vecteurs est un cas particulier de l’addition de vecteurs.
On a
Exemple
→
−
→
→
→
→
∀−
u,→
v ∈V: −
u −−
v =−
u + (−−
v ).
151
Chapitre 16
MULTIPLICATION D’UN
VECTEUR PAR UN REEL
Exercice introductif 16.1
→
Soit un vecteur −
u dont un représentant se trouve ci-dessous
u
Rechercher un représentant du vecteur
−
→
u +−
u
1. →
−
→
→
2. →
u +−
u +−
u
→
→
u −−
u
3. −−
Exercice introductif 16.2
→
→
Soient les vecteurs −
u et −
v dont les représentants se trouvent ci-dessous
u
v
Rechercher un représentant du vecteur
−
→
1. →
u −−
v
−
→
2. →
u + 2−
v
−
→
3. 2→
u +−
v
−
→
4. 3→
u − 2−
v
152
CHAPITRE 16. MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN REEL
153
Définition 16.3
−
−
−
Si r 6= 0 et →
v =
6 →
o , le vecteur r . →
v possède les caractéristiques suivantes :
→
• la même direction que celle de −
v,
−
→
→
v : ||r . −
v || = |r| . ||−
v || ,
• une norme égale à |r| fois celle de →
→
→
−
• le même sens que −
v si r > 0 et le sens opposé à celui de −
v si r < 0. Si r = 0, le vecteur r . →
v
−
→
→
est le vecteur nul : 0 . −
v = 0.
−
→
−
→ −
→
→
→
Si −
v = 0 , le vecteur r . −
v est le vecteur nul : r . 0 = 0 .
Le produit d’un vecteur par un nombre réel est un vecteur
Vocabulaire
a, b, c, d, · · · sont des nombres réels
→
→
a.−
u est une combinaison linéaire du vecteur −
u.
−
→
−
→
→
→
a . u + b . v est une combinaison linéaire des vecteurs −
u et −
v.
−
→
−
→
−
→
→
→
→
a . u + b . v + c . w est une combinaison linéaire des vecteurs −
u, −
v et −
w.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
→
a . u + b . v + c . w + d . x est une combinaison linéaire des vecteurs u , −
v, →
w et −
x.
...
Définition 16.4 (Colinéarité)
−
→
Deux vecteurs →
u et −
v sont colinéaires s’il existe un réel r , tel que
−
→
−
u =r.→
v
→
→
ou −
v =r.−
u.
Figure 16.1: Vecteurs colinéaires
et
vecteurs non colinéaires
→
−
→
−
−
−
0 est colinéaire à tout vecteur →
u car 0 = 0 . →
u.
On a
Vecteurs parallèles
m
Vecteurs multiples l’un de l’autre
m
Vecteurs colinéaires
CHAPITRE 16. MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN REEL
154
Propriété 16.5 (Alignement)
Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement s’il existe un réel non nul r tel que
−→
−−→
AC = r . AB .
C
B
A
Propriété 16.6 (Parallélisme)
−−→
−−→
Les droites AB et CD sont parallèles si et seulement s’il existe un réel non nul r tel que CD = r . AB .
B
A
D
C
Propriété 16.7 (Milieu d’un segment)
On a
−−→ −−→
−−→ −−→ −
→
−−→ 1 −−→
M est milieu de [AB] ⇔ AM = M B ⇔ AM + BM = O ⇔ AM = AB.
2
Exercice 16.8 (Théorème du milieu)
Soit ABC un triangle quelconque.
−−→
−→
Soient M et N les milieux des segments [AB] et [BC] respectivement. Démontrer que M N = 12 AC
Exercice 16.9
Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Démontrer que le quadrilatère obtenu en reliant les milieux
consécutifs des côtés du quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Exercice 16.10
Soit G le point de concours des médianes d’un triangle ABC .
−→ −−→ −−→ −
→
1. Montrer que GA + GB + GC = 0
−−→ −−→ −−→
−−→
2. Montrer que M A + M B + M C = 3M G quelque soit le point M
Exercice 16.11
→
→
−
→
−
→
Comment choisir les vecteurs −
u et −
v pour que ||→
u +−
v || = ||→
u −−
v ||