1. Systèmes 2. Systèmes générateurs 3. Systèmes libres

SYSTÈMES ET BASES
GABRIEL LANG
1.
Systèmes
On appelle système de vecteur une suite nie de vecteurs x1 , x2 ...,xk .
Proposition 1. Soit x1 , x2 , ...,xk un système de vecteurs de E . Le sous-ensemble
F contenant toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs est un sous-espace
vectoriel de E . On l'appelle espace vectoriel engendré par les vecteurs x1 , x2 ..., xk
et on le notera V ect(x1 , x2 ..., xk ).
Il sut de constater qu'une combinaison linéaire de combinaisons linéaires de
ces vecteurs redonne une combinaison linéaire de ces vecteurs.
2.
Systèmes générateurs
Certains systèmes sont dits générateurs au sens où ils engendrent l'espace vectoriel E tout entier.
Denition 1. Soit x1 , x2 ...,xk un système de vecteurs de E . Le système est
générateur, si pour tout x de E il existe une combinaison linéaire du système égale
à x. C'est-à-dire qu'on peut trouver des coecients λ1 , λ2 , ...λk , tels que x = λ1 x1 +
λ2 x2 + ... + λk xk .
S'il existe un système générateur pour l'espace E , on dit que l'espace est de
dimension nie. Dans la suite, nous travaillerons avec un espace de dimension nie.
3.
Systèmes libres
On appelle systèmes libres, les systèmes ayant la propriété suivante :
Denition 2. Soit x1 , x2 ...,xk un système de vecteurs de E . Le système est libre
si la seule combinaison linéaire nulle construite à partir du système est celle où tous
les coecients sont nuls. Soit λ1 , λ2 , ...λk , une suite de k réels. Pour un système
libre, si λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk = 0 alors nécessairement λ1 = λ2 = ... = λk = 0.
Un système contenant le vecteur nul n'est jamais libre. Un système formé d'un
vecteur non nul est toujours libre.
Proposition 2. Soit x1 , x2 ...,xk un système libre de vecteurs de E . Alors aucun des vecteurs du système n'est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Les espaces vectoriels V ect(x1 ), V ect(x1 , x2 ),...,V ect(x1 , x2 , ...xk ) sont tous
diérents.
Un système où un vecteur est répété n'est jamais libre.
Proposition 3. Soit x1 , x2 ...,xk un système libre de vecteurs de E . Soit x un
vecteur de V ect(x1 , x2 , ...xk ). Il existe une combinaison linéaire unique telle que
x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk .
Preuve : si x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk et x = µ1 x1 + µ2 x2 + ... + µk xk alors
x − x = (λ1 − µ1 )x1 + (λ2 − µ2 )x2 + ... + (λk − µk )xk = 0. Comme le système est
libre, tous les coecients de cette dernière combinaison sont nécessairement nuls.
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4.
Bases
Certains systèmes sont à la fois libres et générateurs, on dit alors qu'ils sont une
base de l'espace vectoriel.
Denition 3. Un système de vecteurs de E est une base s'il est à la fois libre et
générateur.
Proposition 4. Soit x1 , x2 ...,xk une base de E . Soit x un vecteur de E alors il
existe une unique suite de coecients λ1 , λ2 , ...λk , tels que x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... +
λk xk . Ces coecients uniques seront appelées coordonnées de x dans la base x1 ,
x2 ...,xk .
Preuve : Puisque le système est générateur, il existe une telle série de coecients.
Comme le système est libre, cette série est unique.
Proposition 5. Soit x1 , x2 ...,xk un système générateur de E . Si ce système n'est
pas libre, il existe un sous-système contenant un vecteur de moins qui est également
générateur.
Preuve : Si le système n'est pas libre il existe une combinaison linéaire nulle du
système à coecients non tous nuls :
λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk = 0.
Supposons que ce soit λ1 qui est non nul. Alors x1 = −(λ2 /λ1 )x2 − ... − (λk /λ1 )xk .
Soit x un vecteur de E , alors il existe une suite de coecients µ1 , µ2 , ...µk , tels que
x = µ1 x1 + µ2 x2 + ... + µk xk . En substituant x1 , on obtient :
−µ1 ((λ2 /λ1 )x2 + ... + (λk /λ1 )xk ) + µ2 x2 + ... + µk xk
µ1 λk
µ1 λ2
x2 + ... + µk −
xk
=
µ2 −
λ1
λ1
Donc x est également une combinaison linéaire du système x2 ...,xk . Le système
x2 ...,xk est générateur.
x =
Proposition 6. Soit x1 , x2 ...,xk un système générateur de E . On peut en extraire
un sous-système qui est une base de E .
Il sut de construire une base de E en retirant un par un les vecteurs du système
suivant la méthode précédente jusqu'à ce que le système résultant soit libre.
Proposition 7. Soit x1 , x2 ...,xk un système libre de E . Si ce système n'est pas
générateur, on peut ajouter un vecteur xk+1 tel que x1 , x2 ...,xk , xk+1 est un système
libre.
Preuve : le système n'étant pas générateur, il existe un vecteur x qui n'est
pas combinaison linéaire de x1 ,...,xk . Choisissons xk+1 = x et considérons une
combinaison linéaire nulle du système complété par xk+1 :
λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk + λk+1 xk+1 = 0
Si λk+1 6= 0 alors
xk+1 = (λ1 /λk+1 )x1 + (λ2 /λk+1 )x2 + ... + (λk /λk+1 )xk ,
ce qui est imposssible puisque xk+1 n'est pas une combinaison linéaire de ces
vecteurs. Donc λk+1 = 0 et
λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk = 0.
Le système x1 , x2 ..., xk étant libre, tous les coecients λi sont nuls, ce qui signie
que x1 , x2 ..., xk , xk+1 est libre.
SYSTÈMES ET BASES
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Proposition 8 (Théorème de la base incomplète). Soit L = (x1 , ..., xk ) un système
libre et G = (y1 , ..., yn ) un système générateur. On peut dénir un sous-ensemble
de F de G tel que L ∪ F soit une base de l'espace E .
On choisit le plus grand sous ensemble F de G tel que L ∪ F soit libre ; s'il
existe un vecteur x de G qui n'appartient pas à V ect(L ∪ F ), alors L ∪ F ∪ {x}
est encore libre et F n'est pas le plus grand sous-ensemble. Donc tout G est inclus
dans V ect(L ∪ F ). Alors E = V ect(G) est inclus dans V ect(L ∪ F ) et L ∪ F est un
système générateur donc une base.
5.
Dimension d'un espace vectoriel
Proposition 9. Toutes les bases d'un espace vectoriel ont le même cardinal ; cet
entier est appelé dimension de l'espace vectoriel.
Ce résultat ne se déduit pas directement du résultat précédent ; il faut utiliser
le lemme suivant :
Proposition 10 (Lemme d'échange). Soit B1 et B2 deux bases de E ; soit x un
élément de B1 ; il existe une partie F de B2 telle que B = (B1 \{x}) ∪ F est une
base de E . De plus, card B1 ≤ card B .
On pose L = B1 \{x} et G = (B1 \{x}) ∪ B2 et on applique le théorème de la
base incomplète pour trouver F . B1 \{x} ne peut pas être une base car x n'est
pas généré par ce système. Donc F contient au moins un vecteur et card B est au
moins égal à card B1 . Pour démontrer l'égalité des cardinaux, on utilise la méthode
précédente pour remplacer un par un les vecteurs de la base B1 . On construit ainsi
une base B formée de vecteur de B2 et de cardinal supérieur à celui de B . Cela
prouve que le cardinal de B1 est au plus égal au cardinal de B2 . On peut échanger
maintenant le rôle de B1 et B2 et conclure à l'égalité des cardinaux.
6.
Sous-espace supplémentaire
Denition 4. Deux sous espaces F1 et F2 de E sont supplémentaires si pour chaque
vecteur x de E , il existe un couple unique de vecteurs y ∈ F1 et z ∈ F2 tel que
x = y + z . La somme des dimensions de F1 et F2 est égale à la dimension de E .
L'intersection de F1 et F2 ne contient que le vecteur nul.
Si B1 est une base de F1 et B2 est une base de F2 alors B1 ∪ B2 est une base de
E , d'où le résultat sur les dimensions. L'intersection contient toujours le vecteur
nul, mais s'il y avait un x non nul dans l'intersection, on pourrait l'écrire de deux
façons diérentes, avec y = x et z = 0 ou y = 0 et z = x.
Proposition 11. Tout sous-espace vectoriel H de E a un sous-espace supplémentaire dans E .
C'est une conséquence du théorème de la base incomplète. Soit L une base de
H et G une base de E . On construit F partie de G telle que L ∪ F soit une base
de E . Alors l'espace vectoriel engendré par F est supplémentaire de H .
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7.
Exercices
(1) On se place dans l'espace vectoriel IR2 . Soit i = (1, 0) et j = (0, 1). Montrer
que le système formé de i et j est une base. Quelles sont les coordonnées
du vecteur (3, 4) dans cette base, quelles sont les coordonnées d'un vecteur
(a,b) ?
(2) On se place dans l'espace vectoriel IR2 . Soit i = (1, 0) et k = (1, 1). Montrer
que le système formé de i et k est une base. Quelles sont les coordonnées
du vecteur (3, 4) dans cette base, quelles sont les coordonnées d'un vecteur
(a,b) ? Quelles sont les coordonnées de i, j et k dans cette base ?
(3) Montrer que les polynômes P0 = 1, P1 = x et P2 = x2 forment une base
de P2 espace vectoriel des polynômes de degré au plus 2. Quelles sont les
coordonnées du polynôme x2 − 2x + 1 dans cette base ?
(4) Montrer qu'un système comprenant le vecteur nul n'est jamais libre.
(5) Montrer que si un système de deux vecteurs n'est pas libre, les vecteurs
sont proportionnels l'un à l'autre (on parle de vecteurs colinéaires).
(6) Montrer que si λx = 0 alors x = 0 ou λ = 0 (on utilisera les propriétés 8
et 9 de l'espace vectoriel). En déduire qu'un système formé d'un unique
vecteur non nul est libre.
(7) Démontrer la n de la proposition 11 en utilisant la dénition des espaces
supplémentaires.