7. ESPACE DE SCHWARTZ. TRANSFORMÉE DE

7. ESPACE DE SCHWARTZ.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
O. GOUBET
Abstract. Dans ce chapitre nous introduisons la transformation de
Fourier.
1. Espace de Schwartz
1.1. Premières propriétés.
Definition 1.1. On appelle espace de Schwartz l’ensemble des fonctions
régulières u telles que cette fonction et toutes ses dérivées convergent vers 0
plus vite que tout polynôme, i.e.
S(Rn ) = {u ∈ C ∞ (Rn ); ∀α, β multi − indices xα ∂ β u ∈ L∞ (Rn )}
.
Quelles sont les exemples de fonctions qui appartiennent à l’espace de Schwartz
? en premier lieu toutes les fonctions tests, i.e les fonctions C ∞ à support
compact sont évidemment dans l’espace de Schwartz. En outre
2
Proposition 1.2. La fonction x 7→ e−|x| est une fonction de l’espace de
Schwartz.
P
Démonstration.
Rappelons ici que |x|2 = nj=1 x2j est le carré de la
norme euclidienne sur Rn . Pour établir que la proposition est vraie, il suffit
2
de démontrer que u(x) = e−|x| et toutes ses dérivées décroissent plus vite
que tout polynôme en l’infini. C’est vrai pour u, en vertu de l’adage qui affirme que l’exponentielle l’emporte sur tout polynôme. On démontre ensuite
par récurrence sur la longueur du multi-indice α que ∂ α u(x) = Pα (x)u(x)
où Pα est un polynôme.
On a aussi l’assertion suivante
Proposition 1.3. L’espace de Schwartz est invariant par dérivation et par
multiplication par un polynôme.
Cette proposition veut dire que si u est dans S(Rn ), alors xα u et ∂ β u sont
aussi dans S(Rn ).
Exercice: la fonction v(x) = e−|x| est-elle dans l’espace de Schwartz ?
Date: 25 novembre 2007.
1
2
O. GOUBET
1.2. Notion de convergence dans S(Rn ). A l’instar de la notion de convergence dans l’ensemble des fonctions tests (souvenez vous de la notion de
support captif), nous allons définir une notion de convergence dans S(Rn ).
Definition 1.4. Nous dirons que uj → 0 dans S(Rn ) si et seulement si:
∀α, β multi-indices xα ∂ β uj (x) converge uniformément vers 0 sur Rn .
En tant qu’ensembles, C0∞ (Rn ) s’emboı̂te dans S(Rn ). Nous allons démontrer
que cette injection est en fait continue pour la notion de convergence sur ces
espaces.
Theorem 1.5. C0∞ (Rn ) ֒→ S(Rn ) est une injection continue, et dense.
Démonstration.
Ceci veut dire deux choses. Si d’une part φj est une
suite de fonctions tests convergeant vers 0 au sens des fonctions tests, alors
φj → 0 dans S(Rn ) (continuité). D’autre part, pour toute fonction u dans
l’espace de Schwartz, on peut exhiber une suite de fonctions tests φj qui
converge vers u dans S(Rn ) (densité).
Démontrons la première affirmation. Si φj tend vers 0 dans C0∞ (Rn ), cela
veut dire qu’il existe K compact fixe tel que support φj ⊂ K, et que φj et
toutes ses dérivées convergent vers 0 uniformément sur K. La convergence
dans S(Rn ) est alors vraie a fortiori.
Pour la densité, on introduit une fonction plateau θ, radiale, telle que
θ(x) ≡ 1 si |x| ≤ 1, et support θ ⊂ {x, |x| ≤ 2}. Soit maintenant, pour u
dans l’esapce de Schwartz, la suite de fonctions tests
x
φj (x) = u(x)θ( ).
j
Soit β un multi-indice. Alors
x
(1) ∂ β (φj −u)(x) = (θ( )−1)∂ β u(x)+
j
X
1≤|α|≤|β|
x
Cα j −|α| (∂ α θ)( )∂ β−α u(x).
j
On veut alors démontrer que cette quantité multipliée par 1 + |x|m , où
m entier naturel, converge uniformément vers 0. Le premier terme dans le
membre de droite de (1) est majoré par
(2)
x
|θ( ) − 1| sup |(1 + |x|m )∂ β u(x)| ,
j
|x|≥2j
qui converge uniformément vers 0 car u est dans l’espace de Schwartz. Le
second terme se majore brutalement en
(3)
1X
|Cα ||∂ α θ||L∞ ||(1 + |x|m )∂ β−α u||L∞ ,
j α
qui tend lui aussi vers 0 quand j tend vers l’infini.
DISTRIBUTIONS
3
2. Transformation de Fourier sur S(Rn ) et sur L1 (Rn ).
2.1. Définition sur L1 (Rn ). Rappelons que S(Rn ) ⊂ L1 (Rn ).
Definition 2.1. Soit u ∈ L1 (Rn ). On appelle transformation de Fourier de
u la fonction
Z
u(x)e−ix.ξ dx.
û(ξ) =
Rn
P
Ici i est le nombre complexe bien connu. x.ξ = nj=1 xj ξj est le produit
scalaire sur Rn . Remarquons que la transformée de Fourier d’une fonction
est à valeurs dans C. On peut aussi choisir u fonction à valeurs complexes.
Dire que u est dans L1 (Rn ) veut dire que Reu et Imu sont dans L1 (Rn ). On
notera aussi parfois û = F(u).
Proposition 2.2. (Riemann-Lebesgue) Soit u ∈ L1 (Rn ). Alors û est une
fonction continue sur Rn , bornée, qui tend vers 0 quand |ξ| tend vers l’infini.
Pour montrer que la fonction û est continue sur Rn et bornée, on va utiliser
le théorème de convergence dominée. D’une part la fonction x 7→ u(x)e−ix.ξ
est mesurable. D’autre part ξ 7→ u(x)e−ix.ξ est continue. On a en outre le
contrôle
|u(x)e−ix.ξ | = |u(x)|,
qui est une fonction intégrable. Le théorème de convergence dominée s’applique
alors. Observons qu’au passage
(4)
|û(ξ)| ≤
Z
Rn
|u(x)e−ix.ξ |dx = ||u||L1 (Rn ) .
On notera parfois cette inégalité avec la convention
≤ ||u||L1x .
||û||L∞
ξ
Les indices du bas indiquent que dans le membre de gauche on a calculé le
supremum en ξ et l’intégrale en la variable x; cette notation non standard
est parfois pratique quand on utilise beaucoup de variables en même temps.
Démontrons la convergence vers 0 quand ξ tend vers l’infini. Soit tout
d’abord φ une fonction test, alors, par intégration par parties
(5)
φ̂(ξ) =
Z
Rn
φ(x)e−ix.ξ dx = −
Z
Rn
∂x1 φ(x)(
On en déduit immédiatement
(6)
|φ̂(ξ)| ≤
Par conséquent et par symétrie
1
||∂x1 φ(x)||L1x .
|ξ1 |
1 −ix.ξ
e
)dx.
−iξ1
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O. GOUBET
(7)
|φ̂(ξ)| ≤ min
1≤j≤n
1
||∂xj φ(x)||L1x
|ξj |
.
On utilise alors la densité de l’ensemble des fonctions tests dans L1 (Rn ).
Soit u dans L1 (Rn ). Soit ε > 0. Il existe alors φ une fonction test telle que
||u − φ||L1x ≤ ε.
Par (4-7) il vient alors
(8)
||u − φ||L1x + min
1≤j≤n
1
||∂xj φ(x)||L1x
|ξj |
|û(ξ)| ≤ |(û − φ̂)(ξ)| + |φ̂(ξ)| ≤
1
||∂xj φ(x)||L1x .
≤ ε + min
1≤j≤n |ξj |
On passe alors à la limite sur |ξ| pour obtenir
(9)
lim sup |û(ξ)| ≤ ε + 0.
|ξ|→+∞
Faire ε → 0+ conclut .
En d’autres termes la proposition ci-dessus traduit que l’application F est
une application linéaire continue de L1 (Rn ) dans l’espace
E = {v ∈ C(Rn ); lim v(ξ) = 0}.
|ξ|→+∞
E muni de la norme L∞ est un espace de Banach.
2.2. Transformation de Fourier sur S(Rn ). La transformation de Fourier
est bien définie sur S(Rn ) qui est un sous-espace de L1 (Rn ). De plus
Proposition 2.3. La transformation de Fourier envoie S(Rn ) dans S(Rn ).
Démonstration. Par intégration par parties, à l’instar du calcul (5), on
montre que si u ∈ S(Rn ) alors
(10)
iξ1 û(ξ) = F(∂x1 u)(ξ).
Par le théorême de dérivation sous le signe intégrale de Lebesgue (vérifier
les hypothèses) on montre aussi que
(11)
∂
û(ξ) =
∂ξ1
Z
Rn
(−ix1 u(x)eix.ξ )dx = −F(ix1 u)(ξ).
On en déduit que pour tout couple de multi-indices
(12)
(i)|α| ξ α ∂ β û(ξ) = F((−i)β ∂xα (xβ u(x))).
DISTRIBUTIONS
5
Comme ∂xα (xβ u(x)) est dans L1 (Rn ), alors (i)|α| ξ α ∂ β û(ξ) est une fonction
bornée par la Proposition 2.2.
On va maintenant effectuer un calcul utile pour la suite
Lemma 2.4. Si n = 1 la transformée de Fourier de la gaussienne x 7→ e−
√
ξ2
est ξ 7→ 2πe− 2 .
x2
2
La définition de la trasformée de Fourier est
Démonstration.
(13)
F (ξ) =
Z
e−
x2
2
e−ixξ dx.
R
Par le théorême de dérivation sous le signe somme, il vient
′
(14)
F (ξ) = −i
Z
xe−
x2
2
e−ixξ dx.
R
Par intégration par parties
(15)
F ′ (ξ) = i
Par conséquent
Z
F ′ (ξ)
R
∂ − x2 −ixξ
(e 2 )e
dx = i
∂x
Z
iξe−
x2
2
e−ixξ dx.
R
+ ξF (ξ) = 0, d’où
ξ2
F (ξ) = F (0)e− 2 .
R
x2
Il reste à calculer F (0) = R e− 2 dx. Par le théorème de Fubini-Tonelli et
le changement de variables en polaires
(16)
(17)
F (0)2 =
Z
e−
x2 +y 2
2
dxdy =
R2
Z
2π
0
Z
+∞
r2
e− 2 rdrdθ = 2π.
0
2.3. Quelques propriété élémentaires. On commence par discuter l’effet
de la translation τa (u)(x) = u(x − a). On a
(18)
F(τa u)(ξ) =
Z
Rn
u(x − a)e−ix.ξ dx = e−ia.ξ û(ξ).
On regarde maintenant comment la transformée de Fourier se comporte vis
à vis de la convolution. Rappelons que la convolée de deux fonctions de
L1 (Rn ) est une fonction intégrable.
Theorem 2.5. Soient u, v dans L1 (Rn ). Alors
F(u ∗ v)(ξ) = û(ξ)v̂(ξ).
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O. GOUBET
Démonstration.
On utilise le théorème de Fubini, la fonction (x, y) 7→
u(x − y)v(y)e−ix.ξ étant intégrable sur R2n . Il vient
(19)
Z
Rn
Z Z
u(x − y)v(y)dy e−ix.ξ dx =
F(u ∗ v)(ξ) =
Rn
Rn
Z
Z
−ix.ξ
v(y)e−iy.ξ dy)û(ξ).
u(x − y)e
dx dy = (
v(y)
Rn
Rn
2.4. Formule d’inversion de Fourier. On va établir un théorème, qui est
vrai a fortiori sur l’espace de Schwartz
Theorem 2.6. Soit u une fonction dans L1 (Rn ) telle que û soit aussi dans
L1 (Rn ) . Alors
FoF(u)(x) = (2π)n u(−x).
Démonstration.
Soit ε > 0 Soit la fonction gaussienne
ε|x|2
).
2
On peut calculer la trsnformée de Fourier de la gaussienne par le lemme
2.4 et le théorème de Fubini. Il vient
Gε (x) = exp(−
Z
Πnj=1 (
−
εx2
j
e−ixj ξj dxj ) =
√
Z
ξj
x2
|ξ|2
2π
− 2j −ixj √ε
−n/2 n
e
dx) = ( √ )n e− 2ε .
ε
Πj=1 ( e
ε
R
F(Gε )(ξ) =
(20)
e
2
R
La transformée de Fourier de la gaussienne est presque une approximation
de l’identité. En effet, lorsque ε tend vers 0
√
|ξ|2
2π
(21)
( √ )n e− 2ε → (2π)n δ0 .
ε
On introduit alors la fonction auxiliaire
(22)
Φε (x) =
Z
û(ξ)e−
ε|ξ|2
2
eix.ξ dξ.
Rn
D’une part par le théorème de convergence dominée (avec le contrôle
|û(ξ)e−
(23)
ε|ξ|2
2
eix.ξ )| ≤ |û(ξ)|), pour tout x
lim Φε (x) = FoF(u)(−x).
ε→0
D’autre part, par le théorème de Fubini
DISTRIBUTIONS
(24)
Φε (x) =
Z
(
Z
−iy.ξ
u(y)e
2
ix.ξ
dy e
Rn
Rn
− ε|ξ|
2
7
e
dξ =
Z
Rn
bε (y − x)dy.
u(y)G
bε est radiale, et est presque une
On utilise maintenant que la fonction G
approximation de l’identité (à un coefficient multiplicatif près), pour avoir
que dans L1 (Rn )
Φε → (2π)n u.
(25)
A une sous-suite près, la convergence a lieu p.p.
Corollary 2.7. F : L1 → E est injective .
Si û ≡ 0, alors par la formule d’inversion de Fourier
Démonstration.
u ≡ 0.
2.5. Formule de Plancherel sur l’espace de Schwartz. On commence
par énoncer un lemme
Lemma 2.8. Soient u, v dans L1 (Rn ). Alors
Z
Z
v(x)û(x)dx.
u(x)v̂(x)dx =
Rn
Rn
Démonstration. Ce lemme est une conséquence du théorème de Fubini.
Comme la fonction (x, ξ) 7→ u(x)v(ξ) exp(−ix.ξ) est intégrable, alors, en
intégrant d’abord en ξ,
(26)
Z
u(x)v(ξ) exp(−ix.ξ)dxdξ =
Z
u(x)v̂(x)dx.
Rn
R2n
On conclut par symétrie.
Theorem 2.9. (Plancherel)Soit u ∈
S(Rn ).
Alors
||û||2L2 = (2π)n ||u||2L2x .
ξ
Démonstration.
Soient u, w dans l’espace de Schwartz. On se propose
d’utiliser le lemme précédent avec v = ŵ. Observons que par la formule
d’inversion de Fourier
(27)
F(ŵ)(x) =
Z
−iξ.x
ŵ(ξ)e
dξ =
Rn
Z
ŵ(x)eiξ.x dξ = (2π)n w(x).
Rn
Par conséquent,
(28)
Z
Rn
Faire u = w conclut.
n
û(ξ)ŵ(ξ)dξ = (2π)
Z
u(x)w(x)dx.
Rn
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O. GOUBET
References
[1] Rudin, Real anx complex analysis
[2] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, (??) .
[3] M. Willem, Analyse harmonique réelle, Hermann, 1995.
(Olivier Goubet) LAMFA CNRS UMR 6140, Université de Picardie Jules Verne,
33 rue Saint-Leu 80039 Amiens cedex.
E-mail address: [email protected]