Analyse de Fourier et applications

Transcription

Virginie Ehrlacher, Antoine Levitt et Gabriel Stoltz
Analyse de Fourier et applications
Corrections
2016-2017
Cours ENPC - IMI - 2ème année
Table des matières
Syllabus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Convergence L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Applications des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Applications aux équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Premières applications à l’analyse en fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Transformée de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés algébriques de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Transformée de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Fonctions lisses à décroissance rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 L’espace S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Transformée de Fourier dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Convergence et dérivation dans S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Injection de Lp dans S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Transformée de Fourier dans S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Espaces de Sobolev et équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Résolution d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Séries de Fourier des distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Séries de Fourier des distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Transformée de Fourier des distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VI
6
Échantillonnage et transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Échantillonnage d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Le recouvrement spectral (aliasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Exemple de repliement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Suppression de l’aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Présentation générale de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Calcul de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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49
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Appendice : distributions à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Syllabus
Bref aperçu du contenu du cours
L’analyse en fréquences, en particulier la transformée de Fourier, est un outil qui permet
de décomposer les signaux ou les opérateurs selon leurs modes fondamentaux. Cette théorie
mathématique a de nombreuses applications pour l’ingénieur, parfois spectaculaires : étude des
cours de la bourse, compréhension climatique de la température des océans, mise en résonance de
structures de génie civil conduisant à leur ruine, compression de sons et d’image, etc. A l’issue de
ce cours, les étudiants sauront utiliser à bon escient la transformation de Fourier pour analyser
un problème physique ou un signal donné, et connaitront les limitations théoriques, pratiques et
numériques de cet outil.
Outre les savoirs et savoir-faire, nous avons également pour objectif d’enseigner des attitudes
d’apprentissage fondées sur l’autonomie intellectuelle, le travail régulier et une réflexion critique
sur les contenus de l’enseignement (à l’oppposé d’un travail léger au cours du semestre, compensé
bon an mal an par un bachotage de dernière minute). Rappelons en effet que des habitudes de
travail saines sont fondamentales pour bien réussir en M2 : ce sont des cours sans TD, parfois
sans support de cours écrit, enseignés par des chercheurs qui n’auront pas forcément le temps de
vérifier vos acquis préalables, et ne pourront pas s’adapter à vos lacunes potentielles.
Modalités générales
Ce cours, comme celui d’analyse et de calcul scientifique de première année, est enseigné en
“pédagogie active” (un mode connu sous le nom de “classe inversée”) : le cours est appris à la
maison par les étudiants, et les séances de cours sont réservées à des discussions sur des points
techniques (lancées à l’initiative des étudiants, s’ils ont préparé des questions), et à la résolution
d’exercices en groupes librement composés de 3/4 personnes. Ce cours est valorisé à 1.5 ECTS, ce
qui signifie que, selon les normes de la commission européenne, vous devriez travailler en moyenne
40h sur le semestre pour cet enseignement. Il faut donc compter environ 2h de travail personnel par
semaine pour ce cours, plus quelques révisions spécifiques aux examens. L’idée est qu’un travail
sérieux et continu vous permettra de limiter les révisions des examens, et vous permettra une
meilleure assimilation du matériau présenté.
Concrètement, votre travail d’une semaine à l’autre consistera à :
(1) lire les pages du poly qui seront demandées. Les sections à lire portent sur des notions qui
seront mises en oeuvre la semaine suivante. Attention, “lire” veut dire bien apprendre par coeur
toutes les définitions, comprendre le contenu des résultats (théorèmes, propositions, etc), et
avoir un minimum réfléchi à l’articulation desdits résultats. Il vaut mieux prévoir plusieurs
(re)lectures du matériau, espacées dans le temps, copieusement annoter le poly, mettre en
évidence les résultats importants, refaire les petits calculs qui sont menés, et éventuellement
produire des fiches de synthèse à usage personnel ;
2
(2) faire, sur feuille à part, les exercices préparatoires (marqués EP sur le syllabus). Les exercices
préparatoires sont souvent de simples applications des définitions, et ne devraient pas vous
demander beaucoup de temps. Les exercices préparatoires seront systématiquement ramassés
en début de séance ;
(3) vérifier le corrigé des exercices de la semaine précédente, sur le poly à part. C’est en particulier
l’occasion de comparer votre rédaction à celle que nous proposons. Il est essentiel que vous
compreniez parfaitement la résolution des exercices.
Le poly de corrections est à consulter après les séances, et non pas pendant. Vous pouvez l’amener
en séance, mais vous ne devrez pas le sortir sans autorisation de l’enseignant.
Nous ferons de temps en temps, en début de séance et sous forme de discussion, des temps
de restructuration permettant de mieux organiser les concepts et idées nouvelles que vous aurez
appréhendés lors des séances précédentes. Cette restructuration peut avoir lieu à votre initiative
si vous le jugez pertinent, et il ne faut pas hésiter à solliciter l’enseignant pour ce faire.
Contacter les enseignants
Le mode de contact hors des séances est le mail : [email protected],
[email protected] et [email protected]. Nos bureaux sont situés au 3eme étage
du bâtiment Coriolis, B313, B306 et B312 respectivement. Notre métier principal étant la recherche
et non l’enseignement, nos contraintes professionnelles font que nous ne sommes pas là tous les
jours, ou alors, si nous sommes là, ne sommes pas forcément disponibles si vous passez nous voir.
Si vous souhaitez discuter avec nous, envoyez-nous un mail pour prendre rendez-vous.
Évaluation
La note finale sera obtenue de la manière suivante :
• examen : 2h, 14 points. Le poly de cours et les notes personnelles sont autorisés. Le programme exigible correspond, sauf mention explicite contraire, à tous les résultats du poly
hors appendice, et aux exercices préparatoires et obligatoires ;
• contrôle continu : 6 points. La note du contrôle continu sera obtenue à partir des exercices
préparatoires, ramassés en début de séance. Ce sont des exercices simples, prévus pour ne
pas vous prendre trop de temps. La rédaction est à soigner particulièrement : il ne faut pas
en écrire des tonnes (pas plus d’une page par séance), mais donner les arguments pertinents,
avec des références numérotées aux théorèmes du cours.
Pour les étudiants ayant deux absences non-justifiées ou plus, la note de contrôle continu sera
diminuée d’un point par absence non-justifiée à partir de la deuxième. La note de ramassage d’EP
sera automatiquement zéro en cas d’absence non-justifiée. Nous vous rappelons par ailleurs que la
plus élémentaire politesse consiste à nous prévenir à l’avance de vos absences en les justifiant.
Enfin, le cours a été remanié cette année et il serait très surprenant que des coquilles ne se
soient pas glissées dans le poly : n’hésitez pas à signaler toutes celles que vous trouvez.
Pré-requis
Nous partons du principe que la théorie des distributions, les espaces de Lebesgue et de Sobolev
sont bien connus. Ceci correspond au contenu du polycopié d’analyse et calcul scientifique de
1ère année (sauf les Chapitres 4 et 9). Si vous ne maı̂trisiez pas l’un de ces prérequis, nous vous
enjoignons à rattraper dès maintenant les notions correspondantes en consultant le poly d’Analyse
de 1ère année, disponible sur Educnet. Voici quelques questions pour tester ces prérequis...
(i) énoncer le théorème de convergence dominée ;
(ii) si f ∈ Lp (R) (avec 1 6 p < +∞) et f = g au sens des distributions, alors... ?
(iii) quels espaces Lp (R) sont complets ?
3
(iv) pour quelles valeurs de p l’espace des fonctions C ∞ à support compact est-il dense dans Lp ?
(v) énoncer l’inégalité de Hölder ;
(vi) définir l’espace de Sobolev H 1 (R).
Poly
Le poly est disponible sur le site http://antoine.levitt.fr/fourier
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Plan et contenu des séances
La nomenclature est la suivante :
• Lire... : à faire avant la séance en question (et pas pendant) ;
• EP signifie “exercices préparatoires”, ceux à faire à la maison sur feuille à part et qui seront
ramassés en début de séance ;
• EO signifie “exercices obligatoires”, ceux à traiter en séance. Si vous n’avez pas eu le temps
de les résoudre en séance, vous devez absolument consulter le corrigé ;
• EC signifie “exercices complémentaires”, à traiter une fois que vous avez traité tous les
exercices obligatoires, ou chez vous si ça vous intéresse.
Séance 1 (7 décembre) Séries de Fourier
Présentation du cours et de la pédagogie
EP : aucun (première séance)
EO : 1.1, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9
EC : 1.2, 1.5, 1.10
Séance 2 (14 décembre) Transformée de Fourier dans L1
Relire le Chapitre 1, lire le Chapitre 2
EP : 1.3, 2.3, 2.5
EO : 2.1 2.2, 2.4, 2.7, 2.8, 2.12 (i)
EC : 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 (ii)
Séance 3 (4 janvier) Distributions tempérées
Lire de 3.1 à 3.2.2 inclus
EP : 3.2, 3.7, 3.11, 3.12
EO : 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.13, 3.15, 3.16
EC : 3.8, 3.10, 3.14
Séance 4 (11 janvier) Distributions tempérées, espaces de Sobolev
Finir le Chapitre 3, lire le Chapitre 4
EP : 3.18, 3.19, 3.20
EO : 3.17, 3.21, 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
EC : 3.22, 4.2, 4.7, 4.9, 4.10
Séance 5 (18 janvier) Séries de Fourier des distributions et échantillonnage
Lire le Chapitre 5 et le Chapitre 6
EP : 5.1, 5.3, 5.7, 6.3
EO : 5.2, 5.4, 5.5, 5.8, 6.1, 6.2
EC : 5.6, 6.4, 6.5,
Séance 6 (25 janvier)
Examen
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Séries de Fourier
1.1 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Convergence L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Applications des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Applications aux équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Premières applications à l’analyse en fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
10
10
11
12
12
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On développe ici la théorie des séries de Fourier, qui permettent la représentation d’une fonction périodique en série de sinus et de cosinus. On rappelle le cadre des bases hilbertiennes, qui
permettent une théorie géométrique des séries de Fourier, et on donne quelques applications au
traitement du signal et à la résolution d’équations aux dérivées partielles. Pour plus de détails sur
la théorie des séries de Fourier, on pourra se rapporter à [4].
On se place dans toute cette section sur un espace de Hilbert sur le corps des complexes.
Toute la théorie est bien sûr valable sur le corps des réels, mais la structure complexe permet une
manipulation plus simple des séries de Fourier, en utilisant les exponentielles complexes plutôt que
les fonctions sinus et cosinus.
1.1 Bases hilbertiennes
On rappelle la notion de base hilbertienne, qui est la “bonne” généralisation de la notion de
base orthonormée en dimension infinie.
Définition 1.1 (Base hilbertienne). Soit V un espace de Hilbert. On appelle base hilbertienne
de V une suite (en )n∈N d’éléments de V tels que
(i) (orthonormalité) (en , em )V = δnm pour tous n, m > 0 ;
(ii) (complétude) L’espace vectoriel formé des combinaisons linéaires finies d’éléments de (en )n>0
est dense dans V .
Exercice 1.1 (Base hilbertienne de `2 ) Montrer qu’une base hilbertienne de `2 (N, C) est donnée
par la famille des suites (en )n>0 telles que (en )m = δnm pour tout m > 0. Donner un exemple de
famille orthonormée qui n’est pas une base hilbertienne.
Correction. Il est trivial de vérifier que cette famille est orthonormale. Pour la complétude, pour
tout élément u = (u0 , u1 , . . . ) ∈ `2 (N, C), on pose uN = (u0 , u1 , . . . , uN , 0, . . . ), qui est une combinaison linéaire finie des (en )n>0 . On a alors
6
1 Séries de Fourier
ku − uN k2 =
X
|un |2 ,
n>N +1
P
qui est le reste de la série convergente kuk2 = n>0 |un |2 . Ceci montre que, pour tout ε > 0, il
existe N tel que ku − uN k 6 ε, et donc que la famille (en )n>0 est complète.
Une famille orthonormée mais pas complète est par exemple (e2n )n>0 .
Remarque 1.2. Tous les espaces de Hilbert n’admettent pas de base hilbertienne. Ceux qui en
possèdent sont appelés séparables. L’existence même d’espaces non séparables n’est pas triviale,
et tous les espaces de Hilbert rencontrés en pratique (espaces de Lebesgue, de Sobolev...) sont
séparables.
La notion de base hilbertienne généralise celle de base orthonormée, et permet la décomposition
d’un élément u ∈ V quelconque sur les (en )n>0 . La décomposition a une infinité de termes et est
à comprendre au sens des séries, dont la convergence est garantie par la complétude de V .
Théorème 1.3 (Parseval-Bessel). Soit V un espace de Hilbert et (en )n>0 une base orthonormée (c’est-à-dire telle que (en , em ) = δnm pour tout n, m > 0). Soit u ∈ V . Alors, la série
P
n>0 (u, en ) en converge vers un élément v ∈ V et on a l’ inégalité de Bessel
kvk2 =
X
|(u, en )|2 6 kuk2 .
(1.1)
n>0
Si de plus (en )n>0 est une base hilbertienne, alors v = u :
X
X
u=
(u, en ) en et kuk2 =
|(u, en )|2 ,
n>0
(1.2)
n>0
la deuxième égalité portant le nom d’égalité de Parseval.
Exercice 1.2 Prouver le Théorème 1.3. On introduit, pour tout entier n > 0, l’espace vectoriel
Vn engendré par (e0 , . . . , en ), et on note Pn la projection orthogonale sur Vn .
(i) Montrer l’inégalité de Bessel, en décomposant u selon Vn et Vn⊥ .
(ii) Montrer la convergence dans V de la suite (Pn u)n>0 . On note v sa limite.
(iii) Montrer que w = v − u vérifie (w, em ) = 0 pour tout m > 0. En déduire que Pn w = 0 pour
tout n > 0.
(iv) Montrer que, pour tout wn ∈ Vn , on a kw − Pn wk 6 kw − wn k. Conclure si (en )n>0 est une
base hilbertienne.
Correction.
(i) On a la décomposition orthogonale de u sur Vn et Vn⊥ :
u = Pn u + (u − Pn u).
(1.3)
Pn
Comme Pn u ∈ Vn , il existe a0 , . . . , an ∈ C tels que Pn u =
m=0 am em . En prenant le
produit scalaire par em , 0 6 m 6 n, il vient am = (Pn u, em ) = (u, em ) = um .
Par le théorème de Pythagore appliqué à la décomposition orthogonale (1.3),
kPn uk2 = kuk2 − ku − Pn uk2 6 kuk2 .
On en déduit que
n
X
|um |2 = kPn uk2 6 kuk2 .
m=0
Cette inégalité étant valable pour tout n > 0, on peut passer à la limite monotone et en
déduire l’inégalité de Bessel.
1.2 Coefficients de Fourier
7
(ii) La majoration
kPn+p u −
Pn uk2V
n+p
X
6
6
m=n+1
∞
X
|um |2
|um |2
m=n+1
par le reste d’une série convergente montre que la suite (Pn u)n>0 est de Cauchy dans V et
donc converge vers une limite v ∈ V .
(iii) À m > 0 fixé, pour n > m, on a (Pn u − u, em ) = um − um = 0. La continuité du produit
scalaire permet le passage à la limite n → ∞, d’où le résultat.
(iv) Il s’agit de la propriété fondamentale d’optimalité de la projection orthogonale, qui se
démontre par un calcul direct que nous rappelons ici :
kw − wn k2 = k(w − Pn w) + (Pn w − wn )k2
= kw − Pn wk2 + kPn w − wn k2
> kw − Pn wk2 .
Si (en )n>0 est une base hilbertienne, pour tout ε > 0 il existe n > 0 et wn ∈ Vn tel que
kw − wn k 6 ε, d’où kwk = kw − Pn wk 6 kw − wn k 6 ε. Ceci montre que w = 0, donc
Pn u → u, et donc kPn uk → kuk, ce qui prouve l’égalité de Parseval.
Remarque 1.4. Notons que l’égalité de Parseval implique, via les identités de polarisation ou un
calcul direct, l’égalité suivante, aussi parfois appelée égalité de Parseval : pour tous u, v ∈ V ,
X
(u, v) =
(u, en )(v, en ).
n>0
Elle montre en particulier que tout espace de Hilbert séparable est isométrique à `2 (N), au sens où
l’application qui à un élément u ∈ V associe la suite (u, en )n>0 ∈ `2 (N) est un isomorphisme qui
préserve le produit scalaire.
Remarque 1.5. Notons pour la suite que, si l’on a considéré uniquement des bases indicées par
N, la théorie s’applique bien évidemment à des bases indicées par un autre ensemble dénombrable,
comme Z ou Zd .
Définition 1.6. Soit u ∈ L1 ([−π, π], C). On définit son coefficient de Fourier d’ordre n ∈ Z par
Z π
1
cn (u) = √
u(x) e−inx dx
(1.4)
2π −π
et sa série de Fourier (sans préjuger de sa convergence), par
1 X
Su (x) = √
cn (u) einx .
2π n∈Z
(1.5)
Les coefficients de Fourier sont a priori définis pour une fonction L1 ([−π, π], C), ce qui permet de
donner un sens aux cn (u). La convergence de la série Su est cependant délicate : Su ne converge pas
en général vers u dans L1 . Même si la convergence a lieu pour des fonctions régulières, le prouver
n’est pas immédiat. On repousse pour l’instant ces problèmes de convergence à la Section 1.3 pour
s’intéresser aux propriétés des coefficients de Fourier en eux-mêmes.
8
Remarque 1.7. On considère dans ce chapitre des fonctions de [−π, π], qui sont implicitement
considérées comme étendues par périodicité à R. On considère par simplicité des fonctions 2πpériodiques, mais on peut
en considérant la
traiter des fonctions u de périodicité L quelconque
1
x
.
On
peut
également
traiter
des
fonctions
dans
L
([−π,
π]d ) de façon
fonction ũ(x) = u 2π
L
similaire au cas uni-dimensionnel en définissant, pour un multi-indice α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd ,
Z π
1
u(x) e−iα·x dx,
cα (u) =
(2π)d/2 −π
X
1
Su (x) =
cα (u) eiα·x .
d/2
(2π)
α∈Nd
Dans cette section on considère des fonctions d’une seule variable, toujours par souci de simplicité.
Proposition 1.8 (Propriétés élémentaires des coefficients de Fourier). Les coefficients de
Fourier sont des formes linéaires continues de L1 ([−π, π], C) dans C. Pour tout u ∈ L1 ([−π, π], C),
on définit sa réflexion par rapport à l’origine ũ par ũ(x) = u(−x). On a alors pour tout n ∈ Z :
c−n (u) = cn (u),
cn (ũ) = c−n (u).
En particulier,
• Si u est à valeurs réelle, alors cn (u) = c−n (u) ;
• Si u est paire, alors c−n (u) = cn (u) ;
• Si u est impaire, alors c−n (u) = −cn (u).
Exercice 1.3 Prouver la Proposition 1.8.
Un des grands intérêts des séries de Fourier est de faciliter le calcul d’un certain nombre de
transformations des fonctions, dont les dérivées (mais aussi les intégrales et les convolutions). On
a notamment le résultat suivant.
Proposition 1.9 (Coefficients de Fourier et dérivation). Si u est la restriction à [−π, π]
d’une fonction C 1 (R, C) et 2π-périodique, alors
cn (u0 ) = −in cn (u).
Si u est la restriction d’une fonction C p périodique, on a pour n 6= 0
|cn (u)| 6 √
1
ku(p) kL1 .
2π|n|p
Correction. Le premier résultat est un simple calcul d’intégration par partie, où les termes de bord
disparaissent car u(−π) = u(π). On a ensuite, pour n 6= 0,
cn (u(p) ) = (−in)−p cn (u)
et donc
|cn (u)| 6 √
1
2π|n|p
Z
π
1
(p) ku(p) kL1 ,
u (x) dx = √
2π|n|p
−π
ce qui donne le résultat.
Les coefficients de Fourier contiennent toute l’information d’une fonction L1 , au sens suivant.
Théorème 1.10 (Unicité des coefficients de Fourier). Si u, v ∈ L1 ([−π, π], C) ont les mêmes
coefficients de Fourier, alors u = v.
9
Exercice 1.5 Prouver le Théorème 1.10. On rappelle que les polynômes trigonométriques sont
toutes les combinaisons linéaires finies des fonctions einx , pour n ∈ Z. On va utiliser le fait que u
et v ont la même intégration contre les polynômes trigonométriques en construisant un polynôme
trigonométrique qui approche la distribution de Dirac, ce qui montrera l’égalité de u et v.
(i) Montrer qu’on peut se ramener au cas où v = 0 et u est à valeurs réelles. On supposera ces
hypothèses additionnelles vérifiées dans la suite.
(ii) Pour x0 ∈] − π, π[ et ε > 0 tel que [x0 − ε, x0 + ε] ⊂] − π, π[, montrer que la fonction Tn (x) =
(1 + cos(x − x0 ) − cos ε)n est un polynôme trigonométrique supérieur à 1 sur [x0 − ε, x0 + ε]
et strictement inférieur à 1 en valeur absolue ailleurs. Montrer également que, si u a ses
coefficients de Fourier nuls, alors
Z
Tn (x)u(x) dx = 0.
[−π,π]
(iii) Montrer que, quand u est une fonction continue à coefficients de Fourier nuls,
Z x0 +ε
lim
Tn (x)u(x) dx = 0.
n→∞
x0 −ε
(iv) En déduire par contradiction le théorème dans le cas où u est continue.
Rx
(v) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction U (x) = −π u(t)dt pour u une fonction
continue, puis u ∈ L1 ([−π, π], R). Conclure.
Correction. (i) Quitte à remplacer u par u − v, on ne restreint pas la généralité en considérant
v = 0. Supposons le théorème prouvé pour des fonctions à valeurs réelles. Si u a ses coefficients
de Fourier nuls, alors ū également, car
cn (ū) = c−n (u).
Les fonctions réelles <(u) = (u + ū)/2 et =(u) = (u − ū)/(2i) ont alors leurs coefficients de
Fourier nuls, ce qui montre que ces deux quantités sont nulles presque partout, et donc u
aussi.
(ii) L’ensemble des polynômes trigonométriques est stable par addition, translation et multiplication, donc Tn est un polynôme trigonométrique, et on a, pour tout n ∈ Z,
Z π
Tn (x)u(x) dx = 0.
(1.6)
−π
Sur [−π, π], la quantité cos(x − x0 ) − cos ε est positive sur [x0 − ε, x0 + ε], et strictement
négative ailleurs, et elle est d’autre part toujours strictement supérieure à −2. Le résultat
demandé suit immédiatement.
(iii) Sur [−π, π] \ [x0 − ε, x0 + ε], |Tn u| 6 |u| et Tn u tend vers 0 ponctuellement. Par un théorème
de convergence dominée, on déduit que
Z
lim
Tn (x)u(x) dx = 0,
n→∞
[−π,π]\[x0 −ε,x0 +ε]
d’où le résultat, au vu de (1.6).
(iv) Supposons u continue et non-nulle. Alors il existe un intervalle [x0 − ε, x0 + ε] de ] − π, π[ où
|u| > δ > 0, et on a donc
Z
x0 +ε
Tn (x)u(x)dx > δε
x0 −ε
ce qui contredit le résultat du point (iii).
10
(v) Soit u continue. Par intégration par parties,
Z π
1
U (x)e−inx dx
cn (U ) = √
2π −π
ã
ÅZ π
π
1
=√
u(x)e−inx dx − U (x)e−inx −π
2πin
−π
1
=
cn (u) − (−1)n c0 (u) .
in
Par densité des fonctions continues dans L1 et continuité des cn , ce résultat est également
valable pour u ∈ L1 . En supposant que u ∈ L1 a tous ses coefficients de Fourier nuls, alors
c’est également le cas pour U . En appliquant le résultat précédent à la fonction U , qui est
continue car u est L1 , on en déduit que U est nulle, et donc u aussi.
1.3 Séries de Fourier
On étudie dans cette section la convergence de la série Su (voir Définition 1.6). On commence par montrer la convergence dans L2 par la théorie générale des bases hilbertiennes, puis la
convergence ponctuelle pour des fonctions régulières. Plus tard dans ce cours, au Chapitre 5, nous
étudierons les séries de Fourier des distributions périodiques.
1.3.1 Convergence L2
On rappelle que le produit scalaire dans L2 ([−π, π], C) est défini par
Z π
(u, v)L2 =
uv.
−π
On reconnaı̂t alors dans la formule définissant les séries de Fourier un développement sur une base
hilbertienne : en définissant les polynômes trigonométriques élémentaires en ∈ L2 ([−π, π], C) par
1
en (x) = √ einx ,
2π
on a, pour tout u ∈ L2 ([−π, π], C),
cn (u) = (u, en )L2 ,
X
Su =
cn (u)en .
n∈Z
On peut alors prouver
Théorème 1.11. La famille (en )n∈Z forme une base hilbertienne de L2 ([−π, π], C).
Exercice 1.6 Prouver le Théorème 1.11.
(i) Montrer que (em , en )L2 = δnm .
(ii) Montrer que si u ∈ L2 ([−π, π], C) vérifie (u, en )L2 = 0 pour tout n ∈ Z, alors u = 0.
P
(iii) Montrer que, si u ∈ L2 ([−π, π], C), alors
n∈Z (u, en )en converge vers une limite v ∈
L2 ([−π, π], C), puis que u = v. Conclure.
Correction.
(i) On calcule
(en , em )L2
1
=
2π
Z
π
ei(m−n)x dx.
−π
Si n = m, alors (en , en )L2 = 1. Sinon,
(em , en )L2 =
î
óπ
1
ei(m−n)x
= 0.
−π
2πi(m − n)
1.3 Séries de Fourier
11
(ii) Comme L2 ([−π, π], C) ⊂ L1 ([−π, π], C) par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, si u vérifie
(u, en )L2 = 0 pour tout n ∈ Z, alors la fonction u dans L1 a tous ses coefficients de Fourier
nuls. Par le Théorème 1.10, on en déduit que u = 0.
P
(iii) On sait par le Théorème 1.3 que la série n∈Z (u, en )L2 en converge vers une limite v dans
L2 ([−π, π], C). On a ensuite (u − v, en ) = 0 pour tout n ∈ Z par le même raisonnement que
dans le point (iii) de l’Exercice 1.2, ce qui montre que u = v.
On a alors comme corollaire immédiat de la théorie générale des bases hilbertiennes le résultat
suivant
Corollaire 1.12. Soit u ∈ L2 ([−π, π], C). Alors la série de Fourier Su converge vers u dans L2 :
X
X
|cn (u)|2 .
u=
cn (u)en ,
et kuk2L2 =
n∈Z
n∈Z
1.3.2 Convergence ponctuelle
On sait désormais que la série de Fourier d’une fonction L2 converge dans L2 . Rappelons que
la convergence dans L2 est une convergence en moyenne quadratique, assez faible, qui n’implique
par exemple pas la convergence presque partout, mais seulement la convergence presque partout à
extraction près. Cette convergence presque partout a bien lieu, mais c’est un résultat hautement
non trivial qui n’a été prouvé qu’en 1966. La continuité ne suffit pas à la convergence presque
partout, et il existe des fonctions non continues qui ont quand même une série de Fourier qui
converge presque partout. Il existe de nombreux théorèmes de convergence, dans divers sens et
avec différentes hypothèses. L’un des plus simples est le suivant :
Théorème 1.13. Soit u de classe C 1 par morceaux sur [−π, π]. Alors la série de Fourier de u
converge ponctuellement vers
Å
ã
1
lim u(t) + lim+ u(t) .
ũ(x) =
2 t→x−
t→x
Exercice 1.7 Montrer le Théorème 1.13 dans le cas où u est la restriction à [−π, π] d’une fonction
C 2 (R, C) et périodique. On utilisera la Proposition 1.9 pour montrer la convergence normale de la
série de Fourier.
Correction. La Proposition 1.9 montre que, pour n 6= 0,
|cn (u)| 6 √
1
ku00 kL1 .
2π|n|2
La série Su converge donc normalement dans C 0 (donc ponctuellement) vers un v continu. Or Su
converge aussi vers u dans L2 , d’où v = u.
Exercice 1.8 (Phénomène de Gibbs) L’objectif de cet exercice est d’étudier l’effet d’une discontinuité sur les séries de Fourier, illustré en Figure 1.1. Soit la fonction u définie sur [−π, π]
par u(x) = −1 quand x < 0, et u(x) = 1 quand x > 0.
(i) Calculer les coefficients de Fourier de u, et montrer que la série de Fourier partielle à
l’ordre N
1 X
SN (x) = √
cn (u)einx
2π |n|6N
peut se réécrire, pour N pair (le calcul pour N impair étant similaire),
Å
ã
4
1
1
SN (x) =
sin(x) + sin(3x) + · · · +
sin((N − 1)x) .
π
3
N −1
12
π
(ii) Calculer SN (0), et limN →∞ SN ( N
). On pourra reconnaı̂tre une somme de Riemann impliquant la fonction sinc(t) = sin(t)/t, et utiliser
Z π
π
sinc(t) dt = (1 + 2α),
2
0
où α ≈ 0.09.
(iii) En déduire que la série de Fourier de u ne converge pas uniformément, et interpréter la
Figure 1.1.
Correction.
(i) On calcule
1
cn (u) = √
2π
Z
π
u(x)e−inx dx
−π
å
ÇZ π
Z 0
1
e−inx dx −
=√
e−inx dx
2π
−π
0
2
n
=√
[1 − (−1) ] ,
2πin
pour n 6= 0, et 0 pour n = 0. On vérifie que, comme u est réelle et impaire, les harmoniques paires sont nuls, et les harmoniques impaires sont appariées via c−n (u) = cn (u). En
regroupant les termes, on obtient la formule demandée.
(ii) On a SN (0) = 0, en accord avec le Théorème 1.13. On calcule ensuite
Å ã
π
π
4
π
1
1
π
SN
=
sin
+ sin 3
+ ··· +
sin (N − 1)
N
π
N
3
N
N −1
N
π
π
4 π =
sinc
+ sinc 3
+ · · · + sinc (N − 1)
N
N
N
N
Le calcul pour N impair est similaire. On reconnaı̂t la somme de Riemann de pas h =
la fonction sinc entre 0 et π. Comme la fonction sinc est continue, on en déduit que
Z
π
2 π
lim SN
=
sinc(t)dt = 1 + 2α.
N →∞
N
π 0
2π
N
de
(iii) La discontinuité en 0 force la série de Fourier partielle SN à dépasser sa valeur 1 en π/N .
L’amplitude de ce dépassement est égale à α fois l’amplitude de la discontinuité (ici 2). C’est
ce que l’on voit sur la Figure 1.1 : les oscillations se rapprochent certes de la discontinuité
(la série converge ponctuellement, par le Théorème 1.13), mais l’amplitude des oscillations
ne diminue pas (et la série ne converge pas uniformément).
1.4 Applications des séries de Fourier
On applique maintenant la théorie des séries de Fourier à la résolution d’équations aux dérivées
partielles sur un domaine borné, et on donne un aperçu des applications en traitement du signal,
qui seront développées plus avant au Chapitre 5.
1.4.1 Applications aux équations aux dérivées partielles
Du point de vue mathématique, les séries de Fourier permettent de quantifier le contenu en
fréquence d’une fonction périodique. La décomposition en série de Fourier permet le calcul de la
dérivée d’une fonction par une simple multiplication sur ses coefficients de Fourier, ce qui la rend
précieuse pour la résolution de nombreuses équations aux dérivées partielles (EDP) : c’est d’ailleurs
la motivation originelle de l’introduction de ces séries par Joseph Fourier (Théorie analytique de
la chaleur, 1807).
13
Fig. 1.1. Série de Fourier de la fonction créneau, avec 50 et 250 harmoniques représentées. Le phénomène
de Gibbs est le dépassement de la série de Fourier à un point de discontinuité de α ≈ 9% de la valeur du
saut, qui ne décroı̂t pas en amplitude mais se rapproche du point de discontinuité. Il illustre la convergence
simple mais pas uniforme de la série de Fourier d’une fonction avec un saut.
Exercice 1.9 (Équation des ondes) On considère une corde vibrante entre deux extrémités
fixées à 0 et à 2π. Le déplacement de la corde u(x, t) satisfait l’équation des ondes
∂2u
∂2u
=
,
2
∂t
∂x2
u(−π, t) = u(π, t) = 0,
∂u
(x, 0) = 0,
u(x, 0) = u0 (x),
∂t
où la condition initiale u0 (x) est la restriction à [−π, π] d’une fonction C ∞ périodique satisfaisant
u0 (−π) = u0 (π) = 0.
(i) En décomposant u(·, t) en série de Fourier, donner une solution formelle (sans se soucier de
la validité des manipulations effectuées) de l’équation des ondes.
(ii) Montrer que la série obtenue est bien convergente, et que la solution u(x, t) obtenue par cette
méthode est bien solution de l’équation.
Correction.
(i) Formellement, on décompose u(·, t) en série de Fourier :
X
u(x, t) =
un (t)en (x).
n∈Z
En dérivant terme à terme, on obtient que la composante de Fourier un (t) satisfait l’équation
différentielle
ün (t) = −n2 un (t),
d’où, en utilisant les conditions initiales fournies,
14
un (t) = u0,n cos(nt),
où u0,n est la n-ième composante de Fourier de u0 . On en déduit la solution
1 X
u(x, t) = √
u0,n cos(nt)einx .
2π n∈Z
(ii) Comme u0 est régulière, pour n 6= 0, par la Proposition 1.9,
√
(4)
|u0,n | 6 2π|n|−4 ku0 kL1 .
(1.7)
(1.8)
En appliquant les théorèmes de continuité et dérivation des séries justifiés par l’estimée (1.8),
on voit que u défini par (1.7) est de classe C 2 par rapport à x et t, et que
1 X 2
∂2u
∂2u
inx
√
(x,
t)
=
−
(x, t).
n
u
cos(nt)
e
=
0,n
∂t2
∂x2
2π
n∈Z
On montre que u vérifie les conditions initiales et aux limites par un argument d’échange de
limite et de sommes, toujours en utilisant l’estimée (1.8).
Exercice 1.10 (Équation de la chaleur) On considère l’évolution du champ de température
T (x, t) dans un barreau unidimensionel maintenu à température fixe T0 en −π et π. Par linéarité,
la différence de température u(x, t) = T (x, t) − T0 satisfait l’équation de la chaleur
∂u
∂2u
=
,
∂t
∂x2
u(−π, t) = u(π, t) = 0,
u(x, 0) = u0 (x),
où la condition initiale u0 (x) est la restriction à [−π, π] d’une fonction C ∞ périodique satisfaisant
u0 (−π) = u0 (π) = 0.
(i) Reprendre l’étude de l’exercice précédent.
(ii) Montrer que, même si u0 n’est que continue, la série de Fourier de u(x, t) converge pour
t > 0.
(iii) Que se passe-t-il si on veut retrouver l’état du système à l’instant t = 0 connaissant l’état à
t = T > 0?
Correction.
(i) On procède de même que plus haut, avec cette fois-ci l’équation différentielle
u̇n = −n2 un ,
qui mène à la solution
2
1 X
u0,n e−|n| t einx .
u(x, t) = √
2π n∈Z
(1.9)
La fonction u satisfait l’équation de la chaleur et les conditions aux limites et initiales par le
même argument que précédemment.
(ii) Si u0 n’est que continu, alors on n’a pas nécessairement convergence de la série de Fourier à
t = 0. Pour t > 0 fixé, cependant, on a
√
2
|un (t)| 6 2πe−|n| t ku0 kL1 ,
ce qui montre que la série définissant u converge normalement, et satisfait à l’équation de la
chaleur.
(iii) Même si la fonction u(·, T ) est C ∞ , les coefficients de Fourier sont amplifiés par un facteur
2
e|n| (T −t) et la série de Fourier de u peut ne pas converger au temps t = 0 : l’équation de la
chaleur rétrograde est mal posée.
15
1.4.2 Premières applications à l’analyse en fréquences
L’analyse en fréquences permet une compréhension fine de nombreux phénomènes physiques.
Par exemple, l’Exercice 1.9 montre que les vibrations d’une corde idéalisée ne se fait que pour
des fréquences discrètes, multiples d’une fréquence fondamentale liée à la longueur, la masse et
la tension de la corde. Ces fréquences plus hautes sont appelées harmoniques. La même note de
musique jouée par différents instruments aura la même fréquence fondamentale, mais l’amplitude
des harmoniques leur donne le timbre qui les distingue à notre oreille (voir Figure 1.2).
L’analyse en fréquences permet la manipulation digitale des sons (égaliseurs, distortion d’une
guitare électrique, auto-tune...) et leur compression. Ainsi, le format MP3 se fonde sur le fait que
l’oreille humaine distingue plus ou moins bien certaines fréquences pour réduire la précision et
donc la taille de stockage sans trop sacrifier en qualité auditive.
Le même principe est à l’oeuvre dans l’analyse d’images, qui peuvent être vues comme des
signaux bidimensionnels et décomposées en séries de Fourier bidimensionnelles : une fonction de
[−π, π] × [−π, π] peut être représentée sous la forme
1 X
cnm (u)ei(nx+my) ,
2π
n,m∈Z
Z π Z π
1
cnm (u) =
u(x, y)e−i(nx+my) dxdy.
2π −π −π
u(x, y) =
avec la même théorie de convergence L2 que dans le cas unidimensionnel. Le format JPEG par
exemple découpe une image en blocs de 8 × 8 pixels, et applique une compression similaire au
MP3.
Ces développements technologiques sont en grande partie rendus possible par le calcul efficace
de transformées de Fourier. Si une implémentation naı̈ve du calcul des coefficients de Fourier d’une
fonction discrétisée en N points est de complexité O(N 2 ), une implémentation récursive réduit
cette complexité à O(N log N ) : c’est la transformée de Fourier rapide (FFT), que l’on étudiera
au Chapitre 5.
16
1.0
Amplitude (arb.)
0.5
0.0
Flute
Piano
Guitare
Violon
0.5
1.00.0
0.5
1.0
1.5 2.0 2.5
Temps (ms)
10 0
Amplitude (arb.)
Amplitude (arb.)
10 -3
Piano
10 -2
10 -3
500
1000
1500
Frequence (Hz)
10 0
2000
10 -40
2500
500
1000
1500
Frequence (Hz)
10 0
Guitare
2000
2500
Violon
10 -1
Amplitude (arb.)
10 -1
Amplitude (arb.)
4.0
10 -1
10 -2
10 -2
10 -3
10 -40
3.5
10 0
Flute
10 -1
10 -40
3.0
10 -2
10 -3
500
1000
1500
Frequence (Hz)
2000
2500
10 -40
500
1000
1500
Frequence (Hz)
2000
2500
Fig. 1.2. Enregistrement par un microphone d’ordinateur de la même note (un do à 523 Hz) jouée
par une flûte, un piano, une guitare et un violon, et spectres correspondants. Le signal (en haut) des
instruments est à peu près périodique avec une période d’environ 2 ms, ce qui correspond à la fréquence
de 523 Hz du do. On calcule les coefficients de Fourier sur une fenêtre de temps de largeur égale au
temps d’acquisition, de l’ordre de la seconde. Ce temps étant bien supérieur à la période caractéristique
d’oscillation du signal, les coefficients de Fourier forment un quasi-continuum (nous préciserons ceci lors
de l’étude de la transformée de Fourier). L’amplitude |cn (u)|2 des coefficients de Fourier (en bas) font
apparaı̂tre des pics aux fréquences multiples de 523 Hz. La forme du spectre est cependant différente pour
les différents instruments. Diverses imperfections (anharmonicité des instruments, amortissement, qualité
des micros, bruits ambiants, temps d’enregistrement fini, non-uniformité du volume...) font apparaı̂tre des
défauts, notamment des bruits parasites à basse fréquence et des pics de largeur non-nulle.
17
Fig. 1.3. Artefacts de compression JPEG montrant le phénomène de Gibbs : les transitions brutales de
couleur produisent des oscillations parasites dans les blocs 8 × 8.
2
Transformée de Fourier dans L1
2.1
2.2
2.3
2.4
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés algébriques de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
20
22
23
Dans ce chapitre, nous donnons la définition de la transformée de Fourier dans L1 , ainsi que
quelques unes de ses propriétés. L’espace L1 n’est pas stable par transformée de Fourier, et en
conséquence de nombreux problèmes techniques surviennent. Nous verrons aux chapitres suivants
d’autres espaces fonctionnels, qui eux sont invariants par transformée de Fourier et fournissent un
cadre fonctionnel plus agréable.
2.1 Définition
Commençons par définir la transformée de Fourier dans L1 , et donner quelques unes de ses
propriétés.
Définition 2.1 (Transformée de Fourier des fonctions intégrables). Soit f ∈ L1 (Rn ). On
appelle transformée de Fourier de f la fonction notée fˆ définie en tout point ξ ∈ Rn par
Z
fˆ(ξ) =
f (x) e−iξ·x dx.
(2.1)
Rn
Remarque 2.2 (Conventions de normalisation). Il existe différentes conventions de normalisation : avec ou sans un facteur de normalisation, avec ou sans un facteur 2π dans l’exponentielle.
La convention que nous utilisons, contrairement à celle utilisée pour les séries de Fourier au Chapitre 1, n’a pas de facteur normalisant dans la définition de fˆ : il faudra en tenir compte dans la
définition de la transformée de Fourier inverse.
Proposition 2.3. Soit f ∈ L1 (Rn ). Alors fˆ est continue, bornée et fˆ ∞ 6 kf kL1 .
L
Correction. Pour tout ξ ∈ Rn ,
Z
ˆ f (ξ) = Rn
Z
f (x) e−iξ·x dx 6
|f (x)| dx = kf kL1 .
Rn
La continuité de la fonction ξ 7→ fˆ(ξ) repose sur la continuité de l’application ξ 7→ f (x) e−iξ·x à x
fixé, associée à un théorème de continuité des fonctions définies par une intégrale, justifié par la
majoration précédente.
2 Transformée de Fourier dans L1
20
Corollaire 2.4. La transformée de Fourier F : f 7→ fˆ est une application linéaire continue de
L1 (Rn ) sur L∞ (Rn ) et
|||F |||L(L1 (Rn ),L∞ (Rn )) = 1.
Exercice 2.2 Prouver le Corollaire 2.4. Pour le cas d’égalité, on pourra montrer que kf kL1 = fˆ(0)
si f ∈ L1 est une fonction positive.
Correction. Il est clair que l’application F est linéaire. On déduit en outre de la première assertion
de la Proposition 2.3 que F envoie L1 (Rn ) dans L∞ (Rn ) et que pour tout f ∈ L1 (Rn ),
ˆ
f ∞ 6 kf kL1 .
L
Ceci montre que F est continue de L1 (Rn ) dans L∞ (Rn ), et |||F |||L(L1 (Rn ),L∞ (Rn )) 6 1.
Pour voir que la norme d’opérateur de F est exactement égale à 1, il suffit de remarquer que
pour tout f ∈ L1 (Rn ) avec f (x) > 0 pour presque tout x ∈ Rn ,
Z
kf kL1 =
f (x) dx = (F f )(0) 6 fˆ ∞ ,
L
Rn
ce qui montre l’inégalité inverse |||F |||L(L1 (Rn ),L∞ (Rn )) > 1.
2.2 Propriétés algébriques de la transformée de Fourier
La transformée de Fourier se comporte de façon simple par rapport aux dilatations, translations
ou produits tensoriels.
Théorème 2.5. Soit f ∈ L1 (Rn ).
(i) pour a ∈ Rn , on note τa la translation de vecteur a, i.e. τa φ(x) = φ(x − a). Alors,
−iξ·a ˆ
τd
f,
af = e
et
ia·x f = τ fˆ ;
e÷
a
(ii) pour la conjugaison complexe,
”
f (ξ) = fˆ (−ξ) ;
(iii) pour λ ∈ R∗ , la transformée de Fourier de fλ (x) = f (λx) est la fonction
Å ã
1 ˆ ξ
fˆλ : ξ 7→
f
;
|λ|n
λ
(2.2)
(iv) Si f est un produit tensoriel f (x) = f1 (x1 ) f2 (x2 ) avec x = (x1 , x2 ), xi ∈ Rni , n = n1 + n2 ,
et fi ∈ L1 (Rni ), alors
fˆ(ξ) = fˆ1 (ξ1 ) fˆ2 (ξ2 ).
(2.3)
Notons que le choix λ = −1 dans la troisième propriété permet de discuter la parité de la transformée de Fourier de fonctions paires ou impaires, la transformée de Fourier ayant la même parité
que la fonction.
Un des intérêts majeurs de la transformée de Fourier est qu’elle transforme les dérivées en
simples opérations algébriques, et ainsi de simplifier la résolution d’équations différentielles.
2.2 Propriétés algébriques de la transformée de Fourier
Théorème 2.6 (Transformée de Fourier et dérivation). Si f ∈ L1 (Rn ) et
21
∂f
∈ L1 (Rn ),
∂xj
alors
‘
∂f
(ξ) = i ξj fˆ(ξ).
∂xj
Si f ∈ L1 (Rn ) et x 7→ xj f (x) ∈ L1 (Rn ) pour tout 1 6 j 6 n, alors F f ∈ C1 (Rn ) et
’
ˆ
(x
j f )(ξ) = i ∂ξj f (ξ).
Exercice 2.4 Prouver le Théorème 2.6. Pour le premier point, on admettra que D(Rn ) est dense
dans l’espace W 1,1 (Rn ) des fonctions L1 (Rn ) à dérivée L1 (Rn ) (voir par exemple [1, Section IX]).
Correction. La preuve de la seconde assertion repose sur le théorème de dérivation des intégrales à
paramètres. Pour la première assertion, on procède à nouveau par densité. Le résultat est immédiat
pour une fonction régulière à support compact, grâce à une intégration par parties. Le résultat s’ensuit par densité des fonctions C ∞ (Rn ) à support compact dans l’ensemble des fonctions intégrables
de dérivées intégrables.
Un corollaire immédiat de ces propriétés est que plus la fonction est régulière, plus sa transformée
de Fourier décroı̂t vite, et vice-versa. Cette dualité est fondamentale pour la théorie de Fourier, et
il est utile de l’avoir à l’esprit pour interpréter les résultats de ce cours.
Pour énoncer le résultat suivant, on rappelle qu’un multi-indice est un élément α = (α1 , . . . , αn ) ∈
Nn . Pour des multi-indices α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn et β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Nn , on définit
αn
β1
βn
1 α2
|α| = α1 +· · ·+αn , et les notations xβ et ∂ β signifient respectivement xα
1 x2 · · · xn et ∂x1 · · · ∂xn .
Par ailleurs, α! = α1 ! . . . αn ! et α 6 β si et seulement si αi 6 βi pour tout 1 6 i 6 n.
Corollaire 2.7. Si f est de classe C p et que ∂ α f ∈ L1 (Rn ) pour tout multi-indice |α| 6 p, alors
il existe C > 0 tel que, pour tout ξ ∈ Rn ,
ˆ f (ξ) 6 C(1 + |ξ|)−p .
Réciproquement, si xα f ∈ L1 (Rn ) pour tout multi-indice |α| 6 p, alors fˆ est de classe C p .
Exercice 2.5 Prouver le Corollaire 2.7 en dimension 1.
Exercice 2.6 Montrer que, si f ∈ L1 (Rn ), alors fˆ tend vers 0 à l’infini. On pourra procéder par
densité.
Correction. Si φ ∈ D(Rn ) (l’espace des fonctions régulières à support compact), on sait que φ̂ tend
vers 0 à l’infini par le Corollaire 2.7.
Ensuite, par densité de D(Rn ) dans L1 (Rn ) (pour la norme L1 ), on peut trouver, pour tout
f ∈ L1 (Rn ), une suite (φk )k∈N de fonctions de D(Rn ) qui converge en norme L1 vers f . En utilisant
la Proposition 2.3, il résulte que
ˆ
f − φ̂k ∞ 6 kf − φk kL1 −−−−−→ 0.
L
k→+∞
Cela signifie donc que la suite de fonctions (φ̂k )k∈N converge uniformément sur Rn vers la fonction fˆ. Comme chaque φ̂k tend vers 0 à l’infini, il en est de même pour fˆ.
La transformée de Fourier transforme les convolutions en produit et vice-versa, ce qui la rend
particulièrement utile en automatique par exemple. On rappelle que la convolution de deux fonctions f et g est définie par
Z
Z
(f ? g) (x) =
f (x − y) g(y) dy =
f (y) g(x − y) dy.
Rn
Rn
22
Théorème 2.8 (Transformée de Fourier et convolution). Si f ∈ L1 (Rn ) et g ∈ L1 (Rn ),
alors f ? g ∈ L1 (Rn ) et
f‘
? g = fˆ ĝ.
Correction. Posons h = f ? g. Alors
Z
f (y) g(x − y) dy
h(x) =
Rn
est définie presque partout et de classe L1 par le théorème de Fubini. En effet, posons F (x, y) =
f (y) g(x − y). Alors F est mesurable et
Z Z
ÅZ
ã ÅZ
ã
|F (x, y)| dx dy =
|f |
|g| < +∞,
Rn
Rn
Rn
Rn
en effectuant d’abord l’intégration en x puis celle en y (ce qui est légitime car on travaille avec
des fonctions positives). On vérifie ensuite facilement que
khkL1 (Rn ) 6 kF kL1 (Rn ×Rn ) .
On peut ainsi considérer la transformée de Fourier de h. Par le théorème de Fubini toujours, et
avec le changement de variable z = x − y,
Z ÅZ
Z Z
ã
−ix·ξ
ĥ(ξ) =
f (y) g(x − y) dy e
dx =
f (y) g(x − y) e−ix·ξ dx dy
Rn
Rn
Rn Rn
Z Z
=
f (y) e−iy·ξ g(x − y) e−i(x−y)·ξ dx dy
n
n
ZR R
ÅZ
ã
=
f (y) e−iy·ξ
g(x − y) e−i(x−y)·ξ dx dy
Rn
Rn
ÅZ
ã ÅZ
ã
−iy·ξ
−iz·ξ
=
f (y) e
dy
g(z) e
dz
Rn
Rn
= fˆ(ξ) ĝ(ξ),
qui est bien la relation annoncée.
2.3 Exemples
Commençons par un résultat très utile pour la suite.
Proposition 2.9. Soit α > 0. On a la relation
◊
e−α|x|2 (ξ) =
π n/2
α
2
e−|ξ|
/4α
.
Exercice 2.8 Prouver la Proposition 2.9. On commencera par le cas uni-dimensionnel, en
établissant une équation différentielle du premier ordre sur fˆ(ξ).
Correction. Commençons par prouver ce résultat en dimension 1. La transformée de Fourier
Z
2
fˆ(ξ) =
e−α x e−ixξ dx
R
1
∞
est de classe C (et même C ), et une intégration par parties montre que cette fonction est solution
sur R de l’équation différentielle du premier ordre
2.4 Transformée de Fourier inverse
23
ξ ˆ
fˆ0 (ξ) = −
f (ξ).
2α
2
On en déduit donc que fˆ(ξ) = C e−ξ /4α , où C est une constante dont on obtient la valeur par
…
Z
π
−αx2
ˆ
.
f (0) = C =
e
dx =
α
R
Ce résultat est étendu à la dimension n > 2 en écrivant
2
e−α|x| =
n
Y
2
e−αxj ,
j=1
et en utilisant le résultat de tensorisation (2.3).
On déduit de la proposition précédente que la transformée de Fourier de la gaussienne
Å
ã
|x|2
g(x) = C exp − 2
2σ
de variance σ 2 est la gaussienne
ĝ(ξ) = 2πσ 2
n/2
ã
Å
σ 2 |ξ|2
C exp −
2
de variance σ −2 . La transformée de Fourier d’une gaussienne très piquée sera donc très plate, et
réciproquement.
A titre d’entraı̂nement, nous vous recommandons de calculer quelques transformées de Fourier
ci-dessous. On s’attachera sur chacune de ces fonctions à observer le rapport entre régularité et
décroissance des coefficients de Fourier montré dans le Corollaire 2.7.
Exercice 2.9 (Fonction caractéristique) Soit R > 0. Montrer que la transformée de Fourier
de l’application
®
1 si |x| 6 R,
x ∈ R 7→
0 si |x| > R,
est la fonction ξ 7→
2 sin(Rξ)
.
ξ
Exercice 2.10 (Fonction chapeau) Soit R > 0. Montrer que la transformée de Fourier de
l’application

|x|

1−
si |x| 6 R,
x ∈ R 7→
R
0
si |x| > R,
ã2
Å
sin(Rξ/2)
est la fonction ξ 7→ R
.
Rξ/2
Exercice 2.11 Soit α > 0. Montrer que la transformée de Fourier de l’application x ∈ R 7→ e−α|x|
2α
est la fonction ξ 7→ 2
.
α + ξ2
Définition 2.10 (Transformée de Fourier inverse). Soit f ∈ L1 (Rn ). On note fˇ la fonction
définie en tout x ∈ Rn par
Z
1
fˇ(x) =
f (ξ) eiξ·x dξ.
(2.4)
(2π)n Rn
24
Notons que la transformation F −1 : f 7→ fˇ est très similaire à la transformation F définie
par (2.1), à deux changements près : le signe dans l’exponentielle, et le facteur de normalisation
(2π)−n .
Nous pouvons énonçer maintenant le théorème d’inversion de Fourier dans L1 .
Théorème 2.11 (Transformée de Fourier inverse). Soit f ∈ L1 (Rn ) telle que fˆ soit aussi
dans L1 (Rn ). Alors
ˇˆ
f = f,
f = fˆˇ
(2.5)
ces égalités étant entendues en tant que fonctions de L1 (Rn ).
L’espace des fonctions L1 dont la transformée de Fourier est aussi dans L1 est donc stable par
transformation de Fourier et la transformation F −1 est l’inverse de la transformation de Fourier
F sur cet espace. Cet espace n’est pas vide car il contient par exemple les gaussiennes. Notons
que la formule (2.5) s’écrit aussi
Z
1
fˆ(ξ) eiξ·x dξ.
f (x) =
(2π)n Rn
Exercice 2.12 Prouver le théorème 2.11.
(i) Soit ε > 0. Si φ ∈ D, on définit la transformée de Fourier inverse régularisée
Z
1
φε (x) =
χ(εξ) φ̂(ξ) eix·ξ dξ
(2π)n Rn
2
où la fonction χ(x) = e−|x| /2 est une gaussienne de variance 1.
ˇ
ˇ
(a) Montrer que φε et φ̂ sont continues, et que φε converge simplement vers φ̂.
(b) Montrer que φε converge simplement vers φ et conclure.
(ii) Montrer la propriété dans le cas général en introduisant fε comme précédemment, et en
montrant que fε → f dans L1 . On pourra approcher f par une fonction φ ∈ D(Rn ).
Remarque 2.12. La difficulté pour prouver ce théorème, même pour des fonctions régulières, est
que l’égalité formelle
Z ÅZ
ã
1
iξ·(x−y)
f (x) =
f (y) e
dy dξ
(2π)n Rn Rn
ne permet pas un calcul direct par le théorème de Fubini, parce que la fonction (y, ξ) →
f (y) eiξ·(x−y) n’est pas intégrable sur R2n . Le schéma de preuve ci-dessus consiste à tronquer
l’intégration en ξ à une région de taille 1/ε en multipliant l’intégrande par χ(εξ), ce qui permet l’utilisation Rdu théorème de Fubini. Il ne reste plus qu’à montrer que, dans la limite ε → 0,
la fonction y 7→ eiξ·(x−y) χ(εξ) dξ tend vers (2π)n δx au sens des distributions.
Correction. On voit déjà qu’il suffit de montrer l’une des deux égalités de (2.4), par exemple la
première (l’autre s’en déduit en remplaçant f (x) par f (−x)).
(i) Commençons par montrer le résultat pour φ ∈ D(Rn ) donnée.
ˇ
(a) Comme φ ∈ D, φ̂ est intégrable et C ∞ par le Corollaire 2.7. La continuité de φε et φ̂
suit par le théorème de continuité d’une intégrale à paramètres. La suite de fonctions
ξ 7→ χ(εξ) φ̂(ξ) e−ix·ξ converge ponctuellement vers φ̂(ξ)e−iξ·x , et est dominée en module
par la fonction intégrable |φ̂|, ce qui montre par le théorème de convergence dominée que
ˇ
φε → φ̂ simplement.
25
(b) Montrons maintenant que φε (x) → φ(x). Comme la fonction (ξ, y) 7→ ei(x−y)ξ χ(εξ) φ(y)
est dans L1 (Rn ×Rn ), une application du théorème de Fubini du même type qu’à l’exercice
2.7 donne
Z
ÅZ
ã
1
−iy·ξ
χ(εξ)
φ(y)
e
dy
eix·ξ dξ
φε (x) =
(2π)n Rn
Rn
Z
ã
ÅZ
1
i(x−y)·ξ
χ(εξ) e
dξ dy
φ(y)
=
(2π)n Rn
Rn
Z
y − x
1
=
φ(y) χ̂
dy,
n
(2πε) Rn
ε
où on a utilisé la propriété (2.2). Avec le changement de variables u = (x − y)/ε,
Z
Z
1
1
φε (x) =
φ(x + εu) χ̂(u) du −→ φ(x)
χ̂(u) du
(2.6)
(2π)n Rn
(2π)n Rn
lorsque ε → 0, à nouveau par une application du théorème de convergence dominée. La
2
Proposition 2.9 montre que χ̂(u) = (2π)n/2 e−|u| /2 , et donc
Z
Z
2
1
1
χ̂(u)
du
=
e−|u| /2 du = 1.
n
n/2
(2π) Rn
(2π)
Rn
Ainsi, on a bien la convergence simple φε (x) → φ(x), ce qui prouve que, pour tout
ˇ
x ∈ Rn , φ(x) = φ̂(x).
(ii) Toujours dans le cadre φ ∈ D précédent, on peut également montrer la convergence de φε
vers φ dans L1 (Rn ) en remarquant que
Z Z
2
1
|φ(x + εu) − φ(x)| e−|u| /2 dx du
kφε − φkL1 6
n/2
(2π)
n
n
ZR R
2
1
=
dφ (εu) e−|u| /2 du,
(2π)n/2 Rn
en application du théorème de Fubini, et où on a introduit dφ (v) = kφ(· + v) − φkL1 . On
note que 0 6 dφ (v) 6 2kφkL1 et que dφ (η) → 0 lorsque η → 0 (par un théorème de
convergence dominée). On en déduit, à nouveau par un théorème de convergence dominée,
que kφε − φkL1 → 0 lorsque ε → 0.
Pour conclure dans le cas général d’une fonction f ∈ L1 (Rn ) telle que fˆ ∈ L1 (Rn ), on procède
par densité, en définissant toujours
Z
1
fε (x) =
χ(εξ) fˆ(ξ) eix·ξ dξ
(2π)n Rn
ˇ
La convergence fε → fˆ intervient par exemple au sens des distributions. En effet, en appliquant un théorème de convergence dominée, on obtient
Z
Z
ˇ
fε ϕ →
fˆϕ
Rn
Rn
pour toute fonction ϕ ∈ D(Rn ).
On montre maintenant que fε → f dans L1 . Pour montrer cela, soit η > 0 arbitrairement
petit. On choisit φ ∈ D(Rn ) à support compact telle que kf − φkL1 6 η/3. Alors,
kfε − f kL1 6 kfε − φε kL1 + kφε − φkL1 + kφ − f kL1 .
Le second terme tend vers 0 lorsque ε → 0, et est donc plus petit que η/3 si ε 6 εη . Pour le
premier terme, on écrit
26
Z Z
1
|f (x + εu) − φ(x + εu)| χ̂(u) du dx
|fε (x) − φε (x)| dx 6
(2π)n Rn Rn
Rn
Z
η
kf − φkL1
χ̂(u) du = kf − φkL1 6
6
(2π)n
3
Rn
Z
en appliquant le théorème de Fubini. Ainsi, kfε − f kL1 6 η si ε 6 εη , ce qui montre bien la
convergence de fε vers f dans L1 (Rn ). A fortiori, on a la convergence au sens des distributions.
L’unicité de la limite au sens des distributions montre que f = fˆˇ au sens des distributions,
et en fait dans L1 car f ∈ L1 .
3
Transformée de Fourier des distributions
3.1 Fonctions lisses à décroissance rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 L’espace S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Transformée de Fourier dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Convergence et dérivation dans S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Injection de Lp dans S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Transformée de Fourier dans S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
29
30
30
32
34
34
On développe la théorie de la transformée de Fourier de distributions, qu’on cherche à définir
par dualité. Comme D(R) n’est pas stable par la transformée de Fourier, on ne peut pas définir la
transformée de Fourier d’une distribution générale. On définit donc l’espace de Schwartz, constitué
des fonctions régulières qui décroissent à l’infini plus vite que tout polynôme. Cet espace est plus
grand que D(R) et stable par la transformée de Fourier, ce qui nous permettra de définir la
transformée de Fourier d’un sous-ensemble des distributions, les distributions tempérées.
Exercice 3.1 Le théorème de Paley-Wiener (voir par exemple [4]) montre que la transformée de
Fourier d’une fonction L1 (R) à support compact est en fait analytique sur R (on rappelle que f
est analytique sur R si pour tout x0 ∈ R, il existe un voisinage de x0 dans lequel f est égale à son
développement en série entière en x0 ). En supposant ce théorème connu, montrer que D(R) n’est
pas stable par la transformée de Fourier. On pourra considérer f ∈ D(R), supposer que fˆ est à
support compact, et montrer que la fonction fˆ est nulle en la développant en série entière à une
extrémité de son support.
Correction. Soit g une fonction non-nulle, analytique sur R et à support compact. Soit [a, b] son
support, avec −∞ < a < b < ∞. Comme g(x) = 0 pour x > b, on a g (p) (b) = 0 pour tout p > 0
et donc, comme g est analytique, g est nulle dans un voisinage de b. Ce n’est pas possible par la
définition du support. Par contradiction, ceci montre que la transformée de Fourier d’une fonction
D(R) ne peut pas être à support compact à moins d’être nulle.
3.1 Fonctions lisses à décroissance rapide
3.1.1 L’espace S
Définition 3.1 (Espace de Schwartz). On dit qu’une fonction φ : Rn → R de classe C∞ est à
décroissance rapide si pour tout p > 0,
Np (φ) = sup sup kxα ∂ β φkL∞ < +∞.
|α|6p |β|6p
28
3 Transformée de Fourier des distributions
On note S (Rn ) l’espace vectoriel des fonctions C ∞ à décroissance rapide.
Une conséquence immédiate de cette définition est que S (Rn ) est stable par multiplication par
des polynômes et par dérivation. L’utilité de cet espace par rapport à D est qu’il traite sur
un pied d’égalité les propriétés de régularité et de décroissance à l’infini, qui sont duales par
le Théorème 2.6. Il a ainsi plus de chance d’être stable par la transformée de Fourier.
√
2
Exercice 3.2 Vérifier que les gaussiennes sont dans S (Rn ). Les fonctions e−|x| et e− 1+|x|
n
sont-elles dans S (R ) ?
On définit la convergence dans S dans un sens fort, similaire à la définition de la convergence
dans D.
Définition 3.2 (Convergence dans S ). On dit qu’une suite (φn )n∈N de fonctions de S (Rn )
converge dans S (Rn ) vers φ ∈ S (Rn ) si et seulement si
∀p ∈ N,
Np (φn − φ) −−−−−→ 0.
n→+∞
On a évidemment D(R ) ⊂ S (R ). Mais on a en fait un résultat plus fort.
n
n
Proposition 3.3. L’espace D(Rn ) est dense dans S (Rn ) (pour la topologie associée à S ).
Exercice 3.3 Prouver la Proposition 3.3 dans le cas n = 1. On cherchera à tronquer une fonction
φ ∈ S (Rn ) de sorte qu’elle ait un support compact mais reste régulière.
Correction. Soit φ ∈ S (Rn ) et χ ∈ D(Rn ), à valeurs dans [0, 1], telle que χ(x) = 1 sur la boule
unité B(0, 1). On considère la suite (φk )k∈N∗ définie par
x
φk (x) = φ(x) χ
.
k
Il est clair que pour tout k ∈ N∗ , φk ∈ D(Rn ). Pour tout β ∈ Nn , la formule de Leibniz montre
que
h
x i
x
X Åβ ã 1
β
β
β−γ
γ
∂ (φ − φk )(x) = ∂ φ(x) 1 − χ
−
.
∂
φ(x)
∂
χ
γ k |γ|
k
k
|γ|>1, γ6β
Il existe donc une constante Cα,β < +∞ telle que
C
α β
α,β
x ∂ (φ − φk ) ∞ 6 sup xα ∂ β φ(x) +
L
k
|x|>k
X
α β−γ φ
x ∂
|γ|>1, γ6β
L∞
.
Pour α et β fixés, chacun des deux termes du membre de droite de l’inégalité ci-dessus tend vers
0 lorsque k tend vers +∞. On a donc pour tout α > 0 et β > 0,
α β
x ∂ (φ − φn ) ∞ −→ 0
L
lorsque k → +∞. La suite (φn )n>1 converge donc vers φ dans S (Rn ).
Les fonctions de S sont, par définition, dans L∞ . Elles sont même dans L1 et, par interpolation,
dans tous les Lp , pour 1 6 p 6 ∞.
Théorème 3.4. Il existe une constante Cn telle que, pour tout p ∈ N,
∀φ ∈ S (Rn ),
sup sup xα ∂ β φ 1 6 Cn Np+n+1 (φ).
|α|6p |β|6p
(3.1)
L
Par l’inégalité d’interpolation
kφkpLp 6 kφkLp−1
∞ kφkL1 ,
(3.2)
on a que S (R ) ⊂ L (R ) pour tout 1 6 p 6 +∞, et S (R ) est dense dans L (R ) pour
1 6 p < +∞.
n
p
n
n
p
n
3.1 Fonctions lisses à décroissance rapide
29
Exercice 3.4 Prouver le Théorème 3.4 pour n = 1.
Correction. Pour montrer l’inégalité (3.1), commençons par remarquer que
Z −1
X
I=
1+
|xj |n+1
dx < +∞.
Rn
16j6n
Soit alors p > 0. Pour tout |α| 6 p et |β| 6 p, on a
Ñ
é
X
1
α β n+1
α β
X
|xj |
x ∂ φ(x)
x ∂ φ 1 = 1 +
n+1 L
1
+
|x
|
j
16j6n
1
16j6n
L
é
Ñ
X
1
n+1
α
β
X
6
1
+
|x
|
∂
φ(x)
x
j
n+1 1
+
|x
|
j
16j6n
L∞ 16j6n
L1
6 Cn Np+n+1 (φ),
avec par exemple Cn = (n + 1)I.
Cette inégalité montre que S (Rn ) ⊂ L1 (Rn ), et on a S (Rn ) ⊂ L∞ (Rn ) par définition. Si
φ ∈ S (Rn ), l’inégalité d’interpolation
Z
Z
kφkpLp =
|φ|p 6 kφkp−1
|φ| = kφkLp−1
∞
∞ kφkL1 .
L
Rn
Rn
montre que φ ∈ Lp (Rn ). La densité de S (Rn ) dans Lp (Rn ) pour 1 6 p < +∞ suit par celle de
D(Rn ).
3.1.2 Transformée de Fourier dans S
Toute fonction de S (Rn ) étant intégrable, on peut définir la transformation de Fourier sur
le sous-espace S (Rn ) ⊂ L1 (Rn ), dense dans L1 (Rn ), en restreignant la Définition 2.1 à l’espace S (Rn ). Le point remarquable est que la transformée de Fourier d’une fonction de S (Rn ) est
elle aussi dans S (Rn ).
Théorème 3.5 (Transformée de Fourier dans S ). L’espace S (Rn ) est stable par transformée
de Fourier, et pour tout p ∈ N il existe une constante Cn,p telle que
Ä ä
∀φ ∈ S (Rn ),
Np φ̂ 6 Cn,p Np+n+1 (φ).
La transformée de Fourier F définit un isomorphisme séquentiellement bicontinu de S (Rn ) dans
lui-même, d’inverse F −1 défini par (2.4).
On rappelle qu’un isomorphisme est une application d’un espace vers un autre qui préserve la
structure algébrique, dont l’inverse est bien défini et préserve lui aussi la structure algébrique. Ici,
la préservation de la structure algébrique revient simplement à dire que l’application est linéaire.
On rappelle également qu’une application T : E → F est séquentiellement continue si T un
converge dans F vers T u lorsque un converge vers u dans E. La convergence dans les espaces
S (Rn ) n’étant, dans la Définition 3.2, liée à aucune norme ou même distance, seule la convergence
séquentielle a un sens.
La bicontinuité séquentielle signifie que T et son inverse sont toutes deux des applications
séquentiellement continues.
Exercice 3.5 Montrer le Théorème 3.5.
30
Correction. Soit p > 0. Pour tout |α| 6 p et |β| 6 p, plusieurs utilisations successives du
Théorème 2.6 montrent que
Ÿ
α β
α β ξ ∂ φ̂(ξ) ∞ = ∂ x φ .
∞
L
L
Ensuite, la Proposition 2.3 et (3.1) donnent
0 0
α β
‹n,p sup sup xα ∂ β φ(x)
ξ ∂ φ̂(ξ) ∞ 6 ∂ α xβ φ(x) 1 6 C
L
L
|α0 |6p
L1
|β 0 |6p
0
6 Cn,p
Np+n+1 (φ).
On en déduit que la transformée de Fourier est un endomorphisme séquentiellement continu sur
S (Rn ). Le fait que F et F −1 sont inverses l’une de l’autre est une conséquence directe du
Théorème 2.11.
3.2 Distributions tempérées
3.2.1 Définition des distributions tempérées
Comme l’espace des fonctions test D(Rn ) n’est pas stable par transformée de Fourier, on a dû
introduire un espace de fonctions test plus grand, S (Rn ). Suivant la philosophie générale de la
théorie des distributions, on introduit le dual topologique de l’espace des fonctions test (l’ensemble
des formes linéaires sur l’espace des fonctions test), qui est par conséquent un sous-ensemble de
l’espace D0 (Rn ) des distributions.
Définition 3.6 (Distributions tempérées). On note S 0 (Rn ) l’espace vectoriel des formes
linéaires sur S (Rn ) qui vérifient la propriété de continuité suivante : il existe un entier p et
une constante C tels que
∀φ ∈ S (Rn ),
| hT, φiS 0 ,S | 6 C Np (φ).
(3.3)
Les éléments de S 0 (Rn ) sont appelés les distributions tempérées, ou parfois les distributions à
croissance lente.
Théorème 3.7. Tout élément de S 0 (Rn ) définit une distribution.
Remarque 3.8 (Abus de notation). Par abus de notation, on notera par la même lettre une
distribution tempérée et sa restriction à D(Rn ). Cela permet notamment d’écrire
∀φ ∈ D(Rn ) ⊂ S (Rn ),
hT, φiS 0 ,S = hT, φiD0 ,D .
Correction. Soit T ∈ S 0 (Rn ), p ∈ N et C > 0 tels que
∀φ ∈ S (Rn ),
| hT, φiS 0 ,S | 6 CNp (φ).
Comme D(Rn ) est un sous-ensemble de S (Rn ), il est clair que T est une forme linéaire sur D(Rn ).
Soit K un compact de Rn et R > 1 tel que K ⊂ BR (0). On a, pour tout φ ∈ D(Rn ) à support
dans K,
|hT, φiS 0 ,S | 6 CNp (φ) = C sup sup xα ∂ β φ(x) ∞ 6 C Rp sup ∂ β φ ∞ .
|α|6p |β|6p
L
|β|6p
Ceci montre que T définit donc une distribution d’ordre inférieur ou égal à p.
L
31
Exercice 3.7 (Distribution de Dirac) Montrer que δa (pour a ∈ Rn donné) est une distribution tempérée d’ordre 0.
Exercice 3.8 (Valeur principale) Montrer que la valeur principale, définie pour tout φ ∈
D(Rn ) par
Z
≠ Å ã ∑
φ(x)
1
,φ
= lim
dx,
vp
ε→0
x
R\[−ε,ε] x
D 0 ,D
définit une distribution tempérée. Montrer qu’elle est d’ordre 1 (exactement, i.e. elle ne peut pas
être d’ordre 0).
Correction. La valeur principale est définie par la limite suivante
Z
Z 1
Z
≠ Å ã ∑
φ(x)
1
φ(x) − φ(0)
φ(x)
vp
,φ
= lim
dx =
dx +
dx.
ε→0
x
x
x
0
R\[−ε,ε]
−1
R\[−1,1] x
S ,S
La première intégrale est bien définie car on peut écrire
Z
φ(x) − φ(0) 1 x 0 =
6 sup |φ0 (x)| 6 N1 (φ).
φ
x
x
x∈[−1,1]
0
Pour la seconde intégrale, on écrit
Z
Z
Z +∞
1
xφ(x) φ(x) dx = dx
dx 6 2N1 (φ).
6
2
sup
|xφ(x)|
R\[−1,1] x2
R\[−1,1] x
x2
x∈R
1
Ceci montre donc que la valeur principale est une distribution d’ordre au plus 1.
Pour montrer que cette distribution tempérée n’est pas d’ordre 0, on considère l’exemple simple
suivant. On introduit une suite de fonctions (φn ) de S (Rn ), à valeurs dans [0, 1]. La fonction φn
est égale à 1 sur [2, n] et à support dans [1, n + 1]. On a donc N0 (φn ) = 1 alors que
Z n
≠ Å ã
∑
n
1
1
vp
, φn
dx = ln
,
>
x
2
2 x
S 0 ,S
qui tend vers +∞ lorsque n → +∞.
L’épithète “tempérées” provient de la limitation de croissance à l’infini de ces distributions.
Définition-Théorème 3.9 (Fonctions à croissance lente). On dit qu’une fonction continue
f est à croissance lente s’il existe p > 0 et C > 0 telles que, pour tout x ∈ Rn ,
|f (x)| 6 C(1 + |x|)p .
Les fonctions à croissance lente définissent des distributions tempérées.
Correction. Si f est à croisssance lente, elle est L1loc , et on peut lui associer canoniquement
une
R
distribution Tf ∈ D0 (Rn ) définie, pour tout φ ∈ D(Rn ), par l’action hTf , φiD0 ,D = Rn f φ. On
étend cette forme linéaire sur S en notant que, pour tout φ ∈ S ,
Z
Z
Z
p
0
|f φ| 6 C (1 + |x|) |φ(x)|dx 6 C sup
|xα φ(x)|dx 6 C 00 Np+n+1 (φ),
Rn
où on a utilisé (3.1).
Exercice 3.10 Donner un exemple de
|α|6p
Rn
32
(i) fonction continue qui ne définit pas une distribution tempérée
(ii) distribution tempérée qui est induite par une fonction continue mais pas à croissance lente.
2
Correction. (i) La fonction f (x) = e|x| , est bien une fonction continue et définit donc une
distribution. En revanche, ce n’est pas une distribution tempérée car le crochet de dualité
2
n’est pas défini pour φ(x) = e−|x| par exemple.
(ii) Si χ est la fonction chapeau centrée en 0, alors la fonction
Ä 2
ä
X
f (x) =
en χ en (x − n)
n∈N
2
est formée de pics centrés en n, de hauteur en , et de largeur e−n . Elle est continue, n’est pas
à croissance lente (puisque f (n) = en pour n suffisamment grand), mais elle est intégrable :
X
2
kf kL1 6
en−n kχkL1 .
n∈N
Elle définit donc une distribution tempérée, puisque, pour tout φ ∈ S (R),
Z
f
φ
n 6 kf kL1 kφkL∞ 6 kf kL1 N0 (φ).
R
Ainsi, les distributions tempérées sont des distributions particulières, pour lesquelles on a un
contrôle de la croissance à l’infini. C’est le cas des distributions qui proviennent de fonctions à
croissance lente, et on verra au Théorème 3.14 qu’il en est de même pour celles qui proviennent
de fonctions Lp .
3.2.2 Convergence et dérivation dans S 0
On définit la convergence dans S 0 de la même façon que pour les distributions usuelles.
Définition 3.10 (Convergence dans S 0 ). On dit que la suite (Tk )k∈N d’éléments de S 0 (Rn )
converge dans S 0 (Rn ) vers T si on a
∀φ ∈ S (Rn ),
hTk , φiS 0 ,S −→ hT, φiS 0 ,S .
Théorème 3.11. Toute suite (Tk )k∈N de distributions tempérées qui converge dans S 0 (Rn ) vers
la distribution tempérée T converge aussi dans D0 (Rn ) vers la distribution T .
Définition-Théorème 3.12 (Dérivation dans S 0 ). Soit T ∈ S 0 (Rn ). La dérivée de T par
∂T
, défini par
rapport à la variable xj est l’élément de S 0 (Rn ), noté
∂xj
≠
∑
≠
∑
∂T
∂φ
n
∀φ ∈ S (R ),
,φ
= − T,
.
∂xj
∂xj S 0 ,S
S 0 ,S
La distribution définie par
∂T
est la dérivée (au sens des distributions) de la distribution définie
∂xj
par T .
Théorème 3.13. La dérivation est séquentiellement continue dans S 0 : si Tk −−−−−→ T dans
S 0 (Rn ), alors ∂ α Tk −−−−−→ ∂ α T dans S 0 (Rn ).
k→+∞
k→+∞
33
Exercice 3.13 Prouver le Théorème 3.13
Correction. Soit φ ∈ S (Rn ). On a
h∂ α Tk , φiS 0 ,S = (−1)|α| hTk , ∂ α φiS 0 ,S −→ (−1)|α| hT, ∂ α φiS 0 ,S = h∂ α T, φiS 0 ,S ,
ce qui est bien la convergence au sens de S 0 .
Finissons par quelques exemples qui montrent qu’en effet S 0 (Rn ) est strictement inclus dans
D0 (Rn ).
Exercice 3.14 (Distribution exponentielle) Montrer que la suite des sommes partielles
N
X
xk
fN (x) =
k=0
k!
est une suite d’éléments de S 0 (R) qui converge dans D0 (R), mais pas dans S 0 (R).
Correction. On voit que fN (x) converge simplement vers f (x) = ex . Considérons une fonction
φ ∈ D(R), avec R > 0 tel que supp(φ) ⊂ [−R, R]. Alors, par convergence dominée,
Z
R
hfN , φiD0 ,D =
Z
R
ex φ(x) dx = hf, φiD0 ,D .
fN φ →
−R
−R
Ceci montre que fN converge vers f au sens des distributions. En revanche, la suite (fN ) ne peut
pas converger au sens des distributions tempérées : en effet, si elle convergeait, le Théorème 3.11
montre que sa limite serait nécessairement f . Or, f n’est pas une distribution tempérée parce que
son crochet de dualité contre la fonction de S (R)
Å
ã
1p
φ(x) = exp −
1 + x2
2
par exemple n’est pas bien défini.
Exercice 3.15 (Peigne à croissance lente) Soit (ak )k∈N une suite réelle. Montrer que la série
X
ak δk
k∈Z
converge dans D0 (R). Montrer que si la suite (ak )k∈Z est à croissance lente, c’est-à-dire telle qu’il
existe C > 0, p > 0 tels que que |ak | 6 C(1 + |k|)p pour tout k ∈ Z, alors la convergence a aussi
lieu dans S 0 (R). Fournir un exemple de série qui converge dans D0 (R) mais pas dans S 0 (R).
P
Correction. Pour tout φ ∈ D(R), k∈Z ak φ(k) ne comporte qu’un nombre fini de termes et la
série converge donc. Pour tout φ ∈ S (R),
X
X
X
|ak φ(k)| 6 C
(1 + |k|)p |φ(k)| 6 C 0 Np+2 (φ)
(1 + |k|)−2
k∈Z
k∈Z
pour une constante C 0 > 0, ce qui montre que la distribution T définie par son action
X
hT, φiS 0 ,S =
ak φ(k)
k∈Z
est bien une distribution tempérée. Si TN = |k|6N ak δk , pour tout φ ∈ S
P(R), hT − TN , φi est le
reste d’une série convergente et tend donc vers 0, ce qui montre que T = k∈Z ak δk .
2
2
Si par exemple ak = ek , le produit de dualité de T par la fonction test φ(x) = e−x n’est pas
défini, ce qui montre que T ne définit pas une distribution tempérée.
P
34
3.2.3 Injection de Lp dans S 0
Théorème 3.14 (Injection de Lp dans S 0 ). On a l’injection séquentiellement continue Lp (Rn ) ,→
S 0 (Rn ) pour tout 1 6 p 6 +∞.
Exercice 3.16 Prouver le Théorème 3.14. On pourra montrer qu’une fonction f ∈ Lp peut se
décomposer en somme de fonctions L1 et L∞ .
Correction. Soit f ∈ Lp , pour 1 6 p 6 ∞, et p0 tel que
1
1
= 1.
+
p p0
D’après le Théorème 3.4, il existe une constante C > 0 telle que, pour tout φ ∈ S (Rn ),
kφkLp0 6 CNn+1 (φ).
En utilisant l’inégalité de Hölder, on voit alors que
Z
f φ 6 kf kLp kφkLp0 6 Ckf kLp Nn+1 (φ),
Rn
ce qui montre que la forme linéaire Tf définie par hTf , φiS 0 ,S est une distribution tempérée. Si
fn → f dans Lp , alors, pour tout φ ∈ S 0 (Rn ),
|hTfn − Tf , φiS 0 ,S | 6 Ckfn − f kLp Nn+1 (φ),
et Tfn converge donc vers Tf au sens des distributions tempérées.
Remarque 3.15 (Injection continue). On peut donc écrire
D(Rn ) ,→ S (Rn ) ,→ L2 (Rn ) ,→ S 0 (Rn ) ,→ D0 (Rn ),
où la notation A ,→ B signifie que A s’injecte dans B et que l’injection de A dans B est
séquentiellement continue.
3.2.4 Transformée de Fourier dans S 0
Comme il est d’usage en théorie des distributions, les opérations ou actions effectuées sur les
distributions sont définies en effectuant ladite opération sur la fonction test. Il en va de même
pour la transformée de Fourier.
Définition-Théorème 3.16 (Transformée de Fourier d’une distribution tempérée). Soit
T ∈ S 0 (Rn ). La transformée de Fourier de T est la distribution tempérée notée F T définie par
¨
∂
∀φ ∈ S (Rn ),
hF T, φiS 0 ,S = T, φ̂ 0
= hT, F φiS 0 ,S .
(3.4)
S ,S
La transformée de Fourier ainsi définie est une extension de la définition classique de la transformée de Fourier sur L1 (Rn ) : si on note Tu la distribution associée à la fonction u, alors, pour
tout f ∈ L1 (Rn ), Tfˆ = F Tf .
Au risque de nous répéter : comme la transformée de Fourier d’un élément de D(Rn ) n’est pas
dans D(Rn ) (mais seulement dans S (Rn )), on ne peut pas définir la transformée de Fourier d’une
distribution quelconque par une relation analogue à (3.4), et il faut donc se limiter aux distributions
tempérées.
35
Correction. Vérifions d’abord que F T est bien une distribution tempérée. Il est clair que F T est
une forme linéaire sur S (Rn ). Il reste à s’assurer que F T vérifie la propriété de continuité (3.3).
Soit φ ∈ S (Rn ). On a
¨
∂
hF T, φiS 0 ,S = T, φ̂ 0 6 C Np (φ̂) 6 C 0 Np+n+1 (φ).
S ,S
On a donc bien F T ∈ S 0 (Rn ).
Soit maintenant u ∈ L1 (Rn ). On a pour tout φ ∈ S (Rn ),
Z
Z
ÅZ
¨
∂
hF u, φiS 0 ,S = u, φ̂ 0 =
u φ̂ =
u(x)
S ,S
Rn
Rn
φ(y) e−ix·y dy
ã
dx.
Rn
Comme (x, y) 7→ u(x) φ(y) e−ix·y appartient à L1 (Rn × Rn ), une application du théorème de Fubini
montre que
Z ÅZ
ã
hF u, φiS 0 ,S =
u(x) e−ix·y dx φ(y) dy = hv, φiS 0 ,S ,
Rn
Rn
avec
Z
u(x) e−ix·y dx = û(y).
v(y) =
Rn
On retrouve donc bien la définition usuelle de la transformée de Fourier sur L1 (Rn ).
Remarque 3.17 (Notations). La transformée de Fourier de la distribution T est noté F T et
pas T̂ . On réserve en effet la notation ˆ· aux fonctions L1 pour lesquelles la transformée de Fourier
F est définie sous la forme intégrale de l’équation (2.1). Lorsque f ∈ L1 , les deux notations sont
possibles mais on privilégie la notation fˆ.
Théorème 3.18 (Transformée de Fourier inverse des distributions tempérées). La transformée de Fourier est un isomorphisme séquentiellement bicontinu de S 0 (Rn ) sur lui-même, d’inverse F −1 défini par
∀φ ∈ S (Rn ),
hF −1 T, φiS 0 ,S = T, φ̌ S 0 ,S
= T, F −1 φ S 0 ,S .
Exercice 3.18 Montrer le Théorème 3.18
Théorème 3.19 (Dérivation et transformée de Fourier). Soit T ∈ S 0 (Rn ). Alors
S 0 (Rn ) et
F
Å
∂T
∂xj
ã
= i ξj F T.
∂T
∈
∂xj
(3.5)
Exercice 3.20 Montrer que δa ∈ S 0 (Rn ) et que F δa (ξ) = e−ia·ξ . De même, montrer que x 7→
eia·x ∈ S 0 (Rn ) et que F (eia·x ) = (2π)n δa .
!
X
Exercice 3.21 Calculer F
δn .
n∈Z
Correction. On sait par l’Exercice 3.15 que
X
SN =
δn
−N 6n6N
converge dans S 0 (Rn ) vers la série
S∞ =
X
n∈Z
δn .
36
Par continuité séquentielle de la transformée de Fourier (Théorème 3.18), on a
F SN → F S∞ .
Or un calcul immédiat montre que
X
F SN =
e−inx
−N 6n6N
On vérifie par ailleurs (avec des manipulations tout à fait similaires à celles faites pour montrer
la convergence de la série SN ) que la série
X
TN =
e−inx
−N 6n6N
converge dans S 0 (Rn ) vers la série limite
T∞ =
X
e−inx .
n∈Z
On en déduit, par unicité de la limite dans S 0 (R), que
!
X
X
F
δn =
e−inx .
n∈Z
n∈Z
On verra au Chapitre 5 que cette expression est également égale à un autre peigne de Dirac (c’est
la formule de Poisson, Théorème 5.9).
Remarque 3.20 (Transformée de Fourier et convolution). Comme dans le cas L1 , la transformée de Fourier agit sur les convolutions en les transformant en produit. La situation est cependant plus complexe car l’existence de la convolution de deux distributions tempérées (que nous
n’avons pas définie, d’ailleurs) n’est pas plus assurée en général que le produit de deux distributions.
Cependant, si tous les termes sont bien définis, on retrouve la propriété
F (T1 ? T2 ) = F (T1 ) · F (T2 ).
Exercice 3.22 (Élargissement de pics) En reprenant les calculs de l’Exercise 2.11, donner la
transformée de Fourier de la fonction uα (t) = e−α|t|+i ωt , pour α > 0 et ω ∈ R. Étudier la limite de
uα et de sa transformée de Fourier quand α → 0. En négligeant les effets dûs aux temps négatifs,
proposer une origine physique possible des pics de largeur finie de la Figure 1.2.
Correction. On vérifie aisément que uα ∈ L1 (R), et que
u
bα (ω) =
2α
α2 + (ξ − ω)2
(3.6)
Un argument de convergence dominée montre que la suite de fonctions uα tend au sens des
distributions tempérées vers eiωt quand α tend vers 0, ce qui montre que ûα → 2πδω , ce qu’on
aurait également pu démontrer directement.
La fonction uα représente pour t > 0 une oscillation de fréquence ω, amortie avec un coefficient
α. Sa transformée de Fourier (3.6) montre un pic à la fréquence ω, avec une largeur proportionnelle
à α. On voit que, contrairement à une oscillation non-amortie (α = 0), dont la transformée de
Fourier est un pic de Dirac, la transformée de Fourier d’une oscillation amortie est un pic de largeur
finie, proportionnelle à l’amortissement. Cela conduit à supposer que les effets d’élargissement de
pics sont dûs à l’amortissement du son.
4
Espaces de Sobolev et équations aux dérivées partielles
4.1 Transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Résolution d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
39
41
La transformée de Fourier dans S 0 se spécialise à plusieurs espaces fonctionnels importants
(dont L2 et les espaces de Sobolev). Elle permet de montrer aisément que L2 est stable par
transformée de Fourier, de caractériser les espaces de Sobolev, et de donner des formules explicites
de résolution d’équations aux dérivées partielles.
4.1 Transformée de Fourier dans L2
Nous avons défini la transformée de Fourier sur l’espace S 0 qui contient (largement !) L2 .
Pourquoi donc consacrer maintenant une section à la transformée de Fourier dans L2 ? La réponse
est fournie par le théorème suivant :
Théorème 4.1 (Isométrie de la transformée de Fourier). Les transformations
1
F et
(2π)n/2
(2π)n/2 F −1 sont des isométries de L2 (Rn ) inverses l’une de l’autre :
∀f ∈ L2 (Rn ),
∀f ∈ L2 (Rn ),
F f ∈ L2 (Rn )
et
F −1 f ∈ L2 (Rn )
et
1
kF f kL2 = kf kL2 ,
(2π)n/2
(2π)n/2 F −1 f L2 = kf kL2 .
Exercice 4.1 Prouver le Théorème 4.1. On commencera par établir l’isométrie sur S en prouvant
que, pour tous φ, ψ ∈ S (Rn )2 ,
1
(φ̂, ψ)L2 = φ, ψ̌ L2 ,
n
(2π)
et on raisonnera par densité.
Correction. L’idée de la preuve est de montrer l’isométrie des transformations sur S (Rn ), et d’en
déduire l’isométrie sur L2 (Rn ) par densité de D(Rn ) ⊂ S (Rn ) dans L2 (Rn ) (qui montre que la
transformée de Fourier s’étend de manière unique, et coincide avec sa définition au sens de S 0 (Rn )).
Soit (φ, ψ) ∈ S (Rn )2 . Comme la fonction (x, ξ) 7→ e−ix·ξ φ(x) ψ(ξ) appartient à L1 (Rn × Rn ),
une application du théorème de Fubini donne
38
4 Espaces de Sobolev et équations aux dérivées partielles
Z
1
1
(φ̂, ψ)L2 =
φ̂(ξ) ψ(ξ) dξ
(2π)n
(2π)n Rn
Z ÅZ
ã
1
−ix·ξ
φ(x) e
dx ψ(ξ) dξ
=
(2π)n Rn Rn
Z
Z
Å
ã
=
φ(x) (2π)−n
ψ(ξ) eix·ξ dξ dx
n
Rn
ZR
=
φ(x) ψ̌(x) dx
Rn
= φ, ψ̌ L2 .
Appliquant cette formule avec ψ = φ̂, on a
ä
1 Ä
1 2
ˇ
φ̂
=
= (φ, φ)L2 = kφk2L2 .
φ̂,
φ̂
=
φ,
φ̂
L2
L2
(2π)n
(2π)n
L2
L’identité ci-dessus, connue sous le nom de formule de Plancherel , montre que (2π)−n/2 F est
une isométrie sur S (Rn ).
La fin de la démonstration repose sur un argument de densité classique qu’il est bon de
connaı̂tre. Soit f ∈ L2 (Rn ). L’espace S (Rn ), qui contient D(Rn ) est dense dans L2 (Rn ).
Considérons donc une suite (φk )k∈N d’éléments de S (Rn ) qui converge vers f dans L2 (Rn ). La
suite (φk )k∈N converge, donc est de Cauchy dans L2 (Rn ). La suite des transformées de Fourier
(φ̂k )k∈N est alors elle-aussi une suite de Cauchy puisque
∀ 0 6 k 6 l,
φ̂k − φ̂l 2 = (2π)n/2 kφk − φl kL2 .
L
La complétude de L2 (Rn ) montre que la suite (φ̂k )k∈N converge dans L2 (Rn ) vers une certaine
fonction g ∈ L2 (Rn ). Or, on sait par le Théorème 3.14 que la convergence dans L2 (Rn ) entraı̂ne la convergence dans S 0 (Rn ). Donc (φ̂k )k∈N converge dans S 0 (Rn ) vers la distribution
tempérée g. Mais d’autre part, (φk )k∈N converge vers f dans L2 (Rn ), donc dans S 0 (Rn ). Il résulte
du Théorème 3.18 que (φ̂k )k∈N = (F φk )k∈N converge vers F f dans S 0 (Rn ). L’unicité de la limite
dans S 0 (Rn ) (conséquence de l’unicité de la limite dans D0 (Rn )) implique F f = g dans S 0 (Rn ),
et donc F f ∈ L2 (Rn ) et (φ̂k )k∈N converge vers F f dans L2 (Rn ). En passant à la limite dans la
relation
1 2
∀k ∈ N,
φ̂
2 = kφk k2L2 ,
k
L
(2π)n
on obtient l’égalité
1
2
kF f kL2 = kf k2L2 .
(2π)n
L’application (2π)−n/2 F est donc une isométrie sur L2 (Rn ). En remplaçant φ par F −1 φ, on
montre qu’il en est de même de (2π)n/2 F −1 .
Remarque 4.2 (Interprétation physique). Pour f ∈ L2 (Rn ), on a la formule de Plancherel
Z
Z
1
2
|F f (ξ)| dξ =
|f (x)|2 dx.
(4.1)
(2π)n Rn
Rn
Il arrive souvent en physique ou en mécanique que l’énergie d’un champ sur Rn s’exprime
précisément sous la forme d’une intégrale sur l’espace du carré du champ (penser à l’énergie
cinétique d’un écoulement, à l’énergie d’un champ électromagnétique, à l’énergie de déformation
élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope). L’égalité (4.1) signifie que l’énergie du champ
peut alors être calculée indifféremment dans l’espace réel ou dans l’espace réciproque.
4.2 Espaces de Sobolev
39
Exercice 4.2 (Formule de Parseval) Montrer, en reprenant la démonstration précédente ou
en utilisant une formule de polarisation, que si f et g sont dans L2 (Rn ),
(2π)n (f, g) = (F f, F g).
Remarque 4.3. Attention à ne pas confondre : le produit de dualité des distributions ne conjugue
pas, alors que le produit scalaire L2 si (c’est une forme sesquilinéaire). On a ainsi, par exemple
pour f, g ∈ L2 ,
hF f, giS 0 ,S = hf, F giS 0 ,S
(F f, g)L2 = (2π)n (f, F −1 g)L2 ,
par la définition de la transformée de Fourier dans S 0 et par la formule de Plancherel, respectivement, et ces deux quantités ne sont pas égales.
Remarque 4.4. On a vu que la transformée de Fourier envoyait continûment L1 dans L∞ , et
L2 dans L2 (mais pas L∞ dans L1 ). Dans l’esprit général de la dualité Hölderienne, on peut
montrer, avec un théorème d’interpolation, que pour 1 6 p 6 2, la transformée de Fourier envoie
continûment Lp dans Lq , avec
1 1
+ = 1.
p q
Notons que ceci n’est pas vrai pour p > 2.
4.2 Espaces de Sobolev
La transformée de Fourier permet de caractériser la régularité des fonctions : plus une fonction
est régulière, plus sa transformée de Fourier décroı̂t rapidement à l’infini. Ceci est lié en effet à la
décroissance de l’amplitude des modes rapides, i.e. qui varient sur des échelles spatiales courtes,
les irrégularités locales provenant précisément des ces modes-là. Afin d’étudier des fonctions de
régularité arbitraire, on définit les espaces de Sobolev d’exposant réel.
Définition-Théorème 4.5 (Espaces de Sobolev d’exposants réels). Pour tout s ∈ R, on
pose
Z
ß
™
s
n
0
n 1
n
2 s
2
H (R ) = u ∈ S (R ) û ∈ Lloc (R ),
(1 + |ξ| ) |û(ξ)| dξ < +∞ .
(4.2)
Rn
Muni du produit scalaire noté (·, ·)Hs et défini par
s
n 2
∀(u, v) ∈ H (R ) ,
Z
(u, v)
Hs
=
(1 + |ξ|2 )s û(ξ) v̂(ξ) dξ,
(4.3)
Rn
l’espace Hs (Rn ) est un espace de Hilbert.
Remarque 4.6 (Injections continues). Si s1 6 s2 , on a (1 + |ξ|2 )s1 6 (1 + |ξ|2 )s2 pour tout
ξ ∈ Rn , et on a donc l’injection continue Hs2 (Rn ) ,→ Hs1 (Rn ).
Exercice 4.3 Prouver le Théorème 4.5. On commencera par utiliser la transformation A :
Hs (Rn ) → L2 (Rn ) définie par
(Au)(ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 û(ξ)
pour montrer que Hs (Rn ) est isométrique à L2 (Rn ).
40
Correction. Il est clair que (·, ·)H s est un produit scalaire. Pour montrer la complétude, il suffit
de remarquer que pour toute suite (uk )k∈N de Hs (Rn ), la suite (vk )k∈N définie par
vk (ξ) = (Auk )(ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 ûk (ξ),
est une suite de L2 (Rn ) vérifiant
∀ 0 6 k 6 l,
kuk − ul kHs = kvk − vl kL2 .
Si la suite (uk )k∈N est de Cauchy dans Hs (Rn ), la suite (vk )k∈N est de Cauchy dans L2 (Rn ), et
converge donc dans L2 (Rn ) vers v ∈ L2 (Rn ). Posons
ã
Å
v̂
−1
,
u=F
(1 + |ξ|2 )s/2
alors u ∈ Hs (Rn ) et (uk )k∈N tend vers u dans Hs (Rn ), ce qui achève de montrer la complétude.
La définition (4.2) des espaces de Sobolev sur H s (Rn ) coı̈ncide, lorsque s est entier, avec la
définition plus usuelle suivante.
Proposition 4.7 (Espaces de Sobolev
n
Hs (Rn ) = u ∈ L2 (Rn )
d’exposants entiers). Soit s ∈ N. Alors
o
α
∂ u ∈ L2 (Rn ), ∀α ∈ Nn , |α| 6 s ,
(4.4)
et la norme définie sur Hs (Rn ) par le produit scalaire (4.3) est équivalente à celle définie par le
produit scalaire
Z
X
∂ α u(x) ∂ α v(x) dx.
(u, v) =
α∈Nn , |α|6s
Rn
Exercice 4.4 Montrer la Proposition 4.7 dans le cas s = 1.
Correction. Montrons le résultat pour H1 (Rn ). Soit u appartenant à l’espace H1 (Rn ) défini
∂u
par (4.4). On a alors u ∈ L2 (Rn ) et
∈ L2 (Rn ) pour tout 1 6 j 6 n. Ainsi,
∂xj
(i) u ∈ S 0 (Rn ) (puisque L2 (Rn ) ⊂ S 0 (Rn )),
(ii) û ∈ L2 (Rn ) ⊂ L1loc (Rn ) (puisque u ∈ L2 (Rn )),
ã
∂u
(iii) ξj û ∈ L (R ) pour tout 1 6 j 6 n puisque ξj û = −iF
.
∂xj
2
Å
n
Il en résulte que u appartient à l’espace H1 (Rn ) défini par (4.2). La réciproque se démontre en
utilisant les mêmes arguments.
Par ailleurs, pour s > 1, il existe deux constantes c, C > 0 telles que
X
c (1 + |ξ|2 )s 6
|ξ α |2 6 C (1 + |ξ|2 )s .
|α|6s
Ceci montre que la norme
kuk2Hs ,usuel
=
X
|α|6s
k∂
α
uk2L2
Z
=
X
|ξ α | |û(ξ)|2 dξ
Rn |α|6s
est équivalente à la norme Hs (Rn ) définie par (4.3) pour s > 1.
La transformée de Fourier permet de montrer très facilement le résultat suivant qui relie la
décroissance, ou plus exactement l’intégrabilité, de la transformée de Fourier à l’infini avec la
régularité locale de la fonction d’origine.
4.3 Résolution d’équations aux dérivées partielles
41
Théorème 4.8. Soit n ∈ N∗ , k ∈ N et s ∈ R vérifiant s > k + n/2. Si u ∈ Hs (Rn ), alors
u ∈ Ck (Rn ) et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre k tendent vers zéro à l’infini.
Exercice 4.5 Montrer le Théorème 4.8. On commencera par le cas k = 0 et on montrera que
û ∈ L1 (Rn ).
Correction. Commencons par le cas k = 0. Soit donc s > n/2 et u ∈ Hs (Rn ). On a
Ä
ä
û(ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 û(ξ)
1
.
(1 + |ξ|2 )s/2
Comme u ∈ Hs (Rn ), on a par hypothèse
(1 + |ξ|2 )s/2 û(ξ) ∈ L2 (Rn ),
et d’autre part
1
∈ L2 (Rn )
(1 + |ξ|2 )s/2
puisque s > n/2. On en déduit û ∈ L1 (Rn ). La Proposition 2.3 peut aussi être utilisée avec F −1
au lieu de F , ce qui montre que u = F −1 û est continue et tend vers zéro à l’infini.
Pour le cas k > 1, on montre que ξ α u ∈ L1 pour |α| 6 k, et on utilise le Corollaire 2.7.
Exercice 4.6 (Un résultat de régularité elliptique) Résoudre l’équation
−∆u + u = f
pour f ∈ L2 (R3 ). Montrer que l’unique solution u est continue et bornée.
Correction. On procède par analyse/synthèse. Supposons pour commencer que la solution existe
avec u ∈ S 0 (R3 ). En appliquant la transformée de Fourier, on voit que
(1 + |ξ|2 )b
u(ξ) = fb(ξ),
et donc que u ∈ H 2 (R3 ) (par (4.2)) avec
Ç
u=F
−1
fb
1 + |ξ|2
å
.
Ceci donne également l’unicité de la solution, et montre que l’égalité −∆u + u = f a lieu au sens
L2 (R3 ). On vérifie ensuite facilement que la solution u convient.
Exercice 4.7 Faire de même pour
−∆u + b · ∇u + αu = f
avec f ∈ L2 (R3 ), b ∈ R3 et α > 0.
4.3 Résolution d’équations aux dérivées partielles
Nous concluons ce chapitre en montrant comment l’utilisation de la transformée de Fourier
permet de résoudre des problèmes d’équations aux dérivées partielles rencontrés en physique.
42
Equation de la chaleur
On considère l’équation de la chaleur, qui est le problème de Cauchy suivant :
ß
∂t f − ∆f = 0 sur R∗+ × Rn ,
f (0, ·) = f0 sur Rn .
(4.5)
On peut montrer l’existence et l’unicité d’une solution f (t, ·) ∈ S 0 (Rn ) pour tout t > 0 si f0 ∈
S 0 (Rn ) (voir [3, Section XIV.2.2] ; nous ne présentons pas les détails ici car cela demanderait
d’introduire la convolution de deux distributions). Il existe d’autres théories qui permettent de
caractériser l’évolution pour des conditions intitiales L2 (Rn ) (théorie de Hille-Yosida).
Exercice 4.8 Montrer, en utilisant une transformée de Fourier sur la variable spatiale, que la
solution est, formellement,
Z
2
−n/2
f (t, x) = (4πt)
f0 (y) e−|x−y| /4t dy.
Rn
Montrer que la fonction f ainsi définie est solution de l’équation de la chaleur pour t > 0 et vérifie
la condition initiale si f0 ∈ S (Rn ) par exemple.
Correction. On introduit la transformée de Fourier partielle (i.e. seulement sur la variable d’espace) de la fonction (t, x) 7→ f (t, x) :
Z
ˆ
f (t, x) e−ix·ξ dx.
f (t, ξ) =
Rn
Alors, (4.5) devient
®
∂t fˆ + |ξ|2 fˆ = 0 sur R∗+ × Rn ,
fˆ(0, ·) = fˆ0 sur Rn .
(4.6)
2
On en déduit que fˆ(t, ξ) = fˆ0 (ξ) e−t|ξ| . Par transformée de Fourier inverse, on voit que f (t, ·) =
f0 ? Gt , avec
2
Gt (x) = (4πt)−n/2 e−|x| /4t .
(4.7)
On a donc
−n/2
Z
f (t, x) = (4πt)
2
f0 (y) e−|x−y|
/4t
dy.
(4.8)
Rn
Cette intégrale est définie ponctuellement pour t > 0 si f ∈ L∞ (Rn ), par le théorème de
convergence dominée. On montre de même facilement que, pour tout t > 0, f est C 2 par rapport
à t et x et qu’elle satisfait l’équation de la chaleur. La condition initiale est assurée par le fait que
Gt → δ0 dans S 0 (Rn ) lorsque t → 0.
Exercice 4.9 (Problème de Cauchy inhomogène) Donner la forme de la solution pour le
problème de Cauchy inhomogène ∂t f − ∆f = g sur R∗+ × Rn , avec (t, x) 7→ g(t, x) donnée.
Exercice 4.10 (Équation des ondes) Donner la forme de la solution pour l’équation des ondes
∂tt f = ∆f .
5
Séries de Fourier des distributions périodiques
5.1 Distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Séries de Fourier des distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Transformée de Fourier des distributions périodiques . . . . . . . . . . . . .
43
44
47
Dans ce chapitre, on montre que toute distribution périodique peut se développer en série
de Fourier. Comme les distributions périodiques sont tempérées, on peut également calculer leur
transformée de Fourier, ce qui établit un lien entre ces deux concepts jusqu’à présent séparés.
Ce lien a des conséquences extrêmement utiles en théorie du signal (notamment la formule de
Poisson), qui seront exploitées au chapitre suivant.
Par souci de simplification, comme dans la théorie des séries de Fourier, nous ne considérerons
que des fonctions définies sur R, les résultats s’étendant cependant aux cas multidimensionnels.
Nous considérons cependant une période T arbitraire, en vue d’utiliser ces résultats en théorie du
signal.
5.1 Distributions périodiques
Soit u ∈ D0 (R). On appelle T -translatée de u la distribution τT u définie, pour toute fonction
test φ ∈ D(R), par
hτT u, φiD0 ,D = hu, τ−T φiD0 ,D = hu, φ(· + T )iD0 ,D .
Cette définition est bien sûr motivée par le cas où u est continue, car on a alors (τT u)(t) = u(t−T ).
Exercice 5.1 Montrer que τT est un isomorphisme séquentiellement bicontinu sur S 0 (R) et
D0 (R), d’inverse τ−T .
Définition 5.1 (Distribution T -périodique). Une distribution u est T -périodique si τT u = u.
L’ensemble des distributions T -périodiques est noté DT0 (R).
Bien sûr, une distribution provenant d’une fonction L1loc périodique est une distribution périodique.
Le résultat technique suivant sera très utile dans de nombreuses preuves.
Lemme 5.2 (Partition de l’unité T-périodique). Il existe χ ∈ D(R) telle que pour tout t ∈ R,
∞
X
χ(t − nT ) = 1.
(5.1)
n=−∞
Si φ ∈ L1loc est périodique de période T , alors
Z T
Z
φ=
0
φχ.
R
(5.2)
44
5 Séries de Fourier des distributions périodiques
Exercice 5.2 Montrer le Lemme 5.2. On pourra considérer une fonction φ ∈ D(R) quelconque,
et chercher à la normaliser pour satisfaire (5.1).
Correction. Soit φ ∈ D(R) positive, et strictement positive sur l’intervalle [0, T ]. La fonction
∞
X
φ(t − nT )
n=−∞
est de classe C∞ (R), T -périodique et strictement positive sur R. On vérifie facilement que la
fonction
φ(t)
χ(t) = P∞
n=−∞ φ(t − nT )
convient.
Pour montrer (5.2), on écrit
Z
T
Z
φ=
0
0
!
T
X
χ(t + nT ) φ(t) dt =
n∈Z
XZ
n∈Z
T
Z
χφ.
χ(t + nT )φ(t + nT ) dt =
R
0
L’utilité des partitions de l’unité est de permettre le calcul de coefficients de Fourier de distributions périodiques.
Définition-Théorème 5.3 (Coefficients de Fourier). Soit u une distribution périodique, et χ
une partition de l’unité. On définit ses coefficients de Fourier par
cn (u) =
∂
1¨
u, χ(t) e−2iπn t/T 0
D ,D
T
(5.3)
Ces coefficients sont des formes linéaire séquentiellement continues sur D0 (R). Cette définition
étend la définition usuelle dans le sens où, si u ∈ L1loc ,
cn (u) =
1
T
Z
T
u(t) e−2iπn t/T dt.
(5.4)
0
Remarque 5.4. Cette définition est celle des coefficients de Fourier (1.4), à la différence près
que la période est T au lieu de 2π, et que la convention
de normalisation est différente (on met
√
un facteur 1/T dans les coefficients, au lieu de 1/ T en (1.4)).
5.2 Séries de Fourier des distributions périodiques
Avant de démontrer qu’une distribution périodique peut se représenter comme une série de
Fourier, commençons par montrer le résultat, plus élémentaire, que les séries de Fourier dont les
coefficients forment une suite à croissance lente sont des distributions périodiques.
Théorème 5.5. Soit (cn )n∈Z une suite à croissance lente, i.e. telle que
∃ p ∈ N, C > 0,
∀ n ∈ Z,
Alors la série
∞
X
|cn | 6 C(1 + |n|)p .
cn e2iπnt/T
n=−∞
converge au sens des distributions tempérées et définit une distribution T -périodique.
5.2 Séries de Fourier des distributions périodiques
45
Correction. On procède comme à l’Exercice 3.15 : pour tout φ ∈ S (R),
X X
X
(1 + |n|)p |φ̂(−n)| 6 C 0 Np+2 (φ̂)
(1 + |n|)−2 .
an he2iπnt/T , φ(n)iD0 ,D 6 C
n∈Z
n∈Z
Comme Np+2 (φ̂) 6 C 00 Np+n+3 par le Théorème 3.5, u définie par
X
hu, φiS 0 ,S =
an he2iπnt/T , φiD0 ,D
n∈Z
P
est bien une distribution tempérée. Si uN = |n|6N an e2iπnt/T , pour tout φ ∈ S (R), hu − uN , φi
P
est le reste d’une série convergente et tend donc vers 0, ce qui montre que u = n∈Z an e2iπnt/T
au sens des distributions tempérées. De plus, τT uN = uN , et, par continuité séquentielle de τT ,
τT u = u.
Le Théorème 5.5 permet donc de construire des distributions périodiques comme sommes de séries
de Fourier. De plus, la proposition ci-dessous montre que les coefficients cn d’une telle série sont
définis de manière unique.
Proposition 5.6 (Unicité des coefficients de Fourier). Si (γn )n∈Z et (γn0 )n∈Z sont deux suites
à croissance lente telle que
X
X
γn e2iπnt/T =
γn0 e2iπnt/T
n∈Z
au sens des distributions, alors γn =
n∈Z
γn0
pour tout n ∈ Z.
Correction. On a, par (5.4), pour tout n0 ∈ Z,
cn0 (e2iπnt/T ) = T δn,n0
et on en déduit par continuité séquentielle de cn0 que
!
cn0
X
γn e
2iπnt/T
= T γn0
n∈Z
et donc γn0 = γn0 0 pour tout n0 ∈ Z, d’où le résultat.
On peut maintenant montrer que toute distribution périodique est égale à sa série de Fourier.
Théorème 5.7 (Série de Fourier d’une distribution périodique). Soit u une distribution
T -périodique. Alors (cn (u))n∈Z est une suite à croissance lente, ne dépend pas du choix de la
partition de l’unité χ dans 5.3, et on a l’égalité suivante au sens des distributions tempérées :
X
u=
cn (u) e2iπnt/T .
(5.5)
n∈Z
(i) Montrer que les cn (u) forment
P une suite à croissance lente en utilisant les résultats de l’Appendice 7. En déduire que n∈Z cn (u) e2iπnt/T converge vers v dans S 0 .
(ii) Soit w = u − v ∈ S 0 . Montrer que cn (w) = 0.
P
(iii) Montrer que, pour tout n ∈ Z, τnT (χw) = (τnT χ)w et en déduire que w = n∈Z τnT (χw).
P
(iv) Montrer que hw, φiD0 ,D = 0 pour tout φ ∈ D en développant n∈Z τnT φ en série de Fourier,
et conclure que w = 0.
46
5 Séries de Fourier des distributions périodiques
(v) Montrer que le choix des cn (u) est indépendant du choix de χ.
Correction. (i) Par les résultats de l’Appendice 7, χu est une distribution à support compact,
qui définit une forme linéaire sur les fonctions C ∞ . On peut alors calculer les cn (u) comme
∂
1
1¨
u, χe−2iπn t/T 0 = hχu, e−2iπn t/T iE 0 ,C ∞ .
cn (u) =
D ,D
T
T
Comme χu est à support compact, elle est d’ordre fini, et il existe donc p et C tels que
k Ä
ä
d
p
|cn (u)| 6 C sup sup k e−2iπn t/T 6 C 0 (1 + |n|) ,
06k6p t∈K dt
P
ce qui montre que les cn (u) sont à croissance lente. La série n∈Z cn (u)e−2iπn t/T converge
donc vers une distribution tempérée v périodique, d’après le théorème 5.5.
P
(ii) Posons w = u − v ∈ S 0 . Pour tout n ∈ Z, cn (w) = cn (u) − n∈Z cn (e−2iπn t/T ) = 0, en
procédant comme pour la preuve de la Proposition 5.6.
(iii) Pour tout φ ∈ D,
hτnT (χ · w) , ϕiD0 ,D = hχ · w, τ−nT ϕiD0 ,D = hw, χ τ−nT ϕiD0 ,D
D
E
= w, τ−nT (τnT χ)ϕ
= hτnT w, (τnT χ)ϕiD0 ,D = h(τnT χ)w, ϕiD0 ,D ,
D 0 ,D
ce qui montre que
w=
X
(τnT χ)w =
n∈Z
X
τnT (χw).
n∈Z
(iv) Soit φ ∈ D. Alors,
*
hw, φiD0 ,D =
X
hτnT (χw), φiD0 ,D =
n∈Z
P
Comme n∈Z τ−nT φ =
en série de Fourier
+
χw,
X
τ−nT φ
n∈Z
P
n∈Z τnT φ
X
E 0 ,C ∞
est une fonction C ∞ périodique, on peut la décomposer
X
τnT φ =
n∈Z
cn (φ)e−2iπn t/T ,
n∈Z
avec convergence uniforme de la fonction et de toutes ses dérivées sur R. On peut enfin écrire
X
X
hw, φiD0 ,D =
cn (φ)hχw, e−2iπn t/T iE 0 ,C ∞ =
cn (φ)cn (w) = 0,
n∈Z
n∈Z
ce qui montre que w = 0 dans D donc dans S , et finalement
X
u=
cn (u)e−2iπn t/T
0
0
n∈Z
dans S 0 .
(v) La non-dépendance en χ est une conséquence immédiate de la proposition 5.6.
En conclusion, toute distribution T -périodique u est la somme d’une série de Fourier dont les
coefficients cn (u) sont à croissance lente :
X
u=
cn (u) e2iπnt/T ,
n∈Z
et réciproquement, toute série de Fourier dont les coefficients sont à croissance lente définit une
distribution T -périodique.
5.3 Transformée de Fourier des distributions périodiques
47
5.3 Transformée de Fourier des distributions périodiques
Le Théorème 5.7 montre en particulier que les distributions périodiques sont des distributions
tempérées. On peut donc légitimement en considérer la transformée de Fourier. La transformée
de Fourier Fu d’une distribution périodique u est un peigne de Dirac, dont les poids sont les
coefficients de Fourier cn (u).
Théorème 5.8 (Transformée de Fourier des distributions périodiques). Pour toute distribution T -périodique u,
X
F u = 2π
cn (u) δ2nπ/T .
n∈Z
Une application immédiate de cette théorie est la formule de Poisson, qui sera très utile par la
suite.
Théorème 5.9 (Formule de Poisson). La transformée de Fourier d’un peigne de Dirac est
aussi un peigne de Dirac :
!
+∞
+∞
X
1 X
δ2πn/T .
(5.6)
F
δnT =
T n=−∞
n=−∞
En particulier, pour tout f ∈ S (R), on a :
X
n∈Z
Å
ã
1 X ˆ 2nπ
f
.
f (nT ) =
T
T
(5.7)
n∈Z
P+∞
Correction. Le peigne de Dirac u =
n=−∞ δnT est bien une distribution T -périodique. On
développe u en série de Fourier :
u=
+∞
X
cn (u) e2iπnt/T ,
n=−∞
avec
cn (u) =
+∞
+∞
∂
1¨
1 X
1 X
1
u, χ e−2iπnt/T 0 =
χ(kT ) e−2iπnk =
χ(kT ) = ,
D ,D
T
T
T
T
k=−∞
k=−∞
χ étant une partition de l’unité. On vient donc de prouver l’égalité suivante au sens de S 0 (R) :
+∞
X
n=−∞
δnT =
+∞
1 X 2iπnt/T
e
.
T n=−∞
(5.8)
La formule (5.6) de la transformée de Fourier de u suit par le Théorème 5.8. La formule de Poisson
(5.7) est obtenue en appliquant (5.6) à F −1 f (ou (5.8) à f directement).
6
Échantillonnage et transformée de Fourier discrète
6.1 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Échantillonnage d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Le recouvrement spectral (aliasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Exemple de repliement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Suppression de l’aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Présentation générale de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Calcul de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
51
53
53
55
55
57
57
58
L’objet principal de ce chapitre est d’étudier la transformée de Fourier de fonctions échantillonnées.
Par souci de simplification, nous ne considérerons que des fonctions définies sur R, les résultats
s’étendant cependant aux cas multidimensionnels. Nous limitons de plus notre étude à l’échantillonnage
uniforme, où les échantillons sont espacés régulièrement, bien que l’échantillonnage non-uniforme
soit aussi utilisé dans la pratique. Nous verrons que l’échantillonnage uniforme d’une fonction
continue f à un pas T peut être vu comme le peigne de Dirac :
fT = T
+∞
X
f (nT ) δnT .
n=−∞
Pour mesurer la perte d’information subie en remplaçant f par fT , on fera le lien entre leurs
transformées de Fourier fˆ et fˆT . Grâce à la théorie de Fourier des distributions tempérées vue au
chapitre précédent, nous pouvons donner un sens à la transformée de Fourier de fT , et montrer le
théorème de Shannon, qui donne les conditions de reconstruction parfaite d’un signal à partir de
son échantillonnage.
6.1 Échantillonnage
6.1.1 Échantillonnage d’un signal
On considère des fonctions continues à croissance lente. La bonne représentation mathématique
d’une fonction f échantillonnée avec un pas T > 0 est le peigne de Dirac
X
fT = T
f (nT ) δnT .
(6.1)
n∈Z
Comme f est à croissance lente, cette série converge dans S 0 .
50
6 Échantillonnage et transformée de Fourier discrète
Lorsque le pas d’échantillonnage T tend vers 0, fT tend vers f dans S 0 (R). En effet, pour
toute fonction φ ∈ S (R),
Z +∞
X
hfT , φiS 0 ,S =
T f (nT ) φ(nT ) −−−→
f (t) φ(t) dt = hf, φiD0 ,D = hf, φiS 0 ,S ,
T →0
n∈Z
−∞
car on reconnaı̂t dans le membre de gauche une somme de Riemann d’une fonction à décroissance
rapide.
L’effet de l’échantillonage sur la fonction f est particulièrement facile à étudier en domaine
fréquentiel : échantillonner f revient simplement à ajouter des répliques translatées en fréquence
à fˆ.
Théorème 6.1 (Transformée de Fourier de fT ). Si f ∈ S , alors F fT est C ∞ et
ã
X Å
2nπ
,
fc
fˆ ξ +
T (ξ) =
T
(6.2)
n∈Z
Exercice 6.1 Prouver le Théorème 6.1. On pourra exprimer fc
T (ξ) sous la forme d’une somme,
et utiliser la formule de Poisson.
Correction. On calcule
!
(F fT )(ξ) = T F
X
f (nT ) δnT
(ξ) = T
X
f (nT ) e−inT ξ =
n∈Z
n∈Z
X
hξ (n),
n∈Z
avec
hξ (x) = T f (xT ) e−ixT ξ .
Comme f est à décroissance rapide, les coefficients de Fourier T f (nT ) de la série de Fourier qui
définit F fT sont également à décroissance rapide, ce qui montre que F fT est C ∞ .
En utilisant la formule de Poisson (5.7) pour hξ ∈ S (R), il vient
X
fˆT (ξ) =
ĥξ (2nπ).
n∈Z
Un calcul direct de ĥξ utilisant les formules de translation et d’homothétie du Théorème 2.5 montre
que
Å
ã
2nπ
ĥξ (2nπ) = fˆ ξ +
,
T
d’où (6.2).
Remarque 6.2. De même que la transformée de Fourier d’une distribution périodique est discrète,
nous venons de voir que la transformée de Fourier d’une fonction échantillonnée est périodique.
Une façon élégante d’exprimer ces manipulations est de faire appel au formalisme des convolutions de distributions, en utilisant le fait que g ? δa = τa g. Ainsi, on peut réécrire formellement la
définition de fT en
!
∞
X
fT = f · T
δnT
n=−∞
et donc, en utilisant le fait que F (u · v) = F (u) ? F (v),
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
F fT = F f ? F T
δnT = F f ?
δ2πn/T =
τ2πn/T F f.
n=−∞
n=−∞
n=−∞
6.1 Échantillonnage
51
De façon duale, si u est une distribution périodique, alors, si χ est une partition de l’unité, on a
!
∞
X
u = (χu) ?
δnT ,
n=−∞
et donc
1
F u = F (χu) ·
T
∞
X
!
δ2πn/T
=
n=−∞
∞
∞
X
X
1
F (χu)(2πn/T )δ2πn/T =
cn (u)δ2πn/T .
T
n=−∞
n=−∞
Ces manipulations, utilisant la dualité convolution-multiplication et la formule de Poisson, expriment la dualité des opérations d’échantillonnage (multiplication par un peigne) et de périodisation
(convolution par un peigne). On retrouve ainsi dans un cadre unifié le résultat des théorèmes des
parties précédentes. Donner un sens à ces manipulations, et notamment à la formule F (u · v) =
F (u) ? F (v) sort du cadre de la théorie que nous avons développée, et nécessite d’introduire les
espaces par lesquels on peut multiplier et convoluer des distributions tempérées (respectivement, les
fonctions C ∞ à croissance lente et les distributions à décroissance rapide). On pourra se rapporter
à [5] pour plus de détails.
6.1.2 Théorème de Shannon
Nous établissons dans ce paragraphe un résultat d’interpolation, qui montre que, sous certaines conditions, on peut reconstruire une fonction f à partir de ses échantillons. Ce résultat,
appelé théorème d’échantillonnage ou théorème de Shannon, est remarquable car il montre que
l’échantillonnage n’induit pas de perte d’information. La condition essentielle de ce théorème est
que le support de F f soit dans l’intervalle borné [−π/T, π/T ], ce qui garantit que f n’a pas de variation plus rapide que la moitié de la fréquence d’échantillonnage f = 2π/T . La Figure 6.1 illustre
les différentes étapes d’un échantillonnage puis d’une reconstruction à partir des échantillons, dans
le domaine temporel et le domaine fréquentiel.
Théorème 6.3 (Shannon). Si f ∈ S (R) et si le support de fˆ est inclus dans [−π/T, π/T ], alors
+∞
X
ã
π(t − nT )
,
f (t) =
f (nT ) sinc
T
n=−∞
Å
(6.3)
où on rappelle que sinc x = sin x/x.
Exercice 6.2 Montrer le Théorème 6.3, en s’inspirant de la Figure 6.1.
Correction. Par le Théorème 6.1,
fˆT (ξ) =
X
fˆ(ξ + 2nπ/T ),
n∈Z
donc
fˆ(ξ) = fˆT (ξ) · 1[−π/T,π/T ] (ξ) = T
X
f (nT ) e−iξnT 1[−π/T,π/T ] (ξ)
n∈Z
On en déduit immédiatement
f (t) = T
X
f (nT ) F −1 e−iξnT 1[−π/T,π/T ] (t)
n∈Z
=T
X
n∈Z
f (nT ) F −1 1[−π/T,π/T ] (t − nT ).
(6.4)
52
^
f( ω)
f(t)
ω
(a)
t
π
T
π
T
^
fT( ω)
(b)
f (t)
T
ω
3π
T
−π
T
π
T
11
00
00
11
1
0
00
11
0
1
1
00
11
00
1
00
11
00
11
00
11
0
11 1
00
00
11
00
11
0
1
3π
T
h (t)
T
T
1
(c)
0
ω
π
T
−3T
^f ( ) ^
ω h (ω)
T
(d)
−T
t
T
3T
f * h (t)
T T
T
ω
−π
T
t
T
^h (ω)
π
T
0
01
1
0
1
t
π
T
Fig. 6.1. (a) : Signal f et sa transformée de Fourier F f . (b) : Un échantillonnage uniforme de f rend sa
transformée de Fourier périodique. (c) : Passe-bas idéal. (d) : Le filtrage de (b) par (c) reconstitue f .
Notons que cette formule peut être interprétée comme la convolution de fT par F −1 1[−π/T,π/T ] ,
dans l’esprit de la Remarque 6.2.
Par un calcul direct (voir Exercice 2.9), on montre que la transformée de Fourier inverse de
1[−π/T,π/T ] est
Z π/T
Å ã
1
sin(πt/T )
1
πt
eitξ dξ =
= sinc
,
2π −π/T
πt
T
T
On en déduit le résultat (6.4).
Remarque 6.4 (Théorème de Shannon pour les séries trigonométriques). Un résultat
similaire au théorème précédent s’obtient pour les séries trigonométriques dont les exponentielles
complexes ont des pulsations strictement inférieures en valeur absolue à π/T . La preuve est très
différente et se base sur la décomposition en série de Fourier de la restriction des fonctions ξ 7→ eiξt
à [−π/T, π/T ].
6.2 Le recouvrement spectral (aliasing)
53
La fonction hT (t) = sinc(πt/T ) dont la transformée de Fourier est 1[−π/T,π/T ] (ξ) s’appelle filtre
passe-bas idéal. La reconstitution (6.3) de f s’appelle le filtrage de fT par hT , et permet de ne
conserver que les composantes fréquentielles de F fT (ξ) telles que |ξ| 6 π/T .
Remarque 6.5 (Approximation numérique). Si f (t) est un signal à bande limitée dont le
support de la transformée de Fourier est inclus dans [−ξmax , ξmax ], le théorème de Shannon montre
que la fréquence d’échantillonnage minimale pour laquelle le signal peut être reconstruit exactement
est 2ξmax . C’est par exemple ce qui explique qu’un CD audio soit échantilloné à une fréquence de
44100 Hz (l’oreille humaine entendant les sons jusqu’à environ 20000 Hz).
La fonction hT a une décroissance très lente à l’infini, donc le second membre de (6.3) converge
très lentement. Ceci peut poser des problèmes pour des calculs pratiques (la durée d’échantillonnage
d’un signal n’étant pas infinie). C’est pourquoi il est intéressant de remplacer hT par une fonction
qui a une décroissance plus rapide à l’infini. Supposons qu’on suréchantillonne f , c’est-à-dire qu’on
l’échantillonne à une fréquence 2π/T > 2ξmax . Les calculs conduisant à (6.3) restent valables si
l’on remplace le filtre passe-bas idéal hT par un filtre h vérifiant
1
si |ξ| < ξmax ,
ĥ(ξ) = 0
si |ξ| > π/T,
mais dont la transformée de Fourier ĥ est plus régulière. Ainsi, le filtre h a une décroissance à
l’infini plus rapide qu’un sinus cardinal, et la série
X
f (nT ) h(t − nT )
f (t) =
n∈Z
a de meilleures propriétés numériques de convergence.
Remarque 6.6. On peut généraliser le théorème à des fonctions dont la décroissance à l’infini
est moins rapide que celle des fonctions de S , par exemple des fonctions L2 .
6.2 Le recouvrement spectral (aliasing)
Que se passe-t-il si les conditions du théorème de Shannon ne sont pas vérifiées ? La réponse
est contenue dans l’équation (6.2) que nous rappelons pour mémoire pour f ∈ S :
ã
Å
X
2kπ
.
F fT (ξ) =
Ff ξ +
T
k∈Z
Supposons que le support de F f déborde de [−π/T, π/T ]. Le support de F f (ξ+2kπ/T ) intersecte
alors [−π/T, π/T ] pour plusieurs k 6= 0 en général, comme le montre la Figure 6.2. Ce repliement
des composantes de haute fréquence sur un intervalle de basse fréquence s’appelle recouvrement
spectral, repliement spectral ou encore aliasing.
6.2.1 Exemple de repliement spectral
Considérons une oscillation de haute fréquence
f (t) = cos(ξ0 t) =
Sa transformée de Fourier est
eiξ0 t + e−iξ0 t
.
2
F f = π δ−ξ0 + δξ0 .
54
^
f( ω)
f(t)
(a)
ω
π
T
t
π
T
^
f ( ω)
f T(t)
T
(b)
3π
T
ω
π
T
π
T
t
3π
T
T
^
h ( ω)
h (t)
T
1
(c)
ω
π
T
π
T
0
−3T
^
^
fT ( ω) h ( ω)
T
3T
t
T
t
ω
π
T
−T
f T * h (t)
T
(d)
T
π
T
Fig. 6.2. (a) Signal à échantillonner et sa transformée de Fourier. (b) Echantillonnage et repliement
spectral. (c) Filtre passe-bas idéal pour filtrage initial du signal. (d) Reconstruction du signal échantillonné.
Si 2π/T > ξ0 > π/T , on a alors 1
F fT ĥT = π 1[−π/T,π/T ] (ξ)
X
δ−ξ0 −2kπ/T + δξ0 −2kπ/T
= π δξ0 −2π/T + δ2π/T −ξ0 ,
k∈Z
car −π/T < ξ0 − 2π/T < 0 et 0 < 2π/T − ξ0 < π/T . Par transformée de Fourier inverse,
1. Le lecteur attentif notera qu’en toute rigueur, le produit d’une distribution tempérée par une fonction
non régulière (en l’occurence 1[−π/T,π/T ] ) n’est pas défini a priori. En (6.4), on pouvait interpréter le
produit au membre de gauche comme le produit d’une fonction S par une fonction L∞ . Dans le cas
particulier considéré ici, on peut cependant donner un sens au produit en écrivant, pour φ ∈ S (R)
donnée,
fˆT ĥT , φ S 0 ,S = fˆT , 1[−π/T,π/T ] φ
et en évaluant la fonction de droite (continue presque partout) aux points donnés par les masses de Dirac
du membre de gauche, qui sont bien placées en des points de continuité de la fonction du membre de
droite.
6.3 Transformée de Fourier discrète
X
ïÅ
f (kT ) hT (t − kT ) = cos
k∈Z
55
ã ò
2π
− ξ0 t .
T
L’aliasing ramène la haute fréquence ξ0 à une fréquence plus basse (2π/T − ξ0 ) ∈ [−π/T, π/T ]. Le
même repliement de fréquence s’observe sur un film qui échantillonne dans le temps le mouvement
rapide d’un objet, avec un nombre insuffisant d’images par seconde. Une roue qui tourne vite
semble dans le film tourner beaucoup plus lentement, parfois dans le sens inverse. Un cas très
simple est celui où ξ0 = 2π/T , auquel cas f (kT ) = 1, et le signal apparaı̂t stationnaire.
Exercice 6.3 A quelle vitesse une roue à cinq barreaux de 40cm de diamètre d’une voiture apparaı̂tra-t-elle comme stationnaire sur un film tourné à 30 images par secondes ?
6.2.2 Suppression de l’aliasing
Pour éviter le recouvrement spectral, il faut que le support spectral de la fonction qu’on
échantillonne à un pas T soit inclus dans [−π/T, π/T ]. Ceci n’est malheureusement pas toujours possible, car la fréquence d’échantillonnage est imposée par le dispositif d’acquisition. Il est
préférable dans ce cas de faire subir un prétraitement à f pour ramener son support spectral dans
[−π/T, π/T ].
Exercice 6.4 Montrer que la fonction g telle que Supp(F g) ⊂ [−π/T, π/T ] et qui soit la plus
proche possible de f en norme L2 est donnée par
F g(ξ) =
1
ĥT (ξ) F f (ξ).
T
(6.5)
Correction. La formule de Plancherel (4.1) montre que
Z +∞
1
kf − gk2L2 =
|F f (ξ) − F g(ξ)|2 dξ
2π −∞
Z
Z
1
1
=
|F f (ξ)|2 dξ +
|F f (ξ) − F g(ξ)|2 dξ.
2π |ξ|>π/T
2π |ξ|6π/T
La distance est minimale lorsque la seconde intégrale est nulle, soit
F g(ξ) = F f (ξ) 1[−π/T,π/T ] (ξ) =
1
ĥT (ξ) F f (ξ).
T
(6.6)
Cette opération, appelée filtrage de f par T1 hT , évite le recouvrement spectral en supprimant
toutes les fréquences au-delà de π/T . Comme F g est à support dans [−π/T, π/T ], le théorème
d’échantillonnage montre que g(t) peut être reconstitué à partir des échantillons g(nT ).
Un convertisseur analogique/digital est composé d’un filtre qui limite le support fréquentiel à
[−π/T, π/T ], suivi d’un échantillonnage uniforme au pas T .
6.3 Transformée de Fourier discrète
Numériquement, on ne connaı̂t les valeurs d’une fonction continue f qu’en ses points d’échantillonnage,
et par ailleurs, on n’a accès qu’à un nombre fini N de ces échantillons : typiquement, on connaı̂t
f [n] pour 0 6 n < N (nous avons considéré une période d’échantillonnage T = 1 pour simplifier).
Nous allons voir maintenant comment la transformée de Fourier discrète permet de donner un sens
à la transformée de Fourier des valeurs {f [n]}n=0,...,N −1 .
Pour cela, considérons un peigne de Dirac dont les poids sont les f [n], étendus à Z tout entier
par périodisation :
+∞ N
−1
X
X
f˜ =
f [n] δn+kN .
(6.7)
k=−∞ n=0
56
Puisque f˜ est une distribution N -périodique, elle peut s’écrire comme une série de Fourier :
+∞
X
f˜(t) =
ck (f˜) e2iπkt/N ,
(6.8)
k=−∞
avec
∂
1 ¨˜
f , χ e−2iπkt/N 0 ,
D ,D
N
où χ est une partition N -périodique de l’unité. On voit ensuite que
!
N
−1
N −1
X
X
1
1 X
ck (f˜) =
χ(n + lN ) e−2iπk(n+lN )/N =
f [n]
f [n] e−2iπkn/N ,
N n=0
N n=0
ck (f˜) =
(6.9)
l∈Z
où on a utilisé le Lemme 5.2. Finalement, la transformée de Fourier discrète est définie par N ck (f˜) :
Définition 6.7 (Transformée de Fourier discrète). On définit la transformée de Fourier
discrète {fˆ[k]}k=0,...,N −1 de {f [n]}n=0,...,N −1 par
fˆ[k] =
N
−1
X
f [n] e−2iπkn/N .
(6.10)
n=0
On obtient une formule d’inversion de la transformée de Fourier discrète grâce à la représentation
de la distribution périodique f˜ comme une série de Fourier, selon (6.8) :
f˜ =
−1
+∞ N
X
X
f [n] δn+kN =
k=−∞ n=0
+∞
X
1
cm (f˜) e2iπmt/N =
N
m=−∞
+∞
X
fˆ[m] e2iπmt/N ,
m=−∞
où on a utilisé la définition (6.9) pour la seconde égalité. On utilise ensuite la périodicité de
k 7→ fˆ[k], à savoir
∀k = 0, . . . , N − 1,
fˆ[k + N ] = fˆ[k],
pour regrouper les termes du membre de droite dans l’expression de f˜ ci-dessus, en décomposant
m ∈ Z sous la forme m = k + lN :
+∞ N −1
1 X X ˆ
f [k] e2iπkt/N e2iπlt .
f˜ =
N
l=−∞ k=0
On peut en fait réécrire f˜ sous la forme
f˜ =
N −1
1 X ˆ
f [k] e2iπkt/N
N
k=0
!
+∞
X
e2iπlt ,
l=−∞
P −1 ˆ
2iπkt/N
car la fonction g : t 7→ N
est telle que
S (R), alors gh ∈ S (R), et ainsi
k=0 f [k] e
Psi h ∈ 2iπlt
on peut définir le produit de la distribution tempérée +∞
par la fonction g, en faisant
l=−∞ e
porter la multiplication sur la fonction test. Avec (5.6), on a ensuite
! +∞
!
N −1
+∞
N −1
X
X
1 X ˆ 2iπkt/N
1 X ˆ 2iπkl/N
˜
f=
f [k]e
δl =
f [k]e
δl .
N
N
k=0
l=−∞
l=−∞
k=0
La comparaison avec la définition (6.7) montre que, par identification des termes devant les masses
de Dirac δl (0 6 l 6 N − 1),
N −1
1 X ˆ
f [n] =
f [k] e2iπkn/N .
N
k=0
On a ainsi montré la formule d’inversion de la transformée de Fourier discrète :
6.4 Transformée de Fourier rapide
57
Proposition 6.8 (Formule d’inversion discrète). Etant données N valeurs {f [n]}n=0,...,N −1
d’une fonction continue régulièrement échantillonnée,
N −1
1 X ˆ
f [n] =
f [k] e2iπkn/N ,
N
(6.11)
k=0
où la transformée de Fourier discrète est définie en (6.10).
Exercice 6.5 Prouver la Proposition 6.8 de façon plus élémentaire en montrant que la famille
{ek }06k<N où
1
ek [n] = √ e2iπkn/N
N
est une base orthonormale de l’espace des signaux discrets de période N .
Correction. On vérifie par un calcul direct que cette famille est orthonormale : pour k, l ∈
{0, . . . , N − 1},
N
−1
X
n=0
ek [n]el [n] =
N −1
1 X 2iπ(k−l)n/N
e
= δk,l ,
N n=0
en utilisant la formule de la somme des premiers termes d’une série géométrique de raison
e2iπ(k−l)/N . Comme cette famille est de taille N , qui est aussi la dimension des signaux discrets
de période N , c’est une base.
Remarque 6.9 (Discontinuités). Même si la définition de la transformée de Fourier discrète ne
fait intervenir que les valeurs de f échantillonnée aux points 0, . . . , N − 1, il faut toujours garder
à l’esprit qu’elle se définit comme la série de Fourier de la fonction f˜ périodisée à partir des
f [n], n = 0, . . . , N − 1. Ceci a une importance considérable lorsqu’on s’intéresse à des propriétés
de régularité de la fonction f , car, comme le montre la Figure 6.3, la périodisation peut introduire
artificiellement des discontinuités.
Fig. 6.3. Apparition de discontinuités lors de la périodisation de l’échantillonnage (voir Remarque 6.9).
6.4 Transformée de Fourier rapide
6.4.1 Présentation générale de la méthode
Le calcul direct de la transformée de Fourier discrète par la formule (6.10) nécessite a priori, si
les exponentielles complexes sont stockées à l’avance, N 2 multiplications complexes, et N (N − 1)
additions complexes, soit une complexité en O(N 2 ).
Il existe cependant des techniques pour réduire ce coût de calcul, et calculer la transformée de
Fourier discrète en O(N log2 N ) opérations, par une simple réorganisation des calculs. On parle
ainsi d’algorithmes de transformée de Fourier rapide (FFT, pour “Fast Fourier Transform”). Il en
58
existe plusieurs, le plus connu étant celui de Cooley et Tuckey [2], qui s’applique lorsque le nombre
de points échantillonnés est une puissance de 2 (voir [3, Section III.B] pour d’autres références).
La puissance de cet algorithme en fait un outil numérique incontournable (voir par exemple [3,
Section III.B.7] pour une liste d’applications, en traitement du signal et résolution des équations
aux dérivées partielles).
Le principe de la méthode est de réaliser le calcul du coefficient fˆ[k] défini en (6.10) en regroupant les termes n et n + N/2. On obtient deux formules distinctes, selon que k soit un entier pair
ou impair :
fˆ[2k] =
N/2−1 X
n=0
N/2−1
fˆ[2k + 1] =
X
n=0
ã
Å
2iπkn
,
f [n] + f [n + N/2] exp −
N/2
Å
ã
ã
Å
2iπn 2iπkn
exp −
.
f [n] − f [n + N/2] exp −
N
N/2
(6.12)
(6.13)
Comme le montrent les expressions (6.12) et (6.13), les fréquences paires et impaires s’obtiennent
respectivement par transformée de Fourier discrète des signaux N/2-périodiques
f [n] + f [n + N/2]
et
Å
ã
2iπn
f [n] − f [n + N/2] exp −
.
N
Une transformée de Fourier discrète de taille N peut donc se calculer à partir de deux transformées
de Fourier discrètes de taille N/2.
6.4.2 Calcul de complexité
Montrons que la complexité globale de l’algorithme est O(N log N ). Soit M (N ) le nombre
d’opérations élémentaires (addition, multiplication...) nécessaires pour calculer la transformée de
Fourier d’un signal de longueur N . Le calcul fait intervenir deux transformées de Fourier de taille
N/2, ainsi que CN opérations élémentaires, où C est une constante. On a donc les formules de
récurrences suivantes :
M (N ) = 2 M (N/2) + CN.
f(N ) = M (N )/N , et avec le changement de variables p = log2 N , on obtient
En posant M
f(p) = M
f(p − 1) + C.
M
La transformée de Fourier d’un signal ne comportant qu’une seule valeur est l’identité, donc
f(0) = 0. On en déduit que
M
f(p) = C p
M
soit finalement,
M (N ) = C N log2 N.
La complexité globale de l’algorithme est donc de C N log2 N = O(N log N ), bien inférieure au
O(N 2 ) qu’on obtiendrait si on calculait directement les coefficients de Fourier par leur définition.
En pratique, le facteur log N croı̂t tellement lentement que la complexité est quasi-linéaire.
La méthode de calcul a été ici expliquée pour des données de taille 2p . Elle peut être généralisée
à des données de taille arbitraire, toujours avec une complexité O(N log N ), mais avec un préfacteur
souvent plus important. Par exemple, sur un ordinateur de bureau standard sous MATLAB, une
FFT de taille 8, 388, 608 = 223 prend 0.1 secondes, une FFT de taille 8, 388, 449 (un nombre
premier) prend 1.6 secondes.
7
Appendice : distributions à support compact
Définition 7.1. Soit T ∈ D0 (Ω).
(1) Soit ω ouvert inclus dans Ω. On dit que T est nulle sur ω si pour toute fonction φ ∈ D(Ω)
telle que Supp(φ) ⊂ ω, on a hT, φiD0 ,D = 0.
(2) Le support de T est le complémentaire dans Ω de la réunion des ouverts de Ω sur lesquels T
est nulle.
Définition 7.2. On note E 0 (Ω) l’espace vectoriel des distributions sur Ω à support compact.
On a le résultat suivant.
Théorème 7.3. Si une distribution de D0 (Ω) est à support compact, elle est d’ordre fini.
Preuve. Soit K le support de T et α = d(K, Rd \ Ω) (dans le cas où Ω = Rd , on prendra α = +∞).
Posons β = inf(1, α) et considérons les ensembles
ß
™
β
K 0 = x ∈ Rd , d(x, K) 6
,
3
et
ß
Ω 0 = x ∈ Rd ,
™
2β
.
3
Il est clair que K 0 est compact et que Ω 0 est un ouvert de fermeture compacte. De plus, on a
d(x, K) <
K ⊂ K 0 ⊂ Ω 0 ⊂ Ω 0 ⊂ Ω.
Soit p un entier et C une constante réelle tels que
∀φ ∈ DΩ 0 (Ω),
|hT, φi| 6 C
|∂ α φ(x)|.
sup
x∈Ω 0 , |α|6p
Soit maintenant ρ ∈ D(Ω) égale à 1 sur K 0 et à support dans Ω 0 . On a pour tout φ ∈ D(Ω),
hT, φi = hT, ρφi + hT, (1 − ρ)φi
et hT, (1 − ρ)φi = 0 puisque les supports de T et de (1 − ρ)φ sont disjoints. De plus, comme
Supp(ρφ) ⊂ Ω 0 , on a
∀φ ∈ D(Ω),
|hT, φi| 6 C
sup
|∂ α (ρφ)(x)|.
x∈Ω, |α|6p
D’après la formule de Leibniz,
∀φ ∈ D(Ω),
|hT, φi| 6 C 0
sup
|∂ α φ(x)|
x∈Ω, |α|6p
avec
C0 = C
α!
|∂ β ρ(x)|.
β!
(α
− β)!
x∈Ω, |α|6p, β6α
sup
Donc T est d’ordre fini inférieur ou égal à p.
60
7 Appendice : distributions à support compact
Remarque 7.4. Soit T ∈ E 0 (Ω) une distribution à support compact, p son ordre, K un voisinage
compact de Supp T et χ ∈ D(Ω) valant 1 sur K. Posons pour tout φ ∈ C ∞ (Ω),
hT, φiE 0 ,C ∞ = hT, χφi.
Cette définition est indépendante de χ : soit en effet χ1 et χ2 dans D(Ω) valant 1 sur K ; on a
hT, χ1 φi − hT, χ2 φi = hT, (χ1 − χ2 )φi.
La fonction φe = (χ1 − χ2 )φ étant nulle sur K voisinage de Supp u, on a
hT, (χ1 − χ2 )φi = 0.
On a ainsi associé à une distribution à support compact une forme linéaire sur C ∞ (Ω).
Théorème 7.5. Les distributions à support compact sont des distributions tempérées.
Preuve. Soit T ∈ E 0 (Rn ). Par la construction de la Remarque 7.4, on peut définir
hT, φiS 0 ,S = hT, φiE 0 ,C∞ .
Finalement,
hT, φiS 0 ,S = hT, χφiD0 ,D 6 CK 0 sup k∂ α (χφ)kL∞ 6 C sup k∂ α φkL∞ 6 C Np (φ),
|α|6p
ce qui est bien la propriété de continuité (3.3).
|α|6p
Bibliographie
[1] H. Brézis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications (Dunod, 1999).
[2] J. W. Cooley et J. W. Tukey, An algorithm for the machine calculation of complex Fourier
series, Math. Comput. 19 (1965) 297–301.
[3] R. Dautray et J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et
les techniques, volume I-III (Masson, 1987).
[4] M. Pinsky, Introduction to Fourier analysis and wavelets (American Mathematical Soc.,
2002).
[5] L. Schwartz, Théorie des distributions (Hermann, 1998).

Analyse de Fourier et applications

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