SPECTROSCOPIE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER

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SPECTROSCOPIE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER
PARTIE THEORIQUE
1 - Rappels sur l'interféromètre de Michelson
C'est un interféromètre à deux faisceaux séparés. Il se compose essentiellement de (fig. 1) :
- 2 miroirs plans M1 et M2 situés dans 2 plans perpendiculaires
- 2 lames de verre plan-parallèles identiques S et C inclinées à 45° des plans des miroirs.
La face ab de la séparatrice S est semi-réfléchissante. Grâce à la compensatrice C, les faisceaux (1) et
(2) effectuent chacun 4 traversées de lames et la symétrie des chemins optiques est conservée. Cependant,
la réflexion en O se fait dans le sens air-verre pour le rayon (1) et dans le sens verre-air pour le rayon (2), ce
qui introduit une différence de marche supplémentaire λ/2 entre les 2 rayons.
Selon que les miroirs sont ou non exactement perpendiculaires, on obtient des systèmes d'interférences
différents. Nous ne traiterons ici que le cas des miroirs exactement perpendiculaires, c'est -à -dire des
anneaux d'égale inclinaison.
Soit M' 1 le symétrique de M1 par rapport au plan ab. Si M1 et M2 coïncident, les rayons (1) et (2)
présentent une différence de marche λ/2 quelle que soit l'orientation du rayon incident S1O. On dit qu'il y a
contact optique entre les 2 miroirs : il n'y a pas de figure d'interférences.
Si M'1 et M2 sont parallèles sans coïncider, la différence de marche entre les rayons (1) et (2) est, au
terme λ/2 près, celle que créerait la réflexion sur une lame d'air à faces parallèles comprise entre les plans
M' 1 et M2 (fig. 2).
L'interféromètre étant éclairé par un faisceau de lumière convergente, les franges d'interférences sont
pour des raisons de symétrie évidentes des anneaux. De plus, les rayons émergents (1) et (2) étant parallèles,
ces anneaux sont localisés à l'infini et on les observe dans le plan focal d'une lentille.
La différence de marche entre les rayons (1) et (2) est : δ = 2e cos i + λ/2
Au centre de la figure d'interférences, la différence de marche est δ 0= 2e + λ/2 = pλ
Pour une épaisseur quelconque e, p n'est ni entier, ni demi-entier et le centre des anneaux n'est ni clair ni
sombre.
Interféromètre de Michelson
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Spectroscopie de Fourier 1
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
Différence de marche entre les rayons (1) et (2)
• δg différence de marche géométrique
δg = (IJ + JK) - IH = 2e cos i
• δp = différence de marche physique
δp = δg + λ/2 = 2e cos i + λ/2
Au centre : i = 0 => (δp)0 = 2e + λ/2
2 - Spectroscopie par transformée de Fourier
Principe de la méthode - Interférogramme
Dans l'interféromètre de Michelson, au centre de la figure d'interférences, la différence de marche est
2πδ 0
λ
δ 0 = 2e +
, le déphasage est
ϕ =
Fig 2
2
λ
2.1 - Rayonnement monochromatique
Quand l'interféromètre est éclairé par une radiation monochromatique de longueur d'onde λ , si le flux
incident est Φ 0 , le flux émergent est :
 ϕ 1
Φ1 (δ 0 ) = Φ 0 cos 2   = Φ0 [1 + cos(2πσδ 0 )]
 2 2
σ=
1
est le nombre d'onde
λ
2.2 - Rayonnement complexe
On a alors Φ (σ )? 0 pour 0 < σ1 < σ < σ2
Si l'appareil est éclairé par un rayonnement complexe, en appelant Φ(σ )le flux monochromatique
incident correspondant au nombre d'onde σ, le flux élémentaire transporté par l'élément spectral dσ est
Φ (σ )dσ et le flux émergent total s'écrit :
Φ 1 (δ 0 ) =
En posant ∆ = 2e ,
où Φ t (σ ) =
et I (∆ ) =
∞
Φ 1 (∆) =
∞
∫0 Φ(σ ) dσ
∞
∫0 Φ(σ )[1 + cos(2πσδ 0 ) ]dσ
1 ∞
1
Φ
(
σ
)
dσ
−
I(∆)
∫
2 0
2
est le flux total incident indépendant de ∆
∫0 Φ(σ ) cos(2 πσ∆ ) dσ
est l'interférogramme.
Si on introduit la fonction Φ p (σ) =
1
[Φ(σ )+ Φ(−σ)] avec − ∞ < σ < +∞ , on obtient (cf
2
appendices 1 et 2 sur le tableau mural en salle de manipulation) :
+8
-j2πσ∆ dσ
I(∆) = ⌠
⌡ φ p(σ) e
-8
où I(∆) apparaît comme la transformée de Fourier de φ p(σ) .
On peut montrer alors que (appendice 2 en salle de manipulation) :
8
φ(σ) = 4 ⌠
⌡ I(∆) cos(2πσ∆) d∆
0
Le miroir M2 mobile permet de faire varier ∆, donc d'obtenir la fonction φ 1 (∆) .
2.3 - Exemples d'interférogrammes
2.3.1 - Source monochromatique
λ = λ0
σ0 =
;
1
λ0
φ(σ) = φ 0 δ(σ − σ0)
[ δ(σ - σ0 ) : fonction delta , cf appendice 1]
8
I(∆) = φ 0 ⌠
⌡ δ(σ - σ0) cos(2πσ∆) dσ = φ 0 cos(2πσ0 ∆)
0
L'interférogramme est donc une sinusoïde.
2.3.2 - La source émet un doublet
λ = λ1
et
λ = λ2
φ(σ) = φ 1 δ(σ - σ1 ) + φ 2 δ(σ - σ2 )
Le calcul donne: I(∆) = φ 1 cos(2πσ1 ∆) +
Si on suppose φ 1 = φ 2 = φ 0


I(∆) = 2 φ 0 cos 2π
φ 2 cos(2πσ2 ∆)
σ1-σ2 
 σ +σ 
 cos 2π 1 2 ∆
∆
2
2



On obtient des battements :
l'interférogramme se présente sous la forme de fuseaux.
2.3.3 - Profil gaussien :
σ - σ02

φ(σ) = φ 0 e  δσ 
-π 
Ici δσ caractérise la largeur de la gaussienne : ne pas confondre avec la fonction δ (cf appendice 1 en
salle de manipulation).
Le calcul donne (cf appendice 1 en salle de manipulation) :
2
I(∆) = φ e-π(δσ∆) cos(2πσ ∆)
0
0
L'interférogramme
est
une
sinusoïde dont l'amplitude s'amortit
selon une gaussienne. Le facteur
exponentiel qui vaut 1 pour ∆ = 0 ,
vaut e-π = 0,043 pour ∆ = ∆1 =
1
.
δσ
3 - Influence du déplacement limite du miroir mobile - Fonction d'appareil
Nous avons vu que l'interférogramme d'une raie monochromatique est une sinusoïde infinie. Mais
expérimentalement, compte tenu du déplacement limité du miroir mobile M2, on n'enregistre qu'une fraction
de longueur L de cette sinusoïde.
Nous allons déterminer la transformée de Fourier d'une longueur L de sinusoïde de période λ0 .
3.1 - Intégration continue
Le calcul donne : f(σ) = cte
sin[π(σ - σ0 )L]
π(σ - σ0 )L
( σ0 =
1
λ0
)
2
La raie centrée sur σ0 présente une largeur ∆ σ = L
sin(πuL)
y(u) =
est la fonction d'appareil.
πuL
3.2 - Intégration par échantillonnage
(voir la partie 6 en fin du polycopié pour le calcul détaillé)
L
= n0
entier
λ0
La transformée de Fourier donne l'harmonique n0 seulement : cf exemples.
1er cas :
L
= m0
non entier
λ0
La transformée de Fourier donne de nombreux harmoniques dont l'enveloppe des amplitudes
correspond à la fonction d'appareil. Voir exemples page suivante.
2ème cas :
Quand mo est voisin d'un entier, la fonction d'appareil est étroite, quand mo est proche d'un 1/2 entier,
la fonction d'appareil est large.
Le cas idéal où mo est entier correspond à une fonction d'appareil de largeur nulle.
Conclusion: l'existence de la fonction d'appareil conduit à une certaine largeur spectrale pour une raie
monochromatique. Ceci limitera la résolution dans le cas de spectres constitués de raies très proches.
Exemple : résolution du doublet des alcalins (cas de Cs et Na).
4 - Etalonnage en longueur d'onde du spectre d'une T.F. avec la raie du laser He-Ne : λ 0 =
6328,16 Å
Si h est le pas d'échantillonnage de l'interférogramme, le nombre d'onde maximum observé dans le
spectre TF est :
1
σc =
2h
( Théorème de Nyquist )
Pour un interférogramme comportant 2N points, la transformée de Fourier donne N harmoniques tels
que :
σm
=
m . σf
σc
σf = N
avec
et
1=m= N
La connaissance de σc permet d'obtenir le nombre d'ondes σm d'un harmonique quelconque.
Inversement, connaissant σ0, le nombre d'onde d'une raie de référence, on peut en déduire σc.
4.1 - Détermination de σ c à partir du spectre d'une T.F.
L'étude de la fonction d'appareil ( partie 3 ) nous a montré que la raie λ = λ0 ne coïncide pas toujours
exactement avec l'harmonique d'amplitude maximum mmax, mais en est très proche.
D'autre part, lorsque la raie présente une certaine largeur, la position du maximum peut être déterminée
à partir de la largeur à mi-hauteur, en supposant un profil symétrique. Par exemple, la figure montre
l'interférogramme correspondant au fichier A6. La transformée de Fourier avec 4096 points donne mmax =
637,5 d'où σc = 50765 cm-1.
4.2 - Détermination de σ c directement à partir de l'interférogramme
Pour une raie monochromatique, l'interférogramme est une sinusoïde. On peut donc compter le nombre
de points d'échantillonnage sur une période donnée. On en déduit le pas h en fonction de la longueur d'onde
λ0
λ0 de la raie de référence. On détermine le rapport ρ =
, d'où :
h
1
ρ
σc =
=
2h
2λ0
4.3 - Conclusion
L'utilisation de ces deux méthodes conduit à :
soit un pas d'échantillonnage :
σc = 51000 ± 500 cm-1
h ˜ 981 Å
Laser Hélium-Néon
5 - Exemples de spectres de T.F.
6 - Appendice : Transformee de Fourier d'une fonction f(x)
L'échantillonnage d'une fonction f(x) consiste à utiliser un ensemble de valeurs discrètes de f(x)
mesurées pour des valeurs régulièrement espacées de la variable x.
6.1 - Séries de Fourier des fonctions continues
On considère f(x) définie sur l'intervalle ( 0, L ) et connue en tout point. On a alors :
a0
f(x)
=
2
Erreur!am = Erreur!
( m = 0, 1, 2, . . . )
+
L
⌠
2mπx
bm = 2  f(x) sin
 dx
⌡
L
 L 
( m = 1, 2, . . . )
0
6.2 - Séries de Fourier des fonctions discrètes
On considère f(x) définie sur l'intervalle ( 0, L ). On échantillonne la fonction avec un nombre pair 2N de
points sur l'intervalle 0=x=L. On ne connait la fonction qu'en ces 2N points :
L
L
L
L
, 2 2N , 3 2N , . . . . 2N 2N
2N
L
soit xn = n 2N
( n = 1, 2, 3, . . . 2N)
Le développement en série de Fourier d'une telle fonction peut s'écrire :
N-1
∑
A0
f(x) =
+
2

2mπx
2mπx  AN 2mπx
 Am cos  L  + Bm sin L   + 2 cos  L 







m=1
2N
Am =
1
N
∑
2mπxn

f(xn) cos 
 L 
( m = 0, 1, 2, . . . . , N )
2mπxn

f(xn) sin
 L 
( m = 1, 2, . . . . , N-1 )
n=1
2N
1
Bm =
N
∑
n=1
fm =
m
L
est la fréquence de l'harmonique m.
2
2
1
Cm = ( Am + Bm ) 2
est l’amplitude de l'harmonique m
1 = m = N-1
Le calcul de la transformée de Fourier de la fonction f(x) échantillonnée avec 2N points sur
l'intervalle (0,L) consiste à déterminer les coefficients des N harmoniques de la série de Fourier
donnés par les formules ci-dessus.
Remarque : le pas d'échantillonnage est : h =
L
2N
la fréquence maximum est : f max =
N
1
, d'où fmax =
L
2h
PARTIE PRATIQUE
Le schéma du montage expérimental est donné sur la figure ci-contre.
1 - Acquisition des données (sur la vitesse X4)
Avant d'enregistrer un interférogramme , placer le miroir mobile à la position du contact optique
(14,05 mm) et remettre "Position X" à zéro en appuyant sur le bouton "zéro". Mettre en route le moteur
assurant le déplacement du miroir mobile. On prendra environ 10000 points d'échantillonnage (˜ 2800 en
hexadécimal).
Utilisez le programme Litmic pour transferer les donnees sur l'ordinateur.
Le calcul utilise un programme de transformée de Fourier rapide (FFT = Fast Fourier Transform) qui
nécessite que le nombre total 2N de points d'échantillonnage soit une puissance de 2 : 8192, 4096, 2048, ... .
On ne dépassera pas 2N = 8192.
Enregistrer les interférogrammes suivants :
* Lampe au césium : utiliser le détecteur "infra-rouge" (maximum de sensibilité vers 8000 Å)
* Lampe à hélium : utiliser le détecteur "visible" (maximum de sensibilité vers 6000 Å).
Facultatif : les étudiants pourront aussi, s'ils en ont le temps, utiliser la lampe au sodium et/ou la lampe
au mercure (dans les deux cas avec le détecteur "visible").
2 - Exploitation des résultats
2.1 - Doublet du césium
Les raies du doublet correspondent à λl = 8521,12 Å et λ2 = 8943,46 Å. Dans le spectre obtenu, pointer
chacune des raies du doublet et déduisez en σc (˜60000 cm). On effectue ainsi un contrôle de l'étalonnage
du spectre T.F. réalisé avec la raie λ = 6328 Å du laser He-Ne.
2.2 - Spectre de l'hélium
Déterminer la longueur d'onde des principaux pics apparaissant dans le spectre. En utilisant la table de
longueurs d'onde de He, retrouver les raies observées.
.
Spectrométrie par Transformée de Fourier
Schéma du montage expérimental
L
L
Interféromètre
de
Michelson
S
Y
Détecteur
X
X : position du miroir mobile
Y : intensité du signal lumineux
Y = f(X) : interférogramme
S = lampe spectrale
L = lentille
Système d'acquisition des données
X2
Acquisition
et
stockage des
données
Y = f(X)
(face avant)
X3
X1
X4
Amplitude
Position X
Relecture
RAZ
Mémoire
M
Zéro
Boîtier capteur
Encodeur
Oscillo
A
Amplitude
(du signal lumineux) et
position X
(du miroir mobile) affichées en
Prise pour liaison avec l'ordinateur
(après acquisition des données sur la manip)
face
arrière
face
avant
hexadécimal
Remarque : Pour une durée
donnée ∆t d'acquisition,
le nombre de points d'échantillonnage est :
n avec X1, 2n avec X2,
3n avec X3 et 4n avec X4.
Pour le pas d'échantillonnage h, on a donc :
h1 = 2 h2 = 3 h3 = 4 h4

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