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Problèmes de Mathématiques
Z
Étude et calcul des intégrales
0
+∞ sin x n
dx
x
Énoncé
Étude et calcul des intégrales
Z
0
Z
I. Existence de
0
+∞
sin x
dx = lim
a→+∞
x
Z
0
a
+∞ sin x n
dx
x
sin x
dx.
x
sin x
Dans cette partie, on note ϕ l’application définie sur R+∗ par ϕ(x) =
.
x
Z (k+1)π
2
1. (a) Montrer que
|ϕ(x)| dx ≥
pour tout k de N. [ S ]
(k + 1)π
kπ
n
P
1
n→+∞ k=1 k
(b) En déduire que ϕ n’est pas intégrable sur R+ (on rappelle que lim
= +∞.) [ S ]
1 − cos x
2. (a) Montrer que l’application ψ : x 7→
est intégrable sur R+ . [ S ]
2
x
Z a
Z a
(b) Pour tout a > 0, montrer que
ϕ(x) dx = a ψ(a) +
ψ(x) dx. [ S ]
0
0
Z a
(c) En déduire que lim
ϕ(x) dx existe dans R.
a→+∞ 0
Z +∞
sin x
Cette limite est encore notée
dx bien que ϕ soit non intégrable sur R+ . [ S ]
x
0
Z
II. Calcul de l’intégrale
0
+∞
sin x
dx
x
1. Soit f une application de classe C 1 sur un segment [a, b], avec a < b.
Z b
Montrer que lim
f (x) sin nx dx = 0. [ S ]
n→+∞ a
i πi
1
1
2. Soit f l’application définie sur 0,
par f (x) = −
.
2
x sin x
h πi
Montrer que f se prolonge en une application de classe C 1 sur le segment 0,
.
2
Dans la suite de cette partie, ce prolongement sera encore noté f . [ S ]
Z π/2
sin(2n+1)x
3. Pour tout entier naturel, calculer Jn =
dx. [ S ]
sin x
0
Z π/2
Z +∞
sin(2n + 1)x
sin x
4. On pose Kn =
dx. Montrer que lim Kn =
dx. [ S ]
n→+∞
x
x
0
0
Z +∞
sin x
π
5. Déduire de ce qui précède que
dx = . [ S ]
x
2
0
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Extrait gratuit de document, le document original comporte 10 pages.
Problèmes de Mathématiques
Z
+∞ Étude et calcul des intégrales
0
sin x n
dx
x
Énoncé
Z
+∞
III. Calcul des intégrales
0
sin x −tx
e
dx
x
1. Montrer que si |u| ≤ α, alors | eu − 1 − u| ≤
u2 α
e . [S]
2
2. Soit ϕ une application continue et bornée sur R+ .
(a) Pour tout (k, t) de N × R+∗ , montrer que x 7→ xk ϕ(x) e−tx est intégrable sur R+ .
Z +∞
Z +∞
−tx
ϕ(x) e
dx et Z(t) = −
x ϕ(x) e−tx dx. [ S ]
Pour tout t > 0, on pose Y (t) =
0
0
(b) On se donne a > 0 et h tel que |h| ≤
1
2
a.
Montrer que |Y (a + h) − Y (a) − hZ(a)| ≤
(c) En déduire que Y est dérivable sur
R+∗
h2
2
Z
+∞
x2 |ϕ(x)| e−ax/2 dx. [ S ]
0
et que Y 0 = Z. [ S ]
(d) Montrer que lim Y (t) = 0. [ S ]
t→+∞
3. On reprend les notations précédentes avec l’application ϕ : x 7→
sin x
.
x
(a) Vérifier rapidement que cette application ϕ est bien continue et bornée sur R+ . [ S ]
(b) Calculer Z(t), pour tout t de R+∗ . [ S ]
Z
(c) En déduire que pour tout t strictement positif :
0
+∞
sin x −tx
π
e
dx = − arctan t. [ S ]
x
2
(d) Interpréter alors le résultat obtenu en (II.5) [ S ]
Z
IV. Étude des intégrales Ln =
0
+∞ sin x n
dx
x
Dans cette partie, on note toujours ϕ l’application définie sur R+∗ par ϕ(x) =
sin x
.
x
1. Montrer que ϕn est intégrable sur R+ pour tout n ≥ 2.
Z
Dans la suite de ce problème, on se propose d’étudier les intégrales Ln =
+∞
ϕn (x) dx
0
Montrer que L2n > 0 pour tout n de N∗ . [ S ]
2. Dans cette question, on fixe n dans N∗ , et on va montrer que L2n+1 > 0.
Z (k+1)π
On pose uk =
ϕ2n+1 (x) dx, pour tout k de N.
kπ
Z π
sin t 2n+1
k
(a) Pour tout k de N, montrer que uk = (−1)
dt. [ S ]
t + kπ
0
(b) Pour tout k de N, prouver que u2k + u2k+1 > 0. [ S ]
Z 2mπ
(c) En considérant Wm =
ϕ(x)2n+1 dx (avec m ∈ N∗ ) prouver que L2n+1 > 0. [ S ]
0
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Problèmes de Mathématiques
Z
+∞ Étude et calcul des intégrales
0
sin x n
dx
x
Énoncé
3. Dans cette question, on va montrer que lim Ln = 0.
n→+∞
(a) Montrer que ϕ est strictement décroissante sur [0, π]. [ S ]
(b) On se donne n ≥ 2, et a dans ]0, π[. Montrer que 0 < Ln < a + πϕn (a) +
1
.
(n−1)π n−1
Indication : R+ = [0, a] ∪ [a, π] ∪ [π + ∞[. [ S ]
(c) Montrer que lim Ln = 0. [ S ]
n→+∞
+∞ Z
V. Calcul des intégrales Ln =
0
sin x n
dx
x
Dans cette partie, n ≥ 2 est fixé. On note fn l’application définie sur R par fn (x) = sinn (x).
(k)
1. (a) Établir que ∀ k ∈ {0, . . . , n − 1}, fn (x) = o(xn−1−k ) au voisinage de 0.
Indication : développements limités en 0 obtenus par Taylor-Young. [ S ]
(k)
(b) Montrer que pour tout k de N, l’application fn
est bornée sur R. [ S ]
2. Soit g une application de classe C n−1 sur [a, b], avec 0 < a < b. Montrer que :
Z b
Z b
h n−2
ib
P
(n−1)
(k)
k
(n−2−k)
n−1
(n−1)
fn
(x)g(x) dx. [ S ]
fn (x)g
(x) dx =
(−1) fn (x)g
(x) + (−1)
a
a
k=0
a
(−1)n−1
sur R+∗ . Montrer que le résultat précédent s’écrit :
(n − 1)! x
Z b
Z b (n−1)
h n−2
P (n − 2 − k)! fn(k) (x) ib
1
fn
(x)
n
ϕ (x) dx = −
+
dx. [ S ]
n−1−k
(n − 1)! x
(n − 1)! a
x
a
a
k=0
Z b (n−1)
1
fn
(x)
4. Déduire de ce qui précède que Ln =
lim
dx. [ S ]
(n − 1)! b→+∞ 0
x
3. On pose g(x) =
5. Après avoir linéarisé de fn (x), montrer que :
n
P
(2n−1)
n−q
– Pour tout entier n ≥ 1 : f2n
(x) =
C 2n (−1)n−q q 2n−1 sin(2qx).
q=1
– Pour tout n ≥ 1 :
(2n)
f2n+1 (x)
=
n
P
q=0
n−q
C 2n+1 (−1)n−q (q
+ 21 )2n sin(2q + 1)x. [ S ]
6. En déduire que, pour tout entier n ≥ 1 :
n
n
nπ P
π P
n−q
n−q
L2n =
(−1)n−q (q + 21 )2n .
C 2n (−1)n−q q 2n−1 et L2n+1 =
C
(2n)! q=1
2(2n)! q=0 2n+1
Préciser notamment les valeurs de Lk , pour 2 ≤ k ≤ 7. [ S ]
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Z
+∞ Étude et calcul des intégrales
0
sin x n
dx
x
Corrigé
Corrigé du problème
Z
+∞
I. Existence de
0
sin x
dx = lim
a→+∞
x
Z
0
a
sin x
dx.
x
1. (a) On effectue le changement de variable t = x − kπ :
Z (k+1)π
Z π
Z π
|sin x|
sin t
sin t
2
dx =
dt ≥
dt, quantité égale à
. [Q]
x
(k + 1)π
kπ
0 kπ + t
0 (k + 1)π
Z
Z
+
(b) Si ϕ était intégrable sur R , on aurait
|ϕ| ≤
|ϕ| pour tout segment J de R+ .
+
J
R
Z mπ
Z kπ
m
m 1
P
2 P
∗
Or pour tout m de N , on a :
|ϕ(x)| dx =
|ϕ(x)| dx ≥
.
π k=1 k
0
k=1 (k−1)π
Z mπ
Ainsi lim
|ϕ(x)| dx = +∞. L’application ϕ n’est donc pas intégrable sur R+ . [ Q ]
m→+∞
0
1
2. (a) Une fois prolongée en 0 par ψ(0) = , l’application ψ est continue sur R+ .
2
2
D’autre part |ψ(x)| ≤ 2 , ce qui prouve l’intégrabilité de ψ sur [1, +∞[.
x
Compte tenu de sa continuité sur [0, 1], l’application ψ est intégrable sur R+ . [ Q ]
(b) On intègre par partie sur [0, a] (une primitive de x 7→ sin x est x 7→ 1 − cos x.)
Z a
Z a
Z a
h 1 − cos x ia Z a 1 − cos x
sin x
1 − cos a
ϕ(x) dx =
dx =
+
dx =
+
ψ(x) dx.
x
x
x2
a
0
0
0
0
0
1 − cos x
Le calcul précédent est justifié par la continuité de ψ en 0 et par lim
= 0.
x→0
x
Z a
Z a
ϕ(x) dx = aψ(a) +
On a bien obtenu :
0
ψ(x) dx, pour tout a > 0. [ Q ]
0
(c) L’application ψ étant intégrable sur
R+ ,
Z
on sait que lim
a→+∞ 0
a
Z
ψ(x) dx =
+∞
ψ(x) dx.
0
D’autre part lim a ψ(a) = 0.
a→+∞
Z a
Z +∞
Le résultat de la question (b) donne donc : lim
ϕ(x) dx =
ψ(x) dx.
a→+∞ 0
0
Z +∞
Z +∞
On pose donc
ϕ(x) dx =
ψ(x) dx bien que ϕ soit non intégrable sur R+ .
0
0
On rappelle que l’intégrabilité sur ZR+ de f continue équivaut à celle de |f |, qui équivaut à
a
l’existence d’une limite finie pour
|f (x)| dx quand a → +∞.
0
Z a
Ici l’application ϕ n’est pas intégrable sur R+ car lim
|ϕ(x)| dx = +∞.
a→+∞ 0
Z a
Pourtant, on a constaté que lim
ϕ(x) dx existe dans R.
a→+∞ 0
Cela tient bien sûr aux changements de signe de l’application ϕ sur R+ , qui induisent des
“compensations” d’aire, compensations qui ne se produisent pas pour |ϕ|. [ Q ]
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