etude sur la survenance des sinistres en assurance automobile

i ~ T U D E S U R LA S U R V E N A N C E D E S S I N I S T R E S E N
ASSURANCE AUTOMOBILE
M. B R I C H L E R
I.
D I S T R I B U T I O N DES ASSURI~S SELON LE
NOMBRE
DES S i N I S T R E S
DANS UNE PI~RIOD].~ DE TEMPS I)I~TERMINI~E
On sait que la loi de Poisson simple reprdsente mal la distribution
des sinistres d'un groupe observfi d ' a u t o m o b i l i s t e s du fait que tout
gq'oupe que l'on p e u t ,6tudier en pratique, m6me s'il est composd
d'assur6.s prfisentant des caract4ristiques c o m m u n e s (mfime zone de
circulation, m 6 m e t y p e de v4hicule, m6me utilisation de ce v4hicule,
. . . ) est h4t4rog~ne q u a n t a u x autres caractfiristiques et s u r t o u t
q u a n t au c o m p o r t e m e n t persmmel des assurds, dldment d o n t
l'influence sur les rdsultats du risque est pr@o]ld4rante.
M. D e l a p o r t e a obtenu une reprfisentatio~l int~ressante du
ph~nom~ne en s u p p o s a n t que les sin.istres d ' u n vfihicule se r @ a r t i s sent s u i v a n t une loi de Poisson de m o y e m m donn4e, et que les
m o y e n n e s de chaque v4hicule du groupe 4tudi~ se d i s t r i b u e n t selon
une loi de P e a r s o n t y p e I I I d ' d q u a t i o n :
ao
dF(s)
--
r(b)
e - , ( s - s.) (s - -
s . ) I~ - ~ d s
off l'(b) est la fonetion euldrienne de 2'"'"" esp6ce"
I'(b) =
~e z.vb l d x
o
b, et so dtant des p a r a m ~ t r e s dont la valeur est calculde en dgalant
les expressions des 3 premiers m o m e n t s thdoriques a u x m o m e n t s
c o r r e s p o n d a n t s ol)servds.
Cette formule conduit k des calculs assez longs.
M. Depoid a propos4 Ulm formulc plus simple
Si nz est, sur Io.ooo vdhicules, le h o m b r e de ceux a y a n t eu darts
l'ann~e a~t m o i n s x sinistres, on a sensiblement :
a,
log n x = 4 - -
tz
SINISTRES
EN
ASSURANCE AUTOMOBILE
87
I d t a n t d o n n d p a r la r e l a t i o n
I
-=
L
a+bF
off F - - f r d q u e n c e d u g r o u p e .
M. D e p o i d u t i l i s a i t "
on p r o v i n c e :
I
- =
!
0,68 + 3 F
5. P a r i s :
I
- = 0,84 + 3 , 5 F
t
M. B r i c h l e r a o b t e n u
suivante:
des r & u l t a t s
a n % l i o r d s a v e c la f o r m u l e
qui p e r m e t en o u t r e des c a l c u l s tr~s simplifi6s. O n en t i r e en effet,
en a p p e l a n t N le h o m b r e des v d h i c u l e s d u g r o u p e et N.. le h o m b r e
d e c e u x a y a n t eu e:cactemen! x s i n i s t r e s :
N
N o --
1;
Ni
No
:
~+F
F
N2:
N1
F
N x : N z - I I Jv F
x
On vdrifie f a c i l e l n e n t q u e
E Nx = N
z
o
88
SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE
x
et que:
W xN z = NF
x
0
En s o m m a n t de x /t l'infini, on a l e hombre de vdhicules a y a n t
(x et + ) sinistres:
N x et + = N x_ t F
I / e x p r e s s i o n ci-dessus est tr~s c o m m o d e en pratique, puisqu'elle
permet de classer la totalit6 de la population, par exemple"
Assurds
Assurds
Assur&
Assurds
ayant
ayant
ayant
ayant
o
I
2
3
sinistre
sinistre
sinistres
sinistres et plus.
On ddmontre encore que le n o m b r e m o y e n de sinistres des assur6s
a y a n t (x et + ) sinistres est:
x+F
Par exemple, si la frdquence du groupe est F = o,4, la frdquence
m o y e n n e des assurds a y a n t (3 sinistres et + ) est 3, 4.
Ces formules simplifient considdrablement les calculs lids aux
sirdstres (calculs de bonus-malus par exemple).
Applications numdriques (exemples
tirds de l'ouvrage de M. Depoid)
i. Sur un groupe de 1.744 voitures de tourisme, usage p r o m e n a d e
en 1958. Frdquence m o y e n n e : o,324 .
N o m b r e de vO.hmules
.Nolnbre
de
Sinistres
(}
I
2
3
4
5
6 et -t
Aj u s t e m e n t ~
Observations
3~6
323
81
t8
4
2
Poisson
sl m p l e
1
26I
400
66
7,2
O,6
£
Pearson I I I
{l ) e l a p o r t e )
3t6
325
79
~o
4,6
1,3
o,3
I.es trois a j u s t e m e n t s sont trhs bons.
Formule
l)el)oul
I:ornlule
13rmhler
I 310
322
70
I9
4,5
1,3
o,2
r 3t7
322
79
19
4,7
1,2
0,4
89
SINISTRES EN ASSUR.ANCE AUTOMOBILE
2. E x e m p l e s avec des fr&luences extr4mes.
3) Renault 4 CV - - P r o v i n c e en 1955 - vdhicules de frdquence m o y e n n e o,o93
Ndfr d e s i m s t r e s
I
o
. . . . . .
O1)servations
N o m b r e tic vdluculcs
P o i s s o n rumple
Formule Brmhler
9 799
o 839
836
7I
7
q 835
t
2
3
843
70
6
,t eL q -
,
groupe de Io.784
Q[ 1
43
I
---
I
I
b)
Citroen I D 19 - - Paris en I958
frdquence m o y e n n e 0,679
- -
groupe de 2.224 vdhicules de
N o m b r e do V d h i c u l c s
Ndfr dc s i m s t r e s
Observations
P o i s s o n Sllllple
J l?ornltllC Brlch_lef_
~.345
i 13o
765
260
58
[o
i 325
536
2t7
~3
36
t4
IO
I
O
,508
228
1
2
3
4
5
6et
78
36
I
T7
+
I2
--
I
La formule 13richler est un cas particulier de lx formule D e l a p o r t e
en faisan t"
t
1"
2. LIAISONS ENTRE LES FRI~QUENCES D'ANNI~ES SUCCESSIVES
M. Depoid a donnd dans son o u v r a g e l ' e x e m p l e s u i v a n t qui fait
a p p a r a i t r e darts unc p o p u l a t i o n d'assur6s, les liaisons entre los
rdsultats des ann6es succcssives:
1.25o c o n t r a t s observds p e n d a n t 4 ans en ne c o n s e r v a n t quc les
assur6s restSs dans la Socidtd I8 mois art nloins
9°
SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE
Fr6quence m o y e n n e
Sinistrcs
la
6re a n n 6 c
de 26me alln6e
de 3dine a n n d e
de 46me ann6e
de la 2e g la 4e
o,47
o,72
i ,o6
0,39
0,60
o,9o
0,33
0,45
0,58
0,4I
o,63
0,94
0,631
0, 51 7
°,3S6
0,55 °
0
i
i
2ct+
( n l o y e n n e 2,5 )
E n s e m b l e frdqtlence
lllOyClllie
o,67t
(On observe une baisse de la fr6quence gdn6rale du fait qu'on
op~re sur une population fermde).
M.Delaporte a l)roposd le module suivant:
Frdquence lide par le rdsultat x d ' u n e annde:
f P(x/f) dF(f)
.fix =/2
; e(xli) dE(f)
l0
et si on a x sinistres en .12 anndes:
f P(x~/:)... P(x,,l: ) d F ( f )
f lt/Z "~ Io
I P(xv:)...P(x,,/f) dE(f)
Io
x = h o m b r e annuel de sinistres
e-f fxi
P(x,/f) = - xz!
Sur l'exemple ci-dessus de M.Depoid, cette formulation p e r m e t de
calculer les esp6rances m a t h 6 m a t i q u e s de 2&me, 3&lne, 46me alm6es,
lifes par les frdquences de I6re annde; en corrigeant de la tendance b.
la baisse signal~e, on trouve:
_ I
_
g r d q u e n c e s hdes
S~11istres
dc la
O
I
2 ct -t
de 26me a n n 6 e
de 3~me mm6e
de 46me a n n 6 e
%469
o,7Io
1,066
o,384
0,582
o,874
0,287
0,434
0,652
SINISTRE~ EN A S S U R A N C E AUTOMOBILE
91
La c o n c o r d a n c e avec les r d s u l t a t s o b s e r v d s est s a t i s f a i s a n t e , m a i s
les calculs s o n t assez longs.
T r a v a u x rdcenls du Groupeme,nt Technique Accidents
l.es o b s e r v a t i o n s r 6 c e n t e s o n t c o n f i r m 6 l ' e x i s t e n c e de l i a i s o n s ent r e les r 4 s u l t a t s d ' a n n d e s successives. P a r e x e m p l e , s u r 17o.ooo
vdhicules d o n t les r d s u l t a t s o n t 6t6 o b s e r v d s en 196o, 1961, 1962
(en zone n o r m a l e , tous usages), o n a t r o u v 6 :
Simstres
la
t 6re
3,11116c.
Vr6qucnce de 2e annde:
i
0
t
o,t 7
0,37
4et
"2
3
o,59
0,85
+
i,I5
b)
'.2
oil frdquence annuelle:
o
3
4
0,5
I
I, 5
2
r6quence de 3e annde :
o, t35
0,26
o,41
mistres
e.n 2 a,~/.s :
o
I
0,62
o,0t
t,31
6
3
7et +
3,5 et +
1,85
vcrs 3
Le G . T . A . s ' e s t p r o p o s 6 d ' 6 t a b l i r u n e f o r m u l e s i m p l e r e n d a n t
COlnpte de ces liaisons.
t) F o r m u l e approchde :
E n p o r t a n t darts la f o r m u l e des frdqueflces lides de M. D e l a p o r t e
les v a l e u r s des p a r a m ~ t r e s c o r r e s p o n d a n t ~. la f o r m u l e de d i s t r i b u t i o n p r o p o s 6 e p a r M. Brichler, elle se r d d u i t ~.:
I + x
F = frdquence d'ensemble
I + nF
x = s i n i s t r e s de n a n n d e s
f./x = F - -
Appliquons cette formule aux rdsultats d'observations indiquds
ci-dessus, p o u r lesquels F = o,2t2
Smistres la tcXre a n n i e
l"rdquence de 26ii1c a.lllldC
o
t
2
3
,,let -I-
o, t 7
0,33
0,50
o,67
0,87
l.a c o r t c o r d a n c e n ' e s t p a s e n t i ~ r m n e n t s a t i s f a i s a n t e .
02
SINiSTRES
EN A S S U R A N C E A U T O M O B I L E
.2) F o r m u l e ddveloppde:
l.a f o r m u l e indiqu6e plus h a u t a dt4 amdliorde r 6 c e m m e m p a r
MM. A c h e r et T h i r y , au prix, bien ellterldu, d ' m m c e r t a i n e complication.
S u p p o s o n s une population1 fermde, d o n t la f r d q u e n c e d ' e n s e m b l e
17 reste c o n s t a n t e darts le t e m p s (en fait, on salt qu'elle s'am6liore - on rtdglige ce facteur).
P o u r ull assur6 de fr6quence k l'origine supposde dgale k f0 ~) on v a
d 6 t e r m i n e r fl, f._,. . . . .
frdquences des anndes i, .2. . . . . en f o n c t i o n
des n anndes d ' a s s u r a n c e 6coul6es et des sinistres observds p e n d a n t
ces n ann6es. L ' a j u s t e m e n t a 6t6 d d t e r m i n 6 sur 3 ann6es du fair
q u ' e n S t a t i s t i q u e C o m m u n e , on a des o b s e r v a t i o n s p o u r 3 anndes
cons6cutives
•
6o-61-62
61-62-63
63-64-63
et de f a g o n clue, p o u r l ' e n s e m b l e des assurds, la fr6quence soit F
c h a q u e am~de.
O n pose, aprSs n mmdes
a+bs
f , -4- I = fo le --F n
off s = fon.ctiort de x ( h o m b r e de sin.istres p e n d a n t les n ann4es) et
a, b, k des p a r a m 6 t r e s d 6 p e n d a n t de f0.
Oll s u p p o s e q u e
Ajuslemenl
s=o
si
x=
o.
de a el de k:
I) P o u r n : o qui e n t r a h l e x - ~ o, on a la frdquence de I6re anride f l q u ' o l l s u p p o s e = f .
d'oh
a = k
2) P o u r n ~- I, si ort a eu o sinistre ell I a r e armde, on afe/o - :
a
f 0 a. _4_ I
(/~/o = fr4quence 26me ann6e si o sinistre la I6re ann6e).
I
d'oh
a :
fo
--I
f2/o
~) F r 6 q u e n c c d ' o r i g i n c
f r d q u e n c c s u p p o s d e g la s o u s c r l p t l o n du c o n t r a t .
SINISTRES
EN
ASSURANCE
93
AUFOMOBII~I~
P o u r d i f f 6 r e n t e s f0 et en u t i l i s a n t les .3 sdries d ' o b s c r v a t i o n , on
t r o u v e un a j u s t e m e n t g l o b a l assez b o n ell p r e n a n t :
o,I25
log a --
fo
A just.ement de b:
S u p p o s o a s a u d 4 p a r t q u e s - - x, h o m b r e dc s i a i s t r c s .
Vu la s t a b i l i t 6 d e F , si on a u n e p o p u l a t i o n de n a s s u r f s d e
f r d q u e n c e d e d d p a r t f0,
N
o n t o Sin. la I k r e
1 + fo
E n 26me amldC la f r 6 q u c n c c sera"
annde
A / o = f,, a +
fo
o n t I " la
N l = N o -___
I + fo I h r e a n n d e
No et + =
"
I
f.
A,
N t f oont 2 Sin. et +
I
a+b
a + b (2 + x)
f2/.o+
la I 6 r e a n n d e
(Formules Brichler)
--fo
a+i
)~ --= jq)
I oh
Err d c r i v a n t q u e 1: se c o n s e r v e "
F = Nfo = NoxA/,, + N~ xf~/~ + N: ot + xA/: +
d'ofi l ' o n t i r e :
b -
I
/o
E n fait, l ' e x p d r i e n c e m o n t r e q u e les r d s u l t a t s se r a p p r o c h c a t
davantage des observations en prcnant
pourn
~
.~ . . . . . . . . . .
pour n = 2 ..........
pourn
= 3 ..........
s ~
s =
--c- =
s =
+
x
h o m b r e de sin, I h r e
h o m b r e d e sin, 2 m e
(sci-dessuspourn
r t o m b r e d e sin. 3 m e
annde
annde
= 2) ×
aande
× 0,8
x 1,2
o,8
x 1,2
ce qui ne c h a n g e p a s le c a l c u l c i - d e s s u s ( p u i s q u ' o n a l e m f m e h o m b r e
t o t a l d e s i n i s t r e s c h a q u e arm6e). C e t t e p o n d d r a t i o n c o r r e s p o n d au
fair o b s e r v 6 q u e les s i n i s t r e s p l u s r d c e n t s p h s e n t p l u s l o u r d .
On p e u t etlcore a m d l i o r e r en p r e n a n t :
s = x ~ x Oil ~ =
I + ~
~6taatdei'ordrcdco,~
SINISTRES EN ASSURANCE AU'I'OMOI3ILI'2
94
i1 v i e n t a l o r s :
I
b --~-fo (I + ~)
E n p r a t i q u e , o a a r e t e n u a u G . T . A . p o u r le~ c a l c u l s c o u r a n t s :
a+bs
J~,,1 = fo - -
s"
0,125
a v e c log a - -
-
.l:(I,I) :c
-
I
b
fo
f.{t,,)
Exemple d'application p o u r fo = 0,212
I1 v i e n t :
f.+t
=f.
3,__89 + 4/__29 x ( I , 1 ) z
3,89 + n
O n d m m e ici lc r a p p o r t '
fll ~
-
-
/0
l
X
IOO
D a r t s c h a q u e c a s e la I h r e l i g n e est la v a l e u r o b s e r v 6 e e n S t a t i s t i q u e
C o m m u n e , la 2 6 m e lig~m est le r d s u l t a t d u c a l c u l .
lnd~ces de Frdquences de 2eme annde
Sinistres la thrc ann6e
I
0
t
2
3
4 et +
70
80
173
t 76
278
4 oc
43 °
722
786
I
Fr6quences de 26me annde
2Q2
I mhces de Jrdquences de 3eme annee
'bt mstres la
Sistrcs la
_
I
2 0 anll~O
o
J25
132
2
I9I
3
204
242
290
4et
276
532
J
2
16i
231
226
300
306
402
394
465
634
277
350
343
442
4J6
494
51o
1080
743
3
41
I 57°
[ 48t
595
554
897
649
915
882
4 et ~-
773
795
83T
966
911
1212
1006
2200
i232
l.a c o n c o r d a n c e est b o n n e s a u l p o u r la d c r r d h r e case d u s e c o n d
t a b l e a u q u i cozlcerrte u n trhs p e t i t h o m b r e d ' a s s u r 6 s .
S I N I S T R E S EN ASSURANCE AUTOMOBILE
95
ANNEXE
Les formules des pages 6 et 9 sont k r a p p r o c h e r de celle de la
,,prime po~ld~r~e" propos~e p a r M. Brichler dans uric communication ~ l ' I n s t i t u t des Actuaires Frangais (Bulletin J u i n 196 7 p. 2Ol).
II s'agit d'mle prime variant chaque anude cn follction du uombre de
sinistres (comnae la ,,prime model6e" de M. Delaporte).
Le principe e n e s t le suivant:
La premi6re ann6e, l'assur6 p a y e la prime P o correspondant au
vdhicule, ~ la zo21e, kt l'usage, etc . . . . Apr~s n ann&s, s'il a eu x
sinistres, le cofit moyml des sinistres dtaat C, la p r i m e pourrait
~tre
xC
qg
E a fait, nous estimons que la prime ~. percevoir rdellemeat doit
fitre un compromis mltre-la prime de sa catfgorie (Po), prime
m o y e n n e dtablie au vn de statistiques p r o v e n a n t de nombreuses
observations-et rcn, rdsultant de l'observation des sinistres individuels sur un nombre d'annfies en gfindral petit et done en pattie
alfiatoire.
Le compromis peut ~tre une m o y m m e ponddrde:
l)/,
--
~P,, + f~=,,
La prdcision de rc~ s'amdliorant chaque annde, ~ doit 6tl'e une
fonction croissante de n. Prenons [3 = n, d'ofi:
P?i,
~Po + xC
D ' a u t r e part, p o u r assurer un bon dquilibre entre Po et r% il
cortvient de preudre ~ d ' a u t a u t plus grand que P o est petit.
E n posaitt
P o = ~jxC,
I1 vient
P~
--
k+x
k/f o + ~
k
preaons X = --
f,,
C--
k+x
k + ufo Po
La formule de la page 6 correspond k k = i.
96
SiNISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE
Nous avolts o b t e n u des rdsultats numdriques tr~s voisins de ceux
de la p r i m e modelde de M. D e l a p o r t e en pre,lant p o u r k tree valeur
un peu plus grande que I(le - - I, 7), cc qui revient h domler un peu
plus de poids h Po qu% r:,~.
0, 125
L a formule de la pagc 9 con'espond h k = IO /o XJo.