TRANSLATION – VECTEUR

TRANSLATION – VECTEUR
X - Notion de vecteur
Définition :
La donnée
d’une direction de droite
d’un sens
d’une longueur
B
définit
un vecteur
A
Exemple :
JG
Le vecteur V , défini par le couple de
points (A,B), a :
une direction (celle de la droite (AB))
un sens (de A vers B)
une longueur (la longueur AB) On dit aussi une norme ou une intensité (en physique) que
JG
l’on écrit aussi : V
Remarques :
JG
JJJG
Le vecteur V , puisqu’il est défini par le bipoint (A,B), peut être nommé AB .
JJJG
Le vecteur AB détermine la translation qui, au point A, fait correspondre le point B.
JJJG
On dit que B est l’image de A par la translation de vecteur AB .
Y - Égalité de deux vecteurs
Définition :
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Exemple :
JJJG
B
JJJG
Les vecteurs AB et CD sont égaux lorsque :
A
⎧
⎪ JJJG
⎨AB et
⎪
⎩
D
C
On écrit :
(AB) //(CD)
JJJG
l sens
CD sont de m
AB = CD
JJJG JJJG
AB = CD
Autrement dit : ABDC, qui n’est pas un quadrilatère croisé, est un parallélogramme.
Propriété :
JJJG
JJJG
Deux vecteurs AB et CD sont égaux lorsque le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
Remarque :
ABDC étant un parallélogramme, on peut aussi écrire l’égalité vectorielle :
JJJG JJJG
AC = BD
Z - Milieu d’un segment
Propriété :
I est le milieu d’un segment [AB] lorsque
™ I appartient au segment [AB]
™ IA = IB
A
I
Autrement dit :
Les droites (AI) et (IB) ont la même direction
On va de A vers I dans le même sens que de I vers B
Les segments [AI] et [IB] ont la même longueur.
JJG
B
JJG
Ce qui signifie que : AI = IB
JJG
JJG
I est le milieu d’un segment [AB] lorsque AI = IB
Exercice :
On donne un triangle ABC ; I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC].
E est le symétrique de C par rapport à I et F est le symétrique de B par rapport à J.
Montrer que A est le milieu de [EF].
A
E
I
F
J
C
B
Les quadrilatères ACBE et AFCB sont des parallélogrammes car, par construction, leurs diagonales se coupent en
leurs milieux.
JJJG JJJG
JJJG JJJG
Par conséquent : EA = AF
Cela signifie que : EA = BC
et
JJJG JJJG
AF = BC
Soit : A est le milieu de [EF].
[ - Coordonnées d’un vecteur :
Exemple :
y
Dans un repère du plan, on considère les points :
A(1 ;3) et B(5 ;2).
JJJG
L’abscisse du vecteur AB exprime le déplacement
(positif) de A vers B le long de l’axe des abscisses.
Soit : 5 − 1 = 4
A
JJJG
L’ordonnée du vecteur AB exprime le déplacement
(négatif) de A vers B le long de l’axe des ordonnées.
Soit : 2 − 3 = −1
-1
B
x'
JJJG
Les coordonnées du vecteur AB sont donc 4 et -1.
JJJG ⎛ +4 ⎞
On écrit : AB ⎜ ⎟
⎝ −1 ⎠
+4
y'
x
Cas général :
On considère les points A(xA ;yA) et B(xB ;yB).
B
yB
Le déplacement de A vers B le long de l’axe (x’x)
s’exprime par la différence : x B − x A .
Le déplacement de A vers B le long de l’axe (y’y)
s’exprime par la différence : y B − y A
xA
JJJG
xB
x
Les coordonnées du vecteur AB sont
x B − x A et y B − y A
On écrit :
JJJG ⎛ x B − x A ⎞
AB ⎜
⎟
⎝ yB − y A ⎠
yA
A
y'
y
Égalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes
coordonnées.
A
JJJG JJJG
AB = CD lorsque :
x B − x A = x D − xC
et
y B − y A = y D − yC
B
x'
x
C
Sur le dessin, on peut « voir » que :
L’abscisse des deux vecteurs est : + 6
L’ordonnée des deux vecteurs est : - 3
D
Exercice :
On donne les points
A(1; 2)
y'
1
B(− ;3)
2
1
C( ; −2)
2
y
Trouver le point D tel que ABCD soit un
parallélogramme.
B
Si ABCD est un parallélogramme,
JJJG
JJJG
A
c’est que les vecteurs AD et BC sont égaux soit:
⎧x D − x A = xC − x B
⎨
⎩ y D − y A = yC − y B
⎧ xD − 1 = 1
ou : ⎨
⎩ yD − 2 = −5
⎧
1 ⎛ 1⎞
⎪ xD − 1 = − ⎜ − ⎟
donc : ⎨
2 ⎝ 2⎠
⎪ y − 2 = −2 − 3
⎩ D
⎧ xD = 1 + 1
ou : ⎨
⎩ yD = −5 + 2
⎧ xD = 2
donc : ⎨
⎩ yD = −3
1
x'
1
x
C
Les coordonnées du point D sont : 2 et – 3
D
D(2 ;-3 )
y'
\ - Coordonnées du milieu d’un segment
Exemple :
y
On cherche les coordonnées du point K milieu du
segment défini par les points A(2 ;3) et B(-3 ;-1).
A
3
K est le milieu de [AB] soit :
JJJG JJJG
AK = KB
K
1
Ce qui signifie que :
⎧x K − x A = x B − x K
⎨
⎩ yK − y A = yB − yK
x'
x
-3
-0,5
-1
B
⎧ x K − 2 = −3 − x K
⎨
⎩ y K − 3 = −1 − y K
⎧ x K + x K = −3 + 2
⎨
⎩ y K + y K = −1 + 3
⎧2x K = −1
⎨
⎩ 2y K = 2
2
y'
1
⎧
⎪x K = −
donc : ⎨
2
⎪⎩ y K = 1
⎛ 1 ⎞
⎝ 2 ⎠
Conclusion : K( ⎜ − ;1⎟
Cas général :
y
Si K est le milieu de [AB], c’est que :
⎧x K − x A = x B − x K
⎨
⎩ yK − y A = yB − yK
⎧x K + x K = x B + x A
⎨
⎩ yK + yK = yB + y A
⎧2x K = x B + x A
⎨
⎩ 2y K = y B + y A
⎧
xB + x A
⎪ xK =
⎪
2
⎨
⎪ y = yB + y A
⎪⎩ K
2
B
yB
K
yK
A
yA
x
x'
xA
xK
y'
L’abscisse du milieu d’un segment est la demi somme des abscisses des extrémités du segment
L’ordonnée du milieu d’un segment est la demi somme des ordonnées des extrémités du segment
Vérification de l’exemple précédent :
⎧
1
−3 + 2 −1
=
=−
⎪ xK =
⎪
2
2
2
⎨
⎪ y = −1 + 3 = 2 = 1
K
⎪⎩
2
2
xB
] - Distance de deux points repérés
y
Cas général :
Deux points A et B étant repérés dans le plan, on
veut exprimer la longueur AB en fonction des
coordonnées de ces deux points.
Le triangle ABH est rectangle en H.
D’après la propriété de Pythagore :
AB = AH + BH
2
2
A
2
B
yB
H
yA
x
x'
La longueur AH est la différence (positive) des
ordonnées de B et de A.
xA
xB
AH = yB − y A
La longueur BH est la différence (positive) des
abscisses de B et de A.
BH = xB − xA
y'
Donc :
AB2 = ( yB − y A ) + ( xB − x A )
2
AB =
2
( y B − y A ) + ( xB − x A )
2
2
JJJG
Remarque : AB est la longueur du vecteur AB
JJJG
JJJG
On l’appelle aussi « norme » du vecteur AB , ce qui s’écrit : AB =
( y B − y A ) + ( xB − x A )
2
2
Exemple :
On considère les points A(2 ;3) et B(-3 ;-1)
Il s’agit de calculer la distance AB.
AB =
( −1 − 3) + ( −3 − 2 )
2
2
= (−4)2 + (−5) 2 = 16 + 25 = 41 ≈ 6, 4
t - La translation de vecteur donné
Définition :
Β
JJJG
JJJG
Étant donné un vecteur AB , la translation de vecteur AB est l’application
qui transforme A en B.
JJJG
L’image d’un point M par la translation de vecteur AB est le point N tel
que :
JJJJG JJJG
MN = AB
Ν
A
Μ
Actions successives de deux translations de vecteurs donnés
G ⎛5⎞
G⎛ 4 ⎞
⎟.
⎝ −7 ⎠
Dans un repère du plan, on donne les points A(-7 ;4) ; B(-3 ;5) ; C(-1 ;2) et les vecteurs u ⎜ ⎟ et v ⎜
G
D, E, F sont les images respectives de A, B, C par la translation de vecteur u .
G
M, N, P sont les images respectives de D, E, F par la translation de vecteur v .
⎝ 3⎠
y
E
D
u
B
F
A
w
v
C
N
O
x'
x
M
P
y'
En composant ces deux translations, on en obtient une troisième de vecteur :
JJG JJJJG JJJG JJJG
w = AM = BN = CP
JJG
G
G
Ce vecteur w est appelé vecteur somme des vecteurs u et v
JG G G
w=u+v
On écrit :
JJG
G
G
Remarque : Les coordonnées du vecteur w sont les sommes des coordonnées des vecteurs u et v .
G ⎛ 5 ⎞ G ⎛ 4 ⎞ JJG ⎛ 5 + 4 ⎞ JJG ⎛ 9 ⎞
u ⎜ ⎟ + v⎜ ⎟ = w ⎜
⎟ = w⎜ ⎟
⎝3−7⎠
⎝ −4 ⎠
⎝ 3⎠
⎝ −7 ⎠
Relation de Chasles :
En reprenant l’exemple précédent et sachant que :
G JJJG JJJG JJJG
u = AD = BE = CF
G JJJJG JJJG JJG
v = DM = EN = FP
JJG JJJJG JJJG JJJG
w = AM = BN = CP
on obtient les égalités vectorielles suivantes :
JJJG JJJJG JJJJG
AD + DM = AM
JJJG JJJG JJJG
BE + EN = BN
JJJG JJG JJJG
CF + FP = CP
B
D’une façon générale :
Quels que soient les points A, B, C, on a l’égalité
vectorielle suivante :
JJJG JJJG JJJG
AB + BC = AC
A
Remarque : l’extrémité B du premier vecteur est l’origine B du second vecteur
C
Cas particulier :
JJJG JJJG JJJG G
AB + BA = AA = 0
G
0 est appelé « vecteur nul »
B
JJJG JJJG
La somme AB + AC
On se ramène à la relation de Chasles en remplaçant le vecteur
JJJG
AC par un vecteur égal d’origine B.
JJJG JJJJG
Si AC = BM
A
M
alors :
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG
AB + AC = AB + BM = AM
C
B
JJJG JJJG
La somme AB + CD
On construit le point M tel que BMDC soit un
JJJG JJJJG
parallélogramme ; c’est-à-dire tel que : CD = BM .
A
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG
AB + CD = AB + BM = AM
M
C
Coordonnées de la somme de deux vecteurs
On donne :
D
G⎛a⎞
G⎛c⎞
u ⎜ ⎟ et v ⎜ ⎟
⎝b⎠
⎝d⎠
G
G
La somme des vecteurs u et v est le vecteur :
G G⎛a +c⎞
u + v⎜
⎟
⎝b + d⎠
u - Application concrète (à faire après l’étude du sinus et de la tangente)
B
M
Un nageur N traverse une rivière de 30 m de large.
Le mouvement du nageur est supposé uniforme ; il est
G
indiqué par son vecteur force v .
La force du courant, supposée uniforme, est indiquée par
JJG
le vecteur w .
On suppose que la force du courant est deux fois plus
grande que la force du nageur.
v
N
w
P
α
A
Partant du point A, le nageur arrive sur la rive opposée en B. Il s’agit de calculer AB.
n = MNP
n = α (angles correspondants pour les parallèles (NP) et (AH))
BAH
G
v
MP
1
Dans le triangle MNP, rectangle en P : tan α =
= JJG =
NP
2
w
Dans le triangle ABH, rectangle en H : AB =
α
BH
30
≈
≈ 67 m
sin α 0, 447
H
EXERCICES 1
COORDONNÉES DES VECTEURS
X- Lis les coordonnées des points puis des vecteurs suivants :
A(15;25) ..B(...;...) ..C(...;...) ..D(...;...) ..E(...;...) ..G(...;...)
→ ⎡15⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
OA ⎢ ⎥ OB ⎢ ⎥ OC ⎢ ⎥ OD ⎢ ⎥ OE ⎢ ⎥ OG ⎢ ⎥
⎣25⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
AB ⎢ ⎥ BA ⎢ ⎥ AC ⎢ ⎥ BE ⎢ ⎥ EG ⎢ ⎥ GA ⎢ ⎥
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
→ ⎡....⎤
AO ⎢ ⎥ EB ⎢ ⎥ CG ⎢ ⎥ GD ⎢ ⎥ ED ⎢ ⎥ DC ⎢ ⎥
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
⎣....⎦
Y- Somme de deux vecteurs
→
Construis dans chacun des cas un vecteur s représentant la somme indiquée :
→
→
→
AB + BC =
→
→
AB + AC =
A
→
AB + CD =
B
B
A
B
A
C
C
→
D
C
→
→
BA + CA =
→
→
AB + CD =
B
→
AB + CD =
B
A
C
A
A
C
D
B
D
C
EXERCICES 2
LA TRANSLATION
X - Construis l’image de la figure donnée par la translation qui transforme A en B.
A
×B
JJJG
Y - Construis l’image de la figure par la translation de vecteur AB .
A
B
Z- O est un point du segment [BC] et O’ est son image par une certaine translation.
I est un point du segment [AC] et I’ est son image par cette même translation.
Construis l’image du triangle ABC par cette translation.
On conseille de construire d’abord les images des droites (BC) et (AC) et d’en déduire l’image de C.
B
×O’
C
×I’
A
EXERCICES 3
LA TRANSLATION
X - Construis l’image de la figure ci-dessous par la translation de vecteur
→
v
→
v.
.
Y - Construis les images de la figure ci-dessous par
G ⎛ 12⎞
G ⎛ 14 ⎞
t → et t → sachant que : u⎜ ⎟ et v ⎜ ⎟
u
v
⎝ 11⎠
⎝ −6⎠
Devoir
n- ABCD est un parallélogramme de centre O
Calcule et représente en couleurs les vecteurs sommes suivants :
→
→
AD + AB
→
;
→
→
DC+ AD
;
→
AB+ CB
→
→
CD+ AB
;
→
;
→
OB+ OA
→
;
→
BA + OC
Tu représenteras le parallélogramme pour chaque réponse.
o- Dans un repère d’axes perpendiculaires, on considère les points :
A(2;-1) ; B(-3;2) ; M(-1;-3).
S A est la symétrie de centre A.
→
t → est la translation de vecteur AB .
AB
On pose : S A (M) = N
et
t → (M) = P.
AB
a) Construis les points A,B,M,N,P.
→
b) Quelles sont les coordonnées du vecteur AN ? Celles du point N.
→
c) Quelles sont les coordonnées du vecteur MP ? Celles du point P.
→
JJJG
d) Calcule les coordonnées du vecteur NP . Calcule NP .
EXERCICES 1
COORDONNÉES DES VECTEURS
X- Lis les coordonnées des points puis des vecteurs suivants :
A(15;25) .B(35 ;15) .C(25 ;-20) .D(10 ;-30) .E(-15 ;-25)
G(-25 ;20)
→ ⎡15⎤
→
→
→
→
→
⎡35⎤
⎡ 25 ⎤
⎡ 10 ⎤
⎡ −15⎤
⎡ −25⎤
OA ⎢ ⎥ OB ⎢15 ⎥ OC ⎢−20⎥ OD ⎢−30⎥ OE ⎢−25⎥ OG ⎢ 20 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣25⎦
→
⎡ 20 ⎤
→
⎡ −15⎤
→
⎡ −20 ⎤
→
⎡ 10 ⎤
→
⎡ −50⎤
→
⎡ −10 ⎤
⎡ 40⎤
→
AB ⎢⎣−10⎥⎦ BA ⎢⎣ 10 ⎥⎦ AC ⎢⎣−45⎥⎦ BE ⎢⎣−40⎦⎥ EG ⎣⎢ 40 ⎦⎥ GA ⎣⎢ 5 ⎥⎦
→
⎡50 ⎤
⎡ −50⎤
→
→
⎡ −35⎤
→
⎡ 25 ⎤
→
⎡15⎤
AO ⎣⎢−25⎦⎥ EB ⎣⎢40⎦⎥ CG ⎣⎢ 40 ⎦⎥ GD ⎣⎢−50⎦⎥ ED ⎣⎢−10⎦⎥ DC ⎣⎢10⎥⎦
Y- Somme de deux vecteurs
→
Construis dans chacun des cas un vecteur s représentant la somme indiquée :
JJJG JJJG JJJG
AB + BC = AC
JJJG JJJG JJJG
AB + CD = AE
JJJG JJJG JJJG
AB + AC = AD
A
B
B
A
A
B
D
E
C
C
D
C
JJJG JJJG JJJG
AB + CD = AE
JJJG JJJG JJJG
BA + CA = BD
JJJG JJJG JJJG
AB + CD = AE
B
A
B
E
C
D
B
D
A
C
A
E
D
C
EXERCICES 2
LA TRANSLATION
X - Construis l’image de la figure donnée par la translation qui transforme A en B.
A
O
B
O'
JJJG
Y - Construis l’image de la figure par la translation de vecteur AB .
A
B
Z- O est un point du segment [BC] et O’ est son image par une certaine translation.
I est un point du segment [AC] et I’ est son image par cette même translation.
Construis l’image du triangle ABC par cette translation.
On conseille de construire d’abord les images des droites (BC) et (AC) et d’en déduire l’image de C.
B'
B
O'
O
C
C'
I
A
I'
A'
EXERCICES 3
LA TRANSLATION
X - Construis l’image de la figure ci-dessous par la translation de vecteur
Y - Construis les images de la figure ci-dessous par
→
v.
G ⎛ 14 ⎞
G ⎛ 12⎞
t → et t → sachant que : u⎜ ⎟ et v ⎜ ⎟
u
v
⎝ −6⎠
⎝ 11⎠