Energie et puissance des ondes électromagnétiques

Energie et puissance des ondes électromagnétiques
Question : Que vaut l’énergie associée à une onde électromagnétique qui se propage ?
I. Principe de conservation
De même que pour la conservation de la charge, on peut établir un lien qui traduit un principe de
conservation de l’énergie électromagnétique.
Pour cela, on définit le vecteur de Poynting :
R=
E∧B
µ0
ATTENTION : Valable seulement si E et B sont en notation réelles.
On définit aussi la densité volumique d’énergie électromagnétique (énergie par unité de volume) :
u=
ε 0 .E 2
2
+
B2
2.µ 0
L’énergie totale contenue dans un volume V vaut :
E=
u.dτ
avec
V
E en J
u, la densité volumique électromagnétique en J/m 3
La conservation de l’énergie s’écrit alors :
∂u
+ div R + j .E = 0
∂t
Démonstration :
rot E = -
∂B
∂t
(1)
et
rot B = µ 0 . j + µ 0 . ε 0 .
On calcule (2) x
∂E
∂t
E
E
µ0
µ0
(2)
.rot.B = j.E + ε 0 .E.
∂E
∂t
1
∂E
est la dérivée de .ε 0 .E 2
∂t
2
1 B2
De même, on va faire apparaître la dérivée de .
2 µ0
On reconnaît que ε 0 .E.
(3)
En faisant -
1
µ0
.B x (1)
-
1
.B. rot .E =
µ0
1
µ0
.B.
1 ∂ 2
∂B
=
. (B )
∂t 2.µ 0 ∂t
(4)
On fait (3) + (4) :
1
µ0
.(E. rot B - B. rot E) – j .E =
2
B2
∂ ε 0 .E
.(
+
)
∂t
2
2.µ 0
– div(E∧B) = E. rot B – B. rot E
Or
Donc – div(
E∧B
µ0
) – j .E =
et
E∧B
µ0
∂
u
∂t
∂u
+ div R + j .E = 0
∂t
D’où
R=
CQFD
Explication physique :
•
∂u
: variation de l’énergie au cours du temps.
∂t
Div R : écoulement de R énergie électromagnétique rayonnée par E et B par unité de temps.
•
j .E : l’énergie due aux charges qui se déplacent et subissent Lorenz (q. v∧B) et de Coulomb (q.E)
•
∂u
+ div R + j .E = 0
∂t
L’énergie u varie :
Dans le vide : j .E = 0 car j = 0
- quand les charges subissent des forces et se déplacent ( j .E).
- par le rayonnement du champ électromagnétique (div R)
Ce bilan est une équation locale.
Macroscopiquement :
div R.dτ =
R.dS = le flux de R à travers la surface d’intégration.
Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface
électromagnétique à travers .
Ρ
rayonnement .électromagnétique.à .travers.Σ
P en W
=
R.dS
Σ
W/ m 2
est la puissance rayonnée par l’onde
II. Application à l’onde plane progressive sinusoïdale dans le vide
Dans le vide, j = 0 ; donc
On a u =
R=
ε 0 .E 2
2
+
∂u
= - div R
∂t
B2
2.µ 0
E∧B
µ0
Onde plane progressive sinusoïdale : ( k, E, B)
Et || B || =
Donc R =
R =
trièdre direct
|| E ||
c
E∧B
E.B
µ0
donc R // k
µ0
=
E
2
µ0
Exemple :
Si
E = E 0 .e i ( k . z − wt ) .u x
B=
E 0 i ( k . z − wt )
.e
.u y
c
ATTENTION :
E 02 2.i ( k . z − wt )
R=
.e
u z ce qui est FAUX, car cela voudrait dire que la valeur moyenne au cours
µ 0 .c
du temps = 0, donc aucune énergie.
On doit repasser en notations réelles :
E = E 0 . cos(k .z − w.t ).u x
E0
. cos(k .z − w.t ).u y
c
E 02
R=
. cos 2 (k .z − w.t ).u z
µ 0 .c
B=
E 02
Ceci est VRAI car <R > =
2.µ 0 .c
La direction de R donne le sens de propagation de l’énergie rayonnée.
Cette énergie se propage ici à la vitesse c.
Exemple :
On peut calculer le flux du vecteur de Poynting à travers une feuille de papier.
Ρ=
R.dS
Σ
avec dS = dx.dy
Démonstration de la formule || B || =
|| E ||
:
c
En calculant B à partir de E, en utilisant rot E = -
∂B
∂t
∂
∂x
0
Ex
0
∂
∂Ex
rot E =
∧ 0 =
= E0 .i.k .ei ( k . z − w.t )
∂y
∂z
0
0
∂Ex
∂
−
∂x
∂z
∂B
= E0 .i.k .ei ( k . z − w.t )
∂t
E .k
B = 0 .ei ( k . z − w.t )
w
k
On trouve B = . E (en amplitude, car vectoriellement, B se trouvera sur la direction perpendiculaire à E
w
et k).
k 1
E
Il faut alors utiliser = d’où B =
c
w c
k 1
La question est alors, d’où vient = ?
w c
Cette propriété est vraie seulement dans le vide infini.
Pour montrer ça, on utilise la démonstration de l’équation de propagation. Quand on démontre cette
équation, on fait rot ( rot E) = grad (div E)) - E= - E = + k 2 .E (TD1, démonstration ci-dessous).
Comment retrouver - E = + k 2 .E ?
i ( k . x + k . y + k . z − w .t )
y
z
Ex = α . E 0 .e x
i ( k x . x + k y . y + k z . z − w .t )
On sait que E = E 0 .e i ( k .r − w.t ) .u soit E = Ey = β . E 0 .e
i ( k . x + k y . y + k z . z − w .t )
Ez = γ . E 0 .e x
d 2 Ex d 2 Ex d 2 Ex
+
+
i ( k . x + k . y + k . z − w.t )
dx 2
dy 2
dz 2
i 2 .E 0 .(α .k x2 + β .k y2 + γ .k z2 ).e x y z
∆Ex
2
2
2
d Ey d Ey d Ey
i ( k . x + k . y + k . z − w.t )
- E = - ∆Ey = +
+
= - i 2 .E 0 .(α .k x2 + β .k y2 + γ .k z2 ).e x y z
2
2
2
dx
dy
dz
i ( k . x + k . y + k . z − w.t )
∆Ez
i 2 .E 0 .(α .k x2 + β .k y2 + γ .k z2 ).e x y z
2
2
d Ez d Ez d 2 Ez
+
+
dx 2
dy 2
dz 2
- E = - i 2 . k 2 .E = + k 2 . E
Par ailleurs, rot ( rot E) = rot (-
∂E
∂B
∂
∂ 2E
) = - ( µ 0 .ε 0 . ) = − µ 0 .ε 0 . 2
∂t
∂t
∂t
∂t
Ex = α .i 2 .w 2 .E 0 .e
rot ( rot E) = − µ 0 .ε 0 . Ey = β .i 2 .w 2 .E 0 .e
Ez = γ .i .w E 0 .e
2
2
i ( k x . x + k y . y + k z . z − w.t )
i ( k x . x + k y . y + k z . z − w.t )
i ( k x . x + k y . y + k z . z − w.t )
= + µ 0 .ε 0 .w.w. E
Donc en égalisant, on trouve : µ 0 .ε 0 .w 2 . E = k 2 . E
k
D’où = µ 0 .ε 0
w
Or la vitesse de la lumière c vaut
1
µ 0 .ε 0
d’où finalement
k 1
= .
w c
k 1
k
Pour résumer, B = .E par Maxwell et = par l’équation de propagation. Tout cela n’est vrai que
w
w c
dans le vide.
Dans un autre cas, il faut là encore repasser par l’équation de propagation pour trouver le lien entre k et
w. Ce lien s’appelle relation de dispersion et nous en parlerons dans les cours à venir.
III. Les antennes
a. Expression du champ E et B rayonnés par une antenne
Question : Connaissant la distribution de charges et de courants dans une antenne, comment s’expriment
E et B rayonnés ?
Une antenne est une source localisée, siège d’un courant électrique variant au cours du temps. Puisque ce
courant varie, il lui correspond E et B qui se propagent dans l’espace.
On suppose que la variation est sinusoïdale à la pulsation w.
Dans le cas général non sinusoïdal, on peut se ramener au cas particulier sinusoïdal via un développement
en série de Fourier.
Dans l’antenne
j ( r,t) = j ( r). e −i.w.t
ρ ( r,t) = ρ ( r). e −i.w.t
On doit résoudre Maxwell pour E et B ou pour V et A.
Solution générale : A(r,t)
=
µ0
.
4.π antenne
r − r'
)
c .d r '
r − r'
j (r '
,t −
A et r est lié à ce qui se passait dans l’antenne à :
t’ = t – (temps de parcours depuis l’antenne jusqu’à l’observateur)
− i . w. t −
r − r'
Ici, j (r '
,t −
) = j (r '
).e
c
r −r '
c
= j (r '
).e −i.w.t .e
i .k . r − r '
i .k . r − r '
µ
e
D’où A( r,t) = 0 .
j (r '
).e −i.w.t .
.d r '
4.π antenne
r − r'
De là, on tire B = rot A puis E via rot B = µ 0 .ε 0 .
∂E
∂t
Supposons que l’on se place loin de l’antenne.
Donc || r – r’|| ≈ r
r’ << r
r
r’
Antenne
Donc A( r,t) =
µ 0 −i.w.t i.k .r
.e
.e .
j (r '
).d r '
4.π
antenne
Or on peut montrer que
j (r '
).d r '= antenne
r'
.div j (r '
).d r '
antenne
Par conservation de la charge :
∂ρ
= + i.w. ρ
∂t
i.µ .w e i.( k .r − w.t )
D’où A( r,t) = − 0 .
.
r'
.ρ (r '
).d r '
4.π
r
antenne
Div j = -
Dipôle électrique élémentaire associé à l’antenne
On reconnaît l’expression d’un dipôle :
p=
r'
.ρ ( r '
).d r '
A( r,t) =
µ0
e i .( k . r − w .t )
−
.i.w.
.p
4 .π
r
onde sphérique
L’antenne est assimilable à un dipôle oscillant.
On pourrait alors calculer E et B.
Si r >> λ (longueur d’onde) on trouve (voir TD2).
E = − k 2 . p.
B= −
sin 2 θ e i.( k .r − w.t )
.
.uθ
4.π .ε 0
r
µ0
e i.( k .r − w.t )
.k .w. p. sin 2 θ .
.uϕ
4.π
r
B
Ur
E
Antenne
b. Puissance et énergie rayonnée par une antenne
R=
E∧B
µ0
Ρ
et
=
rayonnée.via .Σ
R.dS
Σ
On se donne une zone de rayonnement définie par un angle solide d Ω (sorte d’angle en trois dimensions)
u
dS
Antenne
dP = flux de R
= R. dS = R.u. r 2 .dΩ
=
E∧B
µ0
.u. r 2 .dΩ
On repasse en notation réelle pour E et B :
2
2
k3
2 sin θ cos ( k .r − w.t )
R=
.w. p .
.
.ur
4.π
4.π .ε 0
r2
1 k 3 .w p 2 . sin 2 θ 2
D’où <dP> = .
.
.r .dΩ
2 (4.π ) 2
r2
car < cos 2 (k .r − w.t ) > =
D’où la puissance rayonnée est proportionnelle à :
k 4 .p 2 . sin 2 θ (rayonnement non-isotrope)
car k 3 .w = k 3 .
k k4
=
c
c
1
2
Le rayonnement varie en sin 2 θ :
z
Le rayonnement est max quand l’angle est perpendiculaire à son axe
Donc quand =
π
2
(voilà pourquoi la tour Eiffel est verticale)
c. Les antennes d’un point de vue pratique
Ce qui compte pour une antenne :
•
•
•
•
Son diagramme de rayonnement. C'
est-à-dire sa directivité : <R> en fonction de .
Sa largeur de bande.
Son impédance d’entrée.
Sa polarisation.
Géométries :
•
Fil radiatif
•
Guide d’onde ouvert
ondes
Tubes métalliques vides
•
Circuits imprimés
Dépôt métal
Isolant diélectrique
•
Fentes