Toutes les mathématiques

Toutes les Mathématiques
D.Duverney-S.Heumez-G.Huvent
Edition Ellipses 2004
http://www.editions-ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=4668
CHAPITRE 28
ANALYSE VECTORIELLE
L’analyse vectorielle fait intervenir à la fois des outils analytiques (dérivées
partielles) et du calcul vectoriel. Les notions de base de l’analyse vectorielle
sont indispensables en électrostatique et en électromagnétisme notamment.
Après avoir étudié ce chapitre, vous devez :
A. Connaître les opérateurs de l’analyse vectorielle (nabla, gradient, divergence
et rotationnel) et savoir démontrer leurs propriétés.
B. Savoir calculer des intégrales de surface simples.
C. Connaître la définition du flux d’un champ de vecteurs à travers une surface
orientée, et savoir calculer des flux simples.
D. Savoir ce qu’est un champ à flux conservatif.
E. Connaître les formules de Stokes et d’Ostrogradski.
F. Savoir ce qu’est un angle solide.
28.1. Opérateurs de l’analyse vectorielle
L’espace étant rapporté à la base orthonormale directe
i , j , k , on définit
l’opérateur aux dérivées partielles nabla par :
∇ = ∂ i + ∂ j + ∂ k
∂y
∂z
dx
(28. 1)
On notera que nabla est un opérateur aux dérivées partielles, et pas un vecteur.
Il opère à gauche en utilisant les trois types de multiplication vectorielle.
Soit d’abord U = U(M) une fonction de trois variables (fonction scalaire) ; on
définit le gradient de U par :
grad U = ∇ U =
∂ i + ∂ j + ∂ k U = ∂U i + ∂U j + ∂U k
∂y
∂z
∂y
∂z
dx
dx
(28. 2)
On retrouve la définition 25.12.
Soit maintenant E = E (M) = E x i + E y j + E z k un champ de vecteurs ; on
définit la divergence et le rotationnel de E respectivement par :
div E = ∇ . E =
∂ i + ∂ j + ∂ k . E x i + E y j + E z k , d’où :
∂y
∂z
dx
∂E y
div E = ∇ . E = ∂E x +
+ ∂E z
∂y
∂z
dx
(28. 3)
318
Chapitre 28
∂
dx
∂
dy
∂
dz
rot E = ∇ ∧ E =
rot E =
∂E z − ∂E y
∂y
∂z
i −
Ex
∧
Ey
, d’où :
Ez
∂E z − ∂E x
∂x
∂z
j +
∂E y
− ∂E x
∂x
∂y
(28. 4)
k
Remarque 28.1. L’opérateur nabla est essentiellement une notation, très
commode pour retenir les définitions du gradient, de la divergence et du
rotationnel et retrouver les formules (28. 2), (28. 3) et (28. 4).
Exemple 28.1. Soit k un paramètre. Considérons le champ newtonien défini en
coordonnées sphériques [voir (25. 16)] par E = E (M) = k2 e r .
r
Puisque r = OM et e r = OM , on a :
OM
OM
E =k
3
OM
=
k
(x 2
+y +
2
3
z2 ) 2
(28. 5)
x i +y j +zk
Il en résulte que :
div E = k
∂ x(x 2 + y 2 + z 2 ) − 32
∂x
3
+ ∂ y(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂y
3
+ ∂ z(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂z
.
En utilisant la formule qui donne la dérivée d’un produit, il vient :
∂ x(x 2 + y 2 + z 2 ) − 32
∂x
3
5
= (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 − 3x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
5
5
= (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 (x 2 + y 2 + z 2 − 3x 2 ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 (−2x 2 + y 2 + z 2 ).
Les dérivées partielles par rapport à y et z s’obtiennent sans calcul, en permutant
les rôles de x et y et ceux de x et z respectivement. Ainsi :
5
div E = k(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 [(−2x 2 + y 2 + z 2 ) + (x 2 − 2y 2 + z 2 ) + (x 2 + y 2 − 2z 2 )],
c’est-à-dire div E = 0. Un champ newtonien est à divergence nulle.
Le lecteur calculera rot E et vérifiera que rot E = 0 (exercice 28.1).
Remarque 28.2. Composons la divergence et le gradient :
div grad U = div ∂U i + ∂U j + ∂U k
∂y
∂z
dx
Analyse vectorielle
= ∂
dx
2
∂2U + ∂2U .
= ∂ U
+
dx 2
dy 2
dz 2
On introduit ainsi un nouvel opérateur, le Laplacien :
∂U
dx
+ ∂
dy
∂U
dy
∆U = div grad U
+ ∂
∂z
319
∂U
dz
2
2
2
2
= ∇ U= ∂ U
+ ∂ U
+ ∂ U
2
2
dx
dy
dz 2
(28. 6)
A partir des définitions, on démontre un grand nombre de formules d’analyse
vectorielle. Les deux plus importantes, qui doivent être connues, sont :
rot grad U
= 0
;
div rot E
=0
(28. 7)
Voir l’exercice 28.2 pour leur démonstration. Les exercices 25.12 et 28.3
donnent d’autres exemples de formules utiles.
28.2. Surfaces de l’espace
28.2.1. Représentation d’une surface
Dans l’espace rapporté au repère orthonormal direct
O, i , j , k , une
surface (Σ) est définie par une équation de la forme F(x, y, z) = 0.
Par exemple, l’équation ax + by + cz + d = 0 est celle d’un plan, tandis que
l’équation (x − x Ω ) 2 + (y − y Ω ) 2 + (z − z Ω ) 2 = R 2 est celle de la sphère de centre
Ω de rayon R. Un troisième exemple important est le suivant :
Exemple 28.2. Soient a, b, c ∈ R ∗+ . L’équation cartésienne :
2
x2 + y + z2 = 1
a2
b2
c2
est celle d’un ellipsoïde de centre O, d’axes principaux Ox, Oy, Oz. Pour
visualiser cette surface, coupons-la par exemple par un plan horizontal
d’équation z = z 0 , avec −c ≤ z 0 ≤ c. La section correspondante a pour équation
:
2
2
y2
x2 + y = 1 − z0 ⇔
x2
+
= 1.
2
2
2
2
2
a
b
c
2
2
z
z
a 1 − 02
b 1 − 02
c
c
Il s’agit donc d’une ellipse. Ainsi la section d’un ellipsoïde par un plan
horizontal est une ellipse. Il en est de même lorsqu’on coupe l’ellipsoïde par un
plan x = x 0 ou y = y 0 . Ainsi un ellipsoïde a la forme d’un ballon de rugby
aplati, comme représenté figure 28.1 page suivante . Si a = b = c = R,
l’ellipsoïde est la sphère de centre O de rayon R.
Il sera souvent commode d’utiliser une représentation paramétrique d’une
surface. Puisqu’une surface est un objet à deux dimensions, il sera nécessaire
d’utiliser deux paramètres. Ainsi une représentation paramétrique d’une surface
sera de la forme : x = f(u, v) ; y = g(u, v) ; z = h(u, v).
On parlera alors de nappe paramétrée.
(28. 8)
320
Chapitre 28
z
y
x
Figure 28.1 : Ellipsoïde
Exemple 28.3. La surface de la sphère de centre O de rayon R peut être
paramétrée par :
x = R sin θ cos ϕ ; y = R sin θ sin ϕ ; z = R cos θ
où θ varie entre 0 et π, tandis que ϕ varie entre 0 et 2π (figure 28.2). En effet, le
paramétrage (28. 9) n’est pas autre chose que les formules de passage des
coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes, avec r = R, puisque le
point M se déplace à la surface de la sphère.
M
➔
dσ
grad F(M)
θ
➔
ϕ
Figure 28.2
Σ
M
dM
Figure 28.3
28.2.2. Vecteur normal à une surface
Théorème 28.1. Un vecteur normal à la surface (Σ) d’équation cartésienne
F(x, y, z) = 0 au point M(x, y, z) est le vecteur N = grad F(M).
Démonstration : Déplaçons le point M d’un déplacement infinitésimal dM en
restant sur la surface (Σ) (figure 28.3). Alors F reste égal à 0 dans ce
déplacement, de telle sorte que dF = 0. Or on sait que dF = grad F(M). dM. Il
en résulte que grad F(M). dM = 0 pour tout déplacement dM sur (Σ),
c’est-à-dire que grad F(M) et dM sont orthogonaux pour tout déplacement
infinitésimal sur la surface de (Σ) à partir de M. Ainsi grad F(M) est bien
normal à (Σ) au point M.
Exemple 28.4. Si (P) est le plan d’équation ax + by + cz + d = 0, un vecteur
(28. 9)
Analyse vectorielle
321
normal à (P) est N = grad F = ∂F i + ∂F j + ∂F k = a i + b j + c k .
∂y
∂z
dx
Ici le vecteur normal est indépendant de M, et on retrouve le théorème 7.2.
Exemple 28.5. Un vecteur normal au point M(x, y, z) de l’ellipsoïde d’équation :
2
x2 + y + z2 = 1
b2
c2
a2
y
est N = grad F = ∂F i + ∂F j + ∂F k = 2 x2 i + 2 j + z2 k .
∂y
∂z
dx
a
b
c
Dans le cas de la sphère de centre O de rayon R, on voit que :
N = 22 x i + y j + z k = 22 OM.
R
R
On retrouve ainsi que le rayon OM est orthogonal à la surface de la sphère.
Remarque 28.3. Etant donné un vecteur normal N en un point M d’une surface
(Σ), on peut définir deux vecteurs normaux unitaires en M (figure 28.4) :
n1 =
N
;
N
n2 = −
N
= −n 1 .
N
Lorsqu’on a choisi un des deux vecteurs normaux unitaires, on dit qu’on a
orienté la surface (Σ). Ceci revient à définir un sens positif de traversée de (Σ)
(dans le sens du vecteur normal unitaire n choisi).
➔
n
1
M
Σ
Figure 28.4
➔
n
2
Remarque 28.4. On dit qu’une surface de l’espace est fermée lorsqu’elle
délimite un intérieur et un extérieur. Par exemple une sphère ou un ellipsoïde
sont des surfaces fermées ; par contre un plan n’en est pas une. Par convention,
une surface fermée sera toujours orientée vers l’extérieur, c’est-à-dire que son
vecteur normal unitaire sera toujours dirigée vers l’extérieur. Ainsi la sphère de
centre O de rayon R sera orientée par le vecteur normal unitaire :
n =
OM
OM
= 1 x i +y j +zk
R
28.2.3. Lignes de champs et surfaces équipotentielles
Soit E un champ de vecteurs. On appelle ligne de champ toute courbe (L) telle
que, en tout point M de (L), le champ E au point M est tangent à (L).
Par exemple, si E = −g k est le champ de pesanteur au voisinage du sol, les
322
Chapitre 28
lignes de champ sont les droites verticales (figure 28.5 page suivante).
Si E = k2 e r est un champ newtonien d’origine O, les lignes de champ sont les
r
droites passant par O (figure 28.6 page suivante).
➔
g
➔
g
➔
➔
E
E
➔
E
➔
➔
g
E
➔
E
Figure 28.6
Figure 28.5
Supposons maintenant que le champ E dérive d’un potentiel scalaire V ; alors
E = −grad V. On appelle surface équipotentielle toute surface où les points
sont au même potentiel, c’est-à-dire d’équation V = C, où C est une constante
donnée.
Exemple 28.6. Soit E = −g k le champ de pesanteur au voisinage du sol. On
sait que E dérive du potentiel scalaire V = gz. Donc une surface équipotentielle
a pour équation gz = C, c’est-à-dire z = C
g . Les surfaces équipotentielles sont
donc les plans horizontaux z = constante (figure 28.5).
Exemple 28.7. Soit E = k2 e r un champ newtonien d’origine O. Il dérive du
r
potentiel scalaire V = kr . Les surfaces équipotentielles ont pour équation
k = C, c’est-à-dire r = k . Ce sont les sphères d’équations r = constante
r
C
(figure 28.6).
Dans les deux cas particuliers représentés figures 28.5 et 28.6, on constate que
lignes de champ et surfaces équipotentielles se coupent à angle droit. Ceci est
un résultat général, puisqu’un vecteur normal à la surface équipotentielle V = C
au point M est N = grad V = − E (théorème 28.1). Ainsi le champ E est
orthogonal à la surface équipotentielle au point M ; puisque E est tangent à la
ligne de champ, celle-ci coupe la surface équipotentielle à angle droit.
28.2.4. Intégrales de surface
Une intégrale de surface est une intégrale de la forme :
I=
∫∫ Σ f(M)dσ
Ici Σ désigne une surface de l’espace, le point M décrit Σ, f est une fonction de
M, et dσ est un morceau infinitésimal de surface entourant le point M. On
(28. 10)
Analyse vectorielle
323
notera que les intégrales doubles étudiées dans le chapitre 26 sont des cas
particuliers d’intégrales de surface : dans ce cas Σ est une surface plane du plan
Oxy.
Pour calculer l’intégrale de surface (28. 10), on choisit une représentation
paramétrique de Σ. On obtient dσ en faisant varier les deux paramètres de façon
infinitésimale. On se ramène alors à un calcul d’intégrale double.
Exemple 28.8. Calculer I = ∫∫ z 2 dσ, où Σ est la sphère de centre O de rayon
Σ
R.
On utilise le paramétrage de la sphère donné par (28. 9). Pour obtenir dσ,
faisons varier θ de dθ et ϕ de dϕ (figure 28.2). On obtient à la surface de Σ un
rectangle infinitésimal d’aire dσ. Ce rectangle a pour longueur Rdθ et pour
largeur R sin θdϕ (voir le calcul de dV en coordonnées sphériques, section 27.4).
Donc :
(28. 11)
dσ = R 2 sin θdθdϕ
Pour décrire Σ, θ varie entre 0 et π et ϕ varie entre 0 et 2π. D’où :
I
=
θ=π
ϕ=2π
θ=π
ϕ=2π
∫ θ=0 ∫ ϕ=0 (R cos θ) R 2 sin θdθdϕ = R 4 ∫ θ=0 cos 2 θ sin θdθ ∫ ϕ=0
= R 4 − 1 cos 3 θ
3
2
π
0
dϕ
4 4
× [ϕ] 2π
0 = 3 πR .
28.3. Flux d’un champ de vecteurs
Soit E un champ de vecteurs et (Σ) une surface de l’espace (figure 28.7). On
désire mesurer la quantité de champ qui traverse la surface (Σ). Pour cela, on
commence par orienter cette surface (de manière arbitraire) grâce à un vecteur
normal unitaire n . On prend ensuite en compte l’angle formé, localement au
point M, entre le champ E et n . La quantité de champ qui traverse (Σ) sera
d’autant plus grande que cet angle sera petit, c’est-à-dire que le produit scalaire
E . n sera plus grand. On définit donc le flux infinitésimal qui traverse la
surface dσ au point M par :
dφ = E . n dσ
(28. 12)
Le flux du champ E à travers la surface orientée (Σ) sera donc défini par
l’intégrale de surface :
φ=
∫∫ Σ
E . n dσ
(28. 13)
324
Chapitre 28
➔
n
➔
➔
E
➔
n
M
E
dσ
Σ
S
M
Figure 28.8
Figure 28.7
Exemple 28.9. Soit E un champ constant. Posons E =
E
. Soit (Σ) une
surface plane orientée (figure 28.8) d’aire S. Alors le vecteur normal unitaire n
à (Σ) forme avec E un angle α indépendant de M. Le flux de E à travers (Σ)
vaut :
φ=
Puisque
n
∫∫ Σ
E . n dσ =
∫∫ Σ
E
.
n
cos αdσ.
= 1, il vient :
φ = E cos α ∫∫ dσ = ES cos α
Σ
(28. 14)
Dans le cas où la surface (Σ) tourne avec une vitesse angulaire constante ω
autour d’un axe orthogonal à E , on a α = ωt puisque E est constant et le flux
qui traverse (Σ) est sinusoïdal, de la forme φ = ES cos ωt.
Remarque 28.5. Le calcul du flux d’un champ newtonien est plus difficile et
conduira à la notion d’angle solide, que nous développerons dans la section
28.5.
28.4. Formules de Stokes et d’Ostrogradski
28.4.1. Expression intrinsèque de la divergence
Nous avons défini la divergence d’un champ à partir de l’opérateur nabla. Cette
définition n’est pas intrinsèque, puisqu’elle se fait à partir des coordonnées
cartésiennes x, y, z. La définition intrinsèque de la divergence utilise la notion
de flux et s’énonce ainsi : soit dV un volume infinitésimal entourant le point M ;
orientons la surface infinitésimale dS qui délimite dV vers l’extérieur (surface
fermée). Alors le flux du champ E à travers dS vaut :
dφ = div E . dV
Ainsi la divergence mesure-t-elle la quantité de champ qui sort localement
(diverge) du point M.
Exemple 28.10. Retrouvons à partir de l’expression intrinsèque dφ = div E . dV
l’expression (28. 3) de la divergence en coordonnées cartésiennes. Nous
considérons au point M(x, y, z) le volume infinitésimal dV limité par les plans
(28. 15)
325
Analyse vectorielle
d’abscisses x et x + dx, y et y + dy, z et z + dz (figure 28.10).
➔
A'
z
M'
B'
M
A
O
dy B
y
C'
dz
C
dx
θ
dr
M
r
ϕ
x
rsinθ
e
r
➔
e
rdθ
θ
rsinθdϕ
➔
i
Figure 28.10
Figure 28.11
On a dV = dxdydz et le vecteur normal à la face ABB ′ A ′ est i ; cette face a
pour aire dydz. Puisque tous les points de cette face ont pour abscisse x + dx, le
flux dφ 1 à travers ABB ′ A ′ vaut dφ 1 = E . i . dydz = E x (x + dx, y, z)dydz.
De même, le vecteur normal à MCC ′ M ′ est − i , et le flux dφ 2 à travers MCC ′ M ′
vaut dφ 2 = − E . i . dydz = −E x (x, y, z)dydz. Donc le flux infinitésimal à y et z
constants vaut :
dφ y,z = dφ 1 + dφ 2 = [E x (x + dx, y, z) − E x (x, y, z)]dydz = ∂E x dxdydz.
∂x
En procédant de même pour les quatre autres faces de dV, on voit que le flux
sortant de dV a pour valeur :
∂E y
dφ = dφ y,z + dφ x,z + dφ x,y = ∂E x +
+ ∂E z dxdydz.
∂x
∂y
∂z
En remplaçant dans (28. 15) et en divisant par dxdydz, on obtient bien :
∂E y
div E = ∂E x +
+ ∂E z .
∂y
∂z
dx
Exemple 28.11. Calculons l’expression de la divergence en coordonnées
sphériques. On connaît alors E dans la base orthonormale directe e r , e θ , e ϕ :
E = E r e r + E θ e θ + E ϕ e ϕ . Le volume dV (figure 28.11) est le volume habituel
des coordonnées sphériques et vaut dV = r 2 sin θdrdθdϕ. La face qui a pour
vecteur normal −e r a pour aire r 2 sin θdθdϕ et le flux correspondant vaut :
dφ 1 = −E r (r, θ, ϕ)r 2 sin θdθdϕ.
Quand on augmente r de dr, le flux sortant à travers la face de vecteur normal
e r vaut dφ 2 = E r (r + dr, θ, ϕ)(r + dr) 2 sin θdθdϕ.
Donc le flux sortant à θ et ϕ constants a pour expression :
326
Chapitre 28
dφ θ,ϕ = dφ 1 + dφ 2 = E r (r + dr, θ, ϕ)(r + dr) 2 − E r (r, θ, ϕ)r 2 sin θdθdϕ
= ∂ (r 2 E r ) sin θdrdθdϕ.
∂r
En raisonnant de même pour les autres faces, on voit que le flux total sortant du
volume dV vaut :
dφ = dφ θ,ϕ + dφ r,ϕ + dφ r,θ
∂E ϕ
rdrdθdϕ.
= ∂ (r 2 E r ) sin θdrdθdϕ + ∂ (sin θE θ )rdrdθdϕ +
∂θ
∂ϕ
∂r
En remplaçant dans (28. 15) et en divisant par r 2 sin θdrdθdϕ, on obtient
l’expression de la divergence en coordonnées sphériques :
∂ (sin θE θ ) + 1 ∂E ϕ
div E = 12 ∂ (r 2 E r ) + 1
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
(28. 16)
Remarque 28.6. Le calcul de la divergence du champ newtonien, effectué en
coordonnées cartésiennes dans l’exemple 28. 1, est évidemment beaucoup plus
simple en coordonnées sphériques. Dans ce cas en effet, E r = k2 , E θ = 0 et
r
2
E ϕ = 0. Ainsi r E r = k = constante, de telle sorte que div E = 0 par (28. 16).
28.4.2. Expression intrinsèque du rotationnel
La définition intrinsèque du rotationnel utilise également la notion de flux ; soit
une courbe fermée (C) orientée infinitésimale entourant le point M ; orientons la
surface infinitésimale dS délimitée par (C) par la règle du tire-bouchon (figure
28.12). Alors la circulation δW du champ E le long de (C) vaut :
(28. 17)
δW = rot E . n . dS
Ainsi δW est égale au flux du rotationnel de E à travers dS. Le mot rotationnel
vient de ce qu’on fait circuler (tourner) le champ localement autour de M.
E
z
➔
F
E
M
➔
k
➔
n
A
O
(C)
dS
M
Figure 28.12
dy B
y
D
dz
C
dx
x
Figure 28.13
Exemple 28.12. Retrouvons l’expression du rotationnel en coordonnées
cartésiennes à partir de l’expression intrinsèque (28. 17). Pour cela, examinons
Analyse vectorielle
333
où ∑ q int désigne la somme des charges intérieures à (Σ). Cet énoncé est le
théorème de Gauss. Il permet de calculer le champ électrostatique créé par des
distributions de charges simples.
EXERCICES DU CHAPITRE 28
Les basiques
Exercice 28.1 (A) : Calculer le rotationnel du champ newtonien E = k2 e r .
r
Exercice 28.2 (A) : Démontrer que rot grad U
= 0 et div rot E
= 0.
Exercice 28.3 (A) : Démontrer les formules suivantes :
1) div λ E
= E . grad λ + λdiv E .
2) div E ∧ F
= F . rot E − E . rot F .
Exercice 28.4 (A) : Transformer les vecteurs suivants :
1) u = rot λ E
;
2) v = rot rot E .
Exercice 28.5 (A) : Soit ω un vecteur constant, et soit V = ω ∧ OM.
Démontrer que ω = 1 rot V .
2
Exercice 28.6 (B) : Soit R > 0. Calculer l’intégrale de surface I = ∫∫ f(M)dσ,
S
où f(M) = f(x, y, z) = z , et S est la demi-sphère d’équation :
x2 + y2 + z2 = R2 ,
z ≥ 0.
Exercice 28.7 (B) : Soit R > 0 et a > 0. Calculer l’intégrale de surface :
I=
∫∫ S f(M)dσ,
z , et S est le cylindre d’équation :
x + y2
x 2 + y 2 = R 2 , 0 ≤ z ≤ a.
Exercice 28.8 (C) : Soit R > 0 et h > 0. Soit la portion Σ de cylindre d’équation
x 2 + y 2 = R 2 , 0 ≤ z ≤ h, x ≥ 0, y ≥ 0. Déterminer le flux du champ de
où f(M) = f(x, y, z) =
2
vecteurs E = z i + x j − 3y 2 z k à travers Σ (on précisera l’orientation choisie).
Exercice 28.9 (A,C,E) : Soit R > 0, et soit S la demi-sphère d’équation :
x2 + y2 + z2 = R2 ,
z ≥ 0.
334
Chapitre 28
On considère le champ de vecteurs E = y i + x(1 − 2z) j − xy k .
1) Calculer rot E . En déduire le flux de rot E à travers S (on précisera
l’orientation choisie).
2) Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Stokes.
3) Retrouver ce résultat en fermant la surface S par le disque de centre O de
rayon R situé dans le plan Oxy, et en utilisant la formule d’Ostrogradski.
Exercice 28.10 (C,D,E) : Soit R > 0, et soit S la demi-sphère d’équation :
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z ≥ 0.
En utilisant la formule d’Ostrogradski, trouver le flux du champ constant
E = E k à travers S (on précisera l’orientation de S choisie).
Exercice 28.11 (C,D,F) : Soit R > 0 et a > 0. Soit D le disque de la figure
28.22.
1) Calculer l’angle solide sous lequel on voit ce disque depuis le point O.
2) Calculer le flux du champ newtonien E = k2 e r à travers D, orienté dans le
r
sens des y croissants.
z
H
h
R
b
O
y
a
D
M
a
Σ
x
Figure 28.23
Figure 28.22
Exercice 28.12 (A,C,E) : On se propose de calculer le flux du champ de
vecteurs E = xy 2 i à travers la surface de la sphère (S) de rayon R orientée
vers l’extérieur, de deux manières différentes.
1) Calcul direct.
a) Calculer les intégrales
I=
∫0
2π
sin 2 ϕ cos 2 ϕdϕ ;
J=
π
∫ 0 sin 5 θdθ.
b) Soit M(x, y, z) un point de la surface (S). Montrer que le vecteur normal
unitaire n à (S) au point M vaut n = 1 x i + y j + z k .
R
c) Calculer E . n , puis le flux φ du champ E à travers (S).
2) Calcul par la formule d’Ostrogradski.
a) Calculer div E .
b) Calculer l’intégrale triple ∫∫∫ (Σ) div E . dV, où (Σ) désigne le volume intérieur à
(S). En déduire φ.
Solutions des exercices
Or l’intégrale triple correspond au volume (ordinaire) intérieur à la sphère Σ x .
Donc :
3
3
x=R
x=R
4 πρ 3 dx = 4 π x=R
R 2 − x 2 dx = 8 π ∫
R 2 − x 2 dx.
V=∫
∫
x=−R 3
3 x=−R
3 x=0
On peut calculer cette intégrale grâce au changement de variable x = R sin θ. Il
vient :
π
V = 8 πR 4 ∫ 2 cos 4 θdθ.
0
3
Cette dernière intégrale se calcule par linéarisation :
cos 4 θ = 1 (e iθ + e −iθ ) 4 = 1 (e 4iθ + 4e 2iθ + 6 + 4e −2iθ + e −4iθ )
16
16
1
= (cos 4θ + 4 cos 2θ + 3).
8
2
Il vient finalement V = π R 4 .
2
Solutions des exercices du chapitre 28
Exercice 28.1 : On a E = k
3
OM
3
= k(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 x i + y j + z k .
OM
Donc :
rot E = ∇ ∧ E =
=
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
3
x(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∧
3
y(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
3
z(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
3
z ∂ (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂y
3
− y ∂ (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂z
3
x ∂ (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂z
3
− z ∂ (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂x
3
y ∂ (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂x
3
− x ∂ (x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
∂y
5
5
5
z2 )− 2
5
z2 )− 2
−3zy(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 + 3yz(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
=
−3xz(x 2 + y 2 +
+ 3zx(x 2 + y 2 +
5
0
=
0
5
−3yx(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 + 3xy(x 2 + y 2 + z 2 ) − 2
Exercice 28.2 : 1) rot grad U
= ∇ ∧ grad U =
.
0
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∧
∂U
∂x
∂U
∂y
∂U
∂z
837
Solutions des exercices
838
=
∂2U − ∂2U
∂y∂z
∂z∂y
∂2U − ∂2U
∂z∂x
∂x∂z
2
∂ U − ∂2U
∂x∂y
∂y∂x
0
=
2)
E
=
=
=
0
2
2
car ∂ U = ∂ U . . . (formule (8. 34)).
∂y∂z
∂z∂y
0
div
∂
∂x
∂
= ∇. ∇ ∧ E =
.
∂y
∂
∂z
∂E z − ∂E y
∂
∂y
∂z
∂x
∂
∂E x − ∂E z
.
∂y
∂z
∂x
∂E y
∂
∂E
x
−
∂z
∂x
∂y
∂ ∂E z − ∂E y + ∂ ∂E x −
∂x ∂y
∂y ∂z
∂z
∂2Ez − ∂2Ey + ∂2Ex − ∂2Ez +
∂x∂y
∂x∂z
∂y∂z
∂y∂x
Exercice 28.3 : 1) div λ E
= ∇ . rot
rot E
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ex
∧
Ey
Ez
∂E z + ∂ ∂E y − ∂E x
∂z ∂x
∂x
∂y
2
∂2Ey
∂
E
x
−
= 0 (formule (8. 34)).
∂z∂x
∂z∂y
∂
∂x
λE x
∂
= ∇. λ E =
.
λE y
∂y
λE z
∂
∂z
= ∂ (λE x ) + ∂ (λE y ) + ∂ (λE z ). Par la règle de dérivation d’un produit :
∂x
∂y
∂z
∂E y
∂E
div λ E = ∂λ E x + λ x + ∂λ E y + λ
+ ∂λ E z + λ ∂E z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂E y
= λ ∂E x +
+ ∂E z + ∂λ E x + ∂λ E y + ∂λ E z = λ div E + grad λ . E .
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂
∂x
Ex
Fx
∂
2) div E ∧ F = ∇ . E ∧ F =
.
∧
Ey
Fy
∂y
∂
∂z
=
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ez
EyFz − EzFy
.
EzFx − ExFz
ExFy − EyFx
= ∂ (E y F z − E z F y ) + ∂ (E z F x − E x F z ) + ∂ (E x F y − E y F x )
∂x
∂y
∂z
En utilisant de nouveau la règle de dérivation d’un produit, il vient :
Fz
Solutions des exercices
div
E ∧ F
839
∂E y
∂F y
F z + E y ∂F z − ∂E z F y − E z
+ ∂E z F x + E z ∂F x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂F y
∂E y
− ∂E x F z − E x ∂F z + ∂E x F y + E x
−
F − E y ∂F x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂z x
∂z
∂F y
∂F y
= −E x ∂F z −
− E y ∂F x − ∂F z − E z
− ∂F x
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂E y
∂E y
+ F x ∂E z −
+ F y ∂E x − ∂E z + F z
− ∂E x
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
=
On reconnaît alors des produits scalaires :
div
∂E z − ∂E y
∂y
∂z
Fx
∂E x − ∂E z
E ∧ F =
.
Fy
∂z
∂x
Fz
∂E y
− ∂E x
∂x
∂y
Ex
−
Ey
.
Ez
∂F z − ∂F y
∂y
∂z
∂F x − ∂F z
∂z
∂x
∂F y
− ∂F x
∂x
∂y
= F . rot E − E . rot F .
Exercice 28.4 : 1) rot λ E
=
∂ (λE z ) −
∂y
∂ (λE x ) −
∂z
∂ (λE y ) −
∂x
=
∂λ E z + λ ∂E z − ∂λ E y − λ ∂E y
∂y
∂y
∂z
∂z
∂λ E x + λ ∂E x − ∂λ E z − λ ∂E z
∂z
∂x
∂x
∂z
∂E
y
∂E
∂λ E y + λ
− ∂λ E x − λ x
∂x
∂x
∂y
∂y
=
∂λ E z −
∂y
∂λ E x −
∂z
∂λ E y −
∂x
∂λ E y
∂z
∂λ E z
∂x
∂λ E x
∂y
+λ
∂E z − ∂E y
∂y
∂z
∂E x − ∂E z
∂z
∂x
∂E y
− ∂E x
∂x
∂y
∂ (λE y )
∂z
∂ (λE z )
∂x
∂ (λE x )
∂y
=
∂λ
∂x
∂λ
∂y
∂λ
∂z
E.
On a donc finalement :
rot λ E
= grad λ ∧ E + λ. rot E .
Ex
∧
Ey
Ez
+ λ. rot
.
Solutions des exercices
840
∂
∂y
=
2) rot rot E
∂
∂z
∂
∂x
=
2
2
2
∂2Ey
− ∂ E2x − ∂ E2x + ∂ E z
∂y∂x
∂z∂x
∂y
∂z
2
2
∂2Ez − ∂ Ey − ∂ Ey + ∂2Ex
∂z∂y
∂x∂y
∂z 2
∂x 2
2
2
2
∂ Ex − ∂ Ez − ∂ Ez + ∂2Ey
∂x∂z
∂y∂z
∂x 2
∂y 2
rot rot E
∂
∂x
=
∂
∂y
∂
∂z
=
− ∂
∂z
− ∂
∂x
− ∂
∂y
∂E x − ∂E z
∂z
∂x
∂E y
− ∂E x
∂x
∂y
∂E z − ∂E y
∂y
∂z
. Faisons apparaître des laplaciens :
2
2
2
2
2
∂2Ey
+ ∂ E z + ∂ E2x − ∂ E2x − ∂ E2x − ∂ E2x
∂y∂x
∂z∂x
∂x
∂x
∂y
∂z
2
2
2
2
2
∂ Ez + ∂ Ex + ∂ Ey − ∂ Ey − ∂ Ey − ∂2Ey
∂z∂y
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂2Ex + ∂2Ey + ∂2Ez − ∂2Ez − ∂2Ez − ∂2Ez
∂x∂z
∂y∂z
∂z 2
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂E x + ∂E y + ∂E z
∂x
∂y
∂z
∂E x + ∂E y + ∂E z
∂x
∂y
∂z
∂E x + ∂E y + ∂E z
∂x
∂y
∂z
∂ div E
∂x
=
∂E y
− ∂E x
∂x
∂y
∂E z − ∂E y
∂y
∂z
∂E x − ∂E z
∂z
∂x
∂ div E
∂y
−
∂2Ex + ∂2Ex + ∂2Ex
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂2Ey
∂2Ey
∂2Ey
+
+
2
2
∂x
∂y
∂z 2
∂2Ez + ∂2Ez + ∂2Ez
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∆E x
−
∆E y
= grad div E
− ∆E.
∆E z
∂ div E
∂z
Exercice 28.5 : Posons ω = ωx i + ωy j + ωz k , où ωx , ωy et ωz sont des
constantes.
∂
∂x
ωy z − ωz y
ωx
x
∂
Alors rot V = rot
∧
=
∧
ωy
y
ωz x − ωx z
∂y
ωz
=
∂ (ω y − ωy x) −
∂y x
∂ (ω z − ωz y) −
∂z y
∂ (ω x − ωx z) −
∂x z
∂
∂z
z
∂ (ω x − ωx z)
∂z z
∂ (ω y − ωy x)
∂x x
∂ (ω z − ωz y)
∂y y
ωx y − ωy x
ωx − (−ωx )
=
ωy − (−ωy )
ωz − (−ωz )
ωx
=2
ωy
ωz
.