Correction

QëP áK . @ éªÓAg
.
Université Ibn Zohr
HA’’
j JË@ èXYªJÓ éJ
ʾË@
P@ PPð
H. QªÖ Ï @ , H@
Faculté Polydisciplinaire
Ouarzazate, Maroc
Correction de
l’Épreuve d’Optique Physique ∗
Prof. : H. Chaib
Filière : TEER, Semestre : 4, Année : 2011/2012
Date : 05-06-2012 à 08:00, Durée : 60 min
Problème
1. Les équations de Maxwell pour un milieu linéaire homogène isotrope sans charges
ni courants libres (c.-à-d. ρ = 0 et ~j = 0) s’écrivent :
~ = 0
divE
~ = 0
divB
~
~ = − ∂B
~ E
rot
∂t
~
~ = µ0 ε ∂ E
~ B
rot
∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
où ε représente la permittivité diélectrique du milieu et µ0 la perméabilité magnétique
du vide.
2. Dans le vide les équations restent valides avec ε = ε0 . Cependant, étant donné que
∂
~ sur l’espace, alors :
l’opérateur ∂t
sur le temps commute avec l’opérateur rot
or :
2~
2~
~ = − ∂ rot
~ = −µ0 ε0 ∂ E = − 1 ∂ E
~ rot
~ E
~ B
rot
∂t
∂t2
c2 ∂t2
~
~ = grad
~ −∆
~E
~
~ rot
~ E
rot
divE
~ =0:
ou aussi, puisque divE
~
~E
~
~
~
rot rotE = −∆
(5)
(6)
(7)
Cependant, on peut écrire :
2~
~E
~ = 1∂ E
∆
c2 ∂t2
De la même manière, on montre que :
2~
~B
~ = 1∂ B
∆
c2 ∂t2
(8)
(9)
∗. L’énoncé et la correction de cette épreuve seront publiés en ligne, quelques heures après la date
affichée en haut, sur le site Web : http://hchaib.chez.com/teaching/
1
2
Correction de l’Épreuve d’Optique Physique (05-06-2012) - Prof. H. Chaib
~ et de l’induction magnétique B
~ suivantes
3. Les expressions du champ électrique E
~ r, t) = E
~ 0 ei(ωt−~k·~r)
E(~
~ r, t) = B
~ 0 ei(ωt−~k·~r)
B(~
et
sont des solutions des équations de propagation obtenues des équations de Maxwell.
Alors, elles vérifient ces équations :
~ = 0
divE
~ = 0
divB
(10)
(11)
~
~ = − ∂ B = −iω B
~ 0 ei(ωt−~k·~r)
~ E
rot
∂t
~
~ 0 ei(ωt−~k·~r)
~ = µ0 ε0 ∂ E = iω E
~ B
rot
2
∂t
c
~ de l’onde en question s’écrivent :
4. Les composantes du champs électrique E
E0x ei(ωt−~k·~r)
i(ωt−~k·~
r)
~
~
E(~r, t) = E0 e
= E0y ei(ωt−~k·~r)
E ei(ωt−~k·~r)
(12)
(13)
(14)
0z
alors :
soit :
ou encore :
~ =∇
~ ∧E
~ = ~ E
rot
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
E0x ei(ωt−~k·~r)
∧ E0y ei(ωt−~k·~r)
E ei(ωt−~k·~r)
0z
ky E0z ei(ωt−~k·~r) − kz E0y ei(ωt−~k·~r)
~ = −i kz E0x ei(ωt−~k·~r) − kx E0z ei(ωt−~k·~r)
~ E
rot
k E ei(ωt−~k·~r) − k E ei(ωt−~k·~r)
x 0y
y 0x
k y Ez − k z Ey
~ = −i kz Ex − kx Ez
~ E
rot
kx Ey − ky Ex
(15)
(16)
(17)
d’où :
~ = −i~k ∧ E
~
~ E
rot
(18)
On a aussi, d’après les équation de Maxwell :
~
~ = − ∂ B = −iω B
~ 0 ei(ωt−~k·~r) = −iω B
~
~ E
rot
∂t
(19)
On constate des deux dernières équations que :
~k ∧ E
~ = ωB
~
(20)
~ on montre que :
En reprenant le même raisonnement pour l’induction magnétique B,
~k ∧ B
~
~ = −ωE
(21)
c2
~ et E
~ sont perpendiculaire
Le deux dernières équations impliquent que les vecteurs B
~
au vecteur d’onde k et par conséquent l’onde est transversale.
Correction de l’Épreuve d’Optique Physique (05-06-2012) - Prof. H. Chaib
3
5. À partir de l’une des deux dernières équations de la dernière question, on peut
~ et B
~ sont orthogonaux.
conclure que les vecteurs E
6. L’onde électromagnétique plane progressive Ω1 dont le champ électrique E~1 est
~ 1 (z, t) = E01 cos(ωt − kz)~ux se propage suivant la direction Oz et elle a
donné par E
pour vitesse :
ω
vϕ =
(22)
k
L’onde électromagnétique plane progressive Ω1 est polarisée suivant la direction Ox
~ 1 est orienté parallèlement à la direction Ox.
car son champ électrique E
7. Pour une onde électromagnétique plane progressive monochromatique on a (voir
ci-dessus) :
~k ∧ E
~ 1 = ωB
~1
(23)
soit :
~ ~
~ 1 = k ∧ E1
B
ω
  

0
E01 cos (ωt − kz)
~ 1 (z, t) = 1  0  ∧ 

0
B
ω
k
0
alors :
(24)
(25)
soit :
~ 1 (z, t) = B01 cos (ωt − kz) ~uy
B
avec B01 =
E01
vϕ
(26)
(où vϕ = ωk ).
~ de l’onde résultante s’écrit :
8. Le champ électrique E
~ t) = E01 cos(ωt − kz)~ux + E02 sin(ωt − kz)~uy
E(z,
Cette onde se propage suivant la direction Oz avec la vitesse de phase :
ω
vϕ =
k
9. Les composantes de l’onde en question vérifient l’égalité suivante :
2 2
Ex
Ey
+
=1
E01
E02
(27)
(28)
(29)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et
Oy. L’ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique ; car pour un z donné,
quand le temps augmente la première composante évolue comme un cos et la
deuxième comme un sin. Alors, La polarisation est elliptique gauche.
10. Pour une onde électromagnétique plane progressive monochromatique on a :
~k ∧ E
~ = ωB
~
soit :
alors :
~ ~
~ = k∧E
B
ω
  

0
E01 cos (ωt − kz)
~ t) = 1  0  ∧  E02 sin (ωt − kz) 
B(z,
ω
k
0
(30)
(31)
(32)
Correction de l’Épreuve d’Optique Physique (05-06-2012) - Prof. H. Chaib
4
soit :
~ t) = −B02 sin(ωt − kz)~ux + B01 cos(ωt − kz)~uy
B(z,
avec B01 =
E01
vϕ
et B02 =
E02
vϕ
(où vϕ = ωk ).
(33)