Correction 2nde. Test 3.08

Correction
I. ( 4 points ). ABCD est un carré, AEB et BFC sont deux triangles équilatéraux directs.
(
On se propose de démontrer que les points D, E et F sont alignés . On va utiliser le repère A ; AB, AD
)
1. Quelles sont les coordonnées des points B , C , D et A ?
B (1 ; 0)
en effet
C ( 1 ; 1)
en effet
D ( 0 ; 1)
en effet
A ( 0 ; 0)
en effet
AB = 1 AB + 0 AD
AC = AB
+
BC
=
1
AB
+
1
AD
AD = 0 AB + 1 AD
AA = 0 AB + 0 AC
car
BC = AD
2.Calculer les coordonnées des points E et F sachant que chaque triangle équilatéral a pour hauteur
1
3
E ;
 en effet
2
2 


3 1
F  1 +
;  en effet
2
2

3
2
1 3 AE = AB +
AD
2
2
puisque
AEB est équilatéral de hauteur
3
2

3  1 AF = 1+
 AB + AD
2 
2

puisque
BFC est équilatéral de hauteur
3
2
3. Calculer les coordonnées des vecteurs DE et DF puis justifier que les points D, E et F sont alignés
 1 
 3

1



3
−0 
− 0
+ 1

 2 

2
1 +
2


 donc DE 
 donc DF  2
DE 
de même
DF 
 −1 
1
 3

 3 


− 1
−1 
− 1





 2

 2


2 
 2 
2

 −1   3 
DE et DF ont leurs coordonnées proportionnelles puisque xy '− x ' y =   − 
 − 1 = 0

 4   2 

Conclusion : les vecteurs DE et DF sont colinéaires donc les points D , E et F sont alignés .
(
)
II. ( 6 points ). Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; i, j .
Placer les points suivants : A ( 6 ; 1)
B ( 4 ; 5) et C ( 3 ; 4 )
sur l’annexe jointe .
1. Les vecteurs AB et BC sont-ils colinéaires ? Justifier .
 −2 
 −1 
 4 − 6 
 3 − 4 
AB 
donc
AB
de
même
BC
donc
BC
 
 



 4
 −1 
 5 −1 
 4 − 5
 −2 
 −1 
AB   et BC   ont leurs coordonnées non proportionnelles puisque xy '− x ' y ≠ 0
 4
 −1 
en effet ( −2 ) × ( −1) − 4 × ( −1) = 6 ≠ 0 donc les vecteurs AC et BD ne sont pas colinéaires
2. Pour quelle valeur de x non nulle, les points E (1 ; 0 ) F ( x ; 3) et G (1 ; x ) sont-ils alignés ?
 x − 1
 0 
EF 
et
EG

  sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées vérifient :
 3 
 x
x × ( x − 1) = 3 × 0
j’obtiens : x ( x − 1) = 0 c’est-à-dire x = 0 ou x − 1 = 0
 0 
 0 
on a alors pour x = 1 EF   et EG   colinéaires donc E (1 ; 0 ) F (1 ; 3) et G (1 ; 1) alignés
3
1 
3. Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [ AB] .
y + yB 
 x + xB
 6 + 4 1+ 5 
I A
; A
;
 c’est-à-dire I ( 5 ; 3 ) et je vérifie sur le graphique .
 soit I 
2 
2 
 2
 2
4. a ) Calculer la longueur IA .
 6 − 5 
 1 
2
IA 
 donc IA   par suite IA =
 −2 
1 − 3 
IA
2
= (1) + ( −2 ) = 5 et
2
2
IA = 5
4. b ) A quelle condition un point M appartient-il au cercle de centre I et de rayon IA ?
M appartient au cercle de centre I et de rayon IA
si et seulement si
IM = 5
4. c ) Démontrer que le point C appartient à ce cercle .
 −2 
 3 − 5 
2
2
2
2
IC 
donc
IC
par
suite
IC
=
IC
= ( −2 ) + (1) = 5 et IC = 5
 

 1 
 4 − 3
Je peux en conclure que le point C appartient au cercle de centre I et de rayon IA
5. Déterminer par le calcul, les coordonnées du point D tel que : AC = CD .
 xD − 3 
 −3 
 3 − 6 
CD 
AC 
donc
AC  
 avec D ( xD ; yD ) de même

 3
 4 −1 
 yD − 4 
 xD − 3 = −3
j’obtiens le système :
puisque deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées

 yD − 4 = 3
 xD = 0
ainsi : 
 yD = 7
c’est-à-dire D ( 0 ; 7 )
et je vérifie sur le graphique .
Nom et prénom :
Annexe pour l’exercice II.
Annexe pour l’exercice III.
Les points D et E vérifient : AD = BC + 2AB et
AE = CB + CA
III. ( 6 points ). Soit un triangle ABC.
1. Construire les points D et E vérifiant : AD = BC + 2AB et AE = CB + CA sur l’annexe jointe .
2. Montrer que BD = AC . Que peut-on en déduire géométriquement ?
BD = BA
+
AD
=
−
AB
+ BC
2AB
+ BC
+
= AB
= AC
Je peux en déduire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme .
3. Montrer que BE = 2CA . Déduire de cette égalité et de la précédente que E, B et D sont alignés.
BE = BA
+
AE
=
BA
+
CB
+
CA
=
CB
+
BA
+
CA
=
CA
+
CA
=
2
CA
Je peux en déduire que BE = −2 AC = −2 BD
Conclusion : les vecteurs BE et BD sont colinéaires donc les points E , B et D sont alignés .
4. Soit I milieu du segment [ AB] . Justifier que CA + CB = 2CI . Qu’en déduire pour ( AE ) et ( CI ) ?
CA + CB = CI
+ IA + CI
+ IB = 2CI
+
IB = 2 CI
+ IA
en effet I milieu de [ AB] signifie IA + IB = 0
0
Je peux en déduire que AE = CB + CA = 2 CI
Conclusion : les vecteurs AE et CI sont colinéaires donc les droites ( AE ) et ( CI ) sont parallèles .
IV. ( 4 points ). QCM. Le candidat doit cocher la case correspondante . Aucune justification n’est demandée .
On considère dans un repère orthonormé O ; i, j les points suivants : A ( −4 ; −2 ) B ( −1 ; 3) C ( 7 ; −2 )
1. Les coordonnées du vecteur AB sont :
 5 
 −3 
 −5 
AB  
AB  
AB  
× Autre réponse
3
 −5 
1 
2. La longueur AB est égale à :
× 34
8
26
Autre réponse
(
)
3. Les coordonnées du milieu J du segment [ AC] sont :
 11

 −5 1 
3

× J  ; −2 
J
; 0
J
; 
2

 2 2
2

4. Les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme sont :
D (10 ; 3)
× D ( 4 ; −7 )
D ( −12 ; 3)
Autre réponse
Autre réponse