Exercices supplémentaires – Géométrie plane

Exercices supplémentaires – Géométrie plane
Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité
Exercice 1
Dans un repère, on considère 6; 1, 3; 1, 15; 4 et ; 2.
1) Les points , et sont-ils alignés ? Justifier.
2) Les points , et sont-ils alignés ? Justifier.
Exercice 2
On considère 7; 6, 3; 3, 8; 1 et 4; 5.
1) Les droites et sont-elles parallèles ? Justifier.
2) On considère ; 5. Déterminer pour que et soient parallèles.
Exercice 3
est un rectangle. est le symétrique de par rapport à . est le symétrique de par rapport à . est
.
défini par !
; #, donner les coordonnées de , , et sans justifications.
1) Dans le repère "; 2) Calculer les coordonnées de , et .
3) Les points , et sont-ils alignés ? Justifier la réponse.
Exercice 4
On considère un triangle . est le symétrique de par rapport à . Les points et sont définis par
et 2
.
! ; #, calculer les coordonnées de , et .
1) Dans le repère "; 2) Démontrer que les points , et sont alignés.
Exercice 5
Dans un repère, on considère 2; 3, 3; 1 et 4; 4.
! .
1) Calculer les coordonnées de $ tel que $
!
2) Calculer les coordonnées de tel que 3) Calculer les coordonnées de & tel que &
4) Démontrer que $; et & sont alignés.
%
.
'
Exercice 6
Dans un repère orthonormé, on considère 2; 2, 3; 6 et 10; 3.
1) Déterminer les coordonnées de tel que soit un parallélogramme.
2) Calculer , et . Que peut-on en déduire pour le triangle ?
3) Calculer les coordonnées du milieu de *
+.
- .
4) Calculer les coordonnées de , tel que ,
5) Démontrer que est le milieu de *,+.
2$
2
- .
- 3
$
6) Calculer les coordonnées de $ défini par 2,$
7) Démontrer que , , et $ sont alignés.
On considère un triangle et les points &, . et / définis par &
Exercice 7
et .
1) Exprimer &. et ./ en fonction de 2) Démontrer que &, . et / sont alignés.
On considère un triangle et les points $, et & définis par $
Exercice 8
On va démontrer de deux manières que $, et & sont alignés.
!
; .
!
; !
%
et /
!
%
et &
.
.
'
; #
1) Dans le repère "; a. Déterminer les coordonnées de $, et &.
b. Démontrer que ces trois points sont alignés.
2) A l’aide des vecteurs
et .
a. Décomposer $ et $& avec les vecteurs b. Démontrer que $, et & sont alignés.
On considère le triangle et les points , et tels que Exercice 9
; On va démontrer de trois manières différentes que , et sont alignés.
; #
1) Dans le repère "; !
et .
2
a. Déterminer les coordonnées de , et .
b. Démontrer que ces points sont alignés.
2) Avec les vecteurs
et .
a. Décomposer et à l’aide des vecteurs b. Démontrer que , et sont alignés.
3) Géométriquement
a. On construit la parallèle à passant par . Elle coupe *+ en un point . Démontrer que est le
milieu de *+.
b. En déduire que est le milieu de *+.
c. Démontrer que est parallèle à et conclure.
Partie B : Equation de droites, vecteur directeur
1
1) Tracer la droite 1 passant par 1; 2 et de vecteur directeur 2
3 4.
Exercice 1
!
2) 5; 4 appartient-il à 1 ? Justifier.
Exercice 2
On considère la droite 1 d’équation 5
%
! - !.
Déterminer un vecteur directeur de 1 à coordonnées entières.
5
On considère une droite de vecteur directeur 2
. Déterminer son coefficient directeur.
2
Exercice 3
Exercice 4
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite 1 passant par et de vecteur directeur 2
.
2
1) 3; 2 et 2
1
0
2) 2; 2 et 2
3 4
28
3) 0; 4 et 2
35
Exercice 5
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et parallèle à 1.
1) 2; 3 et 1 6 2 5 - 2 0
2) 0; 3 et 1 6 3 - 45 5 0
2
.
Dans un repère, placer les points 2; 4, 2; 2, 5; 0 et tel que Quelle est la nature du quadrilatère ? Justifier.
Déterminer les coordonnées de .
On considère la droite 1 d’équation 6 - 5 14 0. Vérifier que et appartiennent à 1.
Déterminer une équation cartésienne de .
Démontrer que et sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection .
Calculer les coordonnées de $ milieu de *+ et de milieu de *
+.
Démontrer que , $ et sont alignés.
Exercice 6
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Exercice 7
On considère quatre droites 1 : 6 - 95 - 18 0 ; 1 : 4 - 65 5 0 ; 1! : 5 5 - 15
2
- √3 : 5 - 2√3 0
1% :
√3
1) Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles ?
2) Les droites 1 et 1 sont-elles confondues ? Même question pour 1 et 1% .
0 ;
Exercice 8
On considère un réel ; et la droite 1 d’équation - ;5 - 3 0.
Dans chaque cas, peut-on déterminer ; pour que la condition soit vérifiée ? Si oui, le déterminer.
3
1) 2
est un vecteur directeur de 1.
2
2) 2; 3 appartient à 1.
3) 1 est parallèle à la droite d’équation 3 5 0.
4) 1 est parallèle à l’axe des abscisses.
5) 1 est parallèle à l’axe des ordonnées.
6) 1 passe par l’origine du repère.
7) 1 passe par le point ,0; 1
Exercice 9
est un parallélogramme. Le point & est à l’intérieur de ce parallélogramme. Les parallèles à et passant par & coupent les côtés en , , et tels que < *+, < *
+, < *
+ et < *+.
; #.
On note ; 5 les coordonnées de & dans le repère "; 1) Donner les coordonnées de , , et en fonction de et 5.
2) Déterminer une condition sur et 5 pour que et soient parallèles.
3) Quel est l’ensemble des points & tels que et soient parallèles ?
Exercice 10
On considère un nombre réel ; et on note 1= la droite d’équation 2; 1 ;5 - 3 - 1 0.
1) Tracer 1> , 1 , 1 et 1? .
2) Montrer que toutes les droites 1= passent par un même point dont on précisera les coordonnées.
3) Existe-t-il des droites 1= passant par 1; 4 ? Si oui, lesquelles ?
2
4) Existe-t-il des droites 1= de vecteur directeur 2
? Si oui, lesquelles ?
1
Correction exercices supplémentaires – Géométrie plane
Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité
Exercice 1
9 et 21 or 9 : 5 2 : 21
1) 2
5
points , et ne sont pas alignés.
A
9 et 3 4 or 9 : 3 2 : A
2) 2
3
sont alignés.
et ne sont pas colinéaires et les
3 @ 0 donc les vecteur et sont colinéaires et les points , et 0 donc les vecteurs Exercice 2
4-8
10
12
3 7
1) : et 6 5 - 1
3
4
36
Vérifions s’il y a colinéarité : 10 : 4 3 : 12 40 - 36 4
ne sont pas colinéaires donc et ne sont pas parallèles.
et Les vecteurs 8
2) 6 4
et sont colinéaires donc 10 : 4 3 : - 8 0 B 40 - 3 - 24 0 B 3
'
!
On doit choisir pour que et soient parallèles.
16 B Exercice 3
1) 0; 0, 1; 0, 1; 1 et 0; 1.
2) est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de *
+ et .
D 1
D 1 G
0 D 1G
11
C
BF
EBF
donc 1; 1
5D 0
1 5D
5D 1
01
.
est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de *+ et H 0
H 0 G
H 0G
00
C
E BF
BF
donc 0; 2
5H 1
5H 1 1
5H 2
10
B CI 0E 1 0 B J I ! G donc ; 0
!
! 00
!
5I 0
5I 0
01
1
0
! 4
3) 6 C
E et 6 3 !
4
3
2 1
3
02
2
Vérifions s’il y a colinéarité : 1 : 2 3 : ! 2 2 0 donc et sont colinéaires et , et sont
alignés.
Exercice 4
1) 0; 0, 1; 0 et 0; 1.
:
est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de *+ et 0
1 G
1G
01
C D
E BF D
BF D
et donc 1; 2
5D 1
5D 1 1
5D 2
10
H 0
!
! B CH 0E ! 0 0 B J
! G donc 0; 10
5H 0
5H B CI 1E 2 0 1 B FI 1 2G B FI 3G donc 3; 0
2
5I 0
5I 0
5I 0
00
0 1
1
30
3
2) 6 3 !
6 3 0 ! 4 3 !4
4 3 4 et 2
!
!
!
Vérifions s’il y a colinéarité : 1 : : 3 - Donc et sont colinéaires et , et sont alignés.
Exercice 5
0
'
!
1) $
!
2) !
%
!
$ 11; A
%
; 0
-2
BC M
E
5M 3
'
3) &
A
-2
BC K
E
5K 3
! 4 4
! 3-2
% 1 3
3
BC N
E
5N - 1
M - 2
BL
5M 3
N
:6
!
%
:1
GBJ
K
%
:5
BL
A
P Q
'
% - %
N
5N
O
' G
'
9 2
!
5K
11
GBJ K
! G donc
-3
5K 2G
BJ M
5M
3 - 3
%
G B J M
!
5M
: 4
'G
'
N 3
3
BL
1
5 -1
O
A
'
%
P !Q et & 6 P % Q
0
'
!
A
colinéarité : % : ' : - 11
4) $ 6 P%
!Q
0
Vérifions s’il y a
4
' 4-
!
!
K - 2
2
BL
3
5K 3
O
0
donc
donc & ' ; '
0
et &
sont colinéaires et les points $, et & sont alignés.
Donc les vecteurs $
1) est un parallélogramme B B 3 2
6 2
3) T
donc ; Exercice 6
A
%G
C
10 R
5
EBF
3 5R
8
10 R G
3 5R
R 15G
donc 15; 5
5R 5
2) S3 2 - 6 2 √25 - 64 √89
S10 2 - 3 2 √64 - 25 √89
S10 - 3 - 3 - 6 √169 - 9 √178
On remarque que donc est isocèle en .
De plus, 178 et - 89 - 89 178 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, est rectangle en . Finalement est rectangle isocèle en .
BF
4) ,
donc
UV WUX
?!W>
A
et 5T
-3
- B C Y
E
5Y - 6
A
, ; A
2
6 P
5) Q
O
2
!
P !Q
2$
- 3
$
6) 2,$
?'?!
O
A
O
2
Y - 3
15 10
-P
Q
B
L
O
5-3
25Y - 6
6 P
et ,
2
2
A
AQ
!
P !Q
K donc ,
5
8-
!
!
GBL
Y
5Y
A
3
G
O
6
Y
BL
5Y
et est bien le milieu de *,+
K 10
K 2
- B 2 P
2
AQ - 3 C 5 - 3 E 2 C5 2E
K
K
5K 2 10
15 10
2
-
2-3
5-3
1
2 CK E - 3K 10 2K 2 2 : 8 - 5
2
G B F2K 1 - 3K 30 2K - 4 11G
BZ
17
25K 17 - 35K - 9 25K - 4 18
2 C5K E - 35K - 3 25K 2 2 : 5 - 8
2
'
K
3K 16G
' !G
BF
BL
donc $ ! ; ! 35K 22
5
6
7) ,
K
15
PA
Q
5
!
15
6 P !
P A Q et $
Q
5
!
O
'
O
P A! Q
!
>!
>!
' - '
Vérifions s’il y a colinéarité : : ! : ! Donc , et $ sont colinéaires et , , et $ sont alignés.
O
A
A
O
0
G
A
Exercice 7
./
- .
&
1) &.
!
2) On a 3./
a. $ 0; ; % ; 0
!
!
Pour les coordonnées de & :
'
&
1
BC N
E
5N
b.
!
%
: !
2)
!
!
3
1
1
1
1
1
1
- - - - - 4
2
4
2
2
4
2
donc &.
et ./
sont colinéaires et les points &, . et / sont alignés.
&.
- - /
.
Exercice 8
1)
- et
%
:'
!
$ P%!Q
1
' 1
et $& P
'
'
-
!Q
5N
soit
'G
'
donc & ; $& P'Q
!
' '
Vérifions s’il y a colinéarité :
0 donc $ et $& sont colinéaires et $, et & sont alignés.
- $
a. $
BL
N
!
- % !
5
3
1
5
- - "
- #
- 6
2
6
3
donc $
et $&
sont colinéaires et $, et & sont alignés.
> $&
b. On observe que $
O
- - &
$
$&
Exercice 9
1)
a. 0; ; ! ; 0
B CH 1E
2
5H
!
1G
1
2 B F H
donc 1; 2
5H 2
1
3
P Q et b. 1
!
4 Vérifions s’il y a colinéarité : ! : : 1
et sont colinéaires et , et sont alignés.
Donc 2)
a. !
0
- !
1
3
- - 2"
- #
- 2
2
donc b. On remarque que 3
et sont colinéaires et , et sont alignés.
- - - a. Dans le triangle , la droite passe par le milieu de *
+ et est parallèle à donc elle
coupe le troisième côté *+ en son milieu d’après le théorème des milieux. Or cette intersection est en . Donc est le milieu de *+.
3)
b. Nous savons que !
et donc !
et alors .
!
On a donc bien que est le milieu de *+.
c. Dans le triangle , passe par le milieu de *+ et *+ donc elle est parallèle au troisième
côté d’après le théorème des milieux.
Finalement, est parallèle à par construction et à donc et sont parallèles également et
comme elles ont un point commun, on a démontré que , et sont alignés.
3
Partie B : Equation de droites, vecteur directeur
A →2
u
32
1) La droite 1 passe par 1; 2 et tel que et alors
a pour coordonnées 4; 4
6 5 - 1 6 2) 6
4 2
et 2
ne sont clairement pas colinéaires car leurs coordonnées ne
sont pas proportionnelles donc n’appartient pas à 1.
Exercice 1
Exercice 2
%
0; !
et
1; !
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
3 4 est un vecteur
appartiennent à 1 donc !
-4
B
, qui a pour coordonnées 3 a des
directeur de 1. Ses coordonnées ne sont pas entières. Par contre 3
2
coordonnées entières et dirige également 1.
Exercice 3
On considère un point [; \ de la droite. Alors [ - 5; \ 2 appartient également à la droite. Le coefficient
]??]
directeur de la droite est alors ^W?^ ou encore [
1) La droite de vecteur directeur 2
admet pour équation cartésienne : \ - [5 - _ 0.
\
Dans notre cas, nous avons donc - 25 - _ 0 comme équation cartésienne.
De plus, la droite passe par donc ses coordonnées vérifient l’équation et on obtient : 3 - 4 - _ 0 ou encore
Exercice 4
_
1. Une équation de la droite 1 est alors - 25 1
0
0
C - 2E et 2
2) On considère &; 5 un point de 1. Alors &
3 4 sont colinéaires et leurs coordonnées sont
52
proportionnelles. On a donc - 2 0
0 ou encore Remarque : la droite 1 est parallèle à l’axe des ordonnées.
2
28
3) On considère un point &; 5 appartenant à 1. Alors &
sont colinéaires et donc
5 - 4 et 2
35
35 285 - 4 0 ce qui donne 35 285 112 0 ou encore en simplifiant par 7 : 5 45 16 0
Exercice 5
1) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur et donc admettent les mêmes vecteurs directeurs.
Une équation de la droite parallèle à 1 est donc 2 5 - _ 0. Or cette droite passe par donc ses coordonnées
vérifient l’équation et 4 - 3 - _
0 ou encore _
7. Une équation de la droite cherchée est 2 5 7
2) Une équation de la droite cherchée est 3 - 45 - _
12 - _
0 ou encore _
0. A l’aide des coordonnées de , on obtient :
12. Donc on obtient : 3 - 45 - 12
0
Exercice 6
1) Voir ci-dessous
donc a ses côtés et parallèles et donc est un trapèze.
2) 2
0
3) B CR - 5E
2
5R
R 3 G
donc 3; 4
5R 4
4) Pour : 6 : 2 - 2 14
BF
- 5 2 : 4G
4
2 B F R
5R 2 : 2
2
12 - 2 14
y
8
7
0 donc < 1
Pour : 6 : 3 4 14 18 4 14 0 donc < 1
3 est un vecteur directeur de donc une équation
5) 4
cartésienne de est 4 35 - _ 0.
Comme cette droite passe par , nous avons 4 : 2 3 : 4 - _ 0
ou encore _ 20.
Une équation de est alors 4 35 - 20 0
6
5
A
7) Coordonnées de $ : K
$0; 3
0 et 5K
Ua WUV
De la même manière, on a 1; 2
1 et 2 On a clairement 8) $
5
10
sont alignés.
4
3 K
1
C
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
L -2
-3
3 donc
ba WbV
B
2
6) Intersection de et :
5 14 6
6 - 5 14 0 G
G B `5 14 6 G
BF
F
4 35 - 20 0
4 314 6 - 20 0
22 22
5 8G
B`
1
Donc et sont bien sécantes en un point de coordonnées
1; 8
E
-4
donc et $
sont colinéaires et les points , $ et 2$
√3
9
6
1
dirige 1 ; 2
dirige 1 ; 2
! dirige 1! et 2% c d dirige 1% .
1) 2
6
4
5
!
Exercice 7
√
3
Nous avons clairement 2
32
avec 2
et 2 22
donc 2
et 2
sont colinéaires et 1 et 1 sont parallèles.
2
Par contre 2
et 2
! ne sont pas colinéaires donc 1! n’est pas parallèles à 1 et 1 .
Pour 1% , étudions la colinéarité de 2
% et 2
6 3 :
- 2√3
√!
' √!
!
- 2√3
2√3 - 2√3
0
Donc 2
% et 2
sont colinéaires et 1% est alors parallèle à 1 et 1 .
2) 3; 0 < 1 Vérifions si appartient également à 1 : 12 - 0 5 @ 0 donc e 1 donc 1 et 1 sont
strictement parallèles et pas confondues.
Vérifions ensuite si appartient à 1% : donc que 1 et 1% sont confondues.
'
√!
- 2√3
;
1) Un vecteur directeur de 1 est f .
1
et f colinéaires B 3 - 2; 0 B ;
2
dirige 1 B 2
' √!
!
Exercice 8
!
3
2
dirige 1 si et seulement si ; a pour valeur .
2
2) < 1 B 2 - 3; - 3
0B ;
!
!
- 2√3
0 donc appartient bien à 1% . Nous avons
D
1
0 qui admet f comme vecteur directeur. Donc une
3
g
0. En divisant par 3 (pour obtenir un coefficient 1 devant ), on a 5 0.
3) 1 est parallèle à la droite d’équation 3 5
équation de 1 est 3 5 - _
Par identification avec l’équation de 1 donnée dans l’énoncé, on a ;
!
et _
!
9.
!
4) 1 est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si elle admet une équation réduite de la forme 5 _ .
Ceci n’est pas possible car l’équation cartésienne de 1 contient des .
5) 1 est parallèle à l’axe des ordonnées si et seulement si elle admet une équation réduite de la forme _.
Ceci n’est possible que si ; 0
6) h0; 0 < 1 B 3 0
Cette dernière égalité est fausse donc 1 ne peut jamais passer par l’origine du repère.
7) ,0; 1 < 1 B ; - 3 0 B ; 3
Exercice 9
1) 0; 5 ; 1 1; 5 et ; 0
1
2) et parallèles B 1 5 et C 5 E colinéaires B 5 11 5
B 5 5 1 - 5
0 B 5 - 1
0B -5
1
0
3) et sont parallèles si et seulement si - 5 1, autrement dit si et seulement si les coordonnées
de & vérifient l’équation - 5 1. Or cette équation est celle de la droite . Finalement et sont
parallèles si et seulement si & < *+.
1) 1> : 2 - 1
Exercice 10
1 : 4 5 - 1
1 6 6 25 - 1
1? : 5 - 1
0 ou encore 0 ou encore 5
0 ou encore 5
0 ou encore 5
(en noir)
4 - 1 (en rouge)
3 - (en bleu)
1 (en rose)
2) Graphiquement, les quatre droites 1= tracées passent par ; 1. Vérifions si c’est le cas pour toute
valeur de ; :
1
1
1
3
2; 1 : C E ; : 1 - 3 : C E - 1 ; - - ; - 1
2
2
2
2
Donc, pour tout ; < i, 1= passe par ; 1
3) 1; 4 < 1= B 2; 1 : 1 4; 3 1
appartient à 1= si et seulement si ;
.
0
0 B 6; 3
4) Une équation cartésienne de 1= est
2; - 2 ;5 - 1 0. Un vecteur directeur de 1= est donc
;
2
= 2; - 2.
2
dirige 1= B 2
et 2= colinéaires B 22; - 2 - ; 0
4
B; 5
%
Donc, pour ; , 2
dirige 1= .
0B;
5
A 4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3