Université de Nice Licence de mathématiques 2003

Université de Nice
2003-04
Licence de mathématiques
L6
Examen
(20 septembre 2004)
Exercice 1 - Dans le plan affine euclidien, muni Question 1.2 - On prend l’origine des abscisses
d’un repère orthonormé (O,~ı, ~), on considère l’arc curvilignes au point de la trajectoire de coordonnées (1/2, 0) et on oriente l’arc dans le sens
paramétré défini par l’équation polaire :
des
θ croissants.
1
ρ(θ) =
Déterminer l’abscisse curviligne d’un point de pa1 + cos θ
ramètre θ ∈ I.
On désignera par ~u(θ) le vecteur de coordonnées Déterminer le repère de Frénet, la courbure au
(cos θ, sin θ), par ~v (θ) le vecteur de coordonnées point de paramètre θ ∈ I. En déduire la concavité
(− sin θ, cos θ) et par f (θ) le point de l’espace affine de la trajectoire de f .
−−−→
défini par Of (θ) = ρ(θ) ~u(θ).
De la formule (1) on déduit que, pour θ ∈ I,
Question 1.1 - Donner un intervalle ouvert maθ
θ
1
0
~
sin ~u(θ) + cos ~v (θ)
f (θ) =
ximal I de R sur lequel l’arc est simple et régulier.
2
2
2 cos3 θ2
Décrire les symétries de la trajectoire. Donner
θ
1
π
la tangente au point f (0) et étudier les branches
~u( + )
=
2
2
infinies. Donner l’allure de la trajectoire sur un
2 cos3 θ2
dessin.
1
La fonction θ 7−→ 1/(1 + cos θ) est définie, de classe C ∞ , dont la norme est égale à
qui est bien une fonc2 cos3 θ2
sur ] − π, π[. Elle est paire et strictement croissante de 1
à +∞ sur l’intervalle ]0, π[. La fonction f est périodique tion positive sur I.
de période 2π sur R privé des multiples impairs de π. La Le point (1/2, 0) est f (0). L’abscisse curviligne du point
trajectoire est donc entièrement décrite sur I =] − π, π[. de paramètre θ ∈ I est donc
Les points f (−θ) et f (θ) sont symétriques par rapport à
Z θ
dt
l’axe Ox. Lorsque θ varie de 0 à π ρ(θ) est positif, donc
s(θ) =
3 t
tous les points f (θ) sont distincts (puisque sur des demi0 2 cos 2
droites distinctes) et au-dessus de Ox. Par symétrie, les
points f (θ), θ ∈] − π, 0[ sont aussi distincts 2 à 2 et au- Le vecteur tangent unitaire F~ 0 (s(θ)) au point f (θ) est
donc égal à ~u( θ2 + π2 ), de coordonnées (− sin θ2 , cos θ2 ), et
dessous de Ox. L’arc f est donc simple sur I.
0
~
~ (s(θ)) est ~u( θ +π) = −~u( θ ),
La dérivée f (θ) vaut
le vecteur normal unitaire N
2
2
θ
θ
de
coordonnées
(−
cos
,
−
sin
).
1
sin
θ
2
2
(1)
~u(θ) +
~v (θ)
f~0 (θ) =
En dérivant la première de ces relations par rapport à θ,
(1 + cos θ)2
1 + cos θ
on trouve
Il n’y a pas de point stationnaire puisque ρ ne s’annule jamais. L’intervalle maximal cherché est donc I = F~ 00 (s(θ)) s0 (θ) = 1 ~v ( θ + π ) == − 1 ~u( θ ) = 1 N
~ (s(θ))
2 2
2
2 2
2
] − π, π[. En 0, on a ρ(0) = 1 et ρ0 (0) = 0. La tangente
est donc dirigée par ~v (0) de coordonnées (0, 1).
d’où la courbure
Il y a une branche infinie lorsque θ tend vers π. La diθ
rection asymptotique est donc la direction horizontale.
c(s(θ)) = cos3
Pour déterminer s’il y a une asymptote on étudie la li2
mite éventuelle de
qui est donc positive sur l’intervalle I. Le repère de Frésin θ
net est donc orienté comme le repère de référence. Autrey(θ) =
1 + cos θ
ment dit, la courbe, orientée dans le sens des θ croissants,
tourne vers la gauche.
lorsque θ tend vers π. Comme
y(θ) =
2 sin(θ/2) cos(θ/2)
= tan(θ/2)
2 cos2 (θ/2)
Question 1.3 - Étudier la développée de l’arc f
(points stationnaires, branches infinies). Donner
l’allure de la trajectoire de la développée et sa
position par rapport à la trajectoire de f sur un
dessin.
qui tend vers +∞ quand θ tend vers π, θ < π. La trajectoire a donc une branche parabolique de direction horizontale.
1
Question 2.2 - Pour θ ∈ R, identifier l’ arc tracé
sur la nappe associé à la fonction partielle fθ :=
−−−−−−→
−−−→
~ (s(θ))
OΩ(s(θ)) = Of (θ) + R(s(θ)) N
t 7−→ f (θ, t).
L’arc fθ : t 7−→ (t cos θ, t sin θ, aθ) a pour trajectoire une
1
1
θ
=
~u(θ) −
~u( )
θ
θ
droite, contenue dans le plan d’altitude aθ et qui se pro2
3
2
2 cos 2
cos 2
jette dans le plan horizontal sur la droite passant par
l’origine et faisant un angle θ avec le vecteur ~ı.
Ses coordonnées sont donc :
Soit t 6= 0. Étudier l’arc, tracé sur la nappe, as 1 3 2 −2 − 2t
socié à la fonction partielle ft := θ 7−→ f (θ, t). En
−t3
particulier, déterminer le trièdre de Frenet de ft
en
un point de paramètre θ. Identifier la normale
où on a posé t = tan( θ2 ).
principale.
Comme la trajectoire ne dépend pas du paramétrage Que peut-on dire lorsque t = 0 ?
choisi, il s’agit maintenant d’étudier l’arc paramétré
L’arc ft : θ 7−→ (t cos θ, t sin θ, aθ) a une trajectoire qui
est, pour t = 0, l’axe Oz et, pour t non nul, une hélice
2
g : R −→ R
circulaire se projetant dans le plan horizontal sur le cercle
1 3 2 −2 − 2t
de centre O et de rayon |t|. Le repère de Frénet Tt (θ) en
t 7−→
−t3
un point de paramètre θ est donné, si t > 0 par les
vecteurs
qui a un point stationnaire en (− 12 , 0) (la tangente y




est horizontale), dont la trajectoire est symétrique par
−t sin θ
− cos θ
1
 t cos θ  N :  − sin θ 
rapport à Ox et a une branche parabolique de direction
T :√
2 + t2
a
Oy.
a
0
Le centre de courbure Ω(s(θ)) vérifie
et
Exercice 2 - Soit a un réel positif.
Dans l’espace affine euclidien, muni d’un repère
orthonormé (O,~ı, ~, ~k), on considère la nappe paramétrée définie par :


a sin θ
1
 −a cos θ 
B:√
a2 + t2
t
Comme f (θ, −t) est le symétrique de f (θ, t) par rapport
à Oz (cette symétrie est un demi-tour, en particulier un
déplacement), on déduit le triédre de Frénet T−t (θ) en
un point de paramètre θ sur l’arc f−t : il est obtenu à
Question 2.1 - Soit α un réel. Montrer que f (θ + partir de T (θ) par un demi-tour autour de ~k.
t
α, t) se déduit de f (θ, t) par un déplacement indé- On note également que N est un vecteur tangent unitaire
pendant de (θ, t). Montrer que f est simple et à l’arc paramétré f
θ
régulière. Donner un vecteur normal unitaire en
un point de paramètre (θ, t) de R2 .
Question 2.3 - Écrire, au moyen d’une intégrale
Le vissage d’axe Oz, d’angle α et de vecteur aα~k envoie double, l’aire de la portion de trajectoire de f
f (θ, t) sur f (θ + α, t), et ceci pour tout (θ, t). La fonction comprise entre les plans d’altitude z0 et z1 , 0 <
f est de classe C ∞ sur R2 . Ses dérivées partielles sont
z0 < z1 et contenue dans le cône d’axe ~k défini
par x2 + y 2 < z 2 . Exprimer l’intégrale à l’aide




−t sin θ
cos θ
d’intégrales simples.
 t cos θ 
 sin θ 
Cette portion de trajectoire est paramétrée par l’ouvert
0
a
W = {(θ, t) ∈ R2 | z0 /a < θ < z1 /a, |t| < aθ, et son
aire est donc l’intégrale
dont√le produit vectoriel est (−a sin θ, a cos θ, −t) de norZ p
me t2 + a2 qui ne s’annule pas sur U . Considérons deux
a2 + t2 dθdt.
points f (θ , t ) et f (θ , t ). Ils coı̈ncident si et seulement
: R2 −→
(θ, t) 7−→
f
1
1
2
R3
(t cos θ, t sin θ, aθ)
2
W
si t1 cos θ1 = t2 cos θ2 , t1 sin θ1 = t2 sin θ2 et aθ1 = aθ2 .
La dernière relation force θ1 = θ2 ce qui, compte tenu À l’aide du théorème de Fubini, on obtient
des deux premières, donne t1 = t2
Z z1 /a Z aθ p
Un vecteur normal unitaire en un point de paramètre
t2 + a2 dt
dθ
(θ, t), t > 0 est donc
z /a
−aθ
0
√
1
t2 + a2
−a sin θ, a cos θ, −t
2
Question 2.4 - Calculer la deuxième forme fondamentale en un point de paramètre (θ, t) de U .
Qu’en déduire pour la courbure totale ? Peutil exister une paramétrisation isométrique de la
trajectoire ?
La matrice de la deuxième forme fondamentale dans la
∂f
base ( ∂f
∂θ , ∂t ) est la suivante :
1
0 a
√
a 0
t2 + a2
−a2
. La première forme font2 + a2
damentale, dans la même base a pour matrice
2
t + a2 0
0
1
dont le déterminant est
dont le déterminant est t2 + a2 . La courbure totale est
−a2
donc égale à 2
, partout négative. Le théorème
(t + a2 )2
de Gauss fournit donc une obstruction à l’existence d’une
paramétrisation isométrique.
3