Logique TD6 : FND, FNC, système complet de connecteurs

Université Paris 13
Institut Galilée
Licence 1 - 2eme semestre
L1
Année 2015-2016
Logique
TD6 : FND, FNC, système complet de connecteurs,
conséquences sémantiques
Exercice 1
Soit la formule F = (P ∨ Q) =⇒ ((¬(¬R ∨ P )) ⇐⇒ Q).
1. Donner la table de vérité de F.
2. Utiliser cette table pour construire une FND équivalente à F.
3. On voudrait maintenant construire une FNC équivalente à F :
(a) Commencer par trouver une FND équivalente à ¬F. On appelera G cette formule.
(b) En distribuant la négation, trouver une FNC équivalente à ¬G. On appelera H
cette formule.
(c) En déduire une FNC équivalente à F
Exercice 2
On donne Γ un ensemble fini de formules qui admet un modèle (une distribution de valeurs
de vérité donnant la valeur 1 à toutes les formules). On suppose que Φ est une conséquence
sémantique de Γ, et que Ψ n’est pas une conséquence sémantique de Γ. Soit τ une tautologie.
S
1. Est-ce que Φ est une conséquence sémantique de Γ {τ } ?
S
2. Est-ce que Ψ est ou n’est pas une conséquence sémantique de Γ {τ } ?
3. Quelle formule Sρ pourrait-on ajouter à Γ pour que ¬Φ soit aussi une conséquence sémantique de Γ {ρ}.
Justifier chaque réponse par une démonstration.
Exercice 3
On définit le connecteur binaire ‘|’, appelé barre de Sheffer, dont la table de vérité est la
suivante :
A B A|B
0 0
1
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Montrer que l’ensemble { | } est un système complet de connecteurs.
(ce connecteur correspond à la porte NAND en électronique)
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