Maths3 - Chapitre 1 --

CHAPITRE 1
SÉRIES NUMÉRIQUES
1.1
Généralités
Définition 1.1.1
Soit (un )n une suite de nombres réels, on pose :
Sn = u0 + u 1 + . . . + u n =
n
X
uk .
k=0
La limite de Sn est appelée série de terme général un .
(Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série.
Notation
Une série de terme général un est notée
1.2
X
un
Convergence


X 
ou 
un .
n≥0
Définition 1.2.1
Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est
convergente.
Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note :
lim Sn =
n→+∞
+∞
X
un
n=0
Une série qui n’est pas convergente est dite divergente.
En d’autres termes, si on note ℓ = lim Sn on a alors :
n→+∞


X 

un  converge vers ℓ ⇐⇒ lim Sn = ℓ

n→+∞
n≥
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n
n − ℓ| < ε)
 ≥ N =⇒ |S

n
X


⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N n ≥ N =⇒ un − ℓ < ε.
k=0
1
Exemple 1.2.1
1) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la forme
un = a.qn , a , 0.
Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante :
Sn = u0 + u1 + · · · + un = a + a.q + a.q2 + · · · + a.qn = a(1 + q + q2 + · · · + qn )
 1 − qn+1


a
si q , 1
=
1−q


a(n + 1)
si q = 1.
On remarque ainsi que lim Sn existe si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas la série géométrique
n→+∞
+∞
X
a
1
=
.
converge et on a
a.qn = a
1−q 1−q
n=0
1
2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = où n ∈ N∗ .
n
Montrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy.
1 1
1
En effet, posons Sn = + + · · · + ·
n
1 2
1 1
1
1
1
1
1 1
+ + ··· + +
+ ··· +
+ + ··· +
−
Alors S2n − Sn =
1 2
n n+1
2n
1 2
n
1
1
1
=
+
+ ··· + .
n+1 n+2
2n
Or pour tout p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n, on n + 1 ≤ p + n ≤ 2n et par suite :
1
1
1 + n ≤ 2n =⇒
≥
.
n + 1 2n
1
1
≥
.
2 + n ≤ 2n =⇒
n + 2 2n
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
1
1
2n ≤ 2n =⇒
≥
.
2n 2n
1
1
= . La suite (Sn )n n’est pas de Cauchy, donc divergente.
Par conséquent S2n − Sn ≥ n
2n
2
+∞
X
1
= +∞.
De plus, (Sn )n est strictement croissante, on déduit alors que
n
n=1
1
3) Soit la série de terme général un =
avec n ≥ 1. On peut écrire après décomposition
n(n + 1)
1
1
en éléments simples que : un = −
.
n n + 1
1 1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
·
+
+ ··· +
+
=1−
D’où Sn = 1 −
2
2 3
n−1 n
n n+1
n+1
+∞
X
1
= lim Sn = 1, notre série est convergente et vaut 1.
Comme
n(n + 1) n→+∞
n=1
Remarque 1.2.1 (Cas complexe)
Si le terme général un est complexe un = an + ibn ; la somme partielle est Sn =
n
n
n
X
X
X
=
(an + ibn ) =
ak + i
bk . Alors on a le résultat suivant :
k=0
k=0
X
n
X
uk
k=0
k=0
un converge ⇐⇒
M er A  N -E 
X
X bn convergent en même temps
an et
2
A ce moment là on a le résultat évident
+∞
X
un =
n=0
+∞
X
n=0
an + i
+∞
X
bn .
n=0
Proposition
X X 1.2.1
vn deux séries, on suppose que ces deux séries ne diffèrent que par un
un et
Soient
nombre fini de termes (i.e il existe p ∈ N tel que pour tout n ≥ p on a un = vn ) alors les deux
séries sont de même nature.
Preuve.
Soit n ≥ p.
p
n
n
n
X
X
X
X
Sn =
uk =
uk +
uk = Sp +
uk .
Tn =
k=0
k=0
n
X
p
X
vk =
k=0
vk +
k=0
k=p+1
n
X
vk = Tp +
k=p+1
k=p+1
n
X
vk .
k=p+1
La différence Sn − Tn = Sp − Tp = c; c étant étant une constante indépendente de n et p
alors :
X X vn converge
un converge ⇐⇒ (Sn )n converge ⇐⇒ (Tn )n converge ⇐⇒
Remarque 1.2.2
La proposition (1.2.1) permet de dire que les séries sont de même nature mais en cas de
convergence, elles n’ont pas nécessairement la même somme.
Corollaire 1.2.1
X un si on lui rajoute ou on lui retranche un nombre
On ne change pas la nature d’une série
fini de termes.
Proposition
X 1.2.2
Soit
un une série convergente alors lim un = 0. La réciproque est fausse.
n→+∞
Preuve.
1) Posons ℓ =
+∞
X
n=0
un = lim Sn = lim Sn−1 .
n→+∞
n→+∞
Sn − Sn−1 = (u0 + u1 + · · · + un−1 + un ) − (u0 + u1 + · · · + un−1 ) = un et lim (Sn − Sn−1 ) =
n→+∞
lim un = lim Sn − lim Sn−1 = 0.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
X 1
1
2) La série harmonique
= 0.
est divergente bien qu’elle vérifie lim
n→+∞ n
n
Remarque 1.2.3
La proposition (1.2.2) est utile sous sa forme contraposée
X un diverge.
lim un , 0 =⇒
n→+∞
On dira que la série est grossièrement divergente
Proposition
X 1.2.3
X Soit
un et
vn deux séries convergentes respectivement vers u et v. Alors
3
M er A  N -E 
1. La série
X
+∞
+∞
+∞
X
X
X
(un + vn ) est convergente et on a
(un + vn ) =
un +
vn = u + v.
n=0
2. Pour tout α ∈ R, la série
X
n=0
n=0
+∞
+∞
X
X
(αun ) = α
un = αu.
αun est convergente et on a
n=0
n=0
Preuve.
1) Soit wn = un + vn . On aura :
n
n
n
n
X
X
X
X
Wn =
wk =
(uk + vk ) =
uk +
vk = Sn + Tn . Ainsi lim Wn = lim (Sn + Tn ) =
k=0
k=0
lim Sn + lim Tn = u + v.
n→+∞
k=0
n→+∞
k=0
n→+∞
n→+∞
2) Soit tn = αun . Tn =
α lim Sn = αu.
n
X
k=0
tk =
n
X
k=0
αtk = α
n
X
uk = αSn et par suite lim Tn = lim (αSn ) =
n→+∞
k=0
n→+∞
n→+∞
Définition
1.2.2(Critère de Cauchy)
X
Une série
un est dite de Cauchy si la suite des sommes partielles (Sn )n est de Cauchy. Cela
revient à dire que les propriétés suivantes sont équivalentes :
X 1.
un est de Cauchy.
2. (Sn )n est de Cauchy.
3. ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀p, q ∈ N p ≥ q ≥ N =⇒ |Sp − Sq | < ε .
p


q
X
X


uk −
uk < ε
4. ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀p, q ∈ N p ≥ q ≥ N =⇒ k=0
k=0


p
X




5. ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀p, q ∈ N p ≥ q ≥ N =⇒ uk < ε


k=q+1
Proposition 1.2.4
Toute série réelle ou complexe de Cauchy est convergente.
M er A  N -E 
4
1.3
Séries à termes positifs
Définition
1.3.1
X
Une série
un est dite série à termes positifs si un ≥ 0 pour tout n ∈ N.
Remarque 1.3.1
X un vérifiant un ≥ 0 pour n ≥ n0 sont aussi appelées séries à termes positifs
1. Les séries
(voir corollaire (1.2.1)) car la nature d’une série ne change pas si on lui retranche un
nombre fini de termes.
X 2. Si une série
un est à termes positifs, la suite des sommes partielles (Sn )n est croissante.
En effet, Sn − Sn−1 = un ≥ 0 ; d’où la proposition :
Proposition
X 1.3.1
Soit
un une série à termes positifs.
X un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée
Preuve.
Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et
majorées sont convergentes.
Théorème
(Règle
X 1.3.1
X
de comparaison)
Soit
un
vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout
n ∈ N.X
Alors :
X 1.
vn converge =⇒
un converge.
X X 2.
un diverge =⇒
vn diverge.
Preuve.
1) un ≤ vn =⇒ Sn =
n
X
k=0
un ≤
n
X
vk = Tn . Puisque (Tn )n est une suite convergente
k=0
alors (Sn )n est convergente comme étant une suite croissante et majorée,
X majorée
donc
un converge.
2) C’est la contraposée de la première proposition.
Ce théorème reste vrai si l’inégalité 0 ≤ un ≤ vn est réalisée à partir d’une certain ordre
p0 (i.e un ≤ vn si n ≥ p0 ).
Exemple 1.3.1
+∞
X
X 1
1
1
1
Soit la série
sin n ; on a 0 ≤ sin n ≤ n et donc
est une série géométrique
n
2
2
2
2
n=0
X
1
sin n est convergente.
convergente, alors la série
2
Théorème
(Règle
de comparaison logarithmique)
X
X 1.3.2
vn deux séries à termes strictement positifs. On suppose que
un et
Soit
un+1 vn+1
≤
. Alors
un
vn
5
M er A  N -E 
X un converge.
vn converge =⇒
X X vn diverge
un diverge =⇒
2.
1.
X
Preuve.
un+1 vn+1
≤
1)
un
vn
un+1
un
≤
≤
vn+1
vn
un+1 un
⇐⇒
≤ .
vn+1
vn
X un−1
u0
u0
vn
≤ ··· ≤
. Ceci implique que un ≤
vn . Sachant que
vn−1
v
v
0
0
Xu
0
vn converge et d’après le théorème de comparaison ci-dessus,
converge alors
v0
X un converge.
2) C’est la contraposée de la première proposition.
Théorème
(Critère
X 1.3.3
X
d’équivalence)
Soit
un et
vn deux séries à termes strictement positifs.
un
On suppose que lim
= ℓ, ℓ , 0 et , +∞. Alors les deux séries sont de même nature.
n→+∞ vn
Preuve.
En
effet :
un
un
lim
= ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ − ℓ < ε) .
n→+∞ vn
vn
un
< ℓ + ε pour tout n ≥ N. On a aussi
Pour un ε tel que 0 < ε < ℓ on a alors ℓ − ε <
vn
(ℓ − ε)vn < un < (ℓ + ε)vn pour tout n ≥ N.
X
X (ℓ + ε)vn converge et par suite grâce au théorème de
vn converge alors
1) Si
X
(un ) converge.
comparaison (1.3.1),
X X
X vn converge.
(ℓ − ε)vn converge et donc
un converge alors
2) Si
Exercice
Que se passe-t-il si ℓ = 0 ou ℓ = +∞ ?
Exemple 1.3.2
1
1
un
Soient les séries
un et
vn tels que un = Log 1 + n et vn = n . On a lim
=1
2
2 X n→+∞
vn
X et comme
vn est convergente alors, série gémétrique de raison 1/2 < 1;
un l’est aussi.
X
X
Exemple 1.3.3
1
1
un
vn tels que un =
un et
Soient les séries
et vn = Log 1 + . On a lim
= 1.
n→+∞ vn
n
n
La première série étant la série harmonique qui est divergente, donc il en est de même de la
seconde.
X Remarque 1.3.2 On remarque ici qu’on peut facilement démontrer la divergence de
vn .
X
X
M er A  N -E 
6
En effet on a :
Sn
k=n
X
1
1
1
1
1
=
vn = Log 1 +
+ Log 1 +
+ Log 1 +
+ · · · + Log 1 +
+ Log 1 +
1
2
3
n−1
n
k=1
2
3
4
n
n+1
= Log
+ Log
+ Log
+ · · · + Log
+ Log
1
2
2
n−1
n
= (log 2 − Log 1) + (log 3 − Log 2) + (log 4 − Log 3) + · · · + (log n − Log(n − 1))
+(log(n + 1) − Log n)) = Log(n + 1) − Log 1 = Log(n + 1).
Comme lim Sn = lim Log(n + 1) = +∞, on en conclut que la série considérée est divergente,
n→+∞
n→+∞
il en est donc de même de la série harmonique.
Ceci est une autre démonstration de la divergence de la série harmonique, on verra une troisième
démontration différente, voir exemple (1.3.4).
Théorème 1.3.4 (Comparaison avec une intégrale)
Soit f : [1, +∞[−→ R+ une application continue, décroissante et positive. On pose un = f (n)
pour n ∈ N∗ . Alors
Z +∞
X un converge ⇐⇒
f (x) dx existe
1
Preuve.
Remarquons tout d’abord la chose suivante :
(x ∈ [n, n + 1] ⇐⇒ n ≤ x ≤ n + 1) et comme f est décroissante
u = f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n) = un . En intégrant membre à membre on obtient
Zn+1
Z n+1
Z n+1
Z n+1
n+1
un+1 dx ≤
f (x) dx ≤
un dx ou encore un+1 ≤
f (x) dx ≤ un .
n
n
n
n
n
n Z k+1
n
X
X
X
uk .
f (x) dx ≤
uk+1 ≤
En sommant membre à membre, on obtient
k=1
k=1
Finalement on aboutit à :
Sn+1 − u1 ≤
Z
k
k=1
n+1
1
f (x) dx ≤ Sn
(∗)
Démonstration du théorème :
n
X
X uk est majorée. Cela veut dire qu’il existe M > 0
un converge alors Sn =
1) Si
tel que pour tout n ∈ N, Sn ≤ M.
k=1
D’après la remarque (∗) ci-dessous,
Z
n+1
1
f (x) dx ≤ Sn ≤ M.
Soit t ∈ R+ . Posons n = [t] la partie entière de t ;
Z t
Z [t]+1
Z n+1
f (x) dx ≤
f (x) dx =
f (x) dx ≤ Sn ≤ M.
1
1
1
Z
+∞
f (x) dx ≤ M.
On passe à la limite quand t → +∞ (=⇒ n → +∞), on obtient
1
Z +∞
f (x) dx.
Ce qui se traduit par l’existence de l’intégrale
1
Z +∞
2) Inversement, on suppose que l’intégrale
f (x) dx existe. De la relation (∗) on
déduit que
7
1
M er A  N -E 
Sn+1 ≤ u1 +
Z
n+1
f (x) dx ≤ u1 +
1
(Sn )n étant
Z
+∞
f (x) dx = C.
1
croissante et est majorée par C, elle est donc convergente. La série
Xsuite
La
un l’est aussi.
Remarque 1.3.3
Le résultat est encore valable si la fonction
X f est positive, continue et décroissante sur un
intervalle [a, +∞[ en considérant la série
f (n) avec n0 ≥ a.
n≥n0
Exemple 1.3.4
1
1) Considérons l’application f : [1, +∞[ −→ R+ définie par f (x) = .
x
Z t
Z t
X 1
1
1
dx = Log t et lim
dx = +∞. Donc
diverge.
t→+∞ 1 x
n
1 x
1
. f est continue, décroissante
2) Soit la fonction f : [1, +∞[ −→ R+ définie par f (x) =
x(x + 1)
(à vérifier en étudiant la dérivée par exemple) et positive.
Z t
Z t
1
t
− Log
; et comme lim
f (x) dx = Log 2 < +∞ ;
f (x) dx = Log
t→+∞ 1
t !+ 1
2
1
X
1
la série
est alors convergente.
n(n + 1)
1.3.1 Séries de Riemann
Définition 1.3.2
Soit α ∈ R. On appelle série de Riemann toute série dont le terme général est de la forme
1
un = α , n ≥ 1 et α ∈ R.
n
Les séries de Riemann sont donc des séries à termes positifs.

0
si α > 0



1
si α = 0
Remarquons que lim un = 

n→+∞

+∞ si α < 0
On conclut immédiatement que si α ≤ 0, la série de Riemann est divergente puisque
le terme général ne tend pas vers 0.
Si α = 1, on obtient la série harmonique qui est divergente elle aussi.
Examinons le cas α > 0, α , 1.
1
Soit la fonction fα : [1, +∞[ −→ R+ définie par f (x) = α . fα est une fonction positive,
x
−α
′
continue et décroissante car la dérivée fα (x) = α+1 < 0.
x
Z t
1 −α+1
t
− 1 et comme
fα (x) dx =
On a
1−α
1

+∞
si 0 < α < 1
Z t




f (x) dx = 
lim

t→+∞ 1

 1
si α > 1
α−1
Proposition 1.3.2
X 1
converge si et seulement si α > 1.
Une série de Riemann
nα
M er A  N -E 
8
Les théorèmes (1.3.1), (1.3.2) et (1.3.3) vont nous permettre d’étudier beaucoup de séries
en les comparant seulement à une série géométrique ou une série de Riemann.
Proposition
X 1.3.3 (Règle de Riemann)
Soit
un une série à termes positifs.
α
1. S’il
Xexiste
α > 1 tel que la suite (n un )n soit majorée par un constante M > 0 ; alors
un est convergente.
α
2. S’il existe
X α ≤ 1 tel que la suite (n un )n soit minorée par une constante m > 0 ; alors la
un est divergente.
série
Preuve.
1
1) Par hypothèse nα un ≤ M pour tout n ∈ N. Alors un ≤ α . Comme α > 1 la série
n
X X 1
est convergente et d’après le théorème de comparaison
un converge.
nα
X m
m
2) On a nα un ≥ m > 0 et donc un ≥ α . Le fait que α ≤ 1 alors
diverge et par
n
nα
X suite
un diverge en vertu du théorème de comparaison.
Corollaire
X 1.3.1
Soit
un une série à termes positifs. On suppose qu’il existe α ∈ R tel que lim nα un = ℓ,
n→+∞
X X 1 sont de même nature.
ℓ , 0 et ℓ , +∞. Les séries
un et
nα
Preuve.
lim nα un = ℓ ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ ℓ − ε < nα un < ℓ + ε)). Ceci
n→+∞
ℓ−ε
ℓ+ε
est équivalent à dire
< un <
pour tout entier n ≥ N. On choisit alors
α
n
nα
ε > 0 de manière que ℓ − ε > 0.
X X 1
converge
⇐⇒
α
>
1
et
ceci
implique
que
un converge.
1)
α
n
X Xℓ−ε
X 1
converge et par suite
converge et donc
2) Si
un converge alors
α
n
nα
α > 1.
1.3.2 Critère de de D’Alembert
Proposition
X 1.3.4
Soit
un une série à termes strictement positifs.
X un+1
1. S’il existe λ ∈ R, 0 < λ < 1 tel que
un est
≤ λ pour tout n ∈ N alors la série
un
convergente.
X un+1
≥ 1 alors
un diverge.
2. Si
un
Preuve.
un
un+1
≤ λ < 1 =⇒
≤ λ =⇒ un ≤ λun−1 .
1)
un
un−1
X
Par récurrence on obtient un ≤ λn u0 . Puisque 0 < λ < 1, alors
u0 λn est une
9
M er A  N -E 
série géométrique convergente et en vertu du critère de comparaison, la série
converge.
X
un
un+1
≥ 1 =⇒ un ≤ un+1 la suite (un ) est alors croissante. Puisque un > 0, lim un , 0
n→+∞
un
X et par suite
un diverge.
2)
Corollaire 1.3.2 (Crière de D’Alembert)
un+1
Sous les mêmes hypothèses que la proposition (1.3.4), posons lim
= ℓ.
n→+∞ un
X 1. ℓ < 1 =⇒
un converge.
X
un diverge.
2. ℓ > 1 =⇒
3. ℓ = 1, on ne peut rien conclure.
Preuve.
1) Si ℓ < 1.
un+1
un+1
= ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ ℓ − ε <
< ℓ + ε).
lim
n→+∞ un
un
un+1
On choisit dans ces conditions ε > 0 tel que ℓ + ε < 1 pour que
< ℓ + ε) < 1. La
un
conclusion est une conséquence de la proposition (1.3.4).
2) Si ℓ > 1, on choisit ε tel que ℓ − ε > 1 et par suite il existe N ∈ N
tel que pour
X un+1
≥ ℓ−ε > 1. D’après la proposition (1.3.4), la série
un diverge.
tout n ≥ N, on ait
un
1
3) Considérons la série de terme général un = 2 . C’est une série de Riemann convern
n2
un+1
= lim
gente car α = 2 > 1. lim
= 1.
n→+∞ (n + 1)2
n→+∞ un
1
Soit la série de terme général (vn = ), n ≥ 1, (c’est la série harmonique divergente).
n
vn+1
n
lim
= lim
= 1.
n→+∞ vn
n→+∞ n + 1
un+1
= 1 n’apporte aucune informaCes deux exemples illustrent bien le fait que lim
n→+∞
un
X un .
tion sur la nature de la série
Exemple 1.3.5
1
1) Soit la série de terme général un = .
n! X
un+1
1
1
lim
= lim
= 0 < 1. La série
est convergente.
n→+∞ un
n→+∞ n + 1
n!
n≥0
nn
.
n! n+1
(n + 1) n!
n+1 n
= e > 1 et par suite la série est divergente.
=
= lim
(n + 1)! nn n→+∞ n
2) Soit la série de terme général un =
On a lim
n→+∞
un+1
un
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10
1.3.3 Critère de Cauchy
Proposition
X 1.3.5
Soit
un une série à termes positifs.
X √
n
1. S’il existe λ ∈ R, 0 < λ < 1 tel que un ≤ λ alors la série
un converge.
√
2. Si n un ≥ 1, la série est alors divergente.
Preuve.
X √
λn étant une série géométrique convergente (0 < λ < 1),
1) n un ≤ λ =⇒ un ≤ λn .
X d’après le théorème de comparaison
un converge.
X √
2) n un ≥ 1 =⇒ un ≥ 1 =⇒ lim un ≥ 1 et donc
un diverge.
n→+∞
Corollaire 1.3.3 (Critère de Cauchy)
√
Sous les mêmes hypothèses de la proposition (1.3.5), posons lim n un = ℓ.
n→+∞
X un converge.
1. ℓ < 1 =⇒
X un diverge.
2. ℓ > 1 =⇒
3. ℓ = 1 on ne peut rien conclure.
Preuve.
√
√
lim n un = ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ ℓ − ε < n un < ℓ + ε) ou encore
n→+∞
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ (ℓ − ε)n < un < (ℓ + ε)n ).
X
1) Si ℓ < 1. On choisit ε tel que 0 < ℓ + ε < 1. La série
(l + ε)n est alors convergente
X et par voie de conséquence
un converge.
2) Si ℓ > 1. On choisit ε vérifiant ℓ − ε > 1. On aura alors un > (ℓ − ε)n > 1 ce qui entraîne
que lim un ≥ 1 et par suite la série diverge.
n→+∞
r
X1
n 1
3) Prenons la série harmonique
. Cette diverge bien que lim
= 1.
n→+∞
n
n
n≥1
r
X 1
n 1
Soit la série de Riemann convergente
et lim
= 1.
n2 n→+∞
n2
n≥1
Exemple 1.3.6
1 n
Soit la série de terme général a + p , avec a > 0 et p > 0.
n
√
1
n
lim
un = lim a + p
n→+∞
n→+∞
n
√
n
un = a + 1 > 1 et la série diverge.
1) Si p = 0. lim
n→+∞
√
2) Si p > 0, lim n un = a. La série est convergente pour a < 1 et divergente si a > 1.
n→+∞

n "
np #n1−p
+∞ si 0 < p < 1


1
1

e
si
p=1
3) Si a = 1, un = 1 + p = 1 + p
−−−−−−→ 
n−→∞ 

n
n
1
si
p>1
Le terme général ne tend pas vers zéro, la série est divergente.
11
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Une question se pose maintenant ; peut-on avoir des limites différentes en appliquant
les deux critères de d’Alembert et celui de Cauchy ? La réponse est donnée par les deux
propositions suivantes.
Proposition
X 1.3.6
Soit
un une série à termes positifs. Alors si
un+1
= ℓ1 , 0
n−→+∞ un
lim
et
√
lim n un = ℓ2 , 0
n−→+∞
on a ℓ1 = ℓ2 .
Preuve.
Considérons la série de terme général vn = an .un ; où a est un réel positif qu’on va
préciser. On a
vn+1
un+1
= a lim
= aℓ1
n−→+∞ vn
n−→+∞ un
lim
et
√
√
lim n vn = a lim n un = aℓ2 , 0.
n−→+∞
n−→+∞
1
1
et
alors nécessairement 1 est compris entre aℓ1 et aℓ2 ;
ℓ1
ℓ2
donc notre série de terme général vn est convergente suivant un critère et divergente
suivant l’autre, ce qui est absurde ; d’où ℓ1 = ℓ2 .
Fixons a strictement entre
Proposition
X 1.3.7
Soit
un une série à termes positifs. Alors
√
un+1
= ℓ =⇒ lim n un = ℓ
n→+∞
n→+∞ un
lim
On n’a pas l’équivalence.
Preuve.
un+1
Soit lim
= ℓ. Alors pour tout ε > 0, il existe un entier N ∈ N tel que pour tout
n→+∞ un
ε un+1
ε
entier n ≥ N on ait : ℓ − <
< ℓ + . Soit n ≥ N.
2
un
2
ε
un
ε
ℓ− <
<ℓ+ .
2 un−1
2
ε
ε un−1
<ℓ+ .
ℓ− <
2 un−2
2
..
..
..
..
.
.
.
.
ε uN+1
ε
ℓ− <
<ℓ+ .
2
uN
2
En faisant le produit membres à membres, on obtient :
uN+2 uN+1
ε n−N
un un−1
ε n−N
···
< ℓ+
<
.
ℓ−
2
un−1 un−2
u
2
N+1 uN
ε n−N
ε n−N un
< ℓ+
Après simplification on obtient : uN ℓ −
<
et donc
2
uN
2
N
N
1
1
√
ε 1− n
ε 1− n
n
n
n
< un < uN ℓ +
.
uN ℓ −
2
2
N
N
1
1
ε 1− n
ε 1− n
n
n
et βn = uN ℓ −
.
Soit αn = uN ℓ −
2
2
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12
ε
ε
ε
lim αn = ℓ − =⇒ ∃N1 ∈ N : ∀n ≥ N1 on ait αn > ℓ −
− = ℓ − ε.
n→+∞
2
2 2
ε
ε
ε
+ = ℓ + ε.
lim βn = ℓ + =⇒ ∃N2 ∈ N : ∀n ≥ N2 on ait βn < ℓ +
n→+∞
2
2
2
Soit N3 ≥ max{N, N1 , N2 }. Pour tout n ≥ N3 on a :
√
√
ℓ − ε < αn < n un < βn < ℓ + ε, ce qui exprime bien que n un − ℓ < ε
√
pour tout n ≥ N3 et donc lim n un = ℓ.
n→+∞
Contre-exemple
X Soit a > 0 et b > 0, a , b et considérons la série
un définie par
n+1 n
a b
si n est pair
un = n+1 n+1
a b
si n est impair
+∞
X
n=0
un = a + ab + a2 b + a2 b2 + a3 b2 + a3 b3 + · · ·
En utilisant le critère de Cauchy :
√
( 2n
n+1 1
√
an+1 bn = a 2n b 2
n
un = 2n+1√
n+1
n+1
an+1 bn+1 = a 2n+1 b 2n+1
si
si
n est pair
n est impair
√
√
Dans les deux cas,on a lim n un = ab.
n→+∞
En utilisant la règle de D’Alembert :

(ab)n+1




un+1  an+1 bn = b si n est pair
=

an+2 bn+1

un


= a si n est impair
(ab)n+1
Ainsi
un+1
b si n est pair
=
lim
a si n est impair
n→+∞ un
Donc la limite n’existe pas. Cette exemple montre bien que le critère de Cauchy est
plus "fort" que celui de D’Alembert.
Un autre exemple plus simple est u2n = 2 et u2n+1 = 3, le série est donc :
∞
X
un = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + · · ·
n=0
un+1
3/2
=
lim
2/3
n→+∞ un
si
si
n est pair
n est impair
et
√
lim n un = 1
n→+∞
1.3.4 Critère de Kummer
Proposition
X 1.3.8
un une série à termes strictement positifs.
Soit
un+1
1. S’il existe α > 1 tel que n 1 −
≥ α alors la série est convergente.
un
un+1
≤ α alors la série diverge.
2. Si n 1 −
un
13
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Preuve.
1) Cas où α > 1.
Considérons la fonction f : R+ 7−→ R définie par f (x) = (1 + x)−α . Son développement
limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 est donné par :
f ′ (0)
f ′′ (θx )
f (x) = f (0) + x
+ x2
, avec 0 < θx < 1.
1!
2!
α(α + 1)
1
f (x) = 1 − αx +
(1 + θx )−α−2 x2 . Pour x = , on obtient :
2!
n
α
un+1
α α(α + 1)
1
−α−2 1
(1 + θ n1 )
≥ 1 − . L’hypothèse n 1 −
≥ α étant
= 1− +
f
n
n
2!
n2
n
un
un+1
α
équivalente à
≤ 1 − , nous permet d’avoir finalement
un n α
1
1 −α
n + 1 −α
n α
un+1
≤1− ≤ f
= 1+
=
=
.
un
n
n
n
n
n+1
vn+1
n α
1 X vn est une série de Riemann convergente.
=
. Comme
Soit vn = α ,
n
vn
n+1
X un+1 vn+1
≤
et d’après le critère de comparaison logarithmique (1.3.2), la série
un
un
vn
est convergente.
un+1
un+1
1
n−1
2) On suppose que n 1 −
≤ 1. Ceci implique
≥ 1− =
. Posons wn =
un
un
n
n
X 1
wn+1 n − 1 un+1
, n ≥ 2.
=
≤
.
wn est la série harmonique divergente. De plus
n−1
n
un
X wn
D’après critère de comparaison logarithmique (1.3.2), la série
un diverge.
Corollaire
1.3.4 (Critère de Raab)
X un+1
= ℓ.
Soit
un une série à termes strictement positifs. On pose lim n 1 −
n→+∞
un
X 1. Si ℓ > 1 alors la série
un converge.
X 2. Si ℓ < 1 alors la série
un diverge.
3. Si ℓ = 1, on ne peut rien conclure.
Preuve.
On utilise toujours la définition de la limite d’une suite quand elle existe :
un+1
lim n 1 −
= ℓ ⇐⇒
n→+∞
un
un+1
<ℓ+ε
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N n ≥ N =⇒ ℓ − ε < n 1 −
un
un+1
1) Si ℓ > 1. On choisit ε de manière à avoir ℓ − ε = α > 1 pour qu’on ait n 1 −
≥α
un
pour n ≥ N et par suite utiliser le critère de Kummer pour affirmer qu’il y a convergence.
un+1
<
2) Si ℓ < 1. On choisit ε tel que 0 < ε ≤ 1 − ℓ. Dans ces conditions, on aura n 1 −
un
ℓ + ε < 1 pour tout n ≥ N et donc la série diverge.
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14
1.4
Séries à termes quelconques
Le paragraphe précédent était consacré à l’étude des séries à termes positifs et c’est dans
cette partie qu’il y a beaucoup de résultats sur la convergence . Dans ce paragraphe il
sera question des séries à termes quelconques.
1.4.1 Regroupement des termes
Théorème
X 1.4.1
Soit
un une série à termes quelconques et soit ϕ : N 7−→ N une application strictement
croissante vérifiant ϕ(0) = 0 . On suppose en plus :
1. lim un = 0.
n→+∞
2. ∃M ∈ N tel que ϕ(n + 1) − ϕ(n) ≤ M pour tout n ∈ N.
On considère la série
Alors les séries
X
X
un et
vn définie par vn =
X
ϕ(n+1)
X
uk .
k=ϕ(n)+1
vn sont de même nature.
∞
∞
X
X
vn
un =
Si les séries sont convergentes on a en plus :
n=1
n=0
Remarque 1.4.1
Prenons un exemple d’application pour comprendre les hypothèses de ce théorème.
Soit ϕ : N 7−→ N définie par ϕ(n) = 2n.
ϕ(n+1)
2n+2
X
X
On a ϕ(n + 1) − ϕ(n) = 2n + 2 − 2n = 2 = M et vn =
uk =
uk = u2n+1 + u2n+2 .
k=ϕ(n)+1
k=2n+1
Ceci donne par exemple v0 = u1 + u2 , v1 = u3 + u4 et ainsi de suite. On remarque sur cet
exemple que les termes sont regroupés 2 par 2.
Preuve.
Notons comme
X d’habitude
X (S
n )n et (Tn )n les suites des sommes partielles respectivement
des séries
un et
vn .
ϕ(n+1)
ϕ(2)
ϕ(1)
n
X
X
X
X
uk =
uk + · · · +
uk +
vp = v0 + v1 + · · · + vn =
Tn =
p=0
ϕ(n+1)
X
k=ϕ(0)+1
k=ϕ(1)+1
k=ϕ(n)+1
uk = Sϕ(n+1) . Sachant que ϕ est une application strictement croissante, la suite (Tn )n
k=1
est alors
X une
suite extraite de de (Sn )n . Par conséquent :
un converge =⇒ (Sn )n converge =⇒ (Sϕ(n+1) )n converge =⇒ (Tn )n converge
1)
X =⇒
vn converge.
X 2) Si
un diverge.
ϕ étant strictement croissante on a ϕ(n) < ϕ(n + 1). Donc pour tout entier n ∈ N, il
existe p ∈ N tel que ϕ(p) ≤ n < ϕ(p + 1).
n
n
n
X
X
X
uk . Puisque lim un = 0 alors pour tout ε > 0, il
uϕ(p) =
uk −
Sn − Sϕ(p) =
k=0
15
k=0
k=ϕ(p)+1
n→+∞
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ε
existe N ∈ N tel que |un | <
pour tout n ≥ N. Pour p assez grand (ϕ(p) + 1 ≥ N), on
M
n
n
X
X
ε
ε
a |Sn − Sϕ(p) | = uk ≤
|uk | < (n − ϕ(p)) ≤ (ϕ(p + 1) − ϕ(p)) ≤ ε car on a
M
M
k=ϕ(p)+1
k=ϕ(p)+1
par hypothèse ϕ(p + 1) − ϕ(p) ≤ M. On conclut que lim Sn − Sp = 0 et puisque la suite
n→+∞
(Sn )n diverge alors (Sϕ(p) ) diverge et par suite (Tp ) diverge car Sϕ(p) = Tp−1 .
Exemple 1.4.1
ϕ(n+1)
2n+2
+∞
X
X
X
(−1)n
uk =
uk =
et soit ϕ : N 7−→ N définie par ϕ(n) = 2n. vn =
Soit la série
n
n=1
k=ϕ(n)+1
k=2n+1
1
−1
−1
+
=
.
2n + 1 2n + 2 (2n + 1)(2n + 2)
X
X
1
1
1
Posons wn =
est
.
et
wn est convergente car wn ≤
(2n + 1)(2n + 2)
4n2
4n2
convergente.
En conclusion
X X : X X wn converge =⇒
−wn converge =⇒
vn converge =⇒
un converge.
u2n+1 + u2n+2 =
Théorème
(Critère D’Abel)
X 1.4.2
Soit
un une série à termes quelconques. On suppose qu’il existe deux suites (εn )n et (vn )n
telles que :
1. un = εn vn pour tout n.


p
X




2. Il existe M > tel que pour tout p, q ∈ N p ≥ q =⇒ vk ≤ M.


k=q
3.
+∞
X
n=1
|εn − εn−1 | converge.
4. lim εn = 0.
n→+∞
Alors la série
X
un converge.
Preuve.
X On va montrer que les conditions du théorème impliquent que la série
un est de
Cauchy.
Soit ε > 0 et posons
p
X



vk si p ≥ q

Vq,p = 

k=q


0
si p < q
Soit n + 1 ≤ p.
Vn,p − Vn+1,p =
p
X
k=n
vk −
p
X
vk = vn . D’autre part :
k=n+1
M er A  N -E 
16
p
X
uk
=
k=q+1
p
X
εk vk =
k=q+1
p
X
k=q+1
εk (Vk,p − Vk+1,p )
= εq+1 (Vq+1 − Vq+2,p ) + εq+2 (Vq+2 − Vq+3,p ) + . . . + εp (Vp,p − Vp+1,p )
= εq+1 Vq+1,p − εp Vp+1,p + Vq+2,p (εq+2 − εq+1 ) + Vq+3,p (εq+3 − εq+2 ) + . . . Vp,p (εp − εp−1 )
p
X
= εq+1 Vq+1,p − εp Vp+1,p +
Vk,p (εk − εk−1 ).
k=q+2
p
p
X
X
|Vk,p | · |εk − εk−1 |.
uk ≤ |εq+1 | · |Vq+1,p | + |εp | · |Vp+1,p | +
Donc k=q+2
k=q+1
De plus on a les conséquences suivantes :
ε
a) lim εn = 0 =⇒ ∃N1 ∈ N tel que |εn | ≤
pour tout n ≥ N1 .
n→+∞
3M
X
|εn − εn−1 | converge donc elle est de Cauchy. Il existe alors N2 ∈ N tel
b) La série
p
X
ε
.
que pour tous p ≥ N2 et q ≥ N2 , (p ≥ q) on a
|εk − εk+1 | <
3M
k=q+1
c) |
p
X
k=q
vk | ≤ M pour tous p et q, p ≥ q.
p
X
ε
ε
ε
Soit N = max{N1 , N2 }. Pour n ≥ N on a alors uk ≤
M+
M+
M = ε. La
3M
3M
3M
k=q+1
X série
un est alors de Cauchy donc convergente.
Exemple 1.4.2
Appliquons ce théorème pour étudier la série
l’exemple (1.4.1).
1
Soit εn = et vn = (−1)n .
n
+∞
X
(−1)n
n=1
n
qu’on sait qu’elle converge d’après
+∞
+∞ X
1
1 X
1
lim εn = 0 et |(−1) | ≤ 1 = M. La série
est convergente car
n − n − 1 =
n→+∞
n(n − 1)
n=2
n=2
X 1
.
elle est équivalente à la série de Riemann
n2
n
Nous allons étudier un cas particulier de série à termes quelconques à savoir les séries
alternées.
1.4.2 Séries alternées
Définition 1.4.1
X un vérifiant la relation un .un+1 ≤ 0.
On appelle série alternée toute série
Le terme général un d’une telle série peut-être noté un = (−1)n vn ou un = (−1)n+1 vn avec vn ≥ 0.
X
Dans le cas général une série alternée sera souvent notée :
(−1)n |un | .
Théorème
(Critère de Leibniz)
X 1.4.3
Soit
un une série alternée. On suppose que :
17
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1. La suite (|un |)n est décroissante.
2. lim un = 0.
n→+∞
X un est convergente.
Alors la série
Preuve.
On suppose pour se fixer les idées que u2n+1 ≥ 0 et u2n ≤ 0.
a) U2n+1 − U2n = u2n+1 ≥ 0 et donc U2n+1 ≥ U2n .
b) U2n+1 − U2n−1 = u2n+1 + u2n ≤ 0 car |u2n+1 | = u2n+1 ≤ |u2n | = −u2n d’après l’hypothèse
(1) du théorème. La suite (U2n−1 )n est donc décroissante.
c) U2n+2 − U2n = u2n+2 + u2n+1 ≥ 0 car |u2n+2 | = −u2n+2 ≤ |u2n+1 | = u2n+1 . La suite (U2n )n est
donc croissante.
En regroupant les résultats (a), (b) et (c), on a la situation suivante :
U0 ≤ U2n ≤ U2n+2 ≤ U2n+1 ≤ U2n−1 ≤ U1 pour tout n ∈ N. La suite (U2n )n est croissante
majorée par U1 , (U2n+1 )n est décroissante minorée par U0 . Elles sont donc toutes les deux
convergentes. Puisque lim (U2n+1 − U2n ) = lim un+1 = 0 alors lim U2n+1 = lim U2n =
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Xn→+∞
un est convergente.
lim Un . Ceci traduit le fait que la série
n→+∞
Au fait, les suites (U2n )n et (U2n+1 )n sont adjacentes.
1.5
Séries absolument convergentes
Définition
1.5.1
X
X
Une série
un est dite absolument convergente si la série
|un | est convergente.
Il est clair que toute série à termes positifs convergente est absolument convergente.
Théorème 1.5.1
Toute série absolument
est convergente.
Xconvergente
X La réciproque est fausse.
En d’autres termes :
|un | converge =⇒
un converge.
Preuve.
X On va prouver que
un est de Cauchy.
Soit ε > 0 et p, q deux entiers tels que p ≥ q. Up − Uq =
X
p
p
X
X
|uk |. Comme la
uk ≤
k=q+1
k=q+1
|un | converge, elle est de Cauchy. Il existe alors N ∈ N tel que ∀p, q ∈ N(p ≥
p
p
p
X
X
X
|uk | < ε et
|uk | < ε. Donc pour p ≥ q ≥ N, |Up − Uq | ≤
|uk | =
q ≥ N) on a k=q+1
k=q+1
k=q+1
X par suite (Un )n est de Cauchy donc convergente et ainsi
un converge aussi.
série
Remarque 1.5.1
n
n
X
X
On sait que pour tout n ∈ N, on a un ≤
|un | (inégalité triangulaire). En cas de
k=0 k=0
+∞
+∞
X
X
convergence absolue, cette inégalité est conservée ; à savoir un ≤
|un |
k=0
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k=0
18
+∞
X
(−1)n
qu’on
n
n=1
n
(−1) 1
a vu qu’elle est convergente mais pas absolument convergente puisque = .
n n
Pour montrer que la réciproque est fausse, il suffit de considérer la série
Théorème
X 1.5.2
un une série absolument convergente. Alors pour toute bijection ϕ : N 7−→ N on a :
Soit
X
1.
uϕ(n) est absolument convergente.
2.
+∞
X
un =
n=0
+∞
X
uϕ(n) .
n=0
Preuve.
La démonstration se fera en deux étapes :
1) Etape 1. On suppose que un ≥ 0.
X X Alors :
un convergente ⇐⇒
un absolument convergente.
Soit ϕ : N 7−→ N une bijection et posons vn = uϕ(n) . Vn = v0 + v1 + . . . + vn =
+∞
X
uϕ(0) + uϕ(1) + . . . + uϕ(n) ≤
un . Puisque la suite des sommes partielles (Vn )n est
croissante et est majorée par
n=0
+∞
X
un alors (Vn )n est convergente et on a
n=0
n=0
De même, ϕ−1 est bijective, un = vϕ−1 (n) .
Un = u0 + u1 + . . . + un = vϕ−1 (0) + vϕ−1 (1) + . . . + vϕ−1 (n)≤
et sachant que les séries convergent on obtient
+∞
X
un =
n=0
+∞
X
+∞
X
+∞
X
n=0
+∞
X
vn ≤
+∞
X
un .
n=0
vn . En passant à la limite
n=0
un ≤
+∞
X
vn et par conséquent
n=0
vn .
n=0
X
|un | converge.
un est une série à termes quelconques telle que
X
X
D’après l’étape 1,
|un | converge =⇒
|vn | converge, avec vn = uϕ(n) et on a

  +∞
 +∞

 X
X

|vn |.
|un | = 

1) Etape 2.
X
n=0
n=0
+
−
Posons u+n = max{un , 0} et u−n = max{−un , 0}. On a u+n ≥ 0, u−n ≥ 0 et un = uX
n − un . On
a aussi comme conséquence 0 ≤ u+n ≤ |un | et 0 ≤ u−n ≤ |un |. Puisque la série
|un | est
X X u−n
u+n et
convergente alors et d’après le théorème de comparaison les séries
sont convergentes.
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
+
−
+
un =
(un − un ) =
un −
u−n .
n=0
Or
+∞
X
n=0
19
n=0
u+n
=
+∞
X
n=0
n=0
u+ϕ(n)
et
+∞
X
n=0
n=0
u−n
=
+∞
X
n=0
u−ϕ(n)
et donc
+∞
X
n=0
un =
+∞
X
n=0
u+n
−
+∞
X
u−n =
n=0
M er A  N -E 
+∞
X
n=0
u+ϕ(n)
−
+∞
X
n=0
u−ϕ(n)
=
+∞
X
uϕ(n) =
n=0
+∞
X
vn .
n=0
Remarque 1.5.2
X Le théorème précédent cesse d’être vrai si la série
un est seulement convergente. La série
+∞
X
(−1)n+1
est convergente (voir l’exemple 1.4.2) mais n’est pas absolument convergente.
n
n=1
+∞
X
(−1)n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1 1
+
= 1− + − + − + − + −
+
−
... = 1 − −
n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4
n=1
!
1 1 1
1
1
1
1
1
1
− −
−
−
−
−
+
+ ... +
+ . . ..
3 6 8
5 10 12
2k + 1 2(2k + 1) 2(2k + 2)
1
1
1
1
1
1
−
−
=
=
1−
−
On pose vn =
2n
2(2n + 1)
2(2n + 2)
2n + 1
2
2(2n + 2)
+1
1
1
1
−
.
2 2n + 1 2n + 2
+∞
+∞
X
1 1
1
1 X (−1)n+1
1
−
.
1−
+
+ ... =
vn =
2
2
3
4
2
n
n=0
n=1
En réorganisant autrement la somme d’une série convergente, on obtient une série convergente
mais pas de même somme. Cela est dû au fait que l’addition d’une infinité de termes n’est pas
nécessairement commutative.
✰ Un bel exemple de série convergente et non commutativement converg ente.
∞
X
1
Soit le série alternée
(−1)n+1 Log 1 +
.
n
n=1
1
Il s’agit d’une série alternée et le terme Log 1 +
décroit vers zéro, ce qui assure la
n
convergence de la série donnée.
∞
∞
∞
X
X
X
1
n+1
n+1
n+1
On a :
(−1) Log 1 +
=
(−1) Log
=
(−1)n+1 [Log(n + 1) − Log n]
n
n
n=1
n=1
n=1
= [Log 2 − Log 1] − [Log 3 − Log 2] + [Log 4 − Log 3] − [Log 5 − Log 4] + · · ·
∞
X
= 2[Log 2 − Log 3 + Log 4 − Log 5 + · · ·] = 2
(−1)n Log n.
n=1
la série ainsi obtenue est grossièrement divergente, puisque le terme général ne tend
pas vers zéro.
Il est facil de vérifier que la série n’est pas absolument convergente.
M er A  N -E 
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