Ellipsoïde de John-Lœwner
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Ellipsoïde de John-Lœwner
Sandrine C ARUSO Ellipsoïde de John-Lœwner Références : Francinou - Gianella - Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 3 Alessandri Théorème. Soit K un compact d’intérieur non vide de Rn . Il existe un unique ellipsoïde de volume minimal contenant K. Existence. Un ellipsoïde est défini par {x ∈ Rn , q(x) 6 1}, où q est une forme quadratique définie positive. Notons Q l’ensemble des formes quadratiques, Q+ l’ensemble des formes quadratiques positives, Q++ l’ensemble des formes quadratiques définies positives. Pour q ∈ Q++ , on note Eq = {x ∈ Rn ,P q(x) 6 1} l’ellipsoïde associée. Dans une base orthonormée adaptée, q s’écrit q(x) = ni=1 ai x2i avec ai > 0. Le volume de Eq se calcule alors ainsi : ZZ Z vol(Eq ) = ··· P dx1 · · · dxn . ai x2i 61 √ Faisons le changement de variable yi = ai xi (qui définit bien un C 1 -difféomorphisme). Le jacobien de ce difféomorphisme est √a11···an . Notons D(q) = a1 · · · an . Le changement de variable donne alors ZZ Z V0 1 p dy1 · · · dyn = p vol(Eq ) = ··· P D(q) D(q) yi2 61 où V0 est le volume de la boule unité de Rn . Notre problème se ramène donc à maximiser D(q) pour les q ∈ Q++ telles que ∀x ∈ K, q(x) 6 1. Pour cela, nous allons en fait maximiser D(q) sur un ensemble un peu plus grand : soit A = {q ∈ Q+ , ∀x ∈ K, q(x) 6 1}. On munit Q de la norme N (q) = sup||x||61 |q(x)|. Montrons que A est un compact convexe et non vide de Q (la convexité ne sera utile que dans la partie unicité). Comme Q est un R-espace normé de dimension finie, pour montrer que A est compact, il suffit de montrer qu’il est fermé et borné. (convexe) Soient q, q 0 ∈ A et t ∈ [0, 1]. Pour tout x ∈ Rn , (tq + (1 − t)q 0 )(x) = tq(x)+(1−t)q 0 (x) > 0 et pour tout x ∈ K, (tq +(1−t)q 0 )(x) = tq(x)+(1−t)q 0 (x) 6 t + (1 − t) = 1, donc tq + (1 − t)q 0 ∈ A. (fermé) Soit (qn ) une suite d’éléments de A qui converge vers q ∈ Q. Pour tout x ∈ Rn , on a ||q(x) − qn (x)|| 6 N (q − qn ) ||x|| donc (qn (x)) tend vers q(x). En particulier, q(x) = lim qn (x) > 0, et si x ∈ K, q(x) = lim qn (x) 6 1. 1 (borné) Comme K est d’intérieur non vide, si a ∈ K, il existe r > 0 tel que B̄(a, r) ⊂ K. Soit q ∈ A. Pour tout x tel que ||x|| 6 r, a + x ∈ K et par conséquent q(x + a) 6 1. Par ailleurs, q(−a) = q(a) 6 1. On a donc, en utilisant l’inégalité de Minkowski, p p p p q(x) = q(x + a − a) 6 q(x + a) + q(−a) 6 2, et ainsi q(x) 6 4. Si, maintenant, on considère x tel que ||x|| 6 1, on a q(x) = 1 q(rx) 6 r42 d’après ce qui précède, et donc N (q) 6 r42 . Donc A est borné. r2 (non vide) Le compact K est en particulier borné. Soit M tel que ∀x ∈ K, ||x|| 6 M . 2 Considérons q1 (x) = ||x|| ; c’est une forme quadratique définie positive, et pour tout M2 x ∈ K, q1 (x) 6 1 par construction. Donc q1 ∈ A. L’application continue D atteint un maximum q0 sur le compact A. De plus, comme la forme quadratique q1 définie ci-dessus est dans A et qu’elle est définie positive, D(q0 ) > D(q1 ) > 0, et ainsi q0 est également définie positive. Ceci conclut la partie existence : l’ellipsoïde Eq0 convient. Unicité. Nous allons avoir besoin du lemme suivant : Lemme. Soient A et B deux matrices symétriques définies positives, et α ∈ [0, 1]. Alors det(αA + (1 − α)B) > (det A)α (det B)1−α . De plus, si α ∈]0, 1[ et A 6= B, l’inégalité est stricte. Démonstration. Par le théorème de réduction simultanée, il existe P ∈ GLn (R) et D diagonale telles que A = P tP et B = P D tP . De plus, comme B est définie positive, les coefficients de D, que l’on note λ1 , . . . , λn , sont strictement positifs. On a det(αA + (1 − α)B) = (det P )2 det(αIn + (1 − α)D) et (det A)α (det B)1−α = (det P )2 (det D)1−α , on est donc ramené au cas où A = In et B = D, car (det P )2 est strictement positif. On a n Y det(αIn + (1 − α)D) = (α + (1 − α)λi ) i=1 d’une part, et d’autre part, 1−α (det D) = n Y λ1−α . i i=1 La fonction logarithme est strictement concave, donc pour tout Pn i, ln(α + (1 − α)λi ) > α ln 1 + (1 − α) ln(λ ) = (1 − α) ln(λ ). On en déduit que i i i=1 ln(α + (1 − α)λi ) > Pn i=1 (1 − α) ln(λi ), puis en passant à l’exponentielle, l’inégalité recherchée. De plus, si α ∈]0, 1[ et A 6= B, l’un des λi est différent de 1, et par stricte concavité de ln, l’inégalité est stricte. 2 Revenons à la démonstration du théorème. Supposons par l’absurde qu’il existe une forme quadratique définie positive q 6= q0 tel que D(q) = D(q0 ). Soient S et S0 des matrices symétriques définies positives représentant respectivement q et q0 dans une base orthonormée. Comme A est convexe, 21 (q + q0 ) ∈ A, et on a 1 1 1 1 D( (q + q0 )) = det( (S + S0 )) > (det S0 ) 2 (det S) 2 = det S0 = D(q0 ), 2 2 ce qui est absurde par maximalité de D(q0 ). 3