Ellipsoïde de John–Loewner

Ellipsoïde de John–Loewner
Arnaud Girand
5 juillet 2012
Référence :
– [FGN10], p. 229–231
Proposition 1
Soit K ⊂⊂ Rn d’intérieur non vide.
Alors il existe un unique ellipsoïde de volume minimal contenant K.
Démonstration : On sait qu’un ellipsoïde (plein) centré en l’origine admet une équation de la
forme q(x) ≤ 1, avec q ∈ Q++ . De fait, on peut associer à toute forme quadratique définie positive
q un ellipsoïde Eq := {x ∈ Rn | q(x) ≤ 1}.
Soit donc q ∈ Q++ . Alors, par théorème spectral, il existe une b.o.n B := (e1 , . . . , en ) de Rn
telle que si l’on pose ai = q(ei ) on ait :
∀x =
n
X
i=1
xi ei ∈ Rn , q(x) =
n
X
ai x2i
i=1
Si on note Vq le volume de l’ellipsoïde Eq on a alors :
Vq =
Z
dx1 . . . dxn =
a1 x21 +...+an x2n ≤1
Z
n
Y
Rn i=1
χ{ai x2i ≤1} dx1 . . . dxn
x1
xn
Par le changement de variable (C 1 –difféomorphisme) ϕ : x 7→ ( √ , . . . , √ ) on a :
a1
an
Vq =
Z
n
Y
1
χ{x2i ≤1} |Jac(ϕ)|dx1 . . . dxn = √
a1 . . . an
Rn i=1
Z
dx1 . . . dxn
x21 +...+x2n ≤1
Remarquons de plus que si B1 est une b.o.n de Rn quelconque et si on note S := matB1 (q) on a,
par changement de base pour les formes quadratiques, qu’il existe P ∈ GLn (R) telle que :
S = P matB (q)t P = P Diag(a1 , . . . , an )t P
Comme B et B1 sont orthonormées on a de plus que P ∈ On (R). De facto, D(q) := det(S) = a1 . . . an
ne dépend que de q. Si on note V0 le volume de la boule unité (euclidienne) de Rn on a finalement :
V0
Vq = p
D(q)
On se ramène donc à montrer qu’il existe un unique q ∈ Q++ tel que :
(i) D(q) soit maximal ;
(ii) ∀x ∈ K, q(x) ≤ 1.
On munit l’espace vectoriel Q de la norme N : q 7→ supkxk≤1 |q(x)| et on cherche à maximiser
D sur l’ensemble suivant :
A := {q ∈ Q+ | ∀x ∈ K, q(x) ≤ 1}
Démontrons que A est une partie convexe compacte non vide de Q.
– K est compact donc borné par un certain M > 0. De fait, la forme quadratique q : x 7→
est dans A donc A 6= ∅.
1
kxk2
M2
– Soient q, q ′ ∈ A et soit λ ∈ [0, 1]. Alors il est clair que λq + (1 − λ)q ′ ∈ Q+ . De plus, si x ∈ K
on a :
λq(x) + (1 − λ)q ′ (x) ≤ λ + (1 − λ) = 1
Donc A est convexe.
– Soit (qn )n ∈ AN une suite convergeant dans Q vers une forme quadratique q. Alors, pour
tout x ∈ Rn , on a :
∀n ≥ 0, |qn (x) − q(x)| ≤ N (qn − q)kxk −−−−→ 0
n→∞
Donc par passages à la limite q ∈ Q+ (considérer qn (x) ≥ 0) et ∀x ∈ K, q(x) ≤ 1. Donc
q ∈ A donc A est fermée.
De plus, comme K est d’intérieur non vide, il existe a ∈ K et r > 0 tels que B(a, r) ⊂ K.
Ainsi, si q ∈ A et x ∈ B(0, r) alors q(a + x) ≤ 1. De plus, q(−a) = q(a) ≤ 1. Ainsi, par
inégalité de Minkowski :
p
p
p
p
q(x) = q(x + a − a) ≤ q(x + a) + q(−a) ≤ 2
Ainsi q(x) ≤ 4. In fine, si x ∈ B(0, 1) on a :
0 ≤ q(x) =
1
4
q(rx) ≤ 2
r2
r
4
Donc N (q) ≤ 2 . A est un donc un sous–ensemble fermé et borné de l’espace vectoriel de
r
dimension finie Q : il est compact.
Le déterminant étant continu, l’application D : q 7→ D(q) l’est également. Comme A est comkxk2
∈ A,
pact, D y est bornée et atteint son maximum en un certain q0 ∈ A. De plus, comme x 7→
M2
on a nécessairement D(q0 ) > 0 et donc q0 ∈ Q++ . D’où l’existence de l’ellipsoïde recherché (il suffit
de prendre Eq0 ).
Supposons à présent qu’il existe q ∈ A distincte de q0 telle D(q) = D(q0 ). Posons S := matBc (q)
q + q0
et S0 := matBc (q0 ), où Bc désigne la base canonique de Rn . Comme A est convexe,
∈ A et
2
++
par log–concavité du déterminant sur Sn (R) on a :
p
p
1
q + q0
= det
(S + S0 ) > det(S) det(S0 ) = det(S0 ) ≥ D(q0 )
D
2
2
Ce qui contredit la maximalité de D(q0 ) et termine donc la preuve.
Détails supplémentaires :
– Log–concavité du déterminant sur Sn++ (R). On se propose de montrer que l’application φ
suivante est logarithmiquement concave, i.e que ln ◦φ est concave (cf. [FGN10], p. 222–223) :
φ : Sn++ (R) → R
A 7→ det(A)
Cela revient donc à montrer que :
∀α, β ∈ R+ tels que α + β = 1, ∀A, B ∈ Sn++ (R),
det(αA + βB) ≥ det(A)α det(B)β
Par théorème de pseudo–réduction simultanée des formes quadratiques, on sait qu’il existe
P ∈ GLn (R) et D = Diag(λ1 , . . . , λn ) telles que A = t P P et B = t P DP . Comme B est
définie positive, on a de plus que les λi sont strictement positifs. De plus :
det(A)α det(B)β = (det(P )2 )α (det(P )2 det(D))β = det(P )2 det(D)β
(1)
det(αA + βB)
= det(P )2 det(αIn + βD)
Le logarithme étant concave, on a également :
∀i ∈ [n], ln(α + βλi ) ≥ α ln(1) + β ln(λi ) = β ln(λi )
2
En sommant ces inégalités on obtient :
n
X
i=1
I.e :
ln(α + βλi ) ≥ β
n
X
ln(λi )
i=1

!β 
!
n
n
Y
Y
λi 
(α + βλi ) ≥ ln 
ln
i=1
i=1
Donc par croissance du logarithme :

β
 n

n
Y
Y 

(α + βλi ) ≥ 
λ
i 

 i=1 
i=1
|
| {z }
{z
}
=det(αIn +βD)
=det(D)
Ce qui conclut la preuve (utiliser ( 1 )).
– On rappelle qu’il y a une correspondance bijective entre Sn (R) et l’ensemble des formes
bilinéaires symétriques sur Rn × Rn via A 7→ ((x, y) 7→ hAx, yi).
– Un ellipsoïde (plein) centré en l’origine admet une équation de la forme q(x) ≤ 1, avec
q ∈ Q++ . En effet, un tel ellipsoïde admet dans un repère ad hoc une équation de la forme :
n
X
x2
i
i=1
Il suffit alors de remarquer que q : x 7→
a2i
≤1
P x2i
∈ Q++ .
R2 a2i
Références
[FGN10] Serge Francinou, Hervé Gianella, and Serge Nicolas. Oraux X - ENS, Algèbre 3. Cassini,
2010.
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