Le polynôme charactéristique • Dé nition. Soit A∈Rn×n. Le
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Le polynôme charactéristique • Dé nition. Soit A∈Rn×n. Le
Le polynôme charactéristique def: Dénition. Soit A 2 Rnn. Le polynôme char(A) = det(X1n ¡ A) 2 R[X] est appellé polynôme charactéristique de A. Remarque. deg(char(A)) 6 n Notation. Soit A 2 Rnn et I ; J f1; :::; ng. La matrice AI ^J est obtenue de A en eaçant les lignes Ai avec i 2 I et les colonnes A j avec j 2 J. Théorème. (Gabriel) Soit A 2 Rnn . On a char(A) =X n + 1X n¡1 +2X n¡2 + + n¡1X + n où p = (¡1) p P I f1;:::;ng jI j=n¡p det AI ^I def: Pn i=1 Dénition. La quantité tr(A) = Aii est appellée trace de A. Remarque. On a 1 = ¡tr(A) n = (¡1)n det(A) Caley-Hamilton: un théorème invraisemblable? Dénition. Soient P := X n +c1X n¡1 + + cn¡1X + cn 2R[X] un polynôme réel et A 2 Rnn une matrice. L'évaluation P^(A) de P en A est la somme An +c1An¡1 + + cn¡1A + cn1n On appelle une telle somme polynôme matriciel. Théorème. (Caley-Hamilton) char(A) (A) = 0n. ???????????? Caley-Hamilton: application En pratique on peut se servir de Caley-Hamilton pour calculer de manière ecace des puissances de matrices. Soit 0 1 1 ¡1 0 A=@ ¡1 2 ¡1 A 0 ¡1 1 On a rg(A) =2 (Quiz: pourquoi?), donc det(A) = 0 (Quiz: pourquoi?). Du coup le polynôme charactéristique de A est char(A) =X 3 +1X 2 +2X + 3 avec 1 = ¡tr(A) = ¡4 3 = ¡det(A) = 0 On a d'autre part 2 = (¡1)2 X det AI ^I I f1;:::;3g jI j=1 X I =f1g;f2g;f3g = det = 3 Du coup A3 ¡ 4A2 + 3A = 0 , det AI ^I I f1;:::;3g jI j=3 ¡2 = = X 2 ¡1 ¡1 1 det AI ^I 1 0 1 ¡1 + det + det 0 1 0 1 0 1 5 ¡9 4 A3 = (4A ¡31)A= @ ¡9 18 ¡9 A 4 ¡9 5 Il est à noter que nous avons eectué une multiplication matricielle au lieu de trois... Cette technique a sa pertinence lorsque n est susament grand.