Comatrice et matrice inverse.
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Comatrice et matrice inverse.
Comatrice et matrice inverse. Dénition 1. Soit A ∈ Mn,n (K), a1,1 .. . A= ai,1 . .. an,1 ··· a1,j ··· a1,n . . . . . . . . . . . . ··· ai,j ··· . . . . . . . . . ··· an,j est le déterminant obtenu en remplaçant la j-ème colonne de i-ème ligne où l'on place ··· A par ai,n , . . . an,n (i, j) le cofacteur- ··· a1,j−1 0 a1,j+1 ··· ··· ··· ··· ai−1,j−1 ai,j−1 ai+1,j−1 0 1 0 ai−1,j+1 ai,j+1 · · · ai+1,j+1 ··· ··· ··· an,j−1 0 an,j+1 ··· .. . .. . .. . .. . A noté une colonne ne contenant que des Cofi,j (A) 0 sauf à la 1. En développant ce déterminant par rapport à la j-ème colonne on obtient : a1,1 .. . ai−1,1 ai,1 ai+1,1 . .. an,1 de .. . .. . .. . .. . .. . .. . a1,n a1,1 .. .. . . ai−1,n a ai,n = (−1)i+j i−1,1 ai+1,1 ai+1,n . .. .. . an,1 an,n Cofi,j (A) = ··· a1,j−1 a1,j+1 ··· ··· ··· ai−1,j−1 ai+1,j−1 ai−1,j+1 ai+1,j+1 ··· ··· ··· an,j−1 an,j+1 ··· .. . .. . .. . .. . .. . .. . a1,n .. . ai−1,n ai+1,n .. . an,n .. . .. . Le déterminant de droite n'ayant plus que n − 1 lignes et n − 1 colonnes. a1,1 .. .. . . Pour un vecteur colonne X = xi considérons le déterminant Dj (X) = ai,1 . . .. .. an,1 xn x1 la linéarité par rapport à la j-ème colonne donne : ··· a1,j−1 x1 a1,j+1 ··· ai,j−1 xi ai,j+1 · · · .. . .. . ··· an,j−1 xn an,j+1 ··· .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . a1,1 · · · a1,j−1 1 a1,1 · · · a1,j−1 0 a1,j+1 · · · a1,n a1,j+1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . ai,n +· · ·+xi . ai,1 · · · ai,j−1 1 ai,j+1 · · · Dj (X) = x1 . ai,1 · · · ai,j−1 0 ai,j+1 · · · . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . an,1 · · · an,j−1 0 an,1 · · · an,j−1 0 an,j+1 · · · an,n an,j+1 ... a1,1 · · · a1,j−1 0 a1,j+1 · · · a1,n .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . ai,n = x1 .Cof1,j + · · · + xi .Cofi,j + · · · + xn .Cofn,j +xn . ai,1 · · · ai,j−1 0 ai,j+1 · · · . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. . an,1 · · · an,j−1 1 an,j+1 · · · an,n Soit donc : Dj (X) = n X xi .Cofi,j ··· .. . .. . ··· (1) i=0 Maintenant, a1,1 · · · .. .. . . • Si l'on prend pour X la j-ème colonne de A on a : Dj (X) = ai,1 · · · . .. .. . an,1 · · · n n P P Or dans ce cas d'après (1), Dj (X) = ai,j .Cofi,j donc : ai,j .Cofi,j i=0 i=0 a1,j ··· ai,j ··· an,j ··· .. . .. . .. . .. . = det(A) a1,n .. . ai,n = det(A) .. . an,n (2) ··· .. . a1,n .. . ai,n , .. . an,n a1,n .. . ai,n + .. . an,n • Si l'on prend pour X a1,1 · · · .. .. . . Dj (X) = ai,1 · · · . .. .. . an,1 · · · la k-ème colonne de A, avec k 6= j , celle-ci apparaîtra deux fois dans Dj (X) et : a1,k ··· a1,k ··· ai,k ··· ai,k ··· .. . .. . .. . .. . .. . .. . ··· an,k an,k .. . .. . ··· a1,n .. . ai,n = 0 mais alors d'après (1) : .. . an,n n P ai,k .Cofi,j = 0 (3) i=0 On va interpréter (2) et (3) en termes de produit de matrices, dénissons d'abord la comatrice de A : Dénition 2. On appelle comatrice de A et on note Com(A) la transposée de la matrice des cofacteurs de A pécisément : c1,1 .. . Com(A) = cj,1 . .. cn,1 ··· c1,i ··· c1,n . . . . . . . . . . . . ··· cj,i ··· . . . . . . . . . ··· cn,i ··· • (2) donne alors : n P cj,n . . . cn,n avec cj,i = Cofi,j (A) ai,j .cj,i = det(A) donc i=0 • (3) donne : n P i=0 cj,i .ai,k = n P i=0 n P i=0 ai,k .cj,i = 0 pour tout couple d'entiers (j, k) avec j 6= k , j ∈ J1; nK et k ∈ J1; nK. On peut regrouper les deux cas en écrivant : (j, k) du produit Com(A).A on a : cj,i .ai,j . = det(A) pour tout entier j ∈ J1; nK n P i=0 cj,i .ai,k = δjk det(A) et comme Com(A).A = det(A).Id(n,n) et si : det(A) 6= 0 on a : A−1 = n P cj,i .ai,k est le terme d'indices i=0 1 .Com(A) det(A)