DévAlg 21: Ellipsoïde de John(-Loewner

Agrégation externe de Mathématiques
DévAlg 21: Ellipsoïde de John(-Loewner-Behrend)
E. Aubry
ex 14.12 p.386,
, p. 61,
M. Alessandri, thèmes de géométrie, p. 142.
On note Sn++ l'ensemble des matrices symétriques dénies positives de taille n, on note h·, ·i le
produit scalaire canonique de Rn . Pour tout u ∈ Sn++ , on note Bu = {x ∈ Rn /hux, xi ≤ 1} la boule
unité de Rn pour la forme quadratique qu = hu·, ·i. L'application u 7→ Bu est une bijection entre Sn++
et les ellipsoïdes pleins de Rn centrés en 0.
Sources:
E. Leichtnam,
M. Berger,
Exercices corrigés Tome d'algèbre et géométrie
Géométrie tome 2
I Ellipsoïde
de John
Le but est de démontrer que si K est une partie compacte et génératrice de Rn (i.e. telle que
Vect (K) = Rn ), alors il existe un unique ellipsoïde (plein centré en 0) contenant K de volume minimal
(appelé ellipsoïde de John de K ).
1. Montrer que kAkK = supx∈K kAxk est une norme sur Mn (R).
2. Soit u ∈ Sn++ . Montrer qu'il existe v ∈ Sn+ telle que t vv = u. Montrer que Bu = v −1 B n , où
n
√ B .
B n est la boule unité fermée de Rn . En déduire que Vol Bu = Vol
det u
3. Montrer que Sn++ est unepartie convexe de Mn (R). Soit u1 6= u2 ∈ Sn++ et t ∈]0, 1[, montrer
que ln det tu1 + (1 − t)u2 > t ln det u1 + (1 − t) ln det u2 (on aura intérêt à utiliser le théorème
de réduction simultanée).
4. Soit CK = {u ∈ Sn++ /Bu ⊃ K}. Montrer CK est non vide et que si u0 ∈ CK est xée alors
Cu0 = {u ∈ CK / ln det u ≥ ln det u0 } est convexe et compacte.
5. En déduire que le maximum de ln det est atteint en un unique point de Cu0 . Conclure.
II Sous-groupes
compacts de
Gln (R)
1. Soit G un sous-groupe compact de Gln (R). Montrer que pour tout g ∈ G, on a det g = ±1
(considérer la suite (det g)n ).
2. Montrer que K =
[
g(B n ) est compacte, génératrice et stable par tous les éléments de G.
g∈G
3. Montrer que l'ellipsoïde de John E de K est stable par G (i.e. que gE = E pour tout g ∈ G). En
déduire qu'il existe v ∈ Sn+ tel que vgv −1 (B n ) = B n pour tout g ∈ G, puis que vGv −1 ⊂ O(n).
4. Soit F un sous-espace de Rn stable par G. Montrer qu'il admet un supplémentaire stable par G.
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