le corrigé -élève epreuve-commune 27

Epreuve commune
DE
MATHEMATIQUES
le corrigé
27 janvier 2015
Durée de l’épreuve : 1h45
L’usage de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront prises en compte pour 4 points.
Le sujet est à rendre avec la copie
Exercice 1 (4,5 points)
Voici trois calculs effectués à la calculatrice. Détailler ces calculs afin de comprendre les résultats
donnés par la calculatrice :
− =
−
=
=
Calcul
1:
Calcul
2:
√18 = √9 × 2 = √9 × √2 = 3√2
Calcul
3:
8×10
+2×10
=(8+2)× 10
=10× 10
= 1×10 .
Exercice 2 (6 points)
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731
dragées aux amandes.
1°) Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles.
Chaque corbeille doit avoir la même composition. Combien lui reste-t-il de dragées
non utilisées?
J’effectue les divisions euclidiennes suivantes :
et
3003 = 20 × 150 + 3
3731 = 20 × 186 + 11
Dans chaque, il y aura 150 dragées au chocolat et 186 dragées aux amandes.
3+11 = 14
Il restera en tout 14 dragées. 3 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes.
2°) Emma et Arthur changent d’avis et décident de proposer des petits ballotins
dont la composition est identique. Ils souhaitent qu’il ne leur reste pas de dragées.
a) Emma propose d’en faire 90. Ceci convient-il? Justifier.
3003 = 90 × 33 + 33 et 3731 = 90 × 41+ 41
3 003 et 3 731 ne sont pas divisibles par 90, il est impossible de faire des ballotins de composition
identique sans qu’il ne reste de dragées.
b) Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins.
Combien en feront-ils et quelle sera leur composition?
Afin de constituer un maximum de ballotins et de répartir équitablement tous les dragées au chocolat et
aux amandes, je recherche le PGCD de 3 003 et 3 731. J’utilise pour cela l’algorithme d’Euclide :
Dividende
3731
3003
728
91
0
0
diviseur
3003
728
91
0
0
quotient
1
4
8
reste
728
91
0
Le dernier reste non nu lest 91 donc PGCD(3 731;3003)
Le dernier reste non nul est 91 donc PGCD(3 731; 3 003) = 91.
Emma et Arthur pourront constituer un maximum de 91 ballotins.
3 731 : 91 = 41 et 3 003 : 91 = 33
Chaque ballotin sera constitué de 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes.
Exercice 3 (5,5 points)
Trois affirmations sont données ci-dessous:
ci
Affirmation 1 :vraie (√5 − 1 √5
1
√ + 1) = *√5 )²-1
( d'après les égalités remarquables)
=5
=5-1
=4
est un nombre entier.
Affirmation 2 :vraie le triangle ABC est rectangle en B.
B
(figure ci-contre : les dimensions ne sont pas respectées)
AC²=25 AB² + BC² = 3² + 4² =9 + 16=25 aalors la réciproque de Théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B
Affirmation 3 : Fausse les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
!
#$
=
2,8
+
2
= 0,56
=
= 0,571 …
5
, 2,5
#'
comme #% & #( d'après la non propriété du Thalès les droites
les droites (AB) et (DC) ne sont pas parallèles.
Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Exercice 4 (7 points)
Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire.
territoire. On fait deux propositions
au conseil municipal, schématisées ci-dessous
ci
:
• le parcours ACDA
• le parcours AEFA
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km.
Peux-tu
tu les aider à choisir le parcours ? Justifie.
Tous
us les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie.
Attention : la figure proposée au conseil municipal n’est pas à l’échelle, mais les codages et les
dimensions données sont correctes.
Etude du parcours ACDA :
Afin de déterminer le périmètre de ACDA, je dois déterminer la longueur du segment [AD], comme
ACDA est un triangle rectangle, donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
, = !, + ! ./01à345/
345/ , =1.05 + 1.4
, =1,1025 +1,96
, = 3,0625
AD = L3,0625
AD =1,75
Le segment [AD] a une longueur de 1,75 km.
J’en déduis le périmètre du parcours ACDA : AC + CD + DA = 1,05 + 1,4 + 1,75 = 4,2
Le parcours ACDA mesure 4,2 km.
Etude du parcours AEFA :
Afin de déterminer le périmètre de AEFA, je dois déterminer la longueur [EF].
Les triangles AE’F’ et AEF sont tels que :
*EE’ et*FF’ sontsécantesenA
A
6
*EF estparallèlesà*E’F’
$JI
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
$J
=
$HI
$H
=
JIHI
JH
Je remplace les longueurs connues par leur valeurs.
.
$HI
=
donc
.
=
EF =
. × .
.
=
.
.
.
.
J’utilise l’égalité entre le 1er et le 3ème quotient
.
J’effectue les produits en croix.
JH
JH
= 1.04
Le segment [EF] a une longueur de 1,04 km.
J’en déduis le périmètre du parcours
parco AEFA : 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94
Le parcours AEFA mesure 3,94 km.
3,94 est plus proche de 4 que 4,2. Le Conseil Municipal doit choisir le parcours AEFA.
NB. La donnée de l’angle
€
M ne servait à rien et était un piège pour ceux qui s’empressent à utiliser la trigonométrie dès qu’il voit
un angle. Une condition est obligatoire pour pouvoir utiliser la trigonométrie, le triangle doit être
rectangle.
Exercice 5 (5 points)
Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l’arc.
Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-dessous.
La courbe donne la hauteur en mètres (m) en fonction de la distance horizontale en mètres (m)
parcourue
par la flèche.
1. Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques.
Aucune justification n’est attendue sur la copie.
a. De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?
Elle est tirée à 1 m de haut
b. À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol ?
elle tombe à 10 m.
c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?
la hauteur maximale est de 3 m.
2. Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des calculs :
La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par
N*O = −0,1O + 0,9O + 1.
a. CalculerN*5 PQ40N*−1 .
f(-5)=−0,1*5 + 0,9 × *5 + 1 = −0.1 × 25 + 4,5 + 1 = 3
N*−1 = −0,1*−1 + 0,9 × *−1 + 1 = −0.1 − 0.9 + 1 = 0
b. La flèche s’élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur ?
N*4.5 = −0,1*4.5 + 0,9 × *4.5 + 1 = 3.025
alors la flèche s'élève à plus de 3 m.
Exercice 6 (8 points)
Pour préparer un séjour d’une semaine à Naples, un couple habitant Nantes a constaté que
le tarif des billets d’avion aller-retour Nantes-Naples était beaucoup plus élevé que celui des
billets Paris-Naples. Il étudie donc quel serait le coût d’un trajet aller-retour Nantes-Paris pour
savoir s’il doit effectuer son voyage en avion à partir de Nantes ou à partir de Paris.
Voici les informations que ce couple a relevées :
Information 1 : Prix et horaires des billets d’avion.
Vol aller-retour au départ de Nantes
Vol aller-retour au départ de Paris
Départ de Nantes le 23/11/2014 : 06 h 35
Départ de Paris le 23/11/2014 :
11 h 55
Arrivée à Naples le 23/11/2014 :
09 h 50
Arrivée à Naples le 23/11/2014 :
14 h 10
Départ de Naples le 30/1112014 :
Arrivée à Nantes le 30/1112014 :
12 h 50
16 h 25
Prix par personne du vol aller-retour : 530 €
Départ de Naples le 30/11/2014 :
Arrivée à Paris le 30/11/2014 :
13 h 10
15 h 30
Prix par personne du vol aller-retour : 350 €
Les passagers doivent être présents 2 heures avant le décollage pour procéder à l’embarquement.
Information 2 : Prix et horaires des trains pour un passager
Trajet Nantes - Paris (Aéroport)
Trajet Paris (Aéroport) - Nantes
23 novembre
30 novembre
Départ
06 h22
Départ
Prix
51,00€
Prix
Durée
03 h 16 direct
Durée
Voyagez avec
TGV
Voyagez avec
Information 3 : Trajet en voiture
de Paris
Consommation moyenne :
6 litres aux 100 km
Péage Nantes-Paris : 35,90 €
Distance domicile-aéroport de Paris : 409 km
Carburant : 1,30 € par litre
Temps estimé : 4 h 24 min
18 h 20
42,00 €
03 h 19 direct
TGV
Information 4 : Parking de l’aéroport
Tarif : 58 € pour une semaine
1. Expliquer pourquoi la différence entre les prix des 2 billets d’avion s’élève à 360 € pour ce couple.
Prix des billets d'avion départ de Paris AR. 350 euros, ils sont 2 soit 700 euros en tout , pris des billets
d'avion départ de Nantes AR 530 euros, ils sont 2 soit 1060 euros en tout la différence est de 1060 700 = 360 euros .
2. Si le couple prend la voiture pour aller à l’aéroport de Paris :
a. Déterminer l’heure avant laquelle il doit partir de Nantes.
s'il prend la voiture pour aller à Paris, ils doivent arriver 2 h avant 11h 55mn soit 9h55mn
ils ont 4h 24mn pour arriver à Paris
ils doivent partir avant partir avant 9h55mn - 4h 25mn=5h30mn
b. Montrer que le coût du carburant pour cet aller est de 31,90 €.
Coût du carburant : ils ont 409 kms à faire la voiture consomme 6 l au 100 il lui faudra donc
×
= 24,54R415/0
comme le litre est à 1,30 euros total 24,54 × 1,30 = 31,90/Q5S0
3. Quelle est l’organisation de voyage la plus économique ?
en voiture + train départ de Paris
coût : 2× 35,90 + 2 × 31,42 + 700 = 893,60/Q5S0
en train + avion départ Paris
coût : 2× 51 + 42 × 2 + 700 = 886/Q5S0
en avion départ de Nantes
coût 1036 euros.
Conclusion: le plus économique sera la formule Train + avion départ Paris
Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie.