CORRECTION Exercice supplémentaire n° 4 Spécialité

CORRECTION
Exercice supplémentaire n° 4
Spécialité
B est une boîte en forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté l.
l et L sont des entiers naturels non nuls tels que l < L.
L
l
l
1°) a) Pour que les cubes de côté a remplissent complètement la boîte sans laisser d'espace vide, il faut que
les restes dans la division euclidienne de l et de L par a soient nuls, c'est-à-dire que a soit un diviseur
de l et L.
La plus grande valeur possible de a est donc la valeur du PGCD de l et L.
On sait que l = 882 et L = 945.
La division euclidienne de 945 par 882 s'écrit : 945 = 1 x 882 + 63
On sait alors que PGCD(945 ; 882) = PGCD(882 ; 63).
Or on a 882 = 14 x 63 donc PGCD(882 ; 63) = 63.
La plus grande valeur possible pour a est donc 63 .
On sait que les diviseurs de deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD.
Les valeurs possibles pour a sont donc les diviseurs de 63.
Sachant que 63 = 32 x 7 , les diviseurs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63
Les valeurs possibles de a sont 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63 .
b) La plus grande valeur possible de a est 12, c'est-à-dire que PGCD(l ; L) = 12.
On sait alors qu'on peut écrire l = 12x et L = 12y avec x et y premiers entre eux.
De plus on doit avoir x < y puisque l < L .
Le volume de la boîte B est v = 77 760, on a donc l x l x L = 77 760 .
c'est-à-dire (12x)2 x 12y = 77 760 donc x2 x y = 45 .
Les diviseurs de 45 sont 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
Les seuls carrés qui divisent 45 sont 1 et 9 .
On a donc x2 = 1 ou x2 = 9 c'est-à-dire x = 1 ou x = 3 .
Pour x = 1, on a y = 45 donc l = 12 et L = 45 x 12 = 540 .
Pour x = 3, on a y = 5 donc l = 12 x 3 = 36 et L = 12 x 5 = 60 .
On peut vérifier que les couples (l ; L) = (12 ; 540) et (l ; L) = (36 ; 60) sont tels que
PGCD(l ; L) = 12 et l2 x L = 77 760.
Il y a donc deux boîtes possibles répondant à la question.
Leurs dimensions sont (l ; L) = (12 ; 540) et (l ; L) = (36 ; 60).
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2°) a) Pour que les boîtes, empilées verticalement remplissent complètement la caisse cubique C d'arête c
sans laisser d'espace vide, il faut que les restes dans la division euclidienne de c par l et par L soient
nuls, c'est-à-dire que c soit un multiple de l et L.
La plus petite arête c possible pour la caisse C est donc le plus petit commun multiple de l et L.
On a l = 882 et L = 945, et on sait que PPCM(l ; L) x PGCD(l ; L) = l x L
lxL
882 x 945
On obtient PPCM(l ; L) =
=
PGCD(l ; L) PGCD(882 ; 945)
En utilisant le résultat trouvé à la question 1, on en déduit PPCM(l ; L) = 882 x 945 = 13230
63
La plus petite arête pour la caisse C est c = 13 230 .
b) La plus petite arête possible pour la caisse C est 105, on a donc PPCM(l ; L) = 105 .
Le volume de la boîte B est 15 435, on a donc l2 x L = 15435 .
La décomposition en facteurs premiers de 15435 est : 15435 = 32 x 5 x 73 .
On peut en déduire que les seuls carrés divisant 15435 sont 12 ; 32 ; 72 et (3 x 7)2 .
Les seules valeurs possibles pour l sont donc l = 1 ou l = 3 ou l = 7 ou l = 21 .
Pour l = 1, L = 15435, et PPCM(l ; L) = 15435 ≠ 105 .
Pour l = 3, L = 1715 et PPCM(l ; L) = PPCM(3 ; 1715) ³ 1715 donc PPCM(l ; L) ≠ 105 .
Pour l = 7, L = 315 et PPCM(l ; L) = PPCM(7 ; 315) ³ 315 donc PPCM(l ; L) ≠ 105 .
Pour l = 21, L = 35 et PPCM(l ; L) = PPCM(21 ; 35) = PPCM(7 x 3 ; 7 x 5) = 7 x PPCM(3 ; 5)
donc PPCM(l ; L) = 7 x 15 = 105 .
La seule boîte B répondant à la question a pour dimensions (l ; L) = (21 ; 35) .
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