PGCD et PPCM. Nombres premiers entre eux

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PGCD et PPCM. Nombres premiers entre eux
Rappelons d’abord que l’application qui à n ∈ N fait correspondre nZ = {nx | x ∈ Z} est
une bijection de N sur l’ensemble des idéaux de Z.
\
ai Z est
Soit {a1 Z, ..., an Z} , ai ≥ 0, un ensemble fini d’idéaux de Z. Il est clair que
1≤i≤n
un idéal de Z et que c’est le plus grand idéal de Z contenu dans chacun des ai Z. De même,
a1 Z + ... + an Z = {a1 x1 + ... + an xn | xi ∈ Z} est aussi un idéal de Z et c’est le plus petit idéal qui
contient chacun des ai Z. Il existe donc deux entiers naturels, notés provisoirement D(a1 , ..., an )
et P (a1 , ..., an ), tels que:
\
a1 Z + ... + an Z = D(a1 , ..., an )Z
ai Z = P (a1 , ..., an )Z.
1≤i≤n
Nous allons étudier ces fonctions D et P et en donner un procédé effectif de calcul.
1. La relation de divisibilité et les fonctions D et P .
Soit a, b ∈ N. On dit que a divise b, ou que b est un multiple de a, s’il existe c ∈ N tel que
ac = b. On note cela a | b.
On montre facilement que a | b équivaut à bZ ⊂ aZ et que la relation de divisibilité est une
relation d’ordre sur N. Pour cette relation, 0 est le plus grand élément et 1 le plus petit.
Proposition 3.1. Soit {a1 , ..., an } une partie finie non vide de N.
(1) D(a1 , ..., an ) est l’unique entier naturel ayant les deux propriétés :
(a) Pour tout i ∈ [1, n], D(a1 , ..., an ) | ai ;
(b) Pour tout entier naturel d, si pour tout i ∈ [1, n], d | ai alors d | D(a1 , ..., an ).
(2) P (a1 , ..., an ) est l’unique entier naturel ayant les deux propriétés:
(a) Pour tout i ∈ [1, n], ai | P (a1 , ..., an );
(b) Pour tout entier naturel m, si pour tout i ∈ [1, n], ai | m alors P (a1 , ..., an ) | m.
Preuve. 1) Si deux entiers naturels d et d0 vérifient (a) et (b) alors d | d0 (car d0 vérifie (a)
et (b)) et d0 | d ( car d vérifie (a) et (b)) d’où d = d0 . Il existe donc au plus un entier naturel
vérifiant (a) et (b). Par définition a1 Z + ... + an Z = D(a1 , ..., an )Z d’où, pour tout i ∈ [1, n],
ai Z ⊂ D(a1 , ..., an )Z et donc D(a1 , ..., an ) | ai . Si pour tout i ∈ [1, n], d | ai alors ai Z ⊂ dZ d’où
a1 Z + ... + an Z ⊂ dZ. On en déduit d | D(a1 , ..., an ).
2) Démonstration analogue.
Cette proposition justifie la définition suivante :
Définition 3.1. Soit n entiers naturels a1 , ..., an .
L’entier naturel D(a1 , ..., an ) est appelé le plus grand commun diviseur des entiers ai et on
le note pgcd(a1 , ..., an ).
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18
3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
L’entier naturel P (a1 , ..., an ) est appelé le plus petit commun multiple des ai et on le note
ppcm(a1 , ..., an ).
Remarques.
1) Il est possible de définir d’abord le pgcd et le ppcm de deux entiers. On montre que pour
trois entiers a, b et c, pgcd(a, pgcd(b, c)) = pgcd(pgcd(a, b), c) et la relation analogue avec le
ppcm. Ensuite, on définit le pgcd et le ppcm de n entiers par récurrence (pgcd(a1 , ..., an ) =
pgcd(a1 , pgcd(a2 , ..., an )).
2) La proposition 3.1 montre que pgcd(a1 , ..., an ) est la borne inférieure de {a1 , ..., an } dans
N ordonné par la relation de divisibilité. On peut dire aussi que c’est le plus grand commun
diviseur des ai , le mot grand étant pris au sens de la relation de divisibilité. Si {a1 , ..., an } =
6 {0},
c’est aussi le plus grand au sens de l’ordre habituel des entiers car a | b, b 6= 0 implique a ≤ b.
3) Les fonctions pgcd et ppcm sont définies sur l’ensemble des parties finies et non vides de N.
Une notation comme pgcd(a1 , ..., an ) est donc une simplification de la notation plus correcte
pgcd({a1 , ..., an }).
4) On peut introduire les notions de pgcd et de ppcm sans faire intervenir explicitement les
idéaux de Z.
Etant donné deux entiers naturels a et b distincts, l’ensemble D = {au + bv | (u, v) ∈ Z2 }
contient des éléments stictement positifs, par exemple 0.a + 1.b ou 1.a + 0.b. Soit d = au0 + bv0
le plus petit élément strictement positif de D. En divisant a par d on obtient
a = dq + r,
0≤r<d
d’où r = a − dq = a − (au0 + bv0 )q = (1 − qu0 )a − qv0 b, ce qui montre que r est un élément de
D. Pour éviter une contradiction avec la définition de d on doit avoir r = 0 ce qui entraine que
d | a. De la même façon, on montre que d | b. L’entier naturel d est donc un diviseur commun
à a et b. L’égalité d = au0 + bv0 implique que tout diviseur commun à a et b divise d. Par
définition, d est appelé le pgcd de a et b.
ab
Ensuite, on définit le ppcm m de a et b par m = . Il est clair que m est un multiple de a
d
et b. Soit c un multiple commun à a et b. Il existe λ ∈ Z et µ ∈ Z tels que c = λa = µb. De
a
b
d = au0 + bv0 on déduit 1 = u0 + v0 d’où
d
d
λ=
λb
µb
λb
λa
u0 + v0 =
u0 + v0
d
d
d
d
b
b
b
ce qui montre que divise λ : il existe n ∈ N tel que λ = n . Il en résulte c = λa = na = nm
d
d
d
et donc c est un multiple de m. L’entier m ainsi défini apparaı̂t bien comme le plus petit multiple
commun à a et b. Par cette méthode, on a immédiatement la relation pgcd(a, b)ppcm(a, b) = ab.
Propriétés élémentaires du pgcd et du ppcm. On considère des entiers naturels
a1 , ...an .
1) Par définition : pgcd(a1 , ..., an )Z = a1 Z + ... + an Z
\
ppcm(a1 , ..., an )Z =
ai Z
1≤i≤n
1. LA RELATION DE DIVISIBILITÉ ET LES FONCTIONS D ET P .
19
2) Pour n ≥ 3, pgcd(a1 , ..., an ) = pgcd(a1 , pgcd(a2 , ..., an ))
ppcm(a1 , ..., an ) = ppcm(a1 , ppcm(a2 , ..., an ))
C’est une conséquence de : a1 Z + ... + an Z = a1 Z + (a2 Z + ... + an Z))
\
\
ai Z = a1 Z ∩ (
ai Z)
2≤i≤n
1≤i≤n
Ces deux propriétés ont une conséquence intéressante : le calcul d’un pgcd ou d’un ppcm
de n entiers peut toujours se ramener au calcul de plusieurs pgcd ou de plusieurs ppcm de deux
entiers.
Remarquons que l’on peut se limiter dans la définition du pgcd et du ppcm à l’aide d’idéaux
au cas de deux entiers naturels. On montre ensuite que les lois internes pgcd et ppcm sont
associatives et on définit le pgcd et le ppcm de n entiers a1 , ..., an par récurrence à l’aide des
relations : pgcd(a1 , ..., an ) = pgcd(a1 , pgcd(a2 , ..., an ))
ppcm(a1 , ..., an ) = ppcm(a1 , ppcm(a2 , ..., an ))
Un inconvénient de cette méthode est qu’ensuite les propriétés du pgcd et du ppcm de n entiers
doivent souvent être aussi démontrées par récurrence.
3) Pour n ≥ 1, pgcd(a1 , ...an , 0) = pgcd(a1 , ..., an );
ppcm(a1 , ..., an , 0) = 0.
\
car a1 Z + ... + an Z + 0Z = a1 Z + ... + an Z et (
ai Z) ∩ 0Z = {0}.
1≤i≤n
4) Soit λ ∈ N : pgcd(λa1 , ...., λan ) = λpgcd(a1 , ..., an );
ppcm(λa1 , ...., λan ) = λppcm(a1 , ..., an ).
C’est une conséquence de : λ(a1 Z + ... + an Z) = (λa1 )Z + ... + (λan )Z ;
λ(
\
1≤i≤n
ai Z) =
\
(λai )Z.
1≤i≤n
5) Si d divise tous les ai alors
pgcd(
et en particulier
a1
an
1
, ..., ) = pgcd(a1 , ..., an )
d
d
d
a1
an
, ...,
)=1
pgcd(a1 , ..., an )
pgcd(a1 , ..., an )
C’est une conséquence de la propriété 4). On a des relations analogues en remplaçant pgcd par
ppcm.
6) Des relations comme pgcd(a, b) = pgcd(b, a), pgcd(a, b, b) = pgcd(a, b) sont ici triviales car
on a considéré que les applications pgcd et ppcm sont définies sur l’ensemble des parties finies
non vide de N.
pgcd(
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3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
2. L’algorithme d’Euclide, les nombres premiers entre eux et le théorème de
Bezout
L’idée de l’algorithme d’Euclide : soit a et b deux entiers naturels avec b < a et soit q
et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. L’égalité a = bq + r montre que
l’ensemble des diviseurs communs à a et b coı̈ncide avec l’ensemble des diviseurs communs à b
et r d’où pgcd(a, b) = pgcd(b, r). Comme l’on a r < b < a, la détermination de pgcd(a, b) a été
remplacée par la détermination d’un pgcd d’éléments strictement plus petits.
De façon plus précise, soit a0 et a1 , a1 < a0 , deux entiers naturels non nuls.
On définit par récurrence une suite double (qk , ak )k≥2 d’entiers naturels par :
• q2 et a2 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de a0 par a1 : a0 = a1 q2 +a2
et 0 ≤ a2 < a1 .
• Pour k ≥ 2 :
– si ak 6= 0, qk+1 et ak+1 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de
ak−1 par ak : ak−1 = ak qk+1 + ak+1 et 0 ≤ ak+1 < ak .
– si ak = 0 alors qk+1 = ak+1 = 0.
On remarque que si ak 6= 0 alors ak+1 < ak . Si la suite (ak ) ne prend jamais la valeur 0, elle
est strictement décroissante ce qui est absurde car c’est un suite d’entiers naturels (l’ensemble
de ses termes doit posséder un plus petit élément ak0 et pour k ≥ k0 , ak ≥ ak0 ). Il existe donc
un plus petit entier n0 tel que an0 = 0 et alors, pour n ≥ n0 , on a qn = an = 0. On a :
pgcd(a0 , a1 ) = pgcd(a1 , a2 ) = .... = pgcd(an0 −1 , an0 ) = pgcd(an0 −1 , 0) = an0 −1 .
Le pgcd de {a0 , a1 } est donc le dernier terme de la suite (ak ) non nul.
La méthode précédente, connue sous le nom d’algorithme d’Euclide, permet le calcul effectif
du pgcd de deux entiers naturels. Sa programmation est facile.
Exemple Détermination du pgcd de 190 et 36.
On effectue les divisions euclidiennes suivantes :
190
36
10
6
4
=
=
=
=
=
36.5 + 10
10.3 + 6
6.1 + 4
4.1 + 2
2.2 + 0
Le pgcd de 190 et 36 est 2.
Définition 3.2. Les n entiers naturels a1 , ..., an sont dit premiers entre eux si pgcd(a1 , ..., an ) =
1. Ils sont dits premiers entre eux deux à deux si i 6= j implique pgcd(ai , aj ) = 1.
Des entiers premiers entre eux deux à deux sont premiers entre eux, la réciproque étant
fausse en général.
Exemples et remarques
an
a1
, ...,
sont premiers entre
1) Pour tout a1 , ...an ∈ N∗ , les entiers
pgcd(a1 , ..., an )
pgcd(a1 , ..., an )
eux.
2) Si a ∈ N∗ et b ∈ N∗ sont premiers entre eux alors tout diviseur de a est premier avec tout
2. L’ALGORITHME D’EUCLIDE, LES NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX ...
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diviseur de b. Pour le prouver, il suffit de remarquer que si d | a et d0 | b alors pgcd(d, d0 ) ≤
pgcd(a, b).
n
3) Les nombres de Fermat sont les entiers Fn = 2(2 ) + 1, n ∈ N. Les cinq premiers sont des
nombres premiers mais, contrairement aux espoirs de Fermat, F5 = 641 × 6700417 ne l’est pas
et on ne connait pas de nombres de Fermat premiers pour n > 5. En revanche, deux nombres
de Fermat distincts sont premiers entre eux. Pour le montrer, prouvons d’abord par récurrence
sur n ≥ 1 que
n−1
Y
Fk = Fn − 2.
k=0
Le résultat est vrai pour n = 1 (F1 − 2 = 5 − 2 = 3 = F0 ) et s’il est vrai pour n alors
n
Y
k=0
n−1
Y
Fk = (
n
n
Fk )Fn = (Fn − 2)Fn = (22 − 1)(22 + 1) = 22
n+1
− 1 = Fn+1 − 2.
k=0
Le résultat est donc vrai à l’ordre n + 1 et donc pour tout entier n ≥ 1.
Si d ≥ 0 divise Fk et Fn avec k < n alors l’égalité précédente entraine que d divise 2 d’où
d = 1 ou d = 2. Mais, comme d divise le nombre impair Fk , d = 1 et pgcd(Fk , Fn ) = 1.
Remarquons que cela implique qu’il y a une infinité de nombres premiers car deux nombres
de Fermat distincts ont des diviseurs premiers différents.
4) Soit (un ) une suite vérifiant une relation de récurrence du type un+2 = aun+1 + un avec
a ∈ Z. Si u0 et u1 sont des entiers alors (un ) est à valeurs entières et, comme il est clair que
pgcd(un+2 , un+1 ) = pgcd(un+1 , un ), on a pgcd(un+1 , un ) = pgcd(u1 , u0 ). En particulier, si u1
et u0 sont premiers entre eux alors deux termes consécutifs quelconques de (un ) le sont aussi.
C’est par exemple le cas si a = u0 = u1 = 1 (suite de Fibonacci).
4) L’idée de l’algorithme d’Euclide peut s’écrire pgcd(a, b) = pgcd(a − bq, b) et cette égalité
reste vraie si q n’est pas le quotient de la division euclidienne de a par b. Par exemple on a
pgcd(a, b) = pgcd(a − b, b) et cette relation va être utile pour résoudre l’exercice suivant.
n+1
Exercice. Pour quelles valeurs de l’entier n 6= 1 la fraction
est-elle irréductible ?
n−1
n+1
On a pgcd(n + 1, n − 1) = pgcd(2, n − 1). La fraction
est donc irréductible si et
n−1
seulement si n − 1 est impair c’est-à-dire si et seulement si n est pair.
Proposition 3.2. (Théorème de Bezout). Soit a1 , ..., an des entiers naturels.
(1) Il existe x1 , ..., xn ∈ Z tels que pgcd(a1 , ..., an ) = a1 x1 + ... + an xn .
(2) Les entiers a1 , ..., an sont premiers entre eux si et seulement si il existe x1 , ..., xn ∈ Z
tels que a1 x1 + ... + an xn = 1.
Preuve. 1) C’est la conséquence de pgcd(a1 , ..., an ) ∈ pgcd(a1 , ..., an )Z = a1 Z + ... + an Z.
2) Si pgcd(a1 , ..., an ) = 1 alors, d’après 1), il existe x1 , ..., xn ∈ Z tels que a1 x1 + ... + an xn = 1
Réciproquement, si 1 = a1 x1 + ... + an xn alors tout entier naturel d qui divise tous les ai divise
aussi 1 d’où d = 1 et pgcd(a1 , ..., an ) = 1.
Détermination pratique des coefficients qui figurent dans le théorème de Bezout.
La propriété élémentaire 2) du pgcd montre qu’il suffit de savoir déterminer ces coefficients
dans le cas de deux entiers. On considère donc deux entiers naturels non nuls a0 et a1 , a1 < a0 ,
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3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
a1 6 |a0 , et on conserve les notations utilisées dans leur algorithme d’Euclide. On va montrer que
pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n0 −1, ak est une combinaison linéaire à coefficients dans Z de a0 et a1 .
La méthode utilisée est constructive, facilement programmable et, comme pgcd(a0 , a1 ) = an0 −1 ,
elle permet de déterminer de façon effective les coefficients de a0 et a1 figurant dans le théorème
de Bezout.
On définit par récurrence deux suites (λn ) et (µn ) par
• λ0 = 1, λ1 = 0 et, pour n ≥ 2, λn = λn−2 − λn−1 qn ;
• µ0 = 0, µ1 = 1 et, pour n ≥ 2, µn = µn−2 − µn−1 qn .
Montrons, par récurrence sur n, que pour tout n < n0 on a
an = λn a0 + µn a1 .
La propriété est vraie pour n = 0 et n = 1. Supposons que, pour n < n0 − 2, an = λn a0 + µn a1
et an+1 = λn+1 a0 + µn+1 a1 . On a :
an+2 =
=
=
=
an − an+1 qn+2
λn a0 + µn a1 − [λn+1 a0 + µn+1 a1 ]qn+2
[λn − λn+1 qn+2 ]a0 + [µn − µn+1 qn+2 ]a1
λn+2 a0 + µn+2 a1 .
La propriété est donc vraie pour l’entier n + 2. Elle est donc vraie pour tout entier n < n0 et,
en particulier,
pgcd(a0 , a1 ) = an0 −1 = λn0 −1 a0 + µn0 −1 a1 .
On peut remarquer que la démonstration précédente est une autre preuve de la partie 1) de
la proposition 3.2.
Exemple. On reprend les deux entiers 190 et 36 dont on connait l’algorithme d’Euclide.
10
6
4
2
=
=
=
=
190 − 5.36
36 − 3.10 = 36 − 3(190 − 36.5) = −3.190 + 16.36
10 − 6 = 190 − 5.36 + 3.190 − 16.36 = 4.190 − 21.36
6 − 4 = −3.190 + 16.36 − 4.190 + 21.36 = −7.190 + 37.36
d’où pgcd(190, 36) = 2 = −7.190 + 37.36.
L’algorithme d’Euclide étendu
Pour déterminer pratiquement à l’aide d’une calculatrice, le pgcd de deux entiers a0 et
a1 ainsi que les coefficients figurant dans le théorème de Bezout, il est nécessaire de définir
simultanément la suite (qn , an ) de l’algorithme d’Euclide et les suites (λn ), (µn ) précédentes.
C’est ce que l’on appelle l’algorithme d’Euclide étendu et sa programation a la forme générale
suivante en conservant les notations précédentes et en supposant 0 < a1 < a0 .
• Donner a0 , a1
• i ← 1, µ1 ← 1, λ0 ← 1
- λ1 ← 0, µ0 ← 0
• Tant que ai+1 /ai 6= [ai+1 /ai ]
- q = [ai+1 /ai ]
- ai+1 ← ai−1 − qai
- λi+1 ← λi−1 − qλi
3. RELATIONS ENTRE PGCD ET PPCM
•
•
•
23
µi+1 ← µi−1 − qµi
i←i+1
Fin de tant que
Imprimer ai , λi , µi
Fin
3. Relations entre pgcd et ppcm
Proposition 3.3. Soit a et b deux entiers naturels. On a :
pgcd(a, b)ppcm(a, b) = ab
Preuve. Si a = 0 ou b = 0 alors ppcm(a, b) = ab = 0 et la relation est vraie. Sinon,
a
b
pgcd(a, b) 6= 0 et les entiers a0 =
et b0 =
étant premiers entre eux, il
pgcd(a, b)
pgcd(a, b)
existe x, y ∈ Z tels que a0 x + b0 y = 1. Soit c un multiple de a0 et b0 . Il existe λ et µ dans Z tels
que c = λa0 = µb0 d’où
λ = λ.1 = λa0 x + λb0 y = µb0 x + λb0 y.
L’entier b0 est donc un diviseur de λ et il existe n ∈ N tel que λ = b0 n et on a c = a0 b0 n. L’entier
c est donc un multiple de a0 b0 ce qui montre que a0 b0 est le plus petit multiple commun à a0 et
b0 : a0 b0 = ppcm(a0 , b0 ). On a :
ppcm(a, b) = ppcm(pgcd(a, b)a0 , pgcd(a, b)b0 )
= pgcd(a, b).ppcm(a0 , b0 ) = pgcd(a, b)a0 b0
ab
.
=
pgcd(a, b)
d’où ppcm(a, b).pgcd(a, b) = ab.
En particulier, a et b sont premier entre eux si et seulement si ppcm(a, b) = ab.
Remarques. 1) Comme l’on peut calculer effectivement le pgcd de deux entiers à l’aide de
l’algorithme d’Euclide, la proposition précédente entraine que l’on peut aussi déterminer effectivement leur ppcm.
2) Soit p1 , ..., pn les diviseurs premiers de a ou b. On a a = pα1 1 ....pαnn et b = pβ1 1 ...pβnn avec αi ≥ 0
et βi ≥ 0. Le théorème de Gauss entraine que les diviseurs de a sont de la forme pγ11 ....pγnn avec
0 ≤ γi ≤ αi et donc
min(α1 ,β1 )
pgcd(a, b) = p1
....pnmin(αn ,βn ) .
De même on a
max(α1 ,β1 )
n ,βn )
ppcm(a, b) = p1
....pmax(α
.
n
Comme, max(x, y) + min(x, y) = x + y, on obtient
pgcd(a, b)ppcm(a, b) = pα1 1 +β1 ....pαnn +βn = ab
ce qui donne une autre preuve de la proposition précédente.
min(α1 ,β1 )
min(αn ,βn )
La relation pgcd(a, b) = p1
....pn
a peu d’intérêt pratique pour déterminer
le pgcd de deux entiers si l’on ne connait pas leurs décompositions en facteurs premiers. En
effet, décomposer un entier en facteurs premiers demande à un ordinateur un temps de calcul
considérable et actuellement les ordinateurs les plus performants ne peuvent décomposer que
24
3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
des nombres d’une centaine de chiffres.
3) Pour n ≥ 3 on n’a pas, en général,
pgcd(a1 , ..., an )ppcm(a1 , ..., an ) = a1 ...an
Par exemple, pgcd(2, 3, 4)ppcm(2, 3, 4) = 1.12 6= 2.3.4 = 24.
Proposition 3.4. . Soit a, b, c trois entiers naturels. On a :
pgcd(a, ppcm(b, c)) = ppcm(pgcd(a, b), pgcd(a, c))
ppcm(a, pgcd(b, c) = pgcd(ppcm(a, b), ppcm(a, c)).
(Distributivité du pgcd par rapport au ppcm et du ppcm par rapport au pgcd.)
Preuve. Posons a = pα1 1 ...pαnn , b = pβ1 1 ...pβnn , c = pγ11 ...pγnn , où p1 , ..., pn sont les diviseurs
premiers de a, b ou c. Pour démontrer la première relation, il suffit de prouver que
min(αi , max(βi , γi )) = max((min(αi , βi ), min(αi , γi )).
Les entiers βi et γi jouant le même rôle, on peut supposer βi ≤ γi d’où max(βi , γi ) = γi ,
min(αi , βi ) ≤ min(αi , γi ) et donc
max(min(αi , βi ), min(αi , γi ) = min(αi , γi ) = min(αi , max((βi , γi )).
La deuxième relation se démontre de façon analogue.
Remarque. Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute partie à deux éléments
{x, y} possède une borne supérieure, notée x ∨ y, et une borne inférieure, notée x ∧ y. Un
treillis est dit distributif si chacune des opérations ∨ et ∧ est distributive par rapport à l’autre.
Tout ensemble totalement ordonné est un treillis distributif et la relation min(αi , max(βi , γi )) =
max((min(αi , βi ), min(αi , γi )) signifie que dans N, muni de son ordre habituel, l’opération ∧ est
distributive par rapport à ∨. La proposition 3.4 exprime le fait que N, ordonné par la relation de
divisibilité, est un treillis distributif. L’équivalence entre a | b et aZ ⊃ bZ entraine que l’ensemble
des idéaux de Z est aussi un treillis distributif. (En général, le treillis des idéaux d’un anneau
n’est pas distributif.)
4. Le cas des entiers négatifs et des anneaux principaux.
On peut prolonger la relation de divisibilité aux entiers négatifs mais ce n’est plus alors une
relation d’ordre (on a 1 | −1 et −1 | 1). En revanche, la plupart des résultats précédents restent
valables en remarquant que pour des entiers relatifs :
• a | b si et seulement si | a ||| b |,
• aZ =| a | Z,
\
\
•
ai Z =
| ai | Z = ppcm(| a1 |, ..., | an |)Z,
1≤i≤n
1≤i≤n
• a1 Z + ... + an Z =| a1 | Z + ...+ | an | Z = pgcd(| a1 |, ..., | an | Z)
On définit donc le pgcd et le ppcm de n entiers relatifs a1 , ..., an par :
pgcd(a1 , ..., an ) = pgcd(| a1 |, ..., | an |)
ppcm(a1 , ..., an ) = ppcm(| a1 |, ..., | an |)
Plus généralement, on peut intoduire les notions de pgcd et de ppcm dans les anneaux
principaux c’est-à-dire dans les anneaux intègres où tous les idéaux sont principaux.
5. COMPLÉMENTS ET EXEMPLES D’INTERVENTION
25
Considérons plus particulièrement le cas du pgcd et soit a et b deux éléments distincts d’un
anneau principal A. L’ensemble aA + bA = {ax + by | (x, y) ∈ A2 } étant un idéal de A, il
existe c ∈ A tel que aA + bA = cA. En général, c n’est pas unique et on montre facilement que
cA = dA si et seulement si c = ud où u est un élément inversible de l’anneau A. L’élément c est
appelé un pgcd de a et b. Dans certains cas, on privilégie l’un des pgcd. Par exemple, dans Z
tout idéal possède deux générateurs de signes contraires et, dans la définition du pgcd, on prend
en général celui qui est positif. Un autre exemple intéressant est l’anneau K[X] des polynômes
à coefficients dans un corps K. Cet anneau est principal et ses éléments inversibles sont les
polynômes de degré nul. Chaque idéal, distinct de {0}, possède donc un unique générateur
normalisé (le monôme de plus haut degré a pour coefficient 1) et c’est en général celui-là qui est
utilisé dans la définition du pgcd qui est alors unique.
Les anneaux euclidiens étant principaux, on peut définir dans tout anneau euclidien le pgcd
et le ppcm de n éléments. Ici, l’existence d’une division euclidienne permet en plus de déterminer
effectivement le pgcd de deux éléments à l’aide de l’algorithme d’Euclide. On peut aussi trouver,
à partir de cet algorithme, les coefficients du théorème de Bezout.
5. Compléments et exemples d’intervention
5.1. Propriétés des nombres premiers entre eux (théorème de Gauss,...)
Proposition 3.5. Si a est premier avec ai , i = 1, ..., n et n ≥ 2, alors a est premier avec le
produit a1 ...an .
Preuve. Considérons le cas n = 2. Il existe des entiers u, v, u0 , et v 0 tels que 1 = au + a1 v =
au0 + a2 v 0 d’où
1 = a(auu0 + ua2 v 0 + a1 vu0 ) + a1 a2 vv
ce qui montre que a et a1 a2 sont premiers entre eux. Supposons maintenant le résultat vrai pour
n − 1 entiers et considérons a premier avec ai , i = 1, ..., n. L’hypothèse de récurrence entraine
que a est premier avec a1 ...an−1 et le cas n = 2 implique que a est premier avec (a1 ...an−1 )an .
Corollaire 3.1. Si a est premier avec b alors, pour tout entier n ≥ 2 et tout entier m ≥ 2,
an est premier avec bm .
Proposition 3.6. (Théorème de Gauss). Soit a, b, c dans Z. Si a divise bc et si a est
premier avec b alors a divise c.
Preuve 1. Le théorème de Bezout entraine qu’il existe λ et µ dans Z tels que 1 = λa + µb.
D’autre part il existe q ∈ Z tel que aq = bc et donc c = λac + µbc = λac + µaq ce qui montre
que a divise c.
Preuve 2. Comme pgcd(a, b) = 1 on a pgcd(ac, bc) =| c |. L’entier a, qui divise ac et bc, divise
aussi leur pgcd | c | et donc a | c.
On généralise facilement par récurrence le théorème de Gauss au cas de n entiers a1 , ..., an :
si a ∈ Z divise a1 ....an et si a est premier avec ai pour 1 ≤ i ≤ n − 1 alors a divise an .
Corollaire 3.2. Si ai , i = 1, ..., n, divise b et si les entiers ai sont premiers deux à deux
alors leur produit a1 ...an divise b.
Preuve. Le résultat est vrai si n = 1. Supposons qu’il soit vrai pour n − 1 entiers et considérons
a1 , ..., an , premiers deux à deux, et tels que chaque ai divise b. L’hypothèse de récurrence entraine
que a1 ...an−1 divise b : b = qa1 ...an−1 , q ∈ Z. La proposition 4.1 entraine que an est premier
26
3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
avec a1 ...an−1 et, comme an | b le théorème de Gauss implique an | q d’où il résulte que a1 ...an
divise b.
√
√
Exercice. Soit n ∈ N. Montrer que si n ∈ Q alors n ∈ N.
√
p
Solution. Si n = avec p ∧ q = 1 alors nq 2 = p2 . Le corollaire 3.1 entraine p2 ∧ q 2 = 1 et par
q
le théorème de Gauss, p2 |n. Or n|p2 et donc n = p2 .
√
√
Remarquons que le résultat de cet exercice entraine que 2 6∈ Q si l’on sait que 1 < 2 < 2.
5.2. Résolution dans Z de l’équation ax+by = c (a, b c ∈ Z.). Il est clair que l’équation
dans Z, ax = c, n’a pas de solution si a ne divise pas c et qu’elle possède une unique solution,
c
x = , si a | c. On suppose maintenant que les entiers a et b ne sont pas nuls.
a
Pour tout (x, y) ∈ Z2 , ax + by ∈ pgcd(a, b)Z. L’équation ne possède donc aucune solution
si c n’est pas un multiple de pgcd(a, b). Posons d = pgcd(a, b), supposons que d divise c et
considérons a0 = a/d, b0 = b/d et c0 = c/d. L’équation ax + by = c équivaut à a0 x + b0 y = c0
avec a0 et b0 premiers entre eux. Il suffit donc de savoir résoudre ce type d’équation avec a et b
premiers entre eux. C’est l’hypothèse que nous faisons maintenant sur a et b. Le théorème de
Bezout entraine qu’il existe deux entiers x0 et y0 tels que ax0 + by0 = 1. En posant x1 = cx0
et y1 = cy0 , on a ax1 + by1 = c, ce qui montre que (x1 , y1 ) est une solution particulière de
l’équation. Pour tout (x, y) ∈ Z2 il y a équivalence entre :
ax + by = c
et
a(x − x1 ) = b(y1 − y)
Si a(x − x1 ) = b(y1 − y) alors, a et b étant premier entre eux, le théorème de Gauss entraine que
a | y1 − y. Il existe λ ∈ Z tel que y1 − y = λa. On en déduit a(x − x1 ) = λab d’où x − x1 = λb.
Réciproquement, si y1 − y = λa et x − x1 = λb alors a(x − x1 ) = b(y1 − y) et (x, y) est
solution de l’équation. L’ensemble S des solutions de l’équation ax + by = c, lorsque a et b sont
premiers entre eux, est donc :
S = {(x, y) | ∃λ ∈ Z tel que x = x1 + λb, y = y1 − λa}
où (x1 , y1 ) est une solution particulière de l’équation.
Exemples. 1) Résoudre 190x + 36y = 6.
On a vu que pgcd(190, 36) = 2. L’équation a donc des solutions (2 | 6) et, est équivalente à
95x+18y = 3 avec maintenant 95 et 18 premiers entre eux.. On a aussi vu que 2 = −7.190+37.36
d’où 1 = −7.95 + 37.18 et la solution particulière (−21, 111) de l’équation. La solution générale
de 190x + 36y = 6 est celle de 95x + 18y = 3 soit (−21 + λ18, 111 − λ95) avec λ ∈ Z.
2) Un restaurant propose des menus à 13 et 19 euro. Si la recette de la journée est de 1000
euro, quel est le nombre de clients ayant choisi le menu à 13 euro et le nombre de clients ayant
pris celui à 19 euro ?
On doit résoudre 19x + 13y = 1000 avec x ∈ N et y ∈ N. On a −2.19 + 3.13 = 1, d’où
la solution particulière de l’équation x0 = −2000, y0 = 3000. Sa solution générale est donc
x = −2000 − 13t, y = 3000 + 19t, t ∈ Z. On a 3000 = 17 + 19.157 d’où en posant n = t + 157,
y = 17 + 19n et x = 41 − 13n (car 2000 = 157.13 − 41). On a y ≥ 0 si et seulement si n ≥ 0
5. COMPLÉMENTS ET EXEMPLES D’INTERVENTION
27
et donc x ≥ 0 et y ≥ 0 équivaut à n ∈ {0, 1, 2} d’où les trois solutions : (41, 17), (28, 36) et
(15, 55).
Remarques
1) En pratique, la seule difficulté dans la résolution de ax + by = c est la détermination d’une
solution particulière à l’aide de l’algorithme d’Euclide donnant le pgcd de a et b. On peut parfois
utiliser une solution particulière ”évidente”.
2) La solution de l’équation ax + by = 0, avec a et b premiers entre eux, est x = λb, y = −λa.
La solution de l’équation ax + by = c est donc la somme d’une solution particulière de cette
équation et de la solution générale de l’équation ”sans second membre” ax + by = 0. Ce résultat
est très analogue à celui qui donne la solution générale d’une équation différentielle linéaire.
3) Par le théorème de Bezout, l’équation ax + by = pgcd(a, b) a toujours une solution. L’étude
qui précède montre qu’elle en a toujours une infinité et en donne la forme générale.
4) La résolution dans Zn de a1 x1 + ... + an xn = b, a1 , ..., an , b ∈ Z, se ramène à la résolution de
n − 1 équations à deux inconnues. Par exemple, pour résoudre ax + by + cz = d, on considère
les deux équations ax + by = pgcd(a, b)t (1) et pgcd(a, b)t + cz = d (2). On résout d’abord (2)
ce qui donne z et t dont on reporte la valeur dans l’équation (1). La résolution de cette dernière
équation fournit x et y. On peut aussi commencer par la résolution de (1).
En appliquant cette méthode, le lecteur pourra vérifier que les solutions de 10x+15y+6z = 73
sont x = 73 − 6λ + 3µ, y = −73 + 6λ − 2µ, z = 73 − 5λ avec λ, µ dans Z.
x ≡ a (mod p)
x ≡ b (mod q)
Ce système possède une solution si et seulement si il existe (λ, µ) ∈ Z2 tel que a + λp = b + µq
soit a − b = µq − λp. En effet, si le système a une solution, il existe (λ, µ) ∈ Z2 tels que
x = a+λp = b+µq et a−b = µq−λp. Réciproquement, si a−b = µq−λp alors x = a+λp = b+µq
est solution du système. Comme µq − λp ∈ pgcd(p, q)Z, il existe une solution si et seulement
si pgcd(p, q) divise a − b . Si l’on est dans ce cas, on obtient une solution particulière x0 par
l’algorithme d’Euclide
de p et q et, en utilisant la transitivité des congruences, le système est
x ≡ x0 (mod p)
∗
équivalent à : (S )
x ≡ x0 (mod q)
Il en résulte que p | (x − x0 ) et q | (x − x0 ). Cela équivaut à dire que x − x0 est un multiple de ppcm(p, q) d’où x = x0 + n ppcm(p, q) avec n ∈ Z. On vérifie que tout entier de la
forme x = x0 + n ppcm(p, q) est bien une solution de (S) et donc le système (S) équivaut à
x ≡ x0 (mod ppcm(p, q)). On a remplacé deux congruences simultanées par une seule. Plus
généralement, on peut remplacer n congruences simultanées par une seule et un sytème de n
équations x ≡ ai (mod pi ), 1 ≤ i ≤ n, équivaut à x ≡ x0 (mod(ppcm(p1 , ..., pn ))) où x0 est une
solution particulière du système. La recherche de cette solution est la seule difficulté dans la
résolution d’un système de n congruences simultanées
5.3. Congruences simultanées. Considérons le système (S)
Exemple
x ≡ 3 (mod 95)
x ≡ 1 (mod 18)
Les entiers 95 et 18 étant premiers entre eux le système possède une solution. On a vu que
1 = −7.95 + 37.18 d’où 2 = 3 − 1 = −14.95 + 74.18 et x0 = 3 + 14.95 = 1 + 74.18 = 1333 est
Résoudre : (S)
28
3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
une solution particulière. On a ppcm(95, 18) = 95.18 = 1710 et donc la solution générale du
système est x = 1333 + 1710n, n ∈ Z, ou encore x ≡ 1333 (mod 1710).
Remarque. Comme pour l’équation diophantienne ax + by = 0, la solution générale d’un
système de n équations x ≡ ai (mod pi ), 1 ≤ i ≤ n, est la somme d’une solution particulière
et de la solution générale du système ”sans second membre” de n équations x ≡ 0 (mod pi ),
1 ≤ i ≤ n.
Une deuxième méthode
Considérons un système de congruences simultanées de la forme

 x ≡ 1 (mod p)
x ≡ 0 (mod q)
S(1,0,0) ) :

x ≡ 0 (mod r)
où p, q, r sont trois nombres premiers entre eux deux à deux. Comme p ∧ qr = 1, il existe
(λ, µ) ∈ Z2 tel que λp + µqr = 1 d’où x0 = µqr ≡ 1 (mod p). Il est clair que x0 ≡ 0 (mod q)
et x0 ≡ 0 (mod r) et donc x0 est une solution particulière de S(1,0,0) . Le système S(1,0,0) est
équivalent au système

 x ≡ x0 (mod p)
∗
x ≡ x0 (mod q)
S(1,0,0)
:

x ≡ x0 (mod r)
La solution générale de ce système est x = x0 + pqrZ car pqr = p ∨ q ∨ r. Maintenant si on
considère le système

 x ≡ a (mod p)
x ≡ 0 (mod q)
S(a,0,0) ) :

x ≡ 0 (mod r)
alors sa solution générale est x = ax0 + pqrZ et la solution générale du système

 x ≡ a (mod p)
x ≡ b (mod q)
S(abc) :

x ≡ c (mod r)
est x = ax0 + by0 + cz0 + pqrZ où y0 est une solution de S(0,1,0) et z0 une solution de S(0,0,1) .
L’emploi de cette méthode demande autant de calculs que la première, la difficulté étant la
détermination des coefficients de Bezout pour les couples (p, qr), (q, rp), (r, pq). Elle est plus
intéressante seulement dans le cas où il faut résoudre plusieurs systèmes du type S(a,b,c) . On
peut la généraliser facilement au cas de plus de trois équations.
5.4. Recherche des inverses dans Z/nZ. On sait qu’un élément m est inversible dans
Z/nZ si et seulement si m et n sont premiers entre eux (voir document 5). En supposant
cette condition réalisée, l’égalité de Bezout donne immédiatement l’inverse de m : en effet, si
um + vn = 1 alors u m = 1 et donc m−1 = u. Par exemple, on a vu que 95 et 18 sont premiers
entre eux et que 1 = −7.95 + 37.18. Il en résulte que dans Z/95Z on a 18 −1 = 37.
5.5. Construction des polygones réguliers. Soit m et n deux entiers strictement plus
grands que 2 et premiers entre eux. Si les polygones réguliers convexes à m et n cotés sont
constructibles à la règle et au compas alors il en est de même pour le polygone régulier à mn
cotés.
5. COMPLÉMENTS ET EXEMPLES D’INTERVENTION
En effet, il existe deux entiers a et b tels que am + bn = 1 d’où
29
a
b
1
+
=
et
n m
mn
2π
2π
2π
+b
=
.
n
m
mn
2π
2π
Si l’on sait construire un angle dont une mesure est
et un angle dont une mesure est
on
n
m
2π
peut donc construire un angle dont une mesure est
.
mn
En utilisant le théorème de Gauss (voir le document 4), on voit que la seule difficulté dans
la construction des polygones réguliers convexes est donc la construction de ceux qui ont pour
nombre de cotés un nombre de Fermat premier (3, 5, 17, 257,...).
Par exemple, pour construire un polygone régulier convexe à 15 cotés inscrit dans un cercle
Γ, de centre O, on constuit d’abord un triangle équilatéral ABC inscrit dans Γ puis un pentagone
4π 2π
2π
=
−
. On a
régulier AM N P Q inscrit aussi dans Γ. Une mesure de l’angle BON est
15
5
3
utilisé l’égalité de Bezout 1 = 2.3 − 5.
a
5.6. L’algorithme d’Euclide et la suite de Fibonacci. Il existe un lien un peu surprenant entre la suite de Fibonacci et le nombre maximum de divisions nécessaires pour calculer
le pgcd de deux entiers par l’algorithme d’Euclide.
Rappelons que la suite de Fibonacci, (Fn )n≥0 , est définie par ses deux premiers termes
F0 = 1, F1 = 1 et, pour n ≥ 2, par la relation de récurrence Fn = Fn−1 + Fn−2 . Les premiers
termes de cette suite sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... et en général
√
√
(1 + 5)n+1 − (1 − 5)n+1
√
Fn =
.
2n+1 5
Par une récurrence immédiate, on montre que cette suite est strictement croissante à partir de
n = 2.
On considère deux entiers naturels a0 et a1 , a1 < a0 , et on conserve les notations utilisées
dans leur algorithme d’Euclide. Si pgcd(a0 , a1 ) = an0 alors n0 divisions euclidiennes ont été
nécessaires pour arriver à ce résultat (le premier reste calculé est a2 et il est nécessaire de
constater que an0 +1 = 0).
Soit (Pk ) la propriété :ak ≥ Fn0 +2−k . On va montrer que (Pk ) est vérifiée pour tout k ∈ [0, n0 ]
La restriction de la suite (an ) à [0, n0 ] étant strictement décroissante on a qk 6= 0 pour
k ∈ [2, n0 ] car qk = 0 implique ak−2 = ak . Il en résulte que ak−2 = ak−1 qk + ak ≥ ak−1 + ak
pour tout k ∈ [2, n0 ]. Remarquons que la propriété (Pk ) est vraie pour k = n0 et k = n0 − 1
car an0 ≥ 1 = F2 = Fn0 +2−n0 et an0 −1 ≥ 2 = F3 = Fn0 +2−(n0 −1) . Si la propriété (Pk ) n’est pas
toujours vraie pour k ∈ [0, n0 ] alors il existe un plus grand entier k pour lequelle est fausse et,
d’après ce qui précède, k ∈ [0, n0 − 2]. On peut écrire :
ak ≥ ak+1 + ak+2 ≥ Fn0 +2−(k+1) + Fn0 +2−(k+2) = Fn0 +2−k
ce qui est contradictoire avec la définition de k. La propriété (Pk ) est donc vraie pour tout
k ∈ [0, n0 ] et, en particulier, a1 ≥ Fn0 +1 . Supposons a1 ≥ 2. Il existe un entier p tel que
Fp ≤ a1 < Fp+1 et, à l’aide de la croissance de la suite (Fn ), on a n0 + 1 ≤ p et il faut donc au
plus p − 1 divisions euclidiennes avant de constater que an0 est le pgcd de a0 et a1 .
Par exemple, on a vu qu’il fallait 5 divisions pour obtenir pgcd(190, 36) = 2. Dans cet
exemple, 34 = F9 ≤ 36 < F10 = 55 et on a bien 5 ≤ 9 − 1 = 8.
30
3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
La majoration p − 1 est la meilleure possible. En effet l’algorithme d’Euclide pour a0 = Fp+1
et a1 = Fp , avec p ≥ 2, est
Fp+1 = Fp + Fp−1
Fp = Fp−1 + Fp−2
F4 = F3 + F2
F3 = 2F2 + 0
(3 = 2 + 1)
(2 = 2.1 + 0)
On a bien effectué p − 1 divisions euclidiennes. De plus, comme F2 = 1, on a montré que deux
termes consécutifs distincts et de rang ≥ 2 de la suite de Fibonacci sont premiers entre eux.
Conclusion. Soit deux entiers naturels a0 et a1 tels que 2 ≤ a1 < a0 et soit p ∈ N tel que
Fp ≤ a1 < Fp+1 .
L’algorithme d’Euclide pour calculer pgcd(a0 , a1 ) demande au plus p − 1 divisions euclidiennes. Il faut effectivement p − 1 divisions si a0 = Fp+1 et a1 = Fp .