Corrigé 1) L`équation de la diffusion thermique s`écrit T c T t ∂ μ = λ

DIFFUSION THERMIQUE30
Soit une dinde de Noël, pesant 3,5 kg, à faire cuire. L’an passé, la dinde pesait 2,5 kg et était (bien) cuite au bout de 1 heure 30.
1) Rappeler sans démonstration l’équation de la chaleur (ou équation de la diffusion thermique). En déduire la relation liant les ordres de
grandeur du temps et de la longueur caractéristiques d’un phénomène de diffusion ?
2) Proposer des hypothèses raisonnables et en déduire la loi de variation liant le temps de cuisson avec la masse de la dinde à cuire.
Déterminer le temps de cuisson de la dinde de 3,5 kg.
3) Que pensez-vous des lois de cuisson du type « tant de minutes par kilo » généralement proposées par les manuels de cuisine ? En
suivant une telle loi, les grosses dindes sont-elles trop ou trop peu cuites ? Qu’en est-il des petites dindes ?
4) C’est l’anniversaire de votre petit frère ! Il invite ses amis pour fêter l’événement. N’écoutant que votre bon cœur, vous entreprenez de
leur confectionner un délicieux gâteau (au chocolat évidemment !). Seulement voilà ! Vous disposez de la recette pour 4 personnes (temps de cuisson
conseillé 30 minutes) et les joyeux drilles seront 8 autour de la table. Quel temps de cuisson allez-vous adopter sans changer de moule ?
Corrigé
∂T
= λ ΔT .
∂t
Si τ est une durée caractéristique et L un longueur caractéristique, on peut poser t* = t/τ,
μc ∂T λ *
x* = x/L, y* = y/Let z* = z/L. L’équation devient
=
Δ T . Les grandeurs caractéristiques
τ ∂t * L2
μc 2
∂T
μc
λ
L .
odg 2 d’où τ odg
sont telles que * odg Δ*T ce qui entraîne
λ
∂t
τ
L
2) On modélise la dinde comme sphérique de rayon R que l’on prend comme longueur
μc 2
caractéristique. Le temps de cuisson sera donc de l’ordre de τ ≈
R . En supposant la masse
λ
1) L’équation de la diffusion thermique s’écrit μc
2/3
4
μc ⎛ 3m ⎞
volumique homogène, la masse s’écrit m = μ πR 3 et il vient τ ≈ ⎜
⎟ .
λ ⎝ 4πμ ⎠
3
En supposant que les caractéristiques (capacité thermique, conductivité thermique, masse
volumique) d’une dinde ne change pratiquement pas d’une bête à l’autre, on obtient τ = km 2 / 3 .
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2/3
⎛ m3,5 ⎞
⎛ 3,5 ⎞
On en déduit τ3,5 = τ2,5 ⎜⎜
⎟⎟ . A.N. τ3,5 = 90 ⎜
⎟ ≈ 113 min = 1h53 (et non 2h6
⎝ 2,5 ⎠
⎝ m2,5 ⎠
f1
pour une loi proportionnelle).
3) La loi proportionnelle n’est pas validée par le modèle. On peut
f1
tracer τ1 = f1(m) = k1m τ2 = f2(m) = k2m2/3 en choisissant k1 et k2 tels que
τ1 = τ2 pour m = 2,5 kg.
On constate que, si l’on suit la loi proportionnelle des manuels de
cuisine, les petites dindes ne sont pas assez cuites, alors que les plus grosses
qui risquent d’être immangeables car trop cuites.
4) On peut effectuer le même raisonnement que précédemment, en
utilisant l’épaisseur h du gâteau comme dimension caractéristique puisque la
surface S du moule (donc le rayon du gâteau) est inchangée. La masse du gâteau est alors m = μhS
donc cette fois, la masse et la longueur caractéristique sont proportionnelles ; on en déduit la loi de
variation τ = km 2 . Pour 2 fois plus de personnes, la masse du gâteau est 2 fois plus grande et la
durée de cuisson 4 fois plus grande
Mais cette analyse ne prend en compte que la diffusion perpendiculaire à la surface avec
l’air et pas la diffusion radiale qui intervient aussi .
Avec une diffusion purement radiale pour une épaisseur h donnée, on prendrait R comme
distance caractéristique donc m = μhπR2 et alors on a τ = km
Les deux phénomènes intervenant simultanément, on peut prévoir une loi de variation en
τ = mα avec 1 < α < 2.
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