E.S.C.P.I. G.M.2 - Second Cycle ´Equations aux dérivées partielles

Transcription

E.S.C.P.I.
G.M.2 - Second Cycle
Équations aux dérivées partielles
Mathématiques et méthodes numériques
Nelly POINT et Jacques-Hervé SAIAC
13 mai 2008
2
Table des matières
1 Rappels d’analyse vectorielle
1.1 Fonction scalaire ou champ scalaire . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dérivation des fonctions composées . . . . . . . .
1.1.2 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . .
1.2 Fonction vectorielle ou champ vectoriel . . . . . . . . . .
1.3 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Formule stokiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Formule de la divergence : Ostrogradsky . . . . .
1.4.2 Formule du rotationnel : Stokes . . . . . . . . . .
1.5 Définitions intrinsèques de la divergence et du rotationnel
1.6 Champs de gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Quelques formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . .
1.8 Opérateurs en coordonnées cylindriques et sphériques . .
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3 L’équation de Laplace
3.1 Equation de Laplace dans IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Equation de Laplace dans un demi-plan . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
2 Généralités sur les équations aux dérivées
2.1 Concepts de base et définitions . . . . . .
2.2 L’équation de transport . . . . . . . . . .
2.3 L’équation de la chaleur ou de la diffusion
2.3.1 Modèle physique . . . . . . . . . .
2.3.2 Problème stationnaire . . . . . . .
2.4 L’équation des ondes . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Modèle physique . . . . . . . . . .
2.4.2 Problème stationnaire . . . . . . .
2.5 L’équation de Poisson . . . . . . . . . . .
2.5.1 Conduction thermique . . . . . . .
2.5.2 Membrane élastique . . . . . . . . .
2.5.3 Mécanique des fluides parfaits . . .
3
partielles
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4
3.3
3.4
3.5
3.6
3.2.1 Résolution par la transformée de Fourier . . . . . .
Equation de Laplace dans un cercle ou une sphère . . . . .
Equation de Laplace dans un rectangle . . . . . . . . . . .
3.4.1 Méthode de séparation des variables. . . . . . . . .
Equation de Laplace dans un domaine borné Ω quelconque
Propriétés fondamentales des fonctions harmoniques . . . .
3.6.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Propriété de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . .
4 L’équation de la chaleur ou équation de la diffusion
4.1 Equation de la chaleur dans IRn . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Equation de la chaleur dans IR . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Equation de la chaleur sur un segment . . . . . . . . . . .
4.3.1 Méthode de séparation des variables . . . . . . . .
4.3.2 Remarques importantes . . . . . . . . . . . . .
4.4 Unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Equation de la chaleur dans un segment . . . . . .
4.4.2 Equation de la chaleur dans un domaine quelconque
5 L’équation des ondes
5.1 L’équation des ondes dans IRn . . . . . . . .
5.2 Equation des ondes dans IR . . . . . . . . .
5.2.1 Changement de variables . . . . . . .
5.2.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . .
5.3 L’équation des ondes dans un segment . . .
5.3.1 Méthode de séparation des variables
5.3.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Classification des E.D.P. quasi-linéaires du deuxième ordre
6.1 E.D.P. quasi-linéaires du deuxième ordre définies dans R2 . . .
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Classification des e.d.p. quasi-linéaires du second ordre
6.2 Réduction à la forme standard . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Equations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Equations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Equations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 E.D.P. quasi-linéaires du deuxième ordre définies dans R3 . . .
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5
6.4
Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7 Principes généraux des méthodes numériques
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Taille des problèmes et stockage mémoire . . . . . . . . . . . . .
7.3 Mémoires d’ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Vitesse de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Stratégies de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Représentation des nombres dans un ordinateur . . . . . . . . . .
7.7 Représentation des différents types numériques . . . . . . . . . . .
7.7.1 Les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Les réels ou nombres flottants . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 La représentation standard . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Grandes familles de méthodes d’approximation des équations de la
physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2 Éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.3 Volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Introduction aux différences finies
8.1 Un exemple de problème en dimension 1 . . . . . .
8.2 Différences finies en dimension un . . . . . . . . . .
8.2.1 Quelques formules simples d’approximation
par des différences divisées. . . . . . . . . .
8.3 Problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Problème mixte Dirichlet-Neumann . . . . . . . . .
8.5 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Exercice : Calcul d’une poutre en flexion . . . . . .
63
63
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des dérivées
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9 Modélisation de quelques problèmes bidimensionnels classiques
de la physique
9.1 Quelques exemples de problèmes physiques . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Membrane élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Conduction thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Mécanique des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Approximation par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Discrétisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Quelques formules simples d’approximation des dérivées
partielles par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
10 Introduction aux problèmes d’évolution. L’équation de la chaleur instationnaire.
10.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Etude des schémas de différences finies dans le cas monodimensionnel
10.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Le Schéma d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5 Etude matricielle de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6 Autres exemples de schémas à un pas . . . . . . . . . . . .
10.2.7 Étude de la stabilité par l’analyse de Fourier . . . . . . . .
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11 Introduction aux problèmes conservatifs. L’équation de transport
11.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Étude des schémas de différences finies dans le cas monodimensionnel
11.2.1 Un premier schéma explicite centré instable . . . . . . . .
11.2.2 Schémas implicites centrés stables . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Schémas explicites stables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
Introduction aux problèmes hyperboliques. L’équation des
ondes
95
12.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.2 Étude des schémas de différences finies dans le cas monodimensionnel 96
12.2.1 Première approche : discrétisation directe de l’équation du
second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2.2 Le schéma différences finies explicite (en temps ) et centré
( en espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2.3 Etude de la stabilité par l’analyse de Fourier. . . . . . . . 97
12.2.4 Application au schéma aux différences finies explicite . . . 99
12.2.5 Un schéma aux différences finies implicite décentré (en
temps) et centré (en espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.3 Seconde approche : Système du premier ordre équivalent . . . . . 101
12.3.1 Un premier schéma explicite centré instable . . . . . . . . 102
12.3.2 Schémas implicites centrés stables . . . . . . . . . . . . . 103
12.3.3 Schémas explicites stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3.4 Interprétation de la condition de Courant-Friedrichs-Lewy 105
Chapitre 1
Rappels d’analyse vectorielle
1.1
Fonction scalaire ou champ scalaire
Définition 1.1.1 (champ scalaire) Un champ scalaire est une fonction de IRn
dans IR, où n = 2 ou 3.
Définition 1.1.2 (gradient) Soit f un champ scalaire défini dans IR3 . On
appelle gradient de f et on note grad(f ) ou ∇f (on prononce nabla de f ), le
vecteur :
 
∂f
 ∂x 
 ∂f 
 
grad(f ) = ∇f =  
(1.1)
 ∂y 
 
∂f
∂z
∂f
où
notée parfois également fx représente la dérivée partielle de f par rapport
∂x
à x.
Exemples de champ scalaire :
– l’altitude
– la température
– la pression
Définition 1.1.3 (Dérivée directionnelle) Soit V un vecteur unitaire de IR3 .
On appelle dérivée directionnelle de f au point M0 = (x0 , y0 , z0 ) dans la direction
de V le produit scalaire
∇f (M0 )·V
(1.2)
8
On utilise souvent la notion de dérivée normale sur le bord d’un domaine Ω de
IR3 . Notons n le vecteur normal unitaire orienté vers l’extérieur du domaine Ω en
chaque point de son bord ∂Ω. On obtient :
∂f
= ∇f ·n
∂n
(1.3)
Exemples de calculs de dérivées normales 1) Calculer les expressions des
dérivées normales au bord du domaine formé par le carré unité dans IR2
2) Même question pour le triangle rectangle isocèle OAB avec O : (0, 0) A :
(1, 0) B : (0, 1).
1.1.1
Dérivation des fonctions composées
On rappelle les formules de dérivation des fonctions composées à plusieurs
variables. Par exemple dans le cas
g(s, t) = f (x(s, t), y(s, t), z(s, t))
on a

∂g
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z


=
+
+

∂s
∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s
∂g
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z


=
+
+

∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
(1.4)
Ce que l’on peut également noter :
½
g s = f x xs + f y y s + f z z s
gt = fx xt + fy yt + fz zt
1.1.2
(1.5)
Dérivées partielles d’ordre supérieur
Les dérivées d’ordre deux sont les dérivées premières de fonctions qui sont
elles-mêmes dérivées partielles premières d’une fonction. Et ainsi de suite pour
les dérivées d’ordre supérieur. Par exemple
∂ ∂f
∂ 2f
=
( )
2
∂x
∂x ∂x
De même on a
∂ ∂f
∂ ∂f
∂ 2f
=
( )=
( )
∂x∂y
∂x ∂y
∂y ∂x
dès que f est assez régulière, c’est à dire deux fois continuement dérivable.
9
Formule de Taylor
L’étude locale d’une fonction se fait à l’aide de la formule de Taylor, qui s’écrit
de la façon suivante pour une fonction de trois variables :


f (x + h, y + k, z + l) = f (x, y, z) + [h, k, l] 




1
+ 2 [h, k, l] 

∂2f
∂2f
∂2f
∂x2
∂x∂y
∂x∂z
∂2f
∂2f
∂2f
∂y∂x
∂y 2
∂y∂z
∂2f
∂2f
∂z∂x
∂z∂y
∂2f
∂z 2


∂f
∂x
∂f
∂y




∂f
∂z
h
 
 
  k  + (h2 + k 2 + l2 )²(h, k, l)

l
La matrice 3 × 3 des dérivées partielles secondes est symétrique si f est deux fois
continuement dérivable (ce que l’on supposera) et s’appelle le Hessien de f ou
matrice hessienne de f .
1.2
Fonction vectorielle ou champ vectoriel
Définition 1.2.1 (Champs vectoriel) Un champ vectoriel est une fonction de
IRn dans IRp , p > 1.
Nous nous placerons généralement dans les cas n et p égaux à 2 ou 3.
Exemples de champs vectoriels :
– la force de gravitation
– le champ électrique
– la vitesse d’un fluide
Définition 1.2.2 (Matrice Jacobienne) Soit f un champ vectoriel défini de
IR3 dans IR3 . On appelle matrice Jacobienne de f et on note Jac(f ) la matrice
formée par les dérivées partielles de la fonction f .
Définition 1.2.3 (Jacobien) On appelle déterminant Jacobien le déterminant
de cette matrice Jacobienne de f .
10
1.3
Opérateurs différentiels
Définition 1.3.1 (Divergence) Soit V une fonction vectorielle de 3 variables
(x, y, z) définie sur un domaine Ω de IR3 et à valeurs X, Y, Z. On appelle
divergence du vecteur V et on note div(V) ou ∇.V, le scalaire :
div(V) = ∇ · V =
On écrit formellement
∂X ∂Y
∂Z
+
+
∂x
∂y
∂z
(1.6)
 
X


£∂
¤
∂
∂  
,
,
Y
∂x
∂y
∂z   = (∇ · V)
Z
divV < 0
divV > 0
(1.7)
divV = 0
Exemple physique : l’eau est un fluide incompressible, ce qui se représente, si V
est le champ de vecteurs vitesses du fluide, par divV = 0
Définition 1.3.2 (Rotationnel) On appelle rotationnel d’un champ vectoriel
V , le vecteur
 ∂Z ∂Y 
− ∂z
∂y
 ∂X ∂Z 

rot V = 
(1.8)
 ∂z − ∂x 
∂Y
− ∂X
∂x
∂y
On écrit formellement
∂
∂x
∂
 
 ∂y 
∂
∂z
 
X
 

∧
 Y  = (∇ ∧ V)
Z
(1.9)
Remarque 1.3.1 Les définitions données ci-dessus de la divergence et du rotationnel ont deux défauts majeurs.
1) Elles n’ont pas de sens physique clair, alors que ce sont des notions très
souvent utilisées en physique.
2) Elles semblent dépendre du sytème de coordonnées choisi.
1.4
11
Formule stokiennes
Pour pouvoir donner une définition intrinsèque et un sens physique aux opérateurs
divergence et rotationnel, nous allons rappeler deux formules intégrales
1.4.1
Formule de la divergence : Ostrogradsky
Soit Ω ⊂ IR3 de frontière ∂Ω régulière, et un champ vectoriel V défini sur Ω tout
entier. Soit n le vecteur unitaire normal à ∂Ω orienté vers l’extérieur de Ω. On a
l’égalité suivante
ZZ
ZZZ
V · n dS =
div(V) dΩ
∂Ω
(1.10)
Ω
où dS représente l’élément d’aire sur ∂Ω et dΩ l’élément de volume dans Ω.
Les expressions des éléments d’aire et de volume dépendent des systèmes de
coordonnées choisis.
Cette formule montre que le flux d’un vecteur V sortant d’un domaine Ω est égal
à l’intégrale sur ce domaine de sa divergence.
1.4.2
Formule du rotationnel : Stokes
Soit C une courbe fermée orientée de IR3 et S une surface quelconque de bord C.
Soit t le vecteur unitaire tangent à C orienté dans le sens direct. On a
Z
ZZ
V · t dl =
rotV · n dS
(1.11)
C
S
où dl représente l’élément de longueur sur C et dS représente l’élément d’aire sur
S.
Cette formule explicite la circulation d’un champ de vecteur le long d’une courbe
fermée C.
1.5
Définitions intrinsèques de la divergence et
du rotationnel
On voit à l’aide de la formule de la divergence que la valeur de la divergence
de V en un point M0 : (x0 , y0 , z0 ) est la limite, quand le volume contenant le point
M0 diminue et tend vers le point M0 , du flux sortant de ce volume rapporté à la
mesure du volume.
RR
V · n dS
∂Ω
(1.12)
divV (M0 ) = lim
Ω→M0 mesure(Ω)
12
De même, pour le rotationnel, on a
R
S→M0
1.6
V dM
mesure(S)
∂C
rotV (M0 ) = lim
(1.13)
Champs de gradients
Si V est un champ de gradients c’est à dire si V = grad f (on dit qu’il dérive
d’un potentiel f ), la divergence de V est :
divV = div(grad f ) =
∂2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(1.14)
Cet opérateur s’appelle le Laplacien et se note ∆f .
1.7
Quelques formules d’analyse vectorielle
On a :
div(rotV) = 0
(1.15)
Un champ de rotationnel est à divergence nulle. En particulier pour un fluide, un
champ de rotationnel représente la vitesse d’un fluide incompressible.
rot(gradf ) = 0
(1.16)
Un champ de gradient (qui dérive d’un potentiel) est irrotationnel.
1.8
grad(f g) = f grad(g) + g grad(f )
(1.17)
div(aV) = a div(V) + V grad(f )
(1.18)
rot(aV) = a rot(V) + grad(a) ∧ V
(1.19)
Opérateurs en coordonnées cylindriques et
sphériques
En coordonnées cylindriques l’opérateur Laplacien prend la forme suivante :
∆U =
1 ∂U
1 ∂ 2U
∂2U
∂2U
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
∂z 2
avec U (r, θ, z) = u(r cos θ, r sin θ, z).
(1.20)
13
En coordonnées sphériques l’opérateur Laplacien prend la forme suivante :
∆U =
∂ 2U
2 ∂U
1 ∂ 2U
cos θ ∂U
1
∂ 2U
+
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
r2 sin θ ∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
(1.21)
avec U (r, ϕ, θ) = u(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ).
On peut montrer que dans le cas particulier où la fonction U ne dépend que de
la distance à l’origine, le Laplacien dans Rn a la forme suivante :
∆U (r) =
d2 U
(n − 1) dU
+
2
dr
r
dr
(1.22)
14
Chapitre 2
Généralités sur les équations aux
dérivées partielles
2.1
Concepts de base et définitions
Définition 2.1.1 Une équation aux dérivées partielles ou edp, est une
relation faisant intervenir une fonction inconnue u de IRn dans IR , les variables
x , y, ... , ses dérivées partielles, ux , uy , ... , uxx , uxy , uyy , .... . Elle s’écrit de
façon générale :
f (x, y, ..., u, ux , uy , ..., uxx , uxy , ...) = 0
(2.1)
L’équation (2.1) est considérée dans un domaine Ω de IRn
Les solutions de l’équation aux dérivées partielles ( 2.1) sont les fonctions
qui vérifient cette équation dans Ω.
Exemples :
u2 uxy + ux = y
(2.2)
uxx + 2y 2 uxy + 3xuyy = 1
(2.3)
(ux )2 + (uy )2 = 1
(2.4)
uxx − uyy = 0
(2.5)
Les fonctions u(x, y) = (x + y)3 et u(x, y) = sin(x − y) sont toutes deux des
solutions de (2.5).
Définition 2.1.2 L’ordre d’une équation aux dérivées partielles est
l’ordre de la dérivée partielle d’ordre le plus élevé intervenant dans l’équation.
15
16
– Les équations (2.2), (2.3), (2.5), sont d’ordre 2.
– L’équation (2.4) est d’ordre 1.
Définition 2.1.3 Une équation aux dérivées partielles linéaire est linéaire
par rapport à la fonction u et à toutes ses dérivées partielles.
– Les équations (2.3), (2.5), sont linéaires.
– Les équations (2.2), (2.4), sont nonlinéaires.
Définition 2.1.4 Une équation aux dérivées partielles quasilinéaire est
linéaire par rapport aux dérivées partielles d’ordre le plus élevé de la fonction u.
– L’équation (2.2) est quasilinéaire.
Définition 2.1.5 Une équation aux dérivées partielles linéaire homogène est vérifiée pour u = 0 (si elle est écrite de façon usuelle, le second
membre, ne contenant ni u ni ses dérivées partielles, est identiquement nul).
– L’équation (2.5) est linéaire et homogène.
On étudiera essentiellement les équations aux dérivées partielles linéaires du
second ordre car ce sont les équations les plus fréquemment rencontrées dans
les problèmes de la physique mathématique.
On sait bien que la solution générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre
n dépend de n constantes arbitraires. Dans le cas des équations aux dérivées
partielles linéaires d’ordre n on a la propriété suivante :
Théorème 2.1.1 La solution générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre
n dépend linéairement de n fonctions arbitraires.
Considérons par exemple, l’équation linéaire homogène
uxy = 0
(2.6)
En intégrant par rapport à y, on obtient :
u(x, y) = f (x)
(2.7)
En intégrant ensuite par rapport à x et en notant g est une primitive de la fonction
arbitraire f , on obtient :
u(x, y) = g(x) + h(y)
(2.8)
Généralités sur les e.d.p.
17
Les fonctions g et h sont deux fonctions quelconques.
En pratique, parmi toutes les solutions possibles, on en cherche une qui vérifie
des conditions supplémentaires.
Dans les problèmes issus de la physique, ces conditions sont, en général, imposées
sur le bord du domaine Ω et s’appellent conditions aux bords. On utilise aussi
le terme de conditions aux limites.
Définition 2.1.6 En mathématiques, un problème est dit bien posé s’il a une
solution et si cette solution est unique.
La question de l’unicité n’est pas une question superflue. En effet, prenons
par exemple le problème de Poisson :
(
−∆u(x, y) = f (x, y)
∀ (x, y) ∈ Ω
∂u
=g
∀ (x, y) ∈ ∂Ω
∂n
qui peut, par exemple, représenter le problème de la recherche de la température
dans un domaine Ω connaissant le flux de chaleur au bord ∂Ω du domaine. Il est
facile de vérifier que, s’il y a une solution, il y en a une infinité, à une constante
additive près. Ce problème est mal posé.
De la même manière, en calcul des structures, il est nécessaire de fixer un certain
nombre de liaisons, pour obtenir une solution unique à l’équilibre. Sinon, on
peut également obtenir une solution à des constantes additives près, ce que les
mécaniciens expriment par “solution à un déplacement rigide près”.
Il faut donc rajouter des conditions pour avoir une seule solution. Les conditions
adéquates dépendent du problème étudié.
En pratique, on distingue la variable temps des variables d’espace du fait du
caractère non réversible en temps de certains phénomènes physiques. On distingue
alors les conditions au bord du domaine spatial et les conditions initiales.
2.2
L’équation de transport
Considérons la fonction u(x, t) = f (x−ct) où x est la variable d’espace, x ∈ IR,
t le temps, t ∈ IR+ et c la vitesse de transport. Il est facile de voir que la fonction
u vérifie l’équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre :
c
∂u ∂u
+
=0
∂x
∂t
(2.9)
18
quelle que soit la fonction f . La fonction f (x − ct) est une onde progressive. La
fonction u est constante le long des droites x − ct = cste qui sont appelées droites
caractéristiques. Il suffit de donner la valeur de f sur chaque droite caractéristique
pour définir u en tous points. En général, on se donne la condition initiale ce qui
suffit à définir f en tout point et donc u en tout point x ∈ IR et tout temps
t ∈ IR+ .
2.3
2.3.1
L’équation de la chaleur ou de la diffusion
Modèle physique
La température u(x, y, t) d’un corps plan de surface Ω, de densité ρ, de chaleur
spécifique c et de conductivité thermique k est régie au cours du temps par
l’équation :
ρc
∂u
− div(k grad u) = f
∂t
∀ (x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ]
(2.10)
où f représente la puissance volumique fournie au corps Ω.
Si la conductivité k est constante, l’équation se réduit à :
ρc
∂u
− k ∆u = f
∂t
∀ (x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ]
(2.11)
Ce problème, du premier ordre en temps, est le modèle des problèmes paraboliques. La détermination de la solution nécessite de fixer une condition initiale
en temps : la valeur de la température u au temps 0.
u(x, y, 0) = u0 (x, y)
(2.12)
On dit que le problème est un problème à valeur initiale ou problème de
Cauchy.
D’autre part, sur la frontière ∂Ω du domaine, différentes conditions aux limites
peuvent être prises en compte pour déterminer complètement la solution.
– Conditions de type Dirichlet lorsque la température est fixée sur une partie
de la frontière
– Conditions de type Neumann si le flux thermique est fixé sur une autre
partie de la frontière (il nul dans le cas d’un matériau isolé thermiquement)
– Conditions de type Fourier dans le cas le plus général où le flux thermique est proportionnel à la différence de température entre l’extérieur et
l’intérieur.
2.3.2
19
Problème stationnaire
Lorsque la température ne dépend plus du temps (régime permanent ou
stationnaire), on obtient l’équation suivante :
½
−div(k gradu) = f
∀ (x, y) ∈ Ω
(2.13)
+ conditions aux bords sur ∂Ω
2.4
2.4.1
L’équation des ondes
Modèle physique
Considérons une membrane élastique de surface Ω, plane au repos et fixée sur
son bord Γ. Lors de petites vibrations transversales, le déplacement normal au
plan d’équilibre en tout point x, y de Ω et à chaque instant t est une fonction
u : x, y, t −→ u(x, y, t) qui vérifie l’équation :
∂ 2u
= c2 ∆u + f
∂t2
∀(x, y) ∈ Ω
∀t ∈ [0, T ]
(2.14)
où c désigne la vitesse des ondes. Ce problème du second ordre en temps est un
modèle de problème hyperbolique. La détermination de la solution nécessite de
fixer deux conditions initiales en temps : la valeur du déplacement transversal
u et de sa dérivée partielle en temps, au temps 0. :
(
u(x, y, 0) = u0 (x, y)
(2.15)
∂u
(x, y, 0) = u1 (x, y)
∂t
On obtient ainsi un problème à valeurs initiales ou problème de Cauchy.
Il faut encore ajouter des conditions aux limites sur la frontière ∂Ω .
2.4.2
Problème stationnaire
Lorsque la solution ne dépend plus du temps (régime permanent ou stationnaire) on retrouve une équation de la forme :
½
−∆u = f
∀ (x, y) ∈ Ω
(2.16)
+ conditions aux bords sur ∂Ω
2.5
L’équation de Poisson
Différents phénomènes physiques appartienent à la famille des problèmes
stationnaires et se traduisent par une équation de Poisson.
20
2.5.1
Conduction thermique
On considère une plaque plane Ω de frontière Γ dont une partie Γd est à
température connue Td et une partie Γn est isolée thermiquement.
Γd
'
$
Ω
&
%
Γn
Fig. 2.1 – Conduction thermique dans une plaque
La température T à l’équilibre vérifie l’équation

∀ (x, y) ∈ Ω

 −∆T (x, y) = f (x, y)
T (x, y) = Td (x, y)
∀ (x, y) ∈ Γd
∂T


(x, y, 0) = 0
∀ (x, y) ∈ Γn
∂n
2.5.2
(2.17)
Membrane élastique
f(x,y)
G
u(x,y)
Fig. 2.2 – Membrane élastique
On considère une membrane élastique plane Ω fixée sur son pourtour Γ. On
suppose la membrane soumise en tout point (x, y) à une densité de forces f
s’exerçant perpendiculairement au plan de la membrane. Sous l’action de f chaque
point de la membrane subit un petit déplacement. Le déplacement transversal,
perpendiculaire au plan de Ω est l’inconnue u de ce problème et vérifie l’équation :
(
21
−∆ u (x, y) = f (x, y)
∀ x, y ∈ Ω
u |Γ (x, y) = 0
2.5.3
(2.18)
Mécanique des fluides parfaits
Soit Ω le domaine interne d’une tuyère, on considère l’écoulement d’un fluide
parfait, incompressible non-visqueux, à l’intérieur de cette tuyère. L’écoulement
étant incompressible, il est à divergence nulle et donc le vecteur vitesse u du fluide
peut s’écrire comme le rotationnel d’une fonction ψ dite fonction de courant. On
a:
∂ψ
∂ψ
u = rot ψ = (
,−
)
(2.19)
∂y
∂x
Les lignes iso-ψ sont les lignes de courant du fluide. La fonction de courant ψ
Γ1
Γe
Γs
Ω
Γ0
Fig. 2.3 – Tuyère
vérifie également une équation de Poisson, qui s’écrit dans le cas d’un écoulement
irrotationnel (cas d’un profil de vitesse constant en entrée ) :

−∆ψ(x, y) = 0
∀ (x, y) ∈ Ω




ψ|Γ0 (x, y) = 0


ψ|Γ1 (x, y) = 1
(2.20)

ψ|Γe (x, y) = 0



∂ψ


|Γ (x, y) = 0
∂n s
En général, les problèmes stationnaires comme les problèmes précédents, appartiennent à la famille des problèmes elliptiques qui s’écrivent :


−∆u(x, y) = f (x, y)
∀ (x, y) ∈ Ω


u|Γd (x, y) = ud
(2.21)
∂u


(x, y) = g

∂n |Γd
22
Chapitre 3
L’équation de Laplace
Introduction aux problèmes elliptiques.
3.1
Equation de Laplace dans IRn
Définition 3.1.1 Soit u(x, y, ...) une fonction définie sur un domaine D de IRn ,
et vérifiant dans ce domaine l’équation de Laplace :
∆u = 0
(3.1)
Les fonctions qui vérifient cette équation sont dites harmoniques dans D.
L’étude mathématique de l’équation bidimensionelle (c. à d. dans IR2 ) va permettre de dégager, dans un cas simple, les principales propriétés des problèmes
regroupés sous le vocable de problèmes elliptiques (cf. ch. 6).
3.2
Equation de Laplace dans un demi-plan
Considérons le problème physique suivant : on veut connaı̂tre la température
dans un demi plan connaissant la température sur le bord, sachant que cette
température tend vers 0 en s’éloignant de ce bord et qu’il n’y a aucun apport de
chaleur.
Le modèle mathématique correspondant s’écrit :
trouver u : (x, y) → u(x, y) telle que :
∂ 2u
∂ 2u
(x,
y)
+
(x, y) = 0
∀x ∈ IR et ∀y ∈ IR+
∂x2
∂y 2
u(x, 0) = f (x)
donnée
u(x, +∞) = 0
23
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
24
3.2.1
Résolution par la transformée de Fourier
On introduit la transformée de Fourier de u par rapport à x , notée U (ν, y) et
définie par :
Z +∞
U (ν, y) =
u(x, y) exp(−2iπνx)dx
(3.6)
−∞
La transformée de Fourier de l’équation s’écrit :
(−2iπν)2 U (ν, y) +
∂2
U (ν, y) = 0
∂y 2
(3.7)
La résolution de l’équation différentielle du second ordre en y donne :
U (ν, y) = A(ν) exp(2πνy) + B(ν) exp(−2πνy)
(3.8)
Comme la fonction u(x, y) tend vers 0 lorsque y tend vers +∞ quelque soit x
d’après (3.5), la transformée de Fourier U (ν, y) doit aussi tendre vers 0. Comme
exp(2πνy) tend vers +∞ lorsque y tend vers +∞ quand v > 0, il faut donc que
A(ν) = 0 pour ν > 0. De même il faut que B(ν) = 0 pour ν < 0.
La condition pour y = 0 , implique U (ν, 0) = F (ν) où F (ν) est la transformée de
Fourier de la donnée f (x). On a donc A(ν) = F (ν) pour ν < 0 et B(ν) = F (ν)
pour ν > 0.
On obtient donc :
U (ν, y) = F (ν) exp(−2π|ν|y)
(3.9)
Or, d’après les formules de transformées de Fourier,
exp(−2π|ν|y) = F (
π(x2
y
)
+ y2)
(3.10)
La transformée de Fourier d’un produit de convolution est le produit des transformées de Fourier.Comme U est le produit de F (ν) par exp(−2π|ν|y), la transformée de Fourier inverse de U est le produit de convolution, par rapport à la
variable x , de la fonction f avec la fonction π(x2y+y2 ) . La solution u s’écrit donc :
Z
+∞
u(x, y) =
f (s)
−∞
3.3
y
ds
π((x − s)2 + y 2 )
(3.11)
Equation de Laplace dans un cercle ou une
sphère
Si l’on veut résoudre l’équation de Laplace dans un cercle centré à l’origine de
rayon a, il est naturel de passer en coordoonnées polaires.
25
Si l’on ne cherche que les solutions
indépendantes de l’angle polaire, c’est à
p
dire les fonctions v(r) = v( x2 + y 2 ) = u(x, y) , on doit alors résoudre l’équation
différentielle suivante :
∂ 2 v 1 ∂v
+
= 0 pour r ∈]0, a]
∂r2 r ∂r
Ce qui entraine
(3.12)
∂v
C1
=
et donc
∂r
r
v(r) = C1 ln r + C2
(3.13)
On vérifie que cette solution n’est pas définie en r = 0. De la même façon, on
montre que les fonctions harmoniques qui ne dépendent que de la distance au
centre dans une sphère de centre O et de rayon a, doivent vérifier l’équation
différentielle suivante :
∂ 2 v 2 ∂v
+
= 0 pour r ∈]0, a]
∂r2 r ∂r
(3.14)
1
v(r) = C1 + C2
r
(3.15)
et sont de la forme :
3.4
Equation de Laplace dans un rectangle
On considère le problème physique suivant : un rectangle sans apport de chaleur
à l’intérieur, sans échange de chaleur sur deux des côtés opposés (côtés adiabatiques) et avec une température imposée sur les deux autres côtés. On cherche la
température dans le rectangle. Les équations du problème sont alors :
∂ u
∂ 2u
(x,
y)
+
(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[
∂x2
∂y 2
∂u
∂u
(0, y) = 0
et
(a, y) = 0
∀y ∈]0, b[
∂n
∂n
u(x, 0) = ϕ(x) et u(x, b) = ψ(x) ∀x ∈]0, a[
(3.16)
2
(3.17)
(3.18)
(3.19)
où ϕ et ψ sont des données.
3.4.1
Méthode de séparation des variables.
Pour résoudre dans un rectangle ce problème on utilise la méthode de séparation
des variables appelée aussi méthode de Fourier.
26
– On néglige temporairement la condition non-homogène (3.19) qui dans cet
exemple est une condition de type Dirichlet.
– On cherche les solutions du problème homogène (3.17) et (3.18) , qui sont
du type u(x, y) = X(x)Y (y) et non identiquement nulles.
L’équation (3.17) conduit à :
X”(x)Y (y) + Y ”(y)X(x) = 0
(3.20)
Comme une fonction ne dépendant que de x ne peut être égale à une fonction
de y que si ces deux fonctions sont constantes, on a :
X”(x)
Y ”(y)
=−
=λ
X(x)
Y (y)
(3.21)
Quant à (3.18) cela implique :
X 0 (0)Y (y) = 0 et X 0 (a)Y (y) = 0
(3.22)
Puisque l’on cherche les solutions X(x)Y (y) non identiquement nulles, il
faut que Y (y) 6= 0 et donc :
X 0 (0) = 0 et X 0 (a) = 0
(3.23)
– On commence donc par résoudre le problème en X. On cherche donc pour
quelles valeurs de la constante λ le problème suivant a des solutions X(x)
non identiquement nulles :
X”(x) = λX(x) ∀x ∈]0, a[
X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Ce problème consiste en fait à chercher les valeurs propres et les vecteurs
propres de l’opérateur ”dérivée seconde” dans le sous espace vectoriel de
L2 (0, a) formé par les fonctions deux fois continûment dérivables sur ]0, a[
et de dérivées nulles en x = 0 et x = a .
– En multipliant (3.24) par X(x) et en intégrant par parties sur ]0, a[ , on
obtient :
Z a
Z a
0
2
0
a
(X (x)) dx = λ
(X(x))2 dx
(3.27)
[X (x)X(x)]0 −
0
0
Les conditions de Neumann homogènes impliquent que le premier terme
est nul et comme les intégrales sont positives ou nulles, les valeurs propres
ne peuvent être que négatives ou nulles.
27
– Pour λ = 0, on a X(x) = A + Bx, avec B = 0 à cause de les conditions
de Neumann homogènes.
Le problème a donc pour valeur propre λ0 = 0 et les fonctions propres
associées sont les fonctions contantes X0 (x) = A0 .
– Pour λ < 0, on pose pour simplifier l’écriture λ = −ω 2 , on a alors
X(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx) , d’où X 0 (x) = ω(−A sin(ωx) + B cos(ωx))
et d’après les conditions de Neumann homogènes et puisque ω 6= 0 , on
a:
B=0
−A sin(ωa) + B cos(ωa) = 0
(3.28)
(3.29)
Si on veut avoir X(x) non identiquement nulle il faut que A 6= 0 et donc
que sin(ωa) = 0, ce qui n’est possible que si ωa = nπ où n est un entier
relatif.
Les valeurs propres sont donc de la forme :
π
2π
3π
λ1 = −( )2 ,
λ2 = −( )2 ,
λ3 = −( )2 ,
a
a
a
4π 2
nπ 2
λ4 = −( ) ,
...,
..., λn = −( ) ,
(3.30)
a
a
Les fonctions propres associées à chaque λn sont les fonctions :
nπ
Xn (x) = cos( x)
(3.31)
a
– Pour chacunes des valeurs propres λn trouvées, on résout le problème en Yn
correspondant :
nπ
Yn ”(y) = ( )2 Yn (y) ∀y ∈]0, b[
(3.32)
a
D’où, pour λ0 = 0 :
Y0 (y) = C0 y + D0
(3.33)
et pour λn = −( nπ
)2 :
a
nπy
nπy
) + Dn exp(−
)
(3.34)
a
a
– La fonction Un (x, y) = Xn (x)Yn (y) est donc solution du problème linéaire
homogène (3.17) et (3.18).
D’après le principe de superposition, la somme de toutes les fonctions Un
est aussi solution de ce problème. Cette solution s’écrit :
Yn (y) = Cn exp(
U (x, y) = C0 y + D0
∞
X
nπy
nπy ´
nπ ³
) + Dn exp(−
)
+
cos( x) Cn exp(
a
a
a
n=1
(3.35)
28
– Il faut donc maintenant s’assurer que la condition (3.19) (que l’on avait
négligée jusqu’alors) peut être vérifiée par la fonction U si on choisit de
façon convenable les coefficients Cn et Dn . Il faut donc que :
∞
X
nπ
x) (Cn + Dn ) = ϕ(x)
a
n=1
µ
¶
∞
X
nπ
nπb
nπb
C0 b + D0 +
cos( x) Cn exp(
) + Dn exp(−
) = ψ(x)
a
a
a
n=1
D0 +
cos(
Or la propriété fondamentale est que les fonctions propres Xn (x) trouvées
forment une base des fonctions de L2 (0, a). On peut donc décomposer de
façon unique ϕ et ψ sur cette base :
ϕ(x) = a0 +
ψ(x) = α0 +
∞
X
n=1
∞
X
an cos(
nπ
x)
a
(3.36)
nπ
x)
a
(3.37)
αn cos(
n=1
En utilisant l’unicité de la décomposition, on obtient :
D0 = a0
C0 b + D0 = α0
Cn + Dn = an
nπb
nπb
Cn exp(
) + Dn exp(−
) = αn
a
a
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
Ce qui permet de déterminer de façon unique les constantes Cn et Dn .
– Exemple : Cas ϕ(x) = 0 et ψ(x) = cos2 ( πa x) .
Dans ce cas an = 0 pour tout n ≥ 0 et α0 = 1/2 , α2 = 1/2 et αn = 0 pour
tout n , n 6= 0 et n 6= 2 .
On a alors :
D0 = 0
1
C0 =
2b
Cn + Dn = 0 ∀n > 0
1
C2 =
4sh( 2πb
)
a
Cn = 0
∀n, n 6= 0 et n 6= 2
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
29
La solution explicite du problème est alors :
)
2π sh( 2πy
1
a
u(x, y) = y + cos( x)
2πb
2b
a 2sh( a )
(3.47)
Remarque : Pour pouvoir utiliser la méthode de séparation des variables, il
est essentiel qu’il y aı̂t des conditions homogènes sur deux cotés opposés afin
de pouvoir chercher les valeurs propres et les fonctions propres d’un problème
linéaire et homogène.
Si ce n’est pas le cas, il est toujours possible d’après la linéarité du problème de
superposer des problèmes ayant cette propriété.
Par exemple, soit u solution du problème (P) défini par :
∂ 2u
∂ 2u
(x,
y)
+
(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[
∂x2
∂y 2
∂u
∂u
(0, y) = χ(y) et
(a, y) = η(y) ∀y ∈]0, b[
∂n
∂n
u(x, 0) = ϕ(x) et u(x, b) = ψ(x) ∀x ∈]0, a[
(3.48)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
alors u est la somme de u1 et u2 , solutions respectives des problèmes (P1) et
(P2) suivants :
∂ 2 u1
∂ 2 u1
(x,
y)
+
(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[
∂x2
∂y 2
∂u1
∂u1
(0, y) = 0 et
(a, y) = 0
∀y ∈]0, b[
∂n
∂n
u1 (x, 0) = ϕ(x) et u1 (x, b) = ψ(x) ∀x ∈]0, a[
(3.52)
(3.53)
(3.54)
et :
∂ 2 u2
∂ 2 u2
(x,
y)
+
(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[
(3.55)
∂x2
∂y 2
∂u2
∂u2
(0, y) = χ(y)
et
(a, y) = η(y)
∀y ∈]0, b[ (3.56)
∂n
∂n
u2 (x, 0) = 0
et
u2 (x, b) = 0 ∀x ∈]0, a[
(3.57)
3.5
Equation de Laplace dans un domaine borné
Ω quelconque
Si le domaine Ω est de forme quelconque (ni rectangle, ni cercle), il n’est pas
possible de donner une solution explicite comme dans les deux cas précédents.
30
On peut seulement chercher une solution numérique à l’aide de la méthode des
éléments finis et après avoir écrit le problème sous la forme faible. On obtient
cette forme faible en multipliant l’équation (3.1) par une fonction quelconque
ϕ(x, y) et en intégrant sur le domaine Ω . En utilisant la deuxième formule de
Green on a :
Z
Z
Z
∂u
ϕ∆u =
ϕ
− grad ϕ.grad u
(3.58)
Ω
∂Ω ∂n
Ω
d’où :
Z
∂u
0=
ϕ
−
∂Ω ∂n
Z
grad ϕ.grad u
(3.59)
Ω
Il reste ensuite à tenir compte des conditions aux bords.
Ceci sera étudié en détail en GM5.
3.6
Propriétés fondamentales des fonctions harmoniques
Une propriété remarquable des fonctions harmoniques, c’est à dire telles que
∆u = 0 , est le principe suivant :
3.6.1
Principe du maximum
Théorème 3.6.1 Si u est une fonction deux fois continûment dérivable qui
vérifie ∆u = 0 dans l’ouvert Ω , et si u n’est pas constante, alors u atteint
son maximum sur le bord de Ω .
3.6.2
Unicité de la solution
Nous avons utilisé des méthodes très diverses pour trouver des solutions de
l’équation de Laplace avec des conditions de Dirichlet ou de Neumann sur le
bord du domaine. La question qui se pose est de savoir si la solution est unique.
Le principe du maximum entraine l’unicité de la solution du problème suivant.
Théorème 3.6.2 Le problème suivant a une solution u et cette solution est
unique si Γ1 est un ouvert non vide du bord ∂Ω et si Γ1 ∪ Γ2 = ∂Ω
31
∆u = 0 dans Ω
u = ϕ sur Γ1
∂u
= η sur Γ2
∂n
(3.60)
(3.61)
(3.62)
Si Γ2 = ∂Ω et donc si Γ1 est vide, il est clair que, si il y a une solution u , alors
il en a une infinité puisque pour toute constante c , la fonction u + c est aussi
solution. Alors, il n’y a pas unicité.
3.6.3
Propriété de la moyenne
Théorème de la moyenne
Si u est une fonction deux fois continûment dérivable qui vérifie ∆u = 0 dans le
disque D , alors la valeur de u au centre est égale à la moyenne des valeurs de
u sur le bord de D.
La démonstration est basée sur la troisième formule de Green :
Z
Z
∂ψ
∂ϕ
ϕ∆ψ − ψ∆ϕ =
ϕ
−ψ
∂n
Ω
∂Ω ∂n
(3.63)
On pose ψ = u , on choisit pour fonction ϕ une fonction harmonique dans le
cercle D privé de son centre et on prend pour domaine Ω, l’anneau formé par le
disque D privé du disque de rayon ² petit.
Dans IR2 on peut prendre pour fonction ϕ la fonction ln r où r est la distance du
point considéré au centre du disque.
On obtient alors le résultat, en faisant tendre ² vers 0 . Un théorème similaire se
démontre dans une sphère de IR3 (on choisit alors ϕ(r) = 1r ).
32
Chapitre 4
L’équation de la chaleur ou
équation de la diffusion
Introduction aux problèmes paraboliques.
4.1
Equation de la chaleur dans IRn
Définition 4.1.1 Soit u(x, y, ..., t) une fonction des variables d’espace (x, y, ...)
et du temps t , définie sur un domaine D de IRn et pour t positif. L’équation de
la chaleur pour la fonction u s’écrit :
∂u
− ∆u = f
∂t
(4.1)
avec f donnée.
C’est cette équation qui régit, entre autre, l’évolution de la température u en un
point (x, y, z) d’un domaine Ω au cours du temps t en présence d’une source de
chaleur volumique définie par f .
C’est cette même équation qui décrit l’évolution de la concentration d’un produit
dans un solvant (d’où le nom d’équation de la diffusion) .
L’étude mathématique de l’équation monodimensionelle (c. à d. dans IR) va
permettre de dégager, dans un cas simple, les principales propriétés des problèmes
regroupés sous le vocable de problèmes paraboliques (cf. ch. 6).
4.2
Equation de la chaleur dans IR
Considérons le problème physique suivant : on veut connaı̂tre la température dans
une barre infinie, sans apport de chaleur et dont la température est initialement
33
34
donnée.
Le modèle correspondant s’écrit :
trouver u : (x, t) → u(x, t) telle que :
∂u
∂ 2u
(x, t) − 2 (x, t) = 0
∀x ∈ IR et ∀t ∈ IR+
∂t
∂x
u(x, 0) = u0 (x) donnée
4.2.1
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Transformée de Fourier
Pour résoudre ce problème nous allons utiliser la transformée de Fourier .
Soit F (ν, t) la transformée de Fourier de u par rapport à la variable d’espace x.
Elle est définie par :
Z +∞
F (ν, t) =
exp(−2iπνx) u(x, t) dx
(4.5)
−∞
La transformation de Fourier de l’équation (4.3) :
∂
∂2
u(x, t) − 2 u(x, t) = 0
∂t
∂x
(4.6)
donne :
∂
F (ν, t) + 4π 2 ν 2 F (ν, t) = 0
(4.7)
∂t
La résolution de l’équation différentielle du premier ordre en temps ci-dessus
donne donc :
F (ν, t) = exp(−4π 2 ν 2 t) F (ν, 0)
(4.8)
où F (ν, 0) est la transformée de Fourier de la condition initiale u0 .
Or on sait d’après les tables de transformées de Fourier que :
exp(−4π 2 ν 2 t) = F ( √
1
x2
exp(− ))
4t
4πt
(4.9)
et que :
F (f ∗ g) = F (f ) F (g)
(4.10)
La transformée de Fourier de la solution u est égale au produit des transformées
2
1
de Fourier de u0 et √4πt
exp(− x4t ) . Donc u est le produit de convolution de ces
deux fonctions :
Z +∞
1
(x − y)2
u(x, t) = √
exp(−
) u0 (y) dy
(4.11)
4t
2 πt −∞
L’équation de la chaleur
35
Cas particulier
Cas de la fonction échelon définie par
½
u0 (x) = 0
u0 (x) = a
pour
pour
x<0
x≥0
On obtient alors :
1
u(x, t) = √
2 πt
Z
+∞
−∞
y2
a
exp(− ) u0 (x − y) dy = √
4t
2 πt
Z
x
exp(−
−∞
y2
) dy
4t
En introduisant la fonction erf définie par :
Z z
2
exp(−η 2 ) dη
erf(z) = √
π 0
et en posant z =
x
√
2 t
(4.12)
(4.13)
on a :
a
u(x, t) =
2
µ
¶
x
1 + erf( √ )
2 t
(4.14)
On constate que cette solution est une fonction continue et dérivable de x pour
tout t strictement positif bien que la donnée initiale soit discontinue en x = 0 .
4.2.2
Commentaires
Nous en déduisons cinq propriétés fondamentales de la solution u de l’équation
de la chaleur.
1. La solution en un point particulier dépend de la condition initiale en tous
les points du domaine. Le domaine de dépendance de la solution s’étend au
domaine Ω tout entier.
2. Une perturbation en un point quelconque de la solution initiale influence
immédiatement la valeur en tout point de la solution u. On dit que la vitesse
de propagation est infinie.
3. La valeur ponctuelle de la solution décroı̂t au cours du temps en
1
√
.
t
4. t doit être positif. Le phénomène est irréversible, on ne peut pas remonter
le temps.
5. L’équation de la chaleur ou de diffusion a un effet régularisant. La donnée
initiale peut être discontinue, pour tout t strictement positif la solution est
une fonction continue et dérivable de x .
36
4.3
Equation de la chaleur sur un segment
On considère une barre de longueur L dont la température est fixée à zéro
aux extrémités et dont la température initiale est donnée. L’équation de la
température au cours du temps s’écrit :
∂u
∂ 2u
∀x ∈ [0, L] et ∀t ∈ IR+
(x, t) − 2 (x, t) = 0
∂t
∂x
u(x, 0) = u0 (x)
donnée initiale
u(0, t) = u(L, t) = 0
Dirichlet homogène
4.3.1
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Méthode de séparation des variables
On peut montrer que dans l’espace L2 [0, L] des fonctions de carré sommable sur
[0, L] , les fonctions propres de l’opérateur
−
∂2
avec conditions de Dirichlet homogènes
∂x2
associées aux valeurs propres λk =
φk (x) = sin(
k2 π 2
L2
(4.19)
sont les fonctions φk définies par
kπ
x) pour k = 1, 2, ...n, ..
L
(4.20)
On peut vérifier que les fonctions φk forment une famille orthogonale de l’espace
L2 [0, L] pour le produit scalaire usuel. On sait d’autre part qu’elles engendrent
cet espace. Elles forment donc ce qu’on appelle une base Hilbertienne de l’espace
de Hilbert L2 [0, L].
Si on cherche une solution u dans L2 [0, L], cette solution s’exprime donc comme
une combinaison linéaire des φk
X
u(x, t) =
uek (t)φk (x)
(4.21)
k
de même f peut s’écrire sous la même forme :
X
f (x, t) =
fek (t)φk (x)
(4.22)
k
En reportant ces expressions de u et de f dans l’équation aux dérivées partielles,
on obtient pour chaque composante uek (t) une équation différentielle en temps :
k2π2
∂ uek
(t) + 2 uek (t) = fek (t)
∂t
L
(4.23)
37
dont la solution s’écrit :
k2π2
uek (t) = uek (0) exp(− 2 t) +
L
Z
t
exp(−
0
k2π2
(t − s))fek (s) ds
L2
(4.24)
Dans le cas particulier f = 0 , on trouve :
uek (t) = uek (0)
(4.25)
où les uek (0) représentent les coefficients du developpement en série de Fourier de
sinus de la donnée initiale u0 (x) .
On admet la convergence dans L2 [0, L] de la série de Fourier de coefficients uek (t)
vers la solution u du problème et ceci ∀t.
4.3.2
Remarques importantes
La décomposition en modes propres présentée ci-dessus est possible en raison de la
propriété essentielle de linéarité du problème de la chaleur et de son corollaire :
le principe de superposition.
La résolution du problème par séparation de variable peut paraitre ici différente
de la résolution proposée au chapitre précédent. En fait, on a ici simplement
ommis la recherche des modes propres qui est laissée aux soins du lecteur. Ceci
allège considérablement l’exposé mais la démarche est similaire.
On peut, enfin, remarquer l’effet lissant de l’équation de la chaleur. En effet,
2 2
exp(− kLπ2 t) décroit d’autant plus vite que k est grand. Donc les hautes fréquences
sont plus vites amorties, ce qui a un effet lissant.
4.4
4.4.1
Unicité de la solution
Equation de la chaleur dans un segment
La démonstration fait intervenir une quantité dépendant du temps E(t) qui est
liée à l’énergie du système.
Soit u une solution de l’équation de la chaleur :
∂u ∂ 2 u
− 2 =0
∂t
∂x
(4.26)
38
et soit E(t) =
signe intégral,
1
2
RL
0
|u(x, t)|2 dx , alors d’après le théorème de dérivation sous le
Z
L
0
E (t) =
u(x, t)
0
∂u
(x, t)dx
∂t
donc d’après (4.26) :
Z
0
L
∂ 2u
(x, t)dx
∂x2
0
Z L
∂u
∂u
∂u
L
= [u(x, t) (x, t)]0 −
(x, t). (x, t)dx
∂x
∂x
0 ∂x
E (t) =
u(x, t)
Si la condition au bord est une condition de Dirichlet homogène (ou de Neumann
homogène) la relation ci-dessus montre que E 0 (t) est une quantité négative, par
suite E(t) est une fonction décroissante du temps. Donc E(t) est une quantité
positive majorée par sa valeur pour t = 0.
On utilise cette propriétés pour démonter l’unicité de la solution.
Si u1 et u2 sont deux solutions du problème :
∂u ∂ 2 u
− 2 =f
dans ]0, L[× ]0, T [
∂t
∂x
u(0, t) = u(L, t) = 0
sur ]0, T [
0
u(x, o) = u (x)
sur ]0, L[
En posant w = u1 - u2 et en utilisant la linéarité et le principe de superposition, on vérifie que w vérifie le problème :
∂w ∂ 2 w
−
=0
dans ]0, L[× ]0, T [
∂t
∂x2
w(0, t) = w(L, t) = 0
sur ]0, T [
w(x, o) = 0
sur ]0, L[
R
R
Donc si on note E(t) = 12 Ω |w(x, t)|2 dx comme E(0) = 12 Ω |w(x, 0)|2 dx = 0,
et que E(t) est une fonction positive décroissante, on en déduit E(t) = 0 pour
tout t et donc que la fonction w est identiquement nulle .Donc u1 = u2 , ce qui
prouve l’unicité de la solution.
La démontration est encore valable pour une condition de Neumann sur le
bord.
4.4.2
39
Equation de la chaleur dans un domaine quelconque
Comme précédemment, on étudie l’évolution au cours du temps de la quantité :
Z
1
E(t) =
|u(x, t)|2 dx
(4.27)
2 Ω
sachant que u est solution de l’équation :
∂u
− ∆u = f
∂t
avec des conditions au bord de type Neumann ou Dirichlet.
La démonstration est laissée au lecteur. Elle fait intervenir les formules intégrales
de Gauss.
40
Chapitre 5
Introduction aux problèmes hyperboliques.
5.1
L’équation des ondes dans IRn
Définition 5.1.1 Soit u(x, y, ..., t) une fonction des variables d’espace (x, y, ...)
et du temps t , définie sur un domaine Ω de IRn et pour t positif. L’équation des
ondes pour la fonction u s’écrit :
∂ 2u
− ∆u = 0
∂t2
(5.1)
C’est cette équation qui régit, entre autre, l’évolution de la pression u en un point
(x, y, z) d’un domaine Ω au cours du temps t .
L’étude mathématique de l’équation monodimensionelle (c. à d. dans IR) va
permettre de dégager, dans un cas simple, les principales propriétés des problèmes
regroupés sous le vocable de problèmes hyperboliques (cf. ch. 6).
Les développements suivants sont largement inspirés du livre :
Méthodes mathématiques de la physique de Laurent Schwartz
(5.2)
dont la lecture est fortement recommandée.
5.2
Equation des ondes dans IR
L’étude des vibrations d’une corde infinie, libre de toute sollicitation, consiste
à étudier les variations du déplacement transversal u au cours du temps. On se
donne la position u et la vitesse du déplacement transversal u au temps zéro.
41
42
Le modèle correspondant s’écrit :
∂2u
∂ u
(x,
t)
−
(x, t) = 0
∀x ∈ IR et ∀t ∈ IR+
∂t2
∂x2
u(x, 0) = u0 (x) donnée
∂u
(x, 0) = u1 (x) donnée
∂t
(5.3)
2
5.2.1
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Changement de variables
Posons
y = x + ct
z = x − ct
En remplaçant dans l’équation les dérivées partielles par rapport à t et x par
leurs expressions en fonctions des dérivées partielles par rapport aux nouvelles
variables y et z, on obtient
∂ 2u
=0
(5.7)
∂y∂z
d’où l’on déduit :
∂u
= g1 (z)
(5.8)
∂z
soit :
u = g(z) + f (y)
(5.9)
Ce qui donne en définitive l’expression remarquable suivante :
u(x, t) = f (x + ct) + g(x − ct)
(5.10)
Prenant en compte les conditions initiales
u(x, 0) = f (x) + g(x) = u0 (x)
on obtient :
et
∂
u(x, 0) = cf 0 (x) − cg 0 (x) = u1 (x)
∂t
1
1
f (x) = u0 (x) +
2
2c
1
1
g(x) = u0 (x) −
2
2c
Z
x
(5.11)
u1 (s)ds
(5.12)
u1 (s)ds
(5.13)
0
Z
x
0
d’où la formule de d’Alembert :
1
1
u(x, t) = [u0 (x + ct) + u0 (x − ct)] +
2
2c
Z
x+ct
x−ct
u1 (s)ds
(5.14)
5.2.2
43
Commentaires
Nous en déduisons quatre propriétés fondamentales de la solution de l’équation
des ondes
1. L’expression f (x+ct) prend au point x et à l’instant t la même valeur qu’au
point x+ct au temps zéro. De même g(x−ct) prend au point x et à l’instant
t la valeur qu’elle prenait au point x − ct au temps zéro. La solution u au
point x et au temps t apparaı̂t comme la somme de deux ondes, l’une
f se propageant avec une vitesse −c, donc de droite à gauche, l’autre g se
propageant avec une vitesse c donc de gauche à droite. c apparait comme
une vitesse de propagation d’onde (mais non bien sûr comme la vitesse des
points de la corde).
2. Domaine de dépendance : la solution au point x et au temps t ne dépend
que des valeurs des conditions initiales u0 et u1 aux points de l’intervalle
[x−ct, x+ct]. Inversement les conditions initiales au temps zéro en un point
ξ n’influencerons la solution aux instants t que pour les seules abscisses x
comprises entre ξ − ct et ξ + ct. La figure 1 ci-dessous illustre simplement
cette notion fondamentale de domaine de dépendance.
Les droites x − ct = cste et x + ct = cste s’appellent les droites
caractéristiques.
3. Si u1 = 0 , la solution ne dépend que des valeurs de u0 aux points x − ct et
x + ct. Une perturbation en un point quelconque de la solution initiale se
transmet pour moitié vers la droite avec une vitesse c et pour moitié vers
la gauche avec la même vitesse absolue c car dans ce cas
1
u(x, t) = [u0 (x − ct) + u0 (x + ct)]
2
(5.15)
Il est alors facile d’obtenir une solution à partir de conditions initiales
simples par transport et en particulier d’observer l’évolution de solutions
initiales discontinues de type échelon.
4. La variable t peut être positive ou négative. Le phénomène est réversible,
on peut remonter le temps et retrouver, par résolution de problèmes
rétrogrades, la solution à un instant précédent.
44
5.3
L’équation des ondes dans un segment
On considère une corde de longueur L fixée aux extrémités. L’équation du
déplacement transversal au cours du temps s’écrit :
∂ 2u
∂ u
(x,
t)
−
(x, t) = 0
∀x ∈ [0, L] et ∀t ∈ R+
∂t2
∂x2
u(x, 0) = u0 (x)
donnée initiale
∂u
(x, 0) = u1 (x)
donnée initiale
∂t
u(0, t) = u(L, t) = 0
Dirichlet homogènes
(5.16)
2
5.3.1
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Méthode de séparation des variables
On utilise, encore une fois, les fonctions φk définies par
φk (x) = sin(
kπ
x) k = 1, 2, ...n, ..
L
(5.21)
qui sont les fonctions propres de l’opérateur
−
∂2
avec conditions de de Dirichlet homogènes sur [0, L]
∂x2
(5.22)
2 2
associées aux valeurs propres λk = kLπ2 . Comme on le sait, les fonctions φk
forment une famille orthogonale de l’espace de fonctions L2 [0, L]. De plus elles
engendrent cet espace L2 [0, L].
Si on cherche u dans cet espace, on peut donc exprimer la solution u comme
combinaison linéaire des φk
X
u(x, t) =
uek (t)φk (x)
(5.23)
k
En reportant cette expression de u dans l’équation aux dérivées partielles,
on obtient un ensemble d’équations différentielles du second ordre en temps
indépendantes pour chaque k :
∂ 2 uek k 2 π 2
+ 2 uek = 0
∂t2
L
(5.24)
Dans ce cas sans second membre, la solution s’écrit sous la forme générale :
uek (t) = Ak cos(
kπ
kπ
ct) + Bk sin( ct)
L
L
(5.25)
45
On trouve donc :
u(x, t) =
X
kπ
kπ
kπ
[ Ak cos( ct) + Bk sin( ct) ] sin( x)
L
L
L
k
(5.26)
Les coefficients Ak et Bk sont déterminés à l’aide des conditions initiales :
X kπ
∂
kπ
kπ
kπ
kπ
u(x, t) =
[− cAk sin( ct) +
cBk cos( ct) ] sin( x)
∂t
L
L
L
L
L
k
(5.27)
d’où :
u0 (x) =
X
Ak sin(
k
u1 (x) =
X kπ
k
L
kπ
x)
L
cBk sin(
kπ
x)
L
(5.28)
(5.29)
Il suffit donc de connaitre les développements en séries de sinus des données
initiales pour déterminer les coefficients Ak et Bk .
5.3.2
Remarques
Les données initiales sont définies pour ∀x ∈ [0, L] . Les calculs précédants sont
donc valables pour ∀x ∈ [0, L] et ∀t ∈ IR+ Si on veut prolonger u(x, t) pour des
x exterieurs à [0, L] , comme les modes propres correspondants aux conditions de
Dirichlet homogènes sur [0, L] sont les fonctions φk (x) = sin( kπ
x) , il est naturel
L
de prolonger u en une fonction impaire par rapport à x et de période 2L en x.
Par ailleurs d’après (5.26) la fonction u est périodique en t de période 2L/c.
Contrairement à l’équation de la chaleur, il n’est pas nécessaire ici que t soit
positif.
46
Chapitre 6
Classification des E.D.P.
quasi-linéaires du deuxième ordre
6.1
6.1.1
E.D.P. quasi-linéaires du deuxième ordre
définies dans R2
Définitions
Une équation aux dérivées partielles quasi-linéaire du second ordre est du type :
a(x, y)
∂ 2u
∂2u
∂ 2u
∂u ∂u
+
2b(x,
y)
+
c(x,
y)
=
F
(x,
y,
u,
, )
∂x2
∂x∂y
∂ 2y
∂x ∂y
(6.1)
où u(x, y) est la fonction inconnue et où a, b, c et F sont quatres fonctions définies
sur un domaine Ω ⊂ R2 et à valeurs dans R.
Définition 6.1.1 Une courbe est dit caractéristique par rapport à l’e.d.p. (6.1)
si on a :
a(x, y) (dy)2 − 2b(x, y) dxdy + c(x, y) (dx)2 = 0
(6.2)
Si a = 0 et c = 0 , ce sont des droites x = cste et y = cste. Si a 6= 0, on peut
aussi écrire l’équation (6.2) sous la forme :
a(x, y) (
dy 2
dy
) − 2b(x, y)
+ c(x, y) = 0
dx
dx
(6.3)
dy
L’équation du second degré à coefficents réels en dx
(6.3) peut avoir 2 racines
réelles ou 1 double ou 2 complexes conjuguées selon le signe du disciminant
4(b2 − ac). Les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires du second ordre
sont classées en trois catégories selon le signe de b2 − ac.
47
48
6.1.2
Classification des e.d.p. quasi-linéaires du second
ordre
– si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) > 0 dans un domaine D , l’équation est dite
hyperbolique dans ce domaine et elle y admet deux familles de courbes
caractéristiques,
– si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) = 0 dans un domaine D , l’équation est dite
parabolique dans ce domaine et elle y admet une famille de courbes
caractéristiques,
– si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) < 0 dans un domaine D , l’équation est dite
elliptique dans ce domaine et elle n’admet pas de courbes caractéristiques
réelles.
6.2
6.2.1
Réduction à la forme standard
Equations hyperboliques
Soit ϕ(x, y) = cste et ψ(x, y) = cste les équations cartésiennes des deux familles
de courbes caractéristiques.
En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) et Y = ψ(x, y) , l’équation
(6.1) devient
∂ 2U
∂U ∂U
= G(X, Y, U,
,
)
(6.4)
∂X∂Y
∂X ∂Y
où U (X, Y ) = U (ϕ(x, y), ψ(x, y)) = u(x, y).
En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) + ψ(x, y) et Y = ϕ(x, y) −
ψ(x, y) , l’équation (6.1) devient
∂2U
∂ 2U
∂U ∂U
−
=
H(X,
Y,
U,
,
)
∂X 2 ∂Y 2
∂X ∂Y
(6.5)
Ce sont les deux formes standards d’une équation hyperbolique.
On constate que l’équation des ondes fait partie des équations de type hyperbolique.
6.2.2
Equations paraboliques
Soit ϕ(x, y) = cste l’ équation cartésienne de l’unique famille de courbes
caractéristiques.
En faisant X = ϕ(x, y) et en posant Y égale à une fonction arbitraire de x et y
mais indépendante de la fonction ϕ(x, y), l’équation (6.1) devient
∂ 2U
∂U ∂U
= G(X, Y, U,
,
)
2
∂X
∂X ∂Y
(6.6)
Classification des E.D.P. du deuxième ordre
49
Ceci est la forme standard d’une équation parabolique .
On constate que l’équation de la chaleur fait partie des équations de type
parabolique.
6.2.3
Equations elliptiques
L’équation n’admet pas de courbes caractéristiques réelles mais elle admet deux
familles de courbes caractéristiques complexes.
Soit ϕ(x, y)+iψ(x, y) = cste et ϕ(x, y)−iψ(x, y) = cste les équations cartésiennes
de ces courbes.
En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) et Y = ψ(x, y) , l’équation
(6.1) devient
∂ 2U
∂ 2U
∂U ∂U
+
=
G(X,
Y,
U,
,
)
(6.7)
∂X 2 ∂Y 2
∂X ∂Y
En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) + iψ(x, y) et Y = ϕ(x, y) −
iψ(x, y) , l’équation (6.1) devient
∂ 2U
∂U ∂U
= H(X, Y, U,
,
)
∂X∂Y
∂X ∂Y
(6.8)
mais les coefficients sont alors des nombres complexes.
Ce sont les deux formes standards d’une équation elliptiques.
On constate que l’équation de Laplace fait partie des équations de type elliptique.
6.2.4
Exemple
Soit l’équation :
x2
2
∂ 2u
∂ 2u
2∂ u
+
2xy
+
y
=0
∂x2
∂x∂y
∂ 2y
(6.9)
On a b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) = 0 , l’équation est parabolique, elle y admet une
famille de courbes caractéristiques définies par :
x2 (dy)2 − 2xy dxdy + y 2 (dx)2 = 0
dy
c’est à dire dx
= xy , d’où y = kx, ou encore
choisit, par exemple, Y = y.
L’équation (??) devient :
2∂
2
U
=0
Y
∂Y 2
ou
y
x
= k. On pose donc X =
∂ 2U
=0
∂Y 2
(6.10)
y
x
et on
(6.11)
La forme générale des solutions est :
U (X, Y ) = f (X)Y + g(X)
(6.12)
50
d’où
y
y
u(x, y) = f ( )y + g( )
x
x
Remarque : Le choix de la deuxième variable est arbitraire, il faut seulement
que les fonctions définissant X et Y soient fonctionnellement indépendantes. Il
faut et il suffit pour cela que le déterminant jacobien du changement de variable
soit différent de zéro.
· ∂X ∂X ¸
∂x
∂y
6= 0
(6.13)
det ∂Y
∂Y
∂x
6.3
∂y
E.D.P. quasi-linéaires du deuxième ordre
définies dans R3
Si l’E.D.P. s’écrit :
3
X
i=1,j=1
aij
∂u ∂u ∂u
∂ 2u
= F (x1 , x2 , x3 , u,
,
,
)
∂xi ∂xj
∂x1 ∂x2 ∂x3
(6.14)
et si la matrice A = [aij ] a des valeurs propres réelles alors l’E.D.P. est de type :
– elliptique si toutes les valeurs propres ont mêmes signes,
– hyperbolique si au moins une valeur propre a un signe différent,
– parabolique si une valeur propre au moins est nulle.
6.4
Problème de Cauchy
Une courbe de R2 peut être définie soit par son équation cartésienne :
f (x, y) = 0
(6.15)
soit par sa représentation paramétrique :
x = x(t)
y = y(t)
(6.16)
exemple : un cercle de centre l’origine et de rayon 3 a pour équation
x2 + y 2 = 9
(6.17)
et une de ses représentations paramétriques est :
x = 3 cos(θ)
y = 3 sin(θ)
avec θ ∈] − π, π] .
(6.18)
(6.19)
Classification des E.D.P. du deuxième ordre
51
Définition 6.4.1 Le problème de Cauchy relatif à une courbe (C) consiste à
chercher (si elle existe) la solution de l’équation
a(x, y)
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
+
2b(x,
y)
+
c(x,
y)
=
F
(x,
y,
u,
, )
∂x2
∂x∂y
∂ 2y
∂x ∂y
dans Ω ⊂ R2 ,
(6.20)
qui vérifie
u(x, y) = g(x, y)
sur (C)
(6.21)
du
(x, y) = h(x, y)
sur (C)
(6.22)
dn
Théorème 6.4.1 Si la courbe (C) n’est pas caractéristique le problème de Cauchy a une solution et cette solution est unique.
Si la courbe (C) est une courbe caractéristique le problème de Cauchy peut ne pas
avoir de solution ou il peut en avoir une infinité.
Démonstration :
Montrons que la courbe (C) ne doit pas être caractéristique pour que le problème
de Cauchy puisse avoir une solution
Se donner u sur (C) implique que l’on connait aussi la dérivée de u dans la
du
direction tangentielle à la courbe et si on se donne en plus dn
cela revient à se
∂u
∂u
donner u, ∂x ,et ∂y sur (C).
Si la courbe (C) est définie par la représentation paramétrique
x = x(s)
y = y(s)
(6.23)
(6.24)
une condition nécessaire pour qu’il y aı̂t une solution unique, est que l’équation
(6.20) permette de définir de façon unique sur (C) les dérivées partielles d’ordre
deux de u.
On sait que
u(x(s), y(s)) = g(x(s), y(s)) = G(s)
∂u
(x(s), y(s)) = h1 (x(s), y(s)) = H1 (s)
∂x
∂u
(x(s), y(s)) = h2 (x(s), y(s)) = H2 (s)
∂y
Des 2 dernières équations on déduit
∂2u
∂ 2u
0
+
y
(s)
= H10 (s)
∂x2
∂x∂y
∂ 2u
∂2u
x0 (s)
+ y 0 (s) 2 = H20 (s)
∂x∂y
∂y
x0 (s)
52
et de (6.20)
a(x(s), y(s))
∂2u
∂2u
∂ 2u
+2b(x(s),
y(s))
+c(x(s),
y(s))
= F (x(s), y(s), G(s), H1 (s), H2 (s))
∂x2
∂x∂y
∂ 2y
2
2
2
∂ u ∂ u
Pour que ce système linéaire de 3 équations à 3 inconnues ∂∂xu2 , ∂x∂y
, ∂y2 , aı̂t une
solution unique il faut et il suffit que le déterminant soit nul, d’où
¯
¯ 0 0
¯ x y 0 ¯
¯
¯
¯ 0 x0 y 0 ¯ = a (y 0 )2 − 2b x0 y 0 + c (x0 )2 6= 0
¯
¯
¯ a 2b c ¯
Comme x0 (s) = dx
et que y 0 (s) = dy
, on reconnait la condition définissant une
ds
ds
courbe qui n’est pas caractéristique.
Remarque
Si la fonction u(x, y) présente une discontinuité en un point , cette discontinuité
se propage le long d’une courbe caractéristique.
Chapitre 7
Principes généraux des méthodes
numériques
7.1
Introduction
Les mathématiques utilisent couramment les notions d’infini et de continu. La
solution exacte d’un problème d’équations différentielles ou aux dérivées partielles
est une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le fini et le discret.
Les solutions approchées seront calculées en définitive comme des collections
de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un
problème matriciel.
7.2
Taille des problèmes et stockage mémoire
La taille du stockage mémoire est gouvernée par deux critères.
– La précision des résultats qui conduit à des exigences sur la finesse de
maillage. En particulier, il sera nécessaire, afin d’assurer une bonne précision
de la solution approchée, de raffiner la discrétisation dans les zones de
fort gradient : fissures, discontinuités, ondes de chocs, singularités, couches
limites, etc.
– La nécessité d’une bonne représentation du domaine physique dans le cas de
problèmes extérieurs : écoulements autour d’obstacles, propagation d’ondes,
etc, problèmes qui, théoriquement, se posent en milieu infini et qui doivent,
évidemment être réduits dans des domaines de taille finie lorsqu’ils sont
modélisés sur un ordinateur.
Disons, pour simplifier, que l’ordre de grandeur du nombre de noeuds d’un
maillage, qui va conditionner le nombre d’inconnues et donc la taille des systèmes
à résoudre est :
54
– en dimension un d’espace : environ de l’ordre de 100 et donc,
– en dimension deux d’espace : environ de l’ordre de 104
– en dimension trois d’espace : environ de l’ordre de 106
7.3
Mémoires d’ordinateur
On distingue, sur un ordinateur, plusieurs types de mémoire, selon leur
technologie et la rapidité d’accès à un élément stocké.
– mémoires caches, les plus rapides d’accès, mais aussi les plus petites. L’ordre
de grandeur aujourd’hui pour un PC est de 512K octets avec un temps
d’accès d’environ 10 nanosecondes. Pour un serveur performant, on peut
arriver à des caches de 4 mégaoctets avec des temps d’accès de l’ordre de
quelques nanosecondes.
– mémoires vives, dont la taille pour un bon PC est aujourd’hui aux alentours
de 512 mégaoctets, jusqu’à quelques 4 gigaoctets pour un gros serveur, avec
un temps d’accès inférieur à 70 nanosecondes
– mémoires disques, Pour ces mémoires la capacité est quasiment illimitée
(plusieurs dizaines de gigaoctets) mais avec un temps d’accès très long : de
l’ordre de 5 millisecondes.
7.4
Vitesse de calcul
Les performances en temps de calcul se mesurent d’une part par la vitesse
d’horloge, actuellement de l’ordre de 500 megahertz, et plus précisément en
nombre d’opérations flottantes par secondes, de l’ordre du gigaflops pour une
bonne machine actuelle. Par exemple une résolution de système linéaire de n
équations à n inconnues, prend, par la méthode du pivot de Gauss, de l’ordre de
n3
opérations. La résolution d’un système 1000 × 1000 prendra donc environ
3
1/3 secondes sur une machine à un gigaflops. Actuellement, compte-tenu de
la difficulté qu’il y a à comparer les performances de machines de technologie
différentes, on préfère mesurer les vitesses de calcul sur des batteries de tests
normalisés. Ceci conduit à une performance mesurée en SPEC. Pour donner un
ordre de grandeur, les microprocesseurs les plus rapides aujourd’hui atteignent
en flottants de l’ordre de 50 SPEC.
7.5
Stratégies de calcul
Les caractéristiques techniques des matériels conditionnent les stratégies de
calcul. Par exemple, il est souvent impossible de stocker en mémoire vive les
Principes généraux
55
systèmes d’équations provenant de problèmes industriels réels tridimensionnels.
Et ceci, même en appliquant des techniques de numérotation des inconnues et de
stockage optimaux. Pour ces gros cas de calcul, on devra choisir des méthodes de
résolution itératives qui évitent le stockage des matrices et n’exigent que celui de
vecteurs de même taille que le vecteur des inconnues. Par contre, ces méthodes
ne convergent pas forcément rapidement et peuvent donc être plus gourmandes
en temps de calcul. Il y a souvent opposition entre gain en stockage mémoire et
gain en temps de calcul. Il faudra donc choisir un compromis en fonction de son
matériel et du problème à résoudre.
7.6
Représentation des nombres dans un ordinateur
Répétons-le, l’ordinateur appartient au domaine du discret et du fini. Il ne
peut contenir qu’un nombre fini (même s’il est très grand) d’informations. Les
mathématiques nous ont familiarisés avec l’usage de l’infini et du continu, et
beaucoup de formules mathématiques utilisent ces concepts. La traduction de ces
formules sur un ordinateur introduit donc nécessairement une erreur.
Le calculateur électronique utilise la numérotation binaire. L’unité d’information
est le bit (binary digit en anglais). En numérotation binaire un nombre entier
X s’écrit uniquement avec les chiffres 0 et 1. On obtient sa représentation en le
développant en puissances de 2 . Ainsi :
X=
p
X
ai 2i
s’écrit X = ap ap−1 .....a0
(7.1)
i=0
Donc avec n digits binaires, on peut représenter tous les nombres entiers de
0000...0 à 1111...1, soit 2n nombres compris entre 0 et 2n − 1. Par exemple avec
1 octet, c’est-à-dire 8 bits, on dispose de 256 possibilités de représentation (on
peut représenter tous les nombres compris entre 0 et 255).
Nous renvoyons aux ouvrages d’informatique générale pour tout ce qui concerne
les codages classiques de l’information. Nous voudrions par contre rentrer dans
le détail pour ce qui concerne la représentation des nombres dans les unités de
calcul qui est fondamentale pour le numéricien. C’est elle qui explique les erreurs
d’arrondis.
On distingue sur un ordinateur les “entiers”, les “réels” ou nombres flottants et
dans certains langages les “réels” ou nombres flottants en double précision. Le
problème pour l’utilisateur provient de ce que ces dénominations sont trompeuses
car les catégories entiers, réels, en informatique, ne correspondent pas aux
définitions mathématiques.
56
7.7
7.7.1
Représentation des différents types numériques
Les entiers
Ils sont représentés par une suite de bits organisés en octets. Par exemple un
entier à 2 octets occupera 16 bits (216 = 65536) Un entier 2 - octets machine
correspond donc à un entier mathématique compris entre - 32 768 et 32 767.
Le type entier 4 - octets (232 = 4294967296) permet la représentation des valeurs
entières comprises entre - 2 147 483 648 et 2 147 483 647.
Les opérations sur les entiers, dans la mesure où le résultat est un entier
représentable en machine, s’effectuent exactement.
7.7.2
Les réels ou nombres flottants
Chiffres significatifs
C’est la notion importante qui justifie l’écriture en virgule flottante. Le but
de cette représentation est d’obtenir, pour un encombrement mémoire donné, un
éventail de valeurs suffisant avec la plus grande précision possible. Il s’agit de ne
pas perdre de place mémoire en caractères inutiles.
Pour plus de clarté, nous nous placerons dans le système de numérotation
décimale. Supposons que nous disposions de 10 caractères dont la virgule et le
signe. Dans une représentation à virgule fixe, nous ne pourrons écrire que les
décimaux du type suivant :
±123, 45678
On voit donc que l’éventail des nombres possibles est très limité (comme pour les
entiers). Le plus petit nombre, en valeur absolue, représentable étant :
±, 00000001
Sur ce dernier exemple, 7 caractères ont été occupés par la représentation de
zéros. Le seul chiffre significatif est le 1.
Nombres flottants
Un nombre flottant s’écrit sous la forme suivante :
X = ±a.bn
(7.2)
a est la mantisse, b la base, n l’exposant.
Plaçons-nous à nouveau en base 10 et supposons que nous disposions de 10
caractères. Répartissons-les comme suit :
57
1 pour le signe du nombre
3 pour l’exposant dont un pour son signe
les 6 caractères restants seront affectés à la mantisse.
On obtient ainsi des représentations du type suivant :
±, 123456 10±78
L’adoption d’une mantisse normalisée telle que le premier caractère à droite de la
virgule soit différent de zéro assure un nombre maximal de chiffres significatifs et
donc une meilleure précision. D’autre part il devient inutile de stocker la virgule,
si l’on convient que, par définition, la mantisse représentée par un nombre entier
naturel à 6 chiffres sera un nombre décimal compris entre 0, 100000 et 0, 999999.
Il est également inutile de stocker la base qui sera une constante pour tous les
nombres flottants.
Dans cette représentation, on dispose d’un éventail beaucoup plus large entre
±0, 100000 10−99 et ±0, 999999 10+99 .
Exemple : Supposons que l’on cherche à représenter π avec la plus grande précision
possible. Dans ce système à mantisse normalisée on obtient :
+0, 314159 10+1
π
Considérons à présent la représentation de 10000
avec une mantisse normalisée,
−
nous obtenons : +0, 314159 10 3 et donc le même nombre (6) de chiffres significatifs que pour p et une précision qui passe à 10-9 . ( Si l’on n’avait pas imposé
un chiffre non nul comme premier chiffre après la virgule, on aurait obtenu 0,000
314 101 avec une précision de 10-5 seulement ).
7.7.3
La représentation standard
La brève introduction précédente permet de comprendre le choix fait par les
principaux constructeurs pour représenter les réels en machine. Nous reprenons
la forme
X = ±a.bn
(7.3)
avec
a : mantisse, β : base, n : exposant, β est égal à 2, a et n sont représentés par
des binaires
Voici le format standard d’un nombre réel en simple précision :
Ce nombre occupe 4 octets.
58
- son exposant est stocké sur un octet
- son signe sur 1 bit
- sa mantisse occupe les 23 bits restants.
Donc l’exposant prend toutes les valeurs entières entre - 128 et + 127 . La mantisse
est représentée par t = 23 caractères binaires selon l’écriture : d1 d2 ...dt avec d1 = 1
Elle correspond au nombre :
X=
d1 d2
d3
dt
+ 2 + 3 + .... t
β
β
β
β
(7.4)
d1 d2 d3
dt
+ 2 + 3 + .... 23
2
2
2
2
(7.5)
soit dans ce cas au nombre :
X=
Conséquences de ce choix de représentation
1) Le plus petit nombre en valeur absolue ou zéro machine est le nombre
d’exposant minimal L et de mantisse 100....0.
Le plus petit nombre obtenu est ainsi :
X=
1 L
β = β L−1
β
(7.6)
Dans notre exemple L = −128, b = 2 Le zéro machine vaut : 2−129 '
1, 47 10−39 .
2) Le plus grand nombre en valeur absolue ou infini machine est le nombre
d’exposant maximal U et de mantisse 111.....1. La mantisse vaut donc
a=
1
1
1
1
+ 2 + 3 + .... t = 1 − β − t
β β
β
β
(7.7)
avec β = 2 et U = 127 , on obtient un infini machine de :
(1 − 2−23 )2127 = 1, 7 1038
(7.8)
3) L’écart entre deux nombres successifs d’exposant n (ainsi que l’écart entre le
plus grand nombre d’exposant n et le plus petit nombre d’exposant n + 1) vaut :
2−t .2n
59
Cet écart croı̂t exponentiellement avec n. Ceci explique pourquoi la précision en
valeur absolue des calculs flottants est d’autant moins bonne que les nombres
sont grands.
Ainsi, la meilleure précision possible pour des calculs sur des nombres de l’ordre
de 1, correspondant à des nombres d’exposant n = 0 sera :
2−t = 2−23 ' 1, 19 10−7
(7.9)
Pour des nombres de l’ordre de 1000, correspondant à un exposant n =
10 (210 = 1024) , la meilleure précision possible tombe à
2−23 210 = 213 ' 1, 22 10−4
(7.10)
Un grand nombre d’erreurs d’arrondis catastrophiques s’explique ainsi : on
cherche à obtenir, lors d’un calcul sur ordinateur, un nombre petit par différence
de nombres grands.
Un exemple d’erreurs d’arrondis
Essayons de calculer sur un ordinateur donnant 7 chiffres significatifs la
quantité suivante :
√
S = 1000 − 999999
(7.11)
√
La machine opère de la manière suivante : elle calcule 999999 = 999, 9995 avec
7 chiffres significatifs. Puis elle fait la soustraction.
Pour faire une soustraction, l’ordinateur donne aux termes de la soustraction le
même exposant. L’exposant choisi est le plus grand :
1000 s’écrit 0, 1000000 104 avec 7 chiffres significatifs
999, 9995 s’écrit 0, 9999995 103 avec 7 chiffres significatifs.
L’ordinateur commence par choisir comme exposant 4 . Du coup, nous perdons
un chiffre significatif pour 999, 9995 qui s’écrit : 0, 0999999 104 .
La soustraction donne alors le résultat suivant : 0, 0000001 104 soit : 0, 001
En conclusion, sur une machine calculant avec 7 chiffres significatifs de précision,
on obtient : S ' 0, 001
Si l’on avait disposé d’une machine plus précise, à 9 chiffres significatifs exacts,
on aurait obtenu les calculs suivants :
√
1000 = 0, 1000000000 104
999999 = 0, 999999500 103 = 0, 099999950 104
60
1000 −
√
999999 = 0, 000000050 104
soit 0,0005
Avec une machine à 9 chiffres significatifs, on obtient donc un bon résultat :
S = 0, 0005
On constate qu’avec 7 chiffres significatifs le résultat était totalement erroné avec
une erreur relative de 100 pour 100.
Cependant en conduisant les calculs différemment, on aurait pu obtenir le bon
résultat même dans le cas de calculs avec 7 chiffres exacts. Mathématiquement,
on a l’égalité suivante :
S = 1000 −
√
999999 =
1000 +
1
√
999999
Calculons S selon cette deuxième formule sur notre machine à 7 chiffres : on
obtient :
1000 soit 0, 1000000 104
√
+ 999999 soit 0, 0999999 104
= 0, 1999999 104
La division
1, 000000
donne cette fois le bon résultat 0, 0005000.
0, 1999999 104
Un autre exemple classique : le développement de l’exponentielle
Calculons une valeur approchée de e−10,2 sur un ordinateur. Si l’on utilise le
développement de Taylor :
e−10,2 ' 1 −
10, 2 10, 22 10, 23
10, 2n
+
−
.... + (−1)n
1!
2!
3!
n!
on est dans la situation catastrophique où l’on cherche à calculer un nombre de
l’ordre de 3.7 10−5 par différences entre nombres dont le plus grand est de l’ordre
de 3.3 103 . Comme sur des nombres de cet ordre la précision n’est que de 10−3
environ , on ne pourra évidemment pas obtenir, ne serait-ce qu’un bon chiffre
significatif pour le résultat. Par contre on a également,
e−10,2 =
1
e10,2
et on obtiendra un bon résultat par le calcul préalable de
e10,2 ' 1 +
10, 2 10, 22 10, 23
10, 2n
+
+
.... +
1!
2!
3!
n!
61
En réalité, le calcul de l’exponentielle sur un ordinateur se fait de la façon suivante. On isole les puissances entières de e que l’on calcule par multiplications
successives. Il ne reste alors qu’à prendre le développement de Taylor de l’exponentielle pour la partie restante de l’argument qui est donc < 1. Ce développement
est donc très précis avec peu de termes.
En conclusion, Ces exemples montrent qu’entre le calcul mathématique exact et
le calcul sur ordinateur, les arrondis introduisent des erreurs qui peuvent avoir
des effets extrêmement importants. Certaines formulations mathématiques sont
moins sensibles aux erreurs d’arrondis, on dit qu’elles sont plus stables. Ce sont
elles qu’il faut le plus possible utiliser. En réalité, le calculde l’exponentiellesur
un ordinateur se fait de la façon suivante : on isole les puissances entières de e
que l’on calcule par multiplications successives.
7.8
Grandes familles de méthodes d’approximation des équations de la physique
En vue du passage d’un problème exact (continu) au problème approché (discret),
on dispose de plusieurs techniques concurrentes : les différences finies, les éléments
finis et les volumes finis. Chacune de ces trois méthodes correspond à une
formulation différente des équations de la physique :
– équilibre des forces en chaque point pour les différences finies
– minimisation de l’énergie ou principe des travaux virtuels pour les éléments
finis
– loi de conservation et calcul des flux pour la méthode des volumes finis.
Examinons rapidement les avantages et les inconvénients de chacune de ces trois
méthodes.
7.8.1
Différences finies
La méthode des différences finies consiste à remplacer les dérivées apparaissant
dans le problème continu par des différences divisées ou combinaisons de valeurs
ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou noeuds du
maillage.
Avantages : grande simplicité d’écriture et faible coût de calcul.
Inconvénients : Limitation de la géométrie des domaines de calculs, difficultés de
prise en compte des conditions aux limites et en général absence de résultats de
majoration d’erreurs.
62
7.8.2
Éléments finis
La méthode des éléments finis consiste à approcher, dans un sous-espace de
dimension finie, un problème écrit sous forme variationnelle (comme minimisation de l’énergie, en général) dans un espace de dimension infinie. La solution approchée est dans ce cas une fonction déterminée par un nombre fini de paramètres
comme, par exemple, ses valeurs en certains points (les noeuds du maillage).
Avantages : Traitement possible de géométries complexes, détermination plus
naturelle des conditions aux limites, possibilité de démonstrations mathématiques
de convergence et de majoration d’erreurs.
Inconvénients : Complexité de mise en oeuvre et coût en temps de calcul et en
mémoire.
7.8.3
Volumes finis
La méthode des volumes finis intègre, sur des volumes élémentaires de forme
simple, les équations écrites sous forme de loi de conservation. Elle fournit
ainsi de manière naturelle des approximations discrètes conservatives et est
donc particulièrement bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides :
équation de conservation de la masse, équation de conservation de la quantité de
mouvement, équation de conservation de l’énergie.
Sa mise en oeuvre est simple si les volumes élémentaires sont des rectangles (ou des
parallélépipèdes rectangles en dimension 3). Cependant la méthode des volumes
finis permet d’utiliser des volumes élémentaires de forme quelconque, donc de
traiter des géométries complexes, ce qui est un avantage sur les différences finies.
Il existe une grande variété de méthodes selon le choix de la géométrie des volumes
élémentaires et des formules de calcul des flux. Par contre, on dispose de peu de
résultats théoriques de convergence.
Chapitre 8
Introduction aux différences
finies
8.1
Un exemple de problème en dimension 1
½
−u00 (x) = f (x) a < x < b
u(a) = α u(b) = β
(8.1)
C’est le problème elliptique modèle en dimension un. On considère, ici, le cas de
conditions aux limites de Dirichlet.
Interprétations physiques
– barre élastique sous un chargement axial.
– corde élastique soumise à un chargement transverse.
– conduction thermique dans une barre.
La méthode des éléments finis fera l’objet du cours de cinquième année. Nous
nous limiterons ici à l’exposé des techniques de différences finies. Ces techniques
sont les techniques de base de toutes les approches discrètes et on les retrouve, à
des niveaux divers, dans toutes les familles de méthodes.
8.2
Différences finies en dimension un
Toutes les méthodes numériques présupposent la discrétisation du domaine
géométrique afin de passer d’un problème continu à une infinité d’inconnues à un
problème discret ne comptant qu’un nombre fini d’inconnues.
Dans le cas des différences finies en dimension un, on discrétise l’intervalle continu
[a, b] en un nombre fini de points xi .
64
a
xi−1 xi
xi+1
b
Fig. 8.1 – Discrétisation en différences finies d’un segment [a,b].
On remplace ainsi le problème continu par celui de la recherche de valeurs
approchées ui des solutions exactes u(xi ) aux points xi de la discrétisation.
Mais on ne peut plus, dans ce cas, conserver les opérateurs de dérivation qui
s’appliquent à des fonctions continues. On les remplace par des analogues discrets,
les différences divisées ou différences finies.
Le type de conditions aux limites conditionne le nombre d’inconnues du problème
discret. Dans le cas de conditions de Dirichlet, la solution est fixée, et donc en ces
points, il n’y a pas à affecter de valeurs inconnues. Dans tous les autres cas de
conditions aux limites, la valeur de la solution reste inconnue et fait donc partie
du vecteur inconnu.
8.2.1
Quelques formules simples d’approximation des dérivées
par des différences divisées.
Pour la dérivée première :
– différence divisée progressive d’ordre un :
Le développement limité :
u0 (xi ) =
u(xi + h) − u(xi ) h 00
− u (ξi )
h
2
(8.2)
conduit à l’approximation suivante :
u0 (xi ) =
ui+1 − ui
du
(xi ) '
dx
xi+1 − xi
(8.3)
– différence divisée progressive d’ordre deux :
Pour des pas réguliers de longueur h, le développement limité :
u0 (xi ) =
−u(xi + 2h) + 4u(xi + h) − 3u(xi ) h2 000
+ u (ξi )
2h
3
(8.4)
donne la formule d’ordre deux progressive suivante :
u0 (xi ) =
du
−ui+2 + 4ui+1 − 3ui
(xi ) '
dx
2h
(8.5)
65
– différence divisée régressive d’ordre un :
De même le développement limité :
u0 (xi ) =
u(xi ) − u(xi − h) h 00
+ u (ηi )
h
2
(8.6)
donne :
du
ui − ui−1
(xi ) '
dx
xi − xi−1
– différence divisée régressive d’ordre deux :
On obtient également une formule régressive d’ordre deux :
u0 (xi ) =
u0 (xi ) =
du
3ui − 4ui−1 + ui−2
(xi ) '
dx
2h
(8.7)
(8.8)
– différence divisée centrée : On a
u0 (xi ) =
u(xi + h) − u(xi − h) h2 000
− u (θi )
2h
6
(8.9)
ou bien
u(xi + h2 ) − u(xi − h2 ) h2 000
u (xi ) =
− u (θi )
(8.10)
h
24
Ce qui conduit, dans le cas de discrétisations uniformes de pas constant
h, à :
0
u0 (xi ) =
du
ui+1 − ui−1
(xi ) '
dx
2h
ou
ui+1/2 − ui−1/2
h
(8.11)
On a noté ui+1/2 et ui−1/2 les valeurs approchées de u aux points xi +
xi − h2 respectivement.
h
2
et
Pour la dérivée seconde :
– différence divisée centrée
Dans le cas particulier de points xi régulièrement espacés d’un pas h
uniforme, on retrouve en utilisant :
u0 (xi + h2 ) − u0 (xi − h2 ) h2 (4)
u (xi ) =
− u (θi )
h
24
00
(8.12)
et (2.9) :
u00 (xi ) =
u(xi + h) − 2 u(xi ) + u(xi − h) h2 (4)
− u (θi )
h2
12
(8.13)
d’où : la discrétisation centrée classique de la dérivée seconde
u00 (xi ) =
d2 u
ui+1 − 2ui + ui−1
(x
)
'
i
dx2
h2
(8.14)
66
Pour la dérivée troisième :
– différence divisée progressive
uniforme, on obtient la formule décentrée progressive (d’ordre un) :
u000 (xi ) =
d3 u
ui+3 − 3ui+2 + 3ui+1 − ui
(xi ) '
3
dx
h3
(8.15)
On obtiendrait de même une différence divisée regressive.
– différences divisées centrées
On a deux formules possibles. L’une utilisant des points milieux de
segments
u000 (xi ) =
ui+3/2 − 3ui+1/2 + 3ui−1/2 − ui−3/2
d3 u
(xi ) '
3
dx
h3
(8.16)
L’autre utilisant les noeuds du maillages.
d3 u
ui+2 − 2ui+1 + 2ui−1 − ui−2
(xi ) '
3
dx
h3
Ces deux formules centrées sont d’ordre deux.
u000 (xi ) =
(8.17)
Pour la dérivée quatrième :
– différence divisée centrée
uniforme, on retrouve en utilisant :
u00 (xi ) =
u0 (xi + h2 ) − u0 (xi − h2 ) h2 (4)
− u (θi )
h
24
(8.18)
deux fois la discrétisation centrée classique d’ordre deux de la dérivée
quatrième
d4 u
ui+2 − 4ui+1 + 6ui − 4ui−1 + ui−2
(xi ) '
(8.19)
4
dx
h4
On peut observer que l’on retrouve dans ces formules les coefficients du
développement du binôme.
uIV (xi ) =
8.3
Problème discret
Discrétisons le segment [a, b] en N sous-intervalles de longueur uniforme h.
Notons ui les inconnues du problème approché. Les inconnues réelles seront donc
les ui pour i = 1 à N − 1. Les valeurs deu0 et uN étant données par les conditions
aux limites de Dirichlet aux poits a et b.
67
On obtient ainsi le système de N − 1 équations linéaires suivant dont la résolution
donne les valeurs ui de la solution approchée du problème (2.1)
(
ui+1 − 2ui + ui−1
= fi pour i = 1, N − 1
h2
avec u0 = α uN = β
−
(8.20)
Ce qui s’écrit sous forme matricielle :

2
−1

1 


2
h 

0
0
  u   f + α/h2 
1
1
0




f2
u2  
0



 









f
u
=
..

i
i

 
.


 






...

−1 uN −2  
fN −2
−1 2
fN −1 + β/h2
uN −1
−1 0 · · ·
2 −1 · · ·
..
.
...
..
.
...
··· ···
(8.21)
Il ne reste alors plus qu’à résoudre ce système linéaire par des techniques standard
de factorisation ( méthodes de Gauss LU ou méthode de Choleski LLT )
8.4
Problème mixte Dirichlet-Neumann
Soit, maintenant, le problème
½ 00
−u (x) = f (x)
a<x<b
u(a) = α u0 (b) = β
(8.22)
où l’on a, cette fois, une condition de Neumann en b.
Les modifications du problème discrétisé sont les suivantes. Tout d’abord, le
nombre d’inconnues a changé. Il y a une inconnue au point b. En effet, la donnée
de u0 (b) ne dit rien de la valeur de u(b). C’est donc une nouvelle inconnue du
problème. Le problème discret a donc maintenant, sur la base du même maillage,
N inconnues ui pour i = 1 à N . D’autre part, il faut proposer une formule
discrétisée de la condition de Neumann u0 (b) = β. Or, on l’a vu, plusieurs choix
sont possibles pour approcher une dérivée première. C’est un des écueils des
méthodes de différences finies qu’elles ne donnent pas de façon naturelle une
bonne approximation des conditions de Neumann. Ici, on peut remplacer au point
b la dérivée u0 (b) soit par
uN +1 − uN
(8.23)
u0 (b) '
h
formule qui, bien que seulement d’ordre un, est cohérente avec l’approximation
centrée pour la dérivée seconde et maintient la symétrie du système matriciel.
68
soit par
u0 (b) '
uN +1 − uN −1
2h
(8.24)
formule d’ordre deux, plus précise.
On obtient dans le premier cas :

2
−1

1 


2
h 

0
0
  u  f + α/h2 
1
1
0




f2
u2  
0






  

  

f
u
=
..

i
i

 
.


  





..
. −1 uN   fN −2 
−1 1
fN + β/h
uN
−1 0 · · ·
2 −1 · · ·
..
.
..
..
.
..
.
.
··· ···
(8.25)
et dans le deuxième cas, avec une approximation centrée, du deuxième ordre,
pour la condition de Neumann :

2
−1

1 


2
h 

0
0
8.5
  u   f + α/h2 
1
1
0
 u2  

f2
0
 


 






  

fi
...
  ui  = 

  


  

...





−1
uN
fN −2
−1 1
uN
fN /2 + β/h
−1 0 · · ·
2 −1 · · ·
...
...
...
...
··· ···
(8.26)
Remarques finales
Les formules proposées ci-dessus ne représentent qu’une petite partie des
formules possibles. Ce sont les plus fréquemment utilisées. Il existe un grand
nombre de formules à tous les ordres de précision. On réfère le lecteur à la
littérature spécialisée et notamment au livre de C. HIRSCH donné dans la
bibliographie pour des compléments sur les formules de différences finies.
8.6
Exercice : Calcul d’une poutre en flexion
On considère une discrétisation (maillage) régulière d’un segment de longueur L
L
en n + 1 intervalles égaux de longueur h =
et on considère sur ce segment
n+1
le problème de poutre encastrée en flexion suivant :
69
Poutre encastrée.
 4
d



 dx4 u(x) = f (x)
pour
0<x<L
(8.27)
u(0) = u0 (0) = 0




u(L) = u0 (L) = 0
a) Ecrire le problème discrétisé correspondant en utilisant l’approximation suivante de la dérivée seconde :
u00 (xi ) ≈
ui+1 − 2 ui + ui−1
h2
On obtient le système :

 ui−2 − 4 ui−1 + 6 ui − 4ui+1 + ui+2 = f
i
h4

avec u0 = u−1 = un+1 = un+2 = 0
pour i = 1, ..n
(8.28)
Reprendre le problème dans le cas suivant :
Plongeoir.
 4
d



 dx4 u(x) = f (x)
pour
0<x<L
(8.29)
0
u(0) = u (0) = 0


 00
u (L) = u000 (L) = 0
b) Résoudre dans les cas suivants :
L = 10
L = 10
f =1
N = 8, 16, 32, ...
f = x(10 − x) N = 8, 16, 32, ...
70
Chapitre 9
Modélisation de quelques
problèmes bidimensionnels
classiques de la physique
9.1
9.1.1
Quelques exemples de problèmes physiques
Membrane élastique
f(x,y)
G
u(x,y)
Fig. 9.1 – Membrane élastique
On considère une membrane élastique plane Ω fixée sur son pourtour Γ. On
suppose la membrane soumise en tout point (x, y) à une densité de forces f
s’exerçant perpendiculairement au plan de la membrane. Sous l’action de f chaque
point de la membrane subit un petit déplacement. Le déplacement transversal,
perpendiculaire au plan de Ω est l’inconnue u de ce problème et vérifie l’équation :
(
−∆ u (x, y) = f (x, y)
u |Γ (x, y)
= 0
∀ x, y ∈ Ω
(9.1)
72
9.1.2
Conduction thermique
'
Γd
$
Ω
&
%
Γn
Fig. 9.2 – Figure 2.
On considère une plaque plane Ω de frontière Γ dont une partie Γd est à
température connue Td et une partie Γn est isolée thermiquement. La température
T à l’équilibre vérifie l’équation

−σ ∆ T (x, y) = f (x, y)




T | Γd (x, y)
= Td (x, y)


∂T


(x, y) = 0
∂n | Γn
9.1.3
∀ x, y ∈ Ω
(9.2)
Mécanique des fluides parfaits
Soit Ω le domaine interne d’une tuyère, on considère l’écoulement d’un fluide
parfait, incompressible non-visqueux, à l’intérieur de cette tuyère. L’écoulement
étant incompressible, il est à divergence nulle et donc le vecteur vitesse u du fluide
peut s’écrire comme le rotationnel d’une fonction ψ dite fonction de courant. On
a:
∂ψ
∂ψ
u = rot ψ = (
,−
)
(9.3)
∂y
∂x
Γ1
Γe
Γs
Ω
Γ0
Figure 3.
Les lignes iso-ψ sont les lignes de courant du fluide. La fonction de courant ψ
vérifie également une équation de Poisson, qui s’écrit dans le cas d’un écoulement
Modélisation de problèmes physiques
73
irrotationnel (cas d’un profil de vitesse constant en entrée ) :

− ∆ ψ (x, y)






 ψ | Γ0 (x, y)



ψ | Γ1 (x, y)


ψ | Γe (x, y)






∂ψ


(x, y)
∂n | Γs
= 0
∀ x, y ∈ Ω
= 0
= 1
(9.4)
= ψe (x, y)
= 0
En définitive tous les problèmes précédents appartiennent à la famille des
problèmes elliptiques suivants

− ∆ u (x, y) = f (x, y)




u | Γd
= ud


∂u


= g
∂n | Γn
∀ x, y ∈ Ω
(9.5)
On peut également rencontrer, dans le cas de matériaux non uniformes l’opérateur
div(σgradu) au lieu du laplacien ∆u dans des problèmes du type de (3.5).
9.2
Approximation par différences finies
Comme en dimension un, la première étape consiste à discrétiser le domaine.
C’est dans l’application aux problèmes bidimensionnels et tridimensionnels que
la méthode des différences finies présente sa plus sévère limitation. En effet
elle n’est bien adaptée qu’à la discrétisation de domaines rectangulaires ou
parallélépipèdiques par des maillages formées de grilles perpendiculaires. Les
dérivées partielles dans chaque direction d’axe étant approchées comme les
dérivées en dimension un.
i,j+1,k
i,j,k+1
i,j+1
i-1,j
i,j
i+1,j
¡
¡
¡i,j,k
i-1,j,k
¡
i+1,j,k
i,j,k-1
i,j-1,k
i,j-1
Figure 2.2 : Grilles différences finies bidimensionnelles et tridimensionnelles.
74
9.2.1
Discrétisation géométrique
Dans le cas de domaines rectangulaires (ou parallélépipédiques en dimension 3)
de côtés parallèles aux axes, on construit une grille de discrétisation en différences
finies par quadrillage selon les deux (trois ) directions d’axes. On notera ∆x le
pas de discrétisation selon x et de même ∆y et ∆z les pas de discrétisation en
y et z. On obtient ainsi aux intersections des lignes du quadrillage les noeuds
de coordonnées (xi , yj , zk ) du maillage en différences finies. Cette technique de
maillage est généralisable aux assemblages de rectangles (ou de parallélépipédes)
ainsi qu’aux domaines se ramenant par bijection régulière à un rectangle (ou un
parallélépipéde). Par contre dans le cas de géométries complexes les discrétisations
par éléments finis sont mieux adaptées.
9.2.2
Quelques formules simples d’approximation des dérivées
partielles par différences finies
Notons, en dimension deux, ui,j l’approximation de la valeur exacte u(xi , yj )
pour le point d’indice i, j de la grille.
Pour les dérivées partielles premières :
– différences divisées progressives : on a les approximations suivantes :
∂u
ui+1,j − ui,j
(xi , yj ) '
∂x
∆x
∂u
ui,j+1 − ui,j
(xi , yj ) '
∂y
∆y
(9.6)
– différences divisées regressives : on considère cette fois les approximations :
∂u
ui,j − ui−1,j
∂u
ui,j − ui,j−1
(xi , yj ) '
(xi , yj ) '
(9.7)
∂x
∆x
∂y
∆y
– différences divisées centrées : on obtient (comme en dimension un) une
approximation du second ordre :
ui+1/2,j − ui−1/2,j
ui,j+1/2 − ui,j−1/2
∂u
∂u
(xi , yj ) '
(xi , yj ) '
(9.8)
∂x
∆x
∂y
∆y
On en déduit, par double différentiation, l’approximation centrée d’ordre deux du
Laplacien
−∆u(xi , yj ) '
−ui+1,j + 2 ui,j − ui−1,j −ui,j+1 + 2 ui,j − ui,j−1
+
∆x2
∆y 2
(9.9)
Et plus généralement l’approximation de div(σgradu) :
−div(σgradu)(xi ,yj )'−
−
σ(xi+1/2 ,yj ) (ui+1,j −ui,j )+σ(xi−1/2 ,yj ) (ui,j −ui−1,j )
∆x2
σ(xi ,yj+1/2 )(ui,j+1 −ui,j )+σ(xi ,yj−1/2 )(ui,j −ui,j−1 )
∆y 2
(9.10)
Modélisation de problèmes physiques
75
On obtient ainsi le système d’équations linéaires dont la résolution donne les
valeurs ui,j de la solution approchée du problème −div(σgradu) = f selon
−σ(xi+1/2 ,yj ) ui+1,j +(σ(xi+1/2 ,yj )+σ(xi−1/2 ,yj )) ui,j −σ(xi−1/2 ,yj )ui−1,j
∆x2
−σ(xi ,yj+1/2 ) ui,j+1 +(σ(xi ,yj+1/2 )+σ(xi ,yj−1/2 )) ui,j −σ(xi ,yj−1/2 )ui,j−1
=fi,j
∆y 2
(9.11)
On doit y ajouter la prise en compte des conditions aux limites. Pour les conditions
de Dirichlet, il suffit de fixer les valeurs de ui,j correspondant aux valeurs données
sur la frontière Γd . Pour les conditions de Neumann, on doit discrétiser
∂u
=g
∂n | Γn
Il y a plusieurs choix possibles pour approcher la dérivée normale en différences
finies. Le bon choix, qui conserve la symétrie de la matrice du système linéaire
global, et qui s’interprète de manière naturelle en éléments finis, consiste à
∂u
remplacer, selon le côté de frontière concerné, la dérivée normale
par une
∂n | Γn
des quatre expressions
ui+1,j − ui,j
,
∆x
ui,j − ui−1,j
,
∆x
ui,j+1 − ui,j
,
∆y
ui,j − ui,j−1
∆y
(9.12)
Il est alors nécessaire de numéroter les ui,j pour qu’elles constituent les composantes UI d’un vecteur inconnu U . La numérotation influe sur la structure de la
matrice. On utilise des algorithmes de numérotation optimale afin de minimiser
le stockage (”profil”) de la matrice. Il ne reste alors plus qu’à résoudre le système
linéaire obtenu par des méthodes directes de factorisation (méthodes de Gauss
LU ou méthode de Choleski LLT ) ou par de méthodes itératives.
76
Chapitre 10
Introduction aux problèmes
d’évolution. L’équation de la
chaleur instationnaire.
10.1
Position du problème
La température u(x, y, t) d’un corps plan de surface Ω, de densité ρ, de chaleur
spécifique c et de conductivité thermique k est régie au cours du temps par
l’équation :
ρc
∂u
= div(k gradu) + f
∂t
∀(x, y) ∈ Ω
et
∀t ∈ [0, T ]
(10.1)
où f représente la puissance volumique fournie au corps Ω.
Si la conductivité k est constante, l’équation se réduit à :
ρc
∂u
= k ∆u + f
∂t
∀(x, y) ∈ Ω
et
∀t ∈ [0, T ]
(10.2)
Ce problème du premier ordre en temps est le modèle des problèmes paraboliques.
La détermination de la solution nécessite de fixer une condition initiale en
temps : valeur de la température u au temps 0.
u(x, y, 0) = u0 (x, y)
(10.3)
On dit que le problème est un problème à valeur initiale ou problème de Cauchy.
D’autre part, un certain nombre de conditions aux limites sur la frontière Γ du
domaine peuvent être prises en compte pour déterminer complètement la solution.
78
– Conditions de type Dirichlet lorsque la température est fixée sur une partie
de la frontière
– Conditions de type Neumann si le flux thermique est fixé ( nul dans le cas
d’un matériau isolé thermiquement)
– Conditions de type Fourier dans le cas le plus général,... etc, comme dans
le cas stationnaire.
Remarque : solution stationnaire.
Lorsque la température ne dépend plus du temps (régime permanent ou stationnaire), on retrouve l’équation déjà étudiée :
(
− div(k gradu) = f
∀(x, y) ∈ Ω
(10.4)
+ Conditions aux limites sur Γ
10.2
Etude des schémas de différences finies
dans le cas monodimensionnel
10.2.1
Introduction
Une première méthode pour résoudre numériquement les problèmes d’évolution
consiste à discrétiser le problème continu par différences finies. Plaçons nous
dans le cas monodimensionnel suivant pour simplifier. On considère une barre
de longueur L dont la température est fixée à zéro aux extrémités. L’équation de
la température au cours du temps s’écrit :

∂
∂2


u(x,
t)
=
u(x, t) + f (x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

 ∂t
∂x2
u(x, 0) = u0 (x) donnée : condition initiale




u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogènes
(10.5)
On choisit une discrétisation régulière de [0, L] en intervalles de longueur ∆x
tels que L = M ∆x et une discrétisation de l’intervalle de temps [0, T ] en pas de
temps de longueur ∆t tels que T = N ∆t. Notons xj le point j∆x et tn le temps
n∆t. Notons unj la valeur de la solution approchée au point xj et au temps tn .
Définition 10.2.1 Un schéma aux différences finies est dit schéma à p pas en
temps si les valeurs un+1
des solutions approchées au temps tn+1 sont fonctions des
j
valeurs aux p instants précédents, soit aux temps tn , tn−1 , ...tn−p+1 . En particulier,
un schéma est dit à un pas si les un+1
ne dépendent que des unj .
j
Les deux principales propriétés d’un schéma numérique sont :
Schémas pour l’équation de la chaleur
79
l’ordre du schéma qui mesure la précision ou erreur de troncature mathématique
commise en remplaçant les dérivées partielles exactes par leurs approximations
sous formes de différences divisées. L’ordre est déterminé par des développements
de Taylor obtenus en injectant dans l’écriture du schéma numérique la fonction
solution continue exacte du problème différentiel.
la stabilité du schéma concerne l’évolution du vecteur des valeurs approchées
de la solution aux points xj au cours des temps tn ( et non plus la solution
exacte continue) dans le cas concret où ∆t et ∆x ne tendent pas vers zéro, mais
ont des valeurs fixées. Numériquement, ce critère est relatif à la propagation et
l’amplification des erreurs d’arrondis, la condition minimale de stabilité impose
que le vecteur de composantes unj reste borné pour tout n ∈ [0, N ]. Sinon, il n’est
même pas calculable. Si l’on désire de plus que la solution approchée reproduise
le comportement de la solution exacte au cours du temps, on devra imposer des
conditions de stabilité plus sévères. Par exemple, dans le cas de l’équation de
la chaleur, on cherche à reproduire sur la solution numérique le comportement
dissipatif du problème continu. On choisira donc des schémas tels que la solution
approchée soit décroissante au cours du temps.
10.2.2
Le Schéma d’Euler explicite
Nous allons préciser les définitions des notions d’ordre et de stabilité en nous
appuyant sur l’exemple le plus simple de schéma numérique : le schéma d’Euler
explicite (en temps et centré (en espace).
Considérons le problème

∂
∂2


u(x,
t)
=
u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

 ∂t
∂x2




(10.6)
et choisissons les approximations classiques suivantes des dérivées première et
seconde par différences finies
u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn )
∂
u(xj , tn ) ≈
∂t
∆t
( à O(∆t) près)
(10.7)
∂2
u(xj+1 , tn ) − 2u(xj , tn ) + u(xj−1 , tn )
u(xj , tn ) ≈
( à O(∆x2 ) près) (10.8)
2
∂x
∆x2
Remplaçons les dérivées partielles par leurs approximations en différences finies
ci-dessus et la fonction inconnue u par une collection de valeurs discrètes unj
80
pour j = 0, ..M et n = 0, ..N . Nous obtenons un premier exemple de schéma
d’approximation en différences finies de l’équation de la chaleur : le schéma
d’Euler explicite (en temps) et centré (en espace).
 n+1
uj − unj
unj+1 − 2unj + unj−1


=


∆t
∆x2
(10.9)
u0j = u0 (xj ) donnée : condition initiale



 n
u0 = unM = 0 ∀n : conditions aux limites de Dirichlet homogènes
Ce schéma est un schéma à un pas, car le vecteur des solutions approchées au
temps tn+1 ne dépend que des solutions approchées au temps tn . C’est un schéma
explicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps tn+1
en fonction des valeurs de la solution au temps précédent. Il n’y a pas d’équation
à résoudre pour obtenir la valeur au nouvel instant tn+1 .
10.2.3
Ordre
Notons S∆x,∆t u(xj , tn ) l’application d’un schéma aux différences finies à la
solution continue u. Par exemple pour le schéma d’Euler explicite centré :
S∆x,∆t u(xj , tn ) =
u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn ) u(xj+1 , tn ) − 2u(xj , tn ) + u(xj−1 , tn )
−
∆t
∆x2
(10.10)
Définition 10.2.2 Un schéma aux différences finies est d’ordre p en temps et
d’ordre q en espace si la différence entre l’équation et le schéma appliqué à la
fonction solution du problème continu est un infiniment petit d’ordre p en temps
et d’ordre q en espace. C’est à dire si l’on a :
¯ ∂
¯
∂2
¯
¯
u(xj , tn ) − S∆x,∆t u(xj , tn ) ] ¯ = O(∆tp ) + O(∆xq ) (10.11)
¯ u(xj , tn ) −
2
∂t
∂x
Un schéma consistant est un schéma tel que l’expression ci-dessus tende vers
zéro avec ∆t et ∆x.
Application : le schéma d’Euler explicite est d’ordre un en temps et d’ordre
deux en espace. On montrera en exercice que l’on obtient en effet pour ce schéma
∂2
u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn )
∂
u(xj , tn ) −
u(xj , tn ) − [
−
2
∂t
∂x
∆t
∆t ∂ 2
∆x2 ∂ 4
]
=
−
u(x
,
θ)
+
u(ξ, tn )
j
∆x2
2 ∂t2
12 ∂x4
(10.12)
81
Remarque : Au point xj , tn en dérivant l’équation on a :
∂2
∂4
u(x
,
t
)
=
u(xj , tn )
j
n
∂t2
∂x4
(10.13)
on pourrait optimiser l’ordre par un choix de pas de temps et d’espace tel que
∆t
∆x2
=
2
12
(10.14)
On obtiendrait alors l’ordre 2 en temps et l’ordre 4 en espace. Malheureusement
ceci n’est possible que pour des maillages réguliers à pas constants et n’est pas
généralisable au cas des éléments finis.
10.2.4
Stabilité
Dans le cas de schémas à un pas appliqués à des problèmes linéaires, le vecteur
des solutions approchées au temps tn+1 est lié au vecteur des solutions approchées
au temps tn par une relation matricielle. Considérons le problème modèle
∂
∂2
u(x, t) =
u(x, t)
∂t
∂x2
(10.15)
et appliquons un schéma numérique à un pas. Nous pouvons exprimer le vecteur
U n+1 des valeurs de la solution au temps tn+1 en fonction du vecteur U n des
solutions au temps tn par :
U n+1 = C(∆t, ∆x) U n
(10.16)
où C est une matrice caractérisant le schéma et dépendant des pas de temps et
d’espace.
On en déduit :
U n = Cn U 0
(10.17)
où U 0 est le vecteur des conditions initiales.
La condition minimale de stabilité s’exprime par le fait que kU n k reste borné
quel que soit n. Une condition plus forte impose la décroissance de kU n k quand
n augmente.
Condition de stabilité.
Le schéma est stable s’il existe τ > 0 tel que kC n k soit uniformément borné pour
tout n et tout ∆t vérifiant les conditions :
0 < ∆t < τ
et
0 ≤ n∆t ≤ T
(10.18)
82
Ce critère minimal de stabilité entraı̂ne simplement que la suite U n ne soit pas
explosive. Il est satisfait si l’on a la majoration
kCk ≤ 1 + c ∆t
(10.19)
En effet dans ce cas :
kCk ≤ 1 + c ∆t =⇒ kU n k ≤ (1 + c∆t)n kU 0 k ≤ ecn∆t kU 0 k ≤ ecT kU 0 k (10.20)
U n reste borné pour tout n = 0, ..N . Mais la constante de majoration est
exponentielle en la durée d’intégration en temps T et donc devient très grande
avec T .
On peut en conséquence préférer des conditions de stabilité plus restrictives telles
que :
kCk ≤ 1
(10.21)
En effet on a alors
kU n k ≤ kU 0 k ∀n = 0, ..N
(10.22)
Si l’on veut de plus que la solution numérique reproduise le comportement
décroissant de la solution exacte on imposera l’inégalité stricte
kCk ≤ α < 1
(10.23)
qui entraı̂ne la décroissance de la norme de U n .
10.2.5
Etude matricielle de la stabilité
Supposons que le schéma s’exprime sous la forme matricielle présentée plus haut,
on déduira la stabilité de majorations de la norme de la matrice C souvent
obtenues par le calcul de ses valeurs propres.
Exemple : le schéma d’Euler explicite
Reprenons le problème

∂2
∂


u(x,
t)
=
u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]


∂t
∂x2




u(x, 0) = u0 (x) condition initiale donnée








u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions de Dirichlet homogènes
(10.24)
83
et appliquons le schéma d’Euler
 n+1
uj − unj


=


∆t
∆x2



 n
(10.25)
On obtient aisément l’écriture matricielle :
U n+1 = [ I −
∆t
A ] Un
∆x2
(10.26)
où A est la matrice tridiagonale symétrique déjà rencontrée lors de la discrétisation
de la dérivée seconde.


2 −1 0 · · · 0
 −1 2 −1 · · · 0 


... ... ...


A=
(10.27)



.
.
.
..
..
. . −1 
 0
0 · · · · · · −1 2
On peut calculer en exercice les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
On obtient pour les valeurs propres de A :
λk = 4 sin2
kπ
2M
pour k = 1, ...M − 1
(10.28)
où M dénote le nombre d’intervalles de discrétisation de [0, L] et donc où la
dimension de A est égale à M − 1.
∆t
La matrice C = I −
A est une matrice symétrique réelle. Ses vecteurs
∆x2
propres sont ceux de A , ses valeurs propres sont égales à :
µk = 1 −
∆t
λk
∆x2
(10.29)
∆t
Ak2 kU n k2
∆x2
(10.30)
Majorons la norme euclidienne de U n+1
kU n+1 k2 ≤ k I −
∆t
Comme la matrice C = I −
A est une matrice symétrique, sa norme
∆x2
euclidienne est égale à son rayon spectral
kI −
∆t
∆t
∆t
2 kπ
Ak
=
ρ(
I
−
A)
=
max
|
1
−
4
sin
(
)|
2
k=1,..M −1
∆x2
∆x2
∆x2
2M
(10.31)
84
La condition de stabilité kCk ≤ 1 se traduit donc par :
max
k=1,..M −1
|1 − 4
∆t
kπ
∆t
(M − 1)π
) | ≤ 1 soit 4 2 sin2 (
) ≤ 2 (10.32)
sin2 (
2
∆x
2M
∆x
2M
Ceci sera assuré dès que l’on aura la majoration
∆t
1
≤
2
∆x
2
(10.33)
Cette condition est la condition classique de stabilité du schéma d’Euler explicite
pour l’équation de la chaleur. Elle impose des pas de temps très petits, ce
qui condamne pratiquement l’usage de ce schéma explicite pour les problèmes
paraboliques.
10.2.6
Autres exemples de schémas à un pas
Schéma d’Euler implicite
On considère, pour la discrétisation du même problème, le schéma implicite
suivant :
 n+1
n+1
u
− unj
un+1
+ un+1

j+1 − 2uj
j−1
 j
=


∆t
∆x2
(10.34)



 n
Ce schéma est dit implicite car le calcul de la solution au pas de temps n + 1
nécessite la résolution d’un système matriciel.
Ordre du schéma
Un développement de Taylor permet de vérifier simplement que ce schéma est
d’ordre un en temps et d’ordre deux en espace comme le schéma explicite
(exercice).
Stabilité du schéma
La même analyse matricielle conduit au résultat suivant :
[I +
∆t
A ] U n+1 = U n
2
∆x
(10.35)
La matrice d’itération C est cette fois égale à :
C = (I +
∆t
A)−1
∆x2
(10.36)
85
Ses valeurs propres sont :
1
(10.37)
∆t
1+
λk
∆x2
Elles sont donc strictement positives et strictement inférieures à 1 pour tout k. Ce
qui entraı̂ne la stabilité inconditionnelle ( quels que soient ∆t et ∆x ) du schéma
implicite
µk =
Observons que l’on a, avec ce schéma décroissance de la solution approchée au
cours des pas de temps.
kU n+1 k2 ≤
1
kU n k2
∆t
1+
λ1
∆x2
avec λ1 = 4 sin2 (
π
)
2M
(10.38)
Schéma de Crank Nicolson ou schéma des trapèzes
On considère, pour la discrétisation du même problème, le schéma implicite
suivant :
 n+1
n+1
uj − unj
un+1
+ un+1
1 £ unj+1 − 2unj + unj−1

j+1 − 2uj
j−1 ¤

=
+


2
2
∆t
2
∆x
∆x
(10.39)
0
 uj = u0 (xj ) donnée : condition initiale


 n
u0 = unI = 0 ∀n : conditions aux limites de Dirichlet homogènes
Ce schéma est dit implicite car le calcul de la solution au pas de temps n + 1
nécessite la résolution d’un système matriciel. Il correspond à une intégration en
temps approchée selon la formule des trapèzes sur les instants tn et tn+1 .
Ordre du schéma
Ce schéma est d’ordre deux en temps et en espace (exercice).
Stabilité du schéma
Le même type d’analyse matricielle que précédemment conduit au résultat
suivant :
∆t
∆t
A ] U n+1 = [ I −
A ]U n
(10.40)
[I +
2
2
2∆x
2∆x
La matrice d’itération C est cette fois égale à :
C = (I +
∆t
∆t
A)−1 ( I −
A)
2
2∆x
2∆x2
(10.41)
86
Ses valeurs propres sont :
∆t
λ
2 k
2∆x
µk =
(10.42)
∆t
λ
1+
k
2∆x2
Elles sont donc de module inférieur à 1 pour tout k ( exercice) . Ce qui entraı̂ne
la stabilité inconditionnelle ( quels que soient ∆t et ∆x ) du schéma de Crank
Nicolson.
1−
La méthode précédente se complique dans le cas de schémas à plusieurs pas, nous
allons présenter ci-dessous une technique de calcul plus simple et adaptable au
cas de schémas multipas.
10.2.7
Étude de la stabilité par l’analyse de Fourier
Une technique simple de calcul de la stabilité d’un schéma est donnée dans le
cas de problèmes linéaires par l’analyse de Fourier. Rappelons l’analyse présentée
au paragraphe 4.3.1. Nous avions exprimé la solution u de l’équation de la chaleur

∂
∂2


u(x,
t)
=
u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

 ∂t
∂x2




sous la forme du développement :
u(x, t) =
X
ũk (t)sin(
k
kπ
x)
L
En utilisant de nouveau la linéarité du problème et le principe de superposition,
nous observons que la solution, dans le cas de conditions aux limites linéaires
quelconques, Dirichlet, Neumann, Fourier ou périodiques s’écrit sous la forme
générale :
X
u(x, t) =
ũk (t)eikx
k∈Z
où k est un coefficient réel intégrant le nombre d’onde, le type de conditions aux
limites et la dimension du domaine. Les coefficients de Fourier ũk vérifient chacun
une équation différentielle en temps dont la solution s’écrit :
ũk (t) = ũk (0) exp(−k 2 t)
On a donc
ũk (t + ∆t) = exp(−k 2 ∆t) ũk (t)
87
Faisons la même analyse dans le cas discret. Injectons dans le schéma numérique
une suite de solutions de la forme
unj = ũnk eikj∆x
Ces solutions ont pour conditions initiales
u0j = ũ0k eikj∆x
et correspondent chacune à une composante harmonique. L’étude de la stabilité
se ramène à l’étude de l’évolution au cours des pas de temps n des suites ũnk
quand n augmente. La condition minimale de stabilité numérique nécessite que
les nombres ũnk restent bornés ∀ k et ∀ n = 0, ...N . Si l’on veut de plus décroissance
de la solution approchée, on devra avoir décroissance des ũnk quand n augmente.
Dans les schémas à p pas, on obtient les ũn+1
par multiplication par une matrice
k
d’amplification G(∆t, k) selon :






ũn+1
k
ũnk
:
:
n−p+2
ũk




 = G(∆t, k)







ũnk
ũkn−1
:
:
n−p+1
ũk






Dans les schémas à un pas, la matrice d’amplification se réduit à un facteur
d’amplification G(∆t, k) tel que ũn+1
= Gk (∆t) ũnk .
k
Nous obtenons alors les conditions de stabilité suivantes :
Condition nécessaire de stabilité de Von Neumann
Pour que le schéma soit stable, il faut qu’il existe τ > 0 tel que les valeurs propres
λi de la matrice d’amplification G(∆t, k) soient toutes majorées en module selon :
|λi | ≤ 1 + c∆t ∀i = 1, ..p
avec c > 0, quel que soit k et pour tout 0 < ∆t < τ
Dans le cas de schéma à un pas la matrice d’amplification se réduit à un facteur
scalaire et la condition de Von Neuman est suffisante.
88
Conditions suffisantes de stabilité
1) Si la matrice d’amplification est normale, c’est à dire qu’elle commute avec son
adjointe (ou transposée dans le cas réel)
G G∗ = G∗ G
ou bien, ce qui est équivalent, si elle admet une base de vecteurs propres
orthonormés, alors la condition de Von Neumann est suffisante.
2) La condition précédente étant parfois difficile à vérifier, on peut utiliser la
condition suffisante suivante : le schéma est stable si les coefficients de la matrice
G(∆t, k) sont bornés et si ses valeurs propres sont toutes de module strictement
inférieur à 1 sauf éventuellement une de module égal à 1.
Un premier exemple simple d’application : le schéma d’Euler
Posons
et calculons le facteur d’amplification Gk (∆t) tel que ũn+1
= Gk (∆t) ũnk . On
k
obtient :
ũn+1
− ũnk
exp(ik∆x) − 2 + exp(−ik∆x)
k
exp(ikj∆x) =
exp(ikj∆x) ũnk
2
∆t
∆x
soit :
ũn+1
= [1 +
k
∆t
∆t
k
(2 cos(k∆x) − 2] ũnk = [ 1 − 4
sin2 ( ∆x) ] ũnk
2
2
∆x
∆x
2
∆t
1
La condition |Gk (∆t)| ≤ 1 ∀k nécessite
≤ . On retrouve évidemment des
2
∆x
2
calculs analogues et le même résultat que par l’analyse matricielle faite plus haut.
Un exemple simple de schéma implicite à 2 pas : le schéma de Gear
Considérons le schéma suivant pour l’équation de la chaleur monodimensionnelle :
1
∆t
3 n+1
+ un+1
=
uj − 2unj + un−1
[ un+1 − 2un+1
j−1 ]
j
j
2
2
∆x2 j+1
Posons comme précédemment
89
Un calcul simple conduit au résultat suivant
Ã
Ã n+1 !  2
!
1
ũk
ũnk
−
a 
= a
ũnk
ũn−1
k
1 0
avec a =
∆t
k
3
+4
sin2 ( ∆x)
2
2
∆x
2
Les valeurs propres de la matrice 2 × 2 d’amplification ci-dessus sont racines de
λ2 −
2
1
λ+
=0
a
2a
2−a
On trouve le discriminant ∆0 =
. On obtient si a > 2 deux racines complexes
2a2
r
1
conjuguées de module
< 1 et dans le cas a ≤ 2 deux racines réelles dont la
2a
plus grande en valeur absolue vaut
r
1
2−a
+
<1
a
2a2
On a donc stabilité inconditionnelle de ce schéma qui se révèle dans la pratique
particulièrement adapté dans le cas d’équations “raides”, c’est à dire dans
lesquelles on aurait de fortes variations locales des constantes thermiques.
90
Chapitre 11
conservatifs. L’équation de
transport
11.1
Considérons un champ de vitesses V(x, y, t) donné et une grandeur scalaire
u(x, y, t) transportée au cours du temps par le champ V à travers un domaine
plan Ω de bord Γ. À chaque instant t, u vérifie l’équation :
∂u
+ Vgradu = f
∂t
∀(x, y) ∈ Ω
et
∀t ∈ [0, T ]
(11.1)
où f désigne un second membre éventuel représentant des sources ou des puits de
la grandeur u. Ce problème du premier ordre en temps est un modèle de problème
conservatif. La détermination de la solution nécessite de fixer une condition
initiale en temps : la valeur de u au temps 0. u(x, y, 0) = u0 (x, y) On obtient
ainsi un problème à valeur initiale ou problème de Cauchy.
Les conditions aux limites choisies sur la frontière Γ doivent être cohérentes avec
l’équation de transport. On ne peut fixer les valeurs de u que sur les parties de
Γ sur lesquelles le champ de vitesse est entrant. Par contre il convient de laisser
libres les valeurs de u en sortie.
11.2
Étude des schémas de différences finies
Plaçons nous dans le cas monodimensionnel d’un tube de longueur L et dans
le cas d’un transport pur (f = 0) pour simplifier. On choisit une discrétisation
92
régulière de [0, L] en intervalles de longueur ∆x tels que L = M ∆x et une
discrétisation de l’intervalle de temps [0, T ] en pas de temps de longueur ∆t
tels que T = N ∆t. Notons xj le point j∆x et tn le temps n∆t. Notons unj la
valeur de la solution approchée au point xj et au temps tn .

∂
∂



 ∂t u(x, t) + c ∂x u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]
u(x, 0) = u0 (x) données : condition initiale




u(0, t) = a
11.2.1
(11.2)
Un premier schéma explicite centré instable
On considère le schéma discret évident suivant :
un+1
− unj
unj+1 − unj−1
j
+c
=0
∆t
2∆x
(11.3)
Ce schéma est clairement (exercice) d’ordre un en temps et deux en espace.
Etudions la stabilité. Posons
(11.4)
nous obtenons :
ũn+1
− ũnk + c
k
∆t
i sin(k∆x)ũnk = 0
∆x
(11.5)
Soit
ũn+1
= (1 − iα) ũnk
k
(11.6)
avec
∆t
sin(k∆x)
(11.7)
∆x
Les coefficients d’amplification Gk sont donc de module > 1. On en déduit
l’instabilité de ce schéma quel que soit ∆t. Ce résultat négatif a fait couler
beaucoup d’encre et a suscité de nombreuses recherches de schémas stables par
modifications simples de ce schéma naturel.
α=c
11.2.2
Schémas implicites centrés stables
On obtient évidemment des schémas stables en prenant des schémas implicites en
temps. Par exemple on peut considérer le schéma de type Euler implicite suivant :
n+1
un+1
− unj
un+1
j
j+1 − uj−1
+c
=0
∆t
2∆x
(11.8)
Schémas pour l’équation de transport
93
On montrera en exercice que ce schéma d’ordre un en temps et deux en espace.
est inconditionnellement stable.
On peut également considérer le schéma de type Crank Nicolson suivant :
n+1
un+1
− unj
un+1
c £ unj+1 − unj−1
j
j+1 − uj−1 ¤
+
+
=0
∆t
2
2∆x
2∆x
(11.9)
Schéma d’ordre deux en temps et en espace inconditionnellement stable et
conservatif (les coefficients d’amplification sont des complexes de module un).
11.2.3
Schémas explicites stables
Schéma de Lax
On remplace au premier membre des équations du schéma explicite centré instable
unj+1 + unj−1
unj par
. Ceci peut s’interpréter comme un lissage en x ou comme
2
∆x2 ∂ 2 u
approximant
.
l’ajout d’un terme dissipatif
2∆t
2∆t ∂x2
On obtient alors le schéma de Lax suivant :
un
+un
j−1
un+1
− j+1 2
j
∆t
unj+1 − unj−1
+c
=0
2∆x
(11.10)
On montrera en exercice que ce schéma est d’ordre un en temps et stable sous la
condition de Courant Friedrichs Lewy dite condition CFL
c∆t
≤1
∆x
(11.11)
Schéma de Lax-Wendroff
On ajoute au schéma explicite instable un terme dissipatif en O(∆t) corresponc2 ∆t ∂ 2
dant à une discrétisation de
. Une interprétation classique de cette mo2 ∂x2
dification consiste à remarquer que le développement de Taylor
u(xj , tn+1 ) = u(xj , tn ) + ∆t
∂u ∆t2 ∂ 2 u
+
+ O(∆t3 )
∂t
2 ∂t2
(11.12)
devient en utilisant l’équation
∂u
∂u
+c
=0
∂t
∂x
(11.13)
94
u(xj , tn+1 ) = u(xj , tn ) + ∆t
∂u c2 ∆t2 ∂ 2 u
+
+ O(∆t3 )
∂t
2 ∂x2
(11.14)
c2 ∆t unj+1 − 2unj + unj−1
L’ajout des termes
donnera le second ordre en temps au
2
∆x2
schéma et assurera sa stabilité.
On obtient le schéma de Lax-Wendroff suivant :
un+1
− unj
unj+1 − unj−1 c2 ∆t unj+1 − 2unj + unj−1
j
+c
−
=0
∆t
2∆x
2
∆x2
On calculera en exercice le coefficient d’amplification Gk de ce schéma.
(11.15)
Chapitre 12
hyperboliques. L’équation des
ondes
12.1
Considérons une membrane élastique de surface Ω, plane au repos et fixée sur
son bord Γ. Lors de petites vibrations transversales, le déplacement normal au
plan d’équilibre en tout point x, y de Ω et à chaque instant t est une fonction
u : x, y, t −→ u(x, y, t) qui vérifie l’équation :
∂ 2u
= c2 ∆u + f
2
∂t
∀(x, y) ∈ Ω
et
∀t ∈ [0, T ]
(12.1)
où c désigne la vitesse des ondes. Ce problème du second ordre en temps est un
modèle de problème hyperbolique. La détermination de la solution nécessite de
fixer deux conditions initiales en temps : valeur du déplacement transversal
u et de sa dérivée partielle en temps, au temps 0. u(x, y, 0) = u0 (x, y)
∂
u(x, y, 0) = u1 (x, y)
∂t
(12.2)
On obtient ainsi un problème à valeur initiale ou problème de Cauchy.
Les conditions aux limites choisies sur la frontière Γ sont des conditions de
Dirichlet homogènes mais on pourrait choisir d’autres types de conditions aux
limites comme dans les cas stationnaires ou paraboliques.
Remarque : solution stationnaire.
Lorsque la solution ne dépend plus du temps (régime permanent ou stationnaire)
96
on retrouve une équation déjà étudiée de forme :
(
− ∆u = f
∀(x, y) ∈ Ω
+ Conditions aux limites sur Γ
(12.3)
12.2
Étude des schémas de différences finies
12.2.1
Première approche : discrétisation directe de l’équation
du second ordre
Une première méthode pour résoudre numériquement ce problème d’évolution
consiste à discrétiser l’équation du second ordre par différences finies. Plaçons
nous dans le cas monodimensionnel d’une corde de longueur L pour simplifier.
On choisit une discrétisation régulière de [0, L] en intervalles de longueur ∆x tels
que L = M ∆x et une discrétisation de l’intervalle de temps [0, T ] en pas de temps
de longueur ∆t tels que T = N ∆t. Notons xj le point j∆x et tn le temps n∆t.
Notons unj la valeur de la solution approchée au point xj et au temps tn .

∂2
∂2


 2 u(x, t) = c2 2 u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]


∂x
 ∂t
∂
0
u(x, 0) = u1 (x) données : condition initiale
u(x,
0)
=
u
(x)
et



∂t


 u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogènes
(12.4)
et choisissons les approximations classiques suivantes des dérivées secondes par
différences finies
u(xj , tn+1 ) − 2u(xj , tn ) + u(xj , tn−1 )
∂2
u(xj , tn ) ≈
2
∂t
∆t2
( à O(∆t2 ) près)
∂2
u(xj , tn ) ≈
2
∂x
∆x2
( à O(∆x2 ) près) (12.6)
(12.5)
Remplaçons les dérivées partielles par leurs approximations en différences finies
ci-dessus et la fonction inconnue u par une collection de valeurs discrètes unj
pour j = 0, ..M et n = 0, ..N . Nous obtenons un premier exemple de schéma
d’approximation en différences finies de l’équation des ondes :
Schémas pour l’équation des ondes
12.2.2
97
Le schéma différences finies explicite (en temps )
et centré ( en espace)
 n+1
un − 2unj + unj−1

j
2 j+1

=
c


∆t2
∆x2
u0j = u0 (xj ) et u1j = u0 (xj ) + ∆t u1 (xj ) déduits des conditions initiales



 n
(12.7)
Ce schéma est un schéma explicite car il donne une formule explicite de calcul
de la solution au temps tn+1 en fonction des valeurs de la solution au temps
précédent. Il n’y a pas d’équation à résoudre pour obtenir la valeur au nouvel
instant tn+1 .
Ordre
Ce schéma explicite est d’ordre deux en temps et en espace (exercice).
Stabilité
Dans le cas de schémas numériques appliqués à des problèmes hyperboliques
nous choisirons, comme condition de stabilité, d’imposer au vecteur des solutions
approchées d’être conservé ou de décroı̂tre en norme au cours du temps.
12.2.3
Etude de la stabilité par l’analyse de Fourier.
Reprenons la technique de calcul de la stabilité des schémas par l’analyse de
Fourier.
Injectons dans le schéma numérique une suite de solutions de la forme
(12.8)
obtenues à partir de conditions initiales
u0j = ũ0k eikj∆x
(12.9)
et correspondant chacune à une composante harmonique. L’étude de la stabilité
se ramène à l’étude de l’évolution au cours des pas de temps n des suites ũnk
quand n augmente. La condition minimale de stabilité numérique nécessite que
98
les nombres ũnk restent bornés ∀ k et ∀ n = 0, ...N . Nous imposerons ici que les
nombres ũnk soient conservés ou décroissants en module quand n augmente.
Dans les schémas à p pas, on obtient les ũn+1
par multiplication par une matrice
k
d’amplification G(∆t, k) selon :
 n+1 


ũk
ũnk
 ũnk 
 ũkn−1 





 = G(∆t, k) 

:
:
(12.10)








:
:
n−p+2
n−p+1
ũk
ũk
Nous choisirons alors les conditions de stabilité suivantes :
Condition de stabilité
Pour que le schéma soit stable il faut qu’il existe τ > 0 tel que les valeurs propres
λi de la matrice d’amplification G(∆t, k) soient toutes majorées en module par 1
selon :
|λi | ≤ 1 ∀i = 1, ..p
(12.11)
quel que soit k et pour tout 0 < ∆t < τ
Conditions suffisantes de stabilité
1) Si la matrice d’amplification est normale, c’est à dire qu’elle commute avec son
adjointe (ou transposée dans le cas réel)
G G∗ = G∗ G
ou bien, ce qui est équivalent, si elle admet une base de vecteurs propres
orthonormés, alors la condition précédente (14.39) est suffisante.
2) La condition de normalité n’étant pas toujours vérifiée, on peut utiliser la
condition suffisante suivante : le schéma est stable si les coefficients de la matrice
G(∆t, k) sont bornés et si ses valeurs propres sont toutes de module strictement
inférieur à 1 sauf éventuellement une de module égal à 1.
Dans certains cas, comme par exemple le cas du schéma aux différences finies
explicite, on est obligé, pour conclure, de faire un calcul complet des vecteurs
propres et valeurs propres de la matrice d’amplification G(∆t, k).
12.2.4
99
Application au schéma aux différences finies explicite
Reprenons le schéma explicite :
un+1
− 2unj + un−1
un − 2unj + unj−1
j
j
2 j+1
=c
∆t2
∆x2
(12.12)
unj = ũnk exp(ikj∆x)
(12.13)
Posons
On obtient :
ũn+1
− 2ũnk + ũn−1
exp(ik∆x) − 2 + exp(−ik∆x) n
k
k
= c2
ũk
2
∆t
∆x2
soit :
¡
¢ n
n−1
∆t2
ũn+1
= [2 + c2 ∆x
2 2 cos(k∆x) − 2 ] ũk − ũk
k
2
n−1
∆t
2 k
n
= [ 2 − 4 c2 ∆x
2 sin ( 2 ∆x) ] ũk − ũk
(12.14)
(12.15)
∆t2
k
Notons α2 = 4 c2
sin2 ( ∆x), On obtient l’écriture suivante de la matrice
2
∆x
2
d’amplification :
!Ã n !
Ã n+1 ! Ã
2 − α2 −1
ũk
ũk
=
(12.16)
ũnk
1
0
ũkn−1
Cette matrice n’est pas une matrice normale.
Les valeurs propres de la matrice 2 × 2 d’amplification ci-dessus sont racines de
λ2 − (2 − α2 ) λ + 1 = 0
(12.17)
On trouve le discriminant ∆ = α2 (α2 − 4).
Si α2 > 4 le discriminant est positif et le trinôme a deux racines réelles distinctes
dont le produit vaut 1. L’une des deux est donc forcément de module strictement
supérieur à 1 et dans ce cas le schéma est instable.
Si α2 < 4 le trinôme a deux racines complexes conjuguées de module 1 et dans
ce cas on ne peut conclure directement car la matrice d’amplification n’est pas
normale et qu’alors la condition suffisante de stabilité n’autorise qu’une seule
valeur propre de module 1. Un calcul simple permet de vérifier que si λ1 et λ2
sont valeurs propres de G, les vecteurs
Ã
!
Ã
!
λ2
λ1
et
(12.18)
1
1
100
sont vecteurs propres de G. On obtient ainsi
Ã
!Ã
!Ã
!
λ1 λ2
λ1 0
1 −λ2
1
G=
λ1 − λ2
1 1
0 λ2
−1 λ1
D’où
Gn =
1
λ1 − λ2
Ã
λ1 λ2
1
!Ã
1
λn1
0
0
λn2
!Ã
1
−λ2
−1
λ1
(12.19)
!
(12.20)
Gn reste donc bornée quel que soit n dans le cas de deux racines complexes
conjuguées distinctes, donc à la condition que ∆ soit strictement négatif. Une
autre manière de montrer la stabilité dans ce cas consiste à remarquer que si l’on
dispose de 2 vecteurs propres indépendants on peut exprimer les vecteurs
Ã n+1 !
ũk
(12.21)
ũnk
dans la base des vecteurs propres. L’action de la matrice d’itération G se ramène
dans cette base à la multiplication des composantes des vecteurs par les valeurs
propres λ1 et λ2 . Comme ces valeurs propres sont de module 1, le vecteur des
itérés est borné en module.
Dans le cas ∆ = 0 la racine double est −1. Les deux vecteurs propres
Ã
!
Ã
!
λ1
λ2
et
1
1
(12.22)
sont alors confondus. Le sous-espace propre relatif à la valeur propre −1 est de
dimension un. La matrice G n’est pas diagonalisable, mais seulement jordanisable
sous la forme :
µ
¶
−1 1
(12.23)
0 −1
Les puissances nièmes de G tendent vers l’infini avec n. Donc dans ce cas limite
le schéma est également instable.
En définitive la stabilité impose α2 < 4, ce qui s’exprime par la condition :
c
∆t
<1
∆x
(12.24)
dénommée condition de Courant Friedrichs Lewy apparaissant ici au sens
strict.
12.2.5
101
Un schéma aux différences finies implicite décentré
(en temps) et centré (en espace)
On considère le schéma implicite suivant directement déduit du schéma explicite
précédent :
 n+1
un+1 − 2un+1
+ un+1

j
j
j−1
2 j+1

=c


2
2
∆t
∆x
0
0
1
0
uj = u (xj ) et uj = u (xj ) + ∆t u1 (xj ) déduits des condition initiales



 n
(12.25)
On montrera à titre d’exercice que ce schéma n’est plus que d’ordre un en temps.
Mais il est inconditionnellement stable, c’est à dire stable quel que soit ∆t. Sa
matrice d’amplification s’écrit avec les notations précédentes :


2
1
−
1 + α2 
(12.26)
G(k, ∆t) =  1 + α2
1
0
12.3
Seconde approche : Système du premier
ordre équivalent
L’équation du second ordre
2
∂ 2u
2∂ u
=
c
∂t2
∂x2
(12.27)
se ramène en posant
∂u
∂u
et w = c
∂t
∂x
au système de deux équations du premier ordre :
v=
(12.28)
 ∂v
∂w

=c

∂t
∂x
(12.29)

∂w
∂v

=c
∂t
∂x
pour lequel on doit se donner les deux conditions initiales suivantes au temps zéro
pour v et w :
∂u
(x, 0) = u1 (x)
(12.30)
v(x, 0) =
∂t
et
∂u
d
w(x, 0) = c (x, 0) = c u0 (x)
(12.31)
∂x
dx
102
ceci peut également s’écrire
µ
¶ µ
¶
µ
¶
∂
∂
v
0 c
v
=
c 0 ∂x w
∂t w
(12.32)
On retrouve sous cette forme un système conservatif généralisant, dans le cas
d’une inconnue vectorielle, l’équation de transport étudiée au chapitre précédent.
On retrouve donc, ici, les mêmes schémas numériques.
12.3.1
Un premier schéma explicite centré instable
On considère le schéma discret évident suivant :
 n+1
n
n
vj − vjn
− wj−1
wj+1


=c

∆t
2∆x
n+1
n
n
n


 wj − wj = c vj+1 − vj−1
∆t
2∆x
(12.33)
Ce schéma est clairement (exercice) d’ordre un en temps et deux en espace.
Etudions la stabilité. Posons
vjn = ṽkn eikj∆x
(12.34)
et
nous obtenons :
Soit
wjn = w̃kn eikj∆x
(12.35)

∆t

i sin(k∆x)w̃kn
 ṽkn+1 − ṽkn = c
∆x

 w̃n+1 − w̃n = c ∆t i sin(k∆x)ṽ n
k
k
k
∆x
(12.36)
Ã
Ã
!
ṽkn+1
w̃kn+1
=
1
ia
ia
1
!Ã
ṽkn
!
w̃kn
(12.37)
avec
∆t
sin(k∆x)
∆x
Les valeurs propres de la matrice d’amplification sont égales à :
√
λ = 1 ± ia donc sont de module
1 + a2 > 1
a=c
(12.38)
(12.39)
On en déduit, comme pour l’équation de transport, l’instabilité de ce schéma quel
que soit ∆t.
12.3.2
103
Schémas implicites centrés stables
On obtient évidemment des schémas stables en prenant des schémas implicites en
temps. Par exemple on peut considérer le schéma de type Euler implicite suivant :
 n+1
n+1
n+1
vj − vjn
wj+1
− wj−1


=c

∆t
2∆x
n+1
n+1
n+1
n


 wj − wj = c vj+1 − vj−1
∆t
2∆x
(12.40)
On montrera en exercice que ce schéma d’ordre un en temps et deux en espace.
est inconditionnellement stable.
On peut également considérer le schéma de type Crank Nicolson suivant :
 n+1
n+1
n+1
n
n
¤
vj − vjn
wj+1
− wj−1
− wj−1
c £ wj+1


=
+

∆t
2
2∆x
2∆x
n+1
n+1
n+1
n
n
n

¤
vj+1 − vj−1
c £ vj+1 − vj−1
 wj − wj

=
+
∆t
2
2∆x
2∆x
(12.41)
Schéma d’ordre deux en temps et en espace inconditionnellement stable et
conservatif (les valeurs propres de la matrice d’amplification sont deux complexes
conjugués de module un).
12.3.3
Schémas explicites stables
Schéma de Lax
On remplace au premier membre des équations du schéma explicite centré instable
n
n
n
n
vj+1
+ vj−1
wj+1
+ wj−1
n
n
vj par
et de même wj par
. Ceci peut s’interpréter
2
2
n
n
vj+1
− 2vjn + vj−1
comme un lissage en x ou comme l’ajout d’un terme dissipatif
2∆t
∆x2 ∂ 2 v
approximant
et de même pour w.
2∆t ∂x2
On obtient alors le schéma de Lax suivant :

v n +v n
n
n

vjn+1 − j+1 2 j−1
− wj−1
wj+1


=c

∆t
2∆x
n +w n
w

n
n
 wjn+1 − j+1 2 j−1
− vj−1
vj+1


=c
∆t
2∆x
(12.42)
104
On montrera en exercice que ce schéma est d’ordre un en temps et stable sous la
condition de Courant Friedrichs Lewy dite condition CFL
c∆t
≤1
∆x
(12.43)
Schéma de Lax-Wendroff
On ajoute au schéma explicite instable un terme dissipatif en O(∆t) corresponc2 ∆t ∂ 2
dant à une discrétisation de
. Une interprétation classique de cette mo2 ∂x2
dification consiste à remarquer que le développement de Taylor
v(xj , tn+1 ) = v(xj , tn ) + ∆t
devient en utilisant l’équation
∂v ∆t2 ∂ 2 v
+
+ O(∆t3 )
∂t
2 ∂t2
∂v
∂w
=c
∂t
∂x
v(xj , tn+1 ) = v(xj , tn ) + ∆t
∂v c2 ∆t2 ∂ 2 w
+
+ O(∆t3 )
∂t
2 ∂x2
(12.44)
(12.45)
(12.46)
n
n
n
n
− 2wjn + wj−1
− 2vjn + vj−1
c2 ∆t wj+1
c2 ∆t vj+1
L’ajout des termes
et
donnera le
2
∆x2
2
∆x2
second ordre en temps au schéma et assurera sa stabilité.
On obtient le schéma de Lax-Wendroff suivant :
 n+1
n
n
n
n
vj − vjn
wj+1
− wj−1
− 2vjn + vj−1
c2 ∆t vj+1


=c
+

∆t
2∆x
2
∆x2
n+1
n
n
n
n
n
n
2


 wj − wj = c vj+1 − vj−1 + c ∆t wj+1 − 2wj + wj−1
∆t
2∆x
2
∆x2
(12.47)
On montrera en exercice que la matrice d’amplification de ce schéma s’écrit :


c2 ∆t2
c∆t
i
sin(k∆x)
 1 + ∆x2 (cos(k∆x) − 1)

∆x2
Gk = 
(12.48)

2
c∆t
c ∆t
i
sin(k∆x)
1+
(cos(k∆x)
−
1)
∆x
∆x2
et que ce schéma est stable sous la condition CFL
c∆t
≤1
∆x
(12.49)
105
Schéma de Courant Friedrichs
On utilise pour stabiliser le schéma explicite un maillage décalé pour w par
rapport au maillage de discrétisation de v et un calcul implicite des w en fonction
des v. On écrit :
 n+1
n
n
wj+
1 − w
vj − vjn

j− 12

2

=c

∆t
∆x
(12.50)
n+1
n
n+1
n+1

wj− 1 − wj− 1

v
−
v

j
j−1
2
2

=c
∆t
∆x
n+1
Ce schéma est globalement explicite puisque le calcul de vjn+1 et vj−1
est effectué
n+1
avant le calcul de wj− 1 . Il est équivalent au schéma explicite du second ordre en
2
posant
unj − un−1
j
n
vj =
(12.51)
∆t
et
unj − unj−1
n
wj− 1 = c
(12.52)
2
∆x
On obtient exactement la même condition de stabilité CFL stricte.
c∆t
<1
∆x
(12.53)
C’est d’ailleurs à propos de l’étude de ce schéma que Courant Friedrichs et
Lewy ont introduit le concept de stabilité.
12.3.4
Interprétation de la condition de Courant-FriedrichsLewy
La condition de Courant Friedrichs Lewy souvent mentionnée exprime la compatibilité nécessaire entre domaine de dépendance théorique et domaine de
dépendance numérique. Le pas de temps ∆t doit rester inférieur à la valeur
limite au delà de laquelle des parties du domaine de dépendance théorique ne
seraient pas prises en compte dans le schéma numérique. Autrement dit le domaine de dépendance numérique issu du point xj , tn+1 doit inclure le domaine de
dépendance théorique correspondant.
Une autre façon de dire la même chose consiste à limiter le pas de temps de telle
sorte qu’en un pas de temps ∆t l’onde ne parcourt pas une distance supérieure à
un pas d’espace ∆x.
106
t
instable
tn+1
D
x
___
Droites caractristiques
tn
c
Dt
stable
x
xi-1
xi+1
xi
Dx
Dx
Fig. 12.1 – Domaine de dépendance et condition de stabilité

E.S.C.P.I. G.M.2 - Second Cycle ´Equations aux dérivées partielles

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