cours

Calculs différentiels
PSI-Pasteur 2015/16
Définition 1 Soit f une application d’un ouvert U de Rp dans R, et a = (x1 , . . . , xn ) ∈ U .
On dit que f admet en a une dérivée partielle selon la i-ème coordonnée lorsque l’application
∂f
(a) la
t 7→ f (x1 , . . . , xi−1 , xi + t, xi+1 , . . . , xp ) est dérivable en 0. On note alors ∂i f (a) ou ∂x
i
1
valeur de cette dérivée. On dit que f est de classe C sur U lorsqu’elle admet en tout point de U
des dérivées partielles selon toutes les coordonnées, et que : ∀ i , a 7→ ∂i f (a) est continue sur U .
Remarque 1 Combinaisons linéaires, produit, composition.
Définition 2 Si f est de classe C 1 sur U et a ∈ U , l’application (h1 , . . . , hp ) 7→
est appelée différentielle de f en a, et noté df (a) .
Pp
i=1
hi ∂i f (a)
Remarque 2 Il s’agit d’une forme linéaire sur Rp . Le vecteur associé cette forme linéaire via le
produit scalaire canonique est appelé gradient de f en a, et noté ∇f (a) .
Théorème 1 Si f est de classe C 1 sur U et a ∈ U , f (a + h) = f (a) + df (a)(h) + o(khk) .
Corollaire 1 Si f est de classe C 1 sur U , alors f est continue sur U .
Proposition 1 Si g : I → E est dérivable en t, et si f est
de classe
C 1 sur un ouvert contenant
P
g(t), alors f ◦ g est dérivable en t : (f ◦ g)0 (t) = df g(t) g 0 (t) = pi=1 gi0 (t) ∂i f (g(t)) .
Corollaire 2 Calcul des dérivées partielles de (u, v) 7→ f x(u, v), y(u, v) .
Remarque 3 Cas des coordonnées polaires.
Corollaire 3 Si f est de classe C 1 sur un ouvert convexe, alors f est constante si, et seulement
si, sa différentielle est identiquement nulle.
Définition 3 Soit f une application de classe C 1 sur un ouvert U . Un point a est dit régulier
si df (a) n’est pas identiquement nulle. Dans le cas contraire, il est dit critique.
Proposition 2 Si une application (scalaire) de classe C 1 sur un ouvert présente un extremum
local en un point, c’est un point critique.
Définition 4 Soit f un champ de scalaires de classe C 1 sur un ouvert de R2 . Si M0 n’est pas
un point critique, la tangente en M0 à la courbe d’équation f (x, y) = 0 est la droite passant par
M0 et orthogonale au gradient de f en M0 .
Remarque 4 Cas particulier d’une courbe d’équation y = f (x) .
Définition 5 Soit h un champ de scalaires de classe C 1 sur un ouvert de R3 . Si M0 n’est pas
un point critique, le plan tangent en M0 à la surface d’équation f (x, y, z) = 0 est le plan passant
par M0 et orthogonal au gradient de h en M0 .
Remarque 5 La tangente en un point régulier d’une courbe de classe C 1 tracée sur la surface
d’équation f (x, y, z) = 0 appartient au plan tangent à la surface en ce point.
Cas particulier des surfaces d’équation z = f (x, y) .
Définition 6 Si f est de classe C 1 surun ouvert U , on définit les dérivées partielles d’ordre 2,
∂f
∂ ∂x
∂ 2f
j
(a) = ∂xi (a) .
∂xi ∂xj
Lorsqu’elles existent toutes, et sont toutes continues sur U , on dit que f est de classe C 2 .
quand elles existent, par
Théorème 2 (Hermann Amandus SCHWARZ) Si f est de classe C 2 alors :
∂ 2f
∂ 2f
=
.
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi