MAT-2110 Exercices 3 H14 1. Résoudre les équations différentielles

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Exercices 3
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H14
Exercices 3
H11
1. Résoudre les équations différentielles suivantes.
0
(a)Résoudre
xy + yles−équations
x cos x =différentielles
0,
1.
suivantes.
0
3 x
(b)(a)
xyxy
−! +2yy −
= xxcos
e x, = 0,
0
3 x = x.
(c)(b)
(x2xy+! −4)y
+x3xy
2y =
e ,
(c) (x2 + 4)y ! + 3xy = x.
2. On considère un réservoir contenant au départ 10 litres d’eau dans lequel on dissout
22.grammes
de un
sel.
On remplit
par
suite10 le
réservoir
parlequel
une on
saumure
On considère
réservoir
contenant
au la
départ
litres
d’eau dans
dissout dont la
concentration
gramme
litre leà réservoir
un débit
3 saumure
litres par
minute.
On
2 grammes deest
sel.deOn1 remplit
parpar
la suite
pardeune
dont
la
concentration
de 1 gramme
par litre
à un
débitdede4 3litres
litrespar
par minute.
minute. Déterminer
On
laisse
égalementest
s’écouler
le mélange
à un
débit
également
s’écouler
le mélange
un débit de
4 litres
minute.
M laisse
= M (t),
la masse
de sel
dans leàréservoir
pour
1 ≤part <
10. Déterminer
M = M(t), la masse de sel dans le réservoir pour 1 ≤ t < 10.
3. Déterminer la famille de courbes telles que pour un point B = (x, y) appartenant
3. Déterminer la famille de courbes telles que pour un point B = (x, y) appartenant
à laà courbe,
point
d’intersection
entre
latangente
droite tangente
la courbe,pour
pour C
C correspondant
correspondant auau
point
d’intersection
entre la
droite
à laà courbe
B etetl’axe
l’axedesdes
y pour
et pour
le quadrilatère
la courbeau
aupoint
point B
y et
A =A(x,=0),(x,
le 0),
quadrilatère
0ABC 0ABC
ainsi
formé
aireégale
égaleà 1.
à 1.
ainsi
formépossède
possède une
une aire
y
C
y = y(x)
B
0
x
A
Transformer l’équation
l’équation différentielle
4. 4.(a)(a)
Transformer
différentielle
!
= 0x=+ xy 2+ y 2
2yy2yy
(1)
2
. y2.
à l’aidedu
duchangement
changement dedevariable
u =uy=
à l’aide
variable
Résoudrelala nouvelle
nouvelle équation
différentielle
en terme
de u. de u.
(b)(b)
Résoudre
équation
différentielle
en terme
Déduirelalasolution
solution de
(c)(c)
Déduire
de(1).
(1).
5. Pour quelles fonctions p et q les fonctions
1
y1 (x) = 1 +1e x ,
sont-elles solutions de l’équation y 0 = p(x) y + q(x)?
1
1
y2 (x) = 1 + 8 e x ,
(1)
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6. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y 0 + p(x) y = q(x)
en sachant que y1 (x) = −x − 1/2 et y2 (x) = 48x2 − x − 1/2 sont des solutions
particulières de l’équation différentielle. Pouvez-vous identifier les fonctions p et
q?
7. Résoudre les problèmes à valeur initiale suivants:
1
y + x3 , y(1) = −1,
x
(b) y 0 = x y + e2 x , y(0) = 0.
(a) y 0 =
8. Résolvez les équations suivantes en explicitant bien la méthode utilisée:
(a) yy 00 = (y 0 )2 ,
(b) x y 00 + y 0 = xn , où n ≥ 0 est un entier donné,
(c) y 00 + y 0 ey = 0.
9. Résoudre les équations différentielles suivantes:
1
00
y 0 − x = 0,
(a) y − 1 +
x
(b) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 = 0.
2