× ( 1 + t ÷( 1 + t POURCENTAGE D`EVOLUTION ?

POURCENTAGE D’EVOLUTION
I ) GENERALITES
L’expression « POURCENTAGE D’EVOLUTION » est réservée aux situations « AVANT / APRES »
On cherche à mesurer par un pourcentage, l’évolution d’une grandeur .
Définition 1 : ( Valeurs Initiale et Finale )
la Valeur Initiale est notée V.I ( Valeur d’avant l’évolution )
la Valeur finale est notée V.F ( Valeur d’après l’évolution )
V.I
V.F
Exemple 1 :
1) A partir de « Le prix de cet article est passé de 25F à 100F » on peut écrire : V.F = 100 et V.I = 25
2) Avec « La population de la ville est passée de 5000. à 1000 habitants » on a : V.F = 1000 et V.I = 5000
Définition 2 : ( Variations absolue et relatives )
Le nombre égal à la différence « V.F – V.I » est appelé la variation absolue de la grandeur.
V.F – V.I
Le nombre égal au quotient «
» est appelé la variation relative de la grandeur.
V.I
Exemple 2 :
1) A partir de : V.F = 100 et V.I = 25 on a :
V.F – V.I = 100 – 25 = 75
,
V.F – VI 100 – 25
=
= 3.
V.I
25
Définition 3 : ( taux d’évolution )
Pour une évolution de taux d’évolution t % on a :
( V.I est augmentée de t % )
Exemple 3 :
A partir de
t = +20 %
+20
On peut écrire : . V.F = 50 × ( 1 +
)
100
V.F = V.I +
t
× V.I
100
V.F = V.I × ( 1 +
: . V.I = 50 et
puis V.F = 50× 1,20
puis V.F = 60.
II) SCHEMAS A BULLES
a) Définition ( schéma à bulles étalées avec Coefficient Multiplicateur ) .
Il est très commode pour effectuer des calculs avec des pourcentages d’évolution
d’utiliser un schéma à bulles étalées ( l’une à coté de l’autre)
pour faire apparaître le coefficient multiplicateur ( C.M ) associé au taux d’évolution
t
× ( 1 + 100
)
V.F
V.I
C.M = 1 +
t
÷ ( 1 + 100
)
t
100
×(1+
b) Exemple : Pour l’exemple 3 ci dessus on a :
? = 50 × 1,2 = 60
50
20
)
100
× 1,20
?
t
)
100
III ) TAUX et COEFFICIENT MULTIPLICATEUR
a) Propriété :
(pourcentage et coefficient multiplicateur )
On a les relations suivantes entre la valeur du taux d’évolution « t » et le coefficient multiplicateur « C.M »
C.M = 1 +
t = ( C.M – 1 ) × 100
t
100
On a l’échelle de correspondance suivante entre le taux d’évolution et le coefficient multiplicateur.
0 ≤ C.M
C.M
0
0,1
0,15
…
0,75
0,9
0,95
1 1,05 1,10 1,95
C.M ∈[ 0 ,+ ∞ [
…
t ∈ [-100 , + ∞ [
-100 ≤ t
t
-100
-90 -85
…
-25
÷100
-1 puis × 100
-10
-5
0 +5
+10 +95
…
puis + 1
« Le coefficient multiplicateur pour un pourcentage d’évolution est un nombre compris entre 0 et l’infini
Les valeurs extrêmes sont 0 et + ∞ , 0 est la valeur minimale , + ∞ est la valeur maximale.
Le taux (pourcentage) est un nombre compris entre –100% et + ∞ % »
b) Exemple :
1)
2)
3)
4)
A partir de
A partir de
A partir de
A partir de
t = +20 % on peut écrire :
C.M = 1,20 ( 1 + 20/100 )
t = -20 % on peut écrire :
C.M = 0,80 ( 1 – 20/100 )
C.M = 0,20 on peut écrire : t = –80% ( 0,20 – 1 )×100
C.M = 1,80 on peut écrire : t = +80% ( 1,80 – 1 )×100
IV) LES 3 CAS
a) Propriété :
Selon la situation on a un des 3 cas suivants :
1)
2)
3)
a
?
a
× C.M
× C.M
×?
?
b
b
(on cherche V.F )
(on cherche V.I )
V.I =
on fait alors
(on cherche le C.M )
on fait alors
b) Exemples :
1) A partir de
: Le nombre de fille qui était de 40 a augmenté de 20%
On peut écrire : Le nombre de filles est maintenant 40 × 1,20 donc 48 .
2) A partir de
V.F = a × C.M
on fait alors
: Le prix augmenté de 30% est 260 F
260
donc 200 F
On peut écrire : L’ancien prix était :
1,30
3) A partir de : Il y avait 500 habitants et maintenant il y en a 600
600
On peut écrire : Le taux d’évolution est : (
– 1) ×100 donc +20%.
500
b
C.M
C.M =
V.F
V.I
40
× 1,20
?
×1,3
260
500
×?
600
?
V) EVOLUTIONS SUCCESSIVES
a) Propriété : ( Situation ou il y a plusieurs évolutions successives )
Pour les situations ou il y a plusieurs évolutions successives, on représente les bulles étalées les unes à la suite
des autres avec les coefficients multiplicateurs correspondants.
× C. M. 1
× C. M. 2
× C. M. 3
Si
2 des C.M sont connus Alors
le 3ème peut être calculé grâce à l’égalité :
c) Exemple :
A partir de
: Le prix a évolué de +10% puis de – 10%
On peut écrire : Le prix a évolué globalement
de (1,10 × 0,90 – 1) × 100 soit –1%.
C.M3 = CM1 × CM2
× 1,1
× 0,9
×?
ATTENTION
_Une évolution de +10% suivie d’une évolution de +30% ne donne pas globalement une évolution de 40%
_ Une évolution de +10% suivie d’une évolution de -10% ne donne pas globalement une évolution de 0%
Les Taux successifs ne s’additionnent pas
VI) COMPARAISON de POURCENTAGES
a) Propriété :
( Variations absolues et Variations relatives dans le même ordre ? )
_En général :
Les Variations absolues ne sont pas dans le même ordre que les variations relatives (%)
_En particulier :
Les Classements par rapport aux variations absolues et aux variations relatives sont identiques
Seulement si
les valeurs initiales sont égales.
b)Illustration :
GRANDEUR
VALEUR INITIALE
VALEUR FINALE
TAUX D’EVOLUTION (%)
( Variation Relative )
VALEUR DE L’EVOLUTION
( Variation Absolue )
A
400
600
50%
B
200
250
25%
C
200
350
75%
200
50
150
_ La plus grande variation en % (+ 75% en C ) n’est pas la plus grande variation absolue (+200 en A )
_ Pour B et C ayant les mêmes valeurs initiales ( 200 ) les variations absolues et relatives sont dans le même
ordre.
VII ) ADDITION DE POURCENTAGES
a) Propriété ( Peut on additionner des pourcentages d’évolution ? ) :
En général :
On ne peut pas additionner les taux d’évolutions de plusieurs parties pour obtenir le taux d’évolution du total
b) Illustration :
voici un contre exemple :
a- t on ci dessous x = 50% + 50% soit x = 100%
?
+ 50%
La prime de 300 F de la femme augmente de 50% :
300
450
+ 50%
_La prime de 100 F du mari
augmente de 50% :
200
300
+x%
_La prime totale du couple 400 F augmente de x % :
On a donc
500
750
750
= 1,5 et donc x = +50% ! , la prime totale du couple augmente de 50% et non de 50% + 50%.
500
Conclusion :
Les pourcentages d’évolution ne s’additionnent pas.
VIII ) INDICE BASE 100
On utilise souvent les indices pour prendre connaissance de l'évolution d'une valeur a partir d'une date fixée.
a) Définition :
Indice année n =
valeur l'année n
× 100
valeur l'année de base
b) exemple : on veut connaître l'évolution du PIB par habitant en France depuis 1990. On va donc
calculer les indices base 100 en 1990 :
Année
PIB
Indice
1990 1991 1993 1995 1999
1195 1201 1250 1535 1432
100 100,5 104,6 128,5 119,8
L'indice nous permet de déduire le pourcentage d'évolution
du PIB entre 1990 et 1995 (par exemple).
On utilise les indices quand on veut comparer des évolutions
lorsque les données ne sont pas du même ordre de grandeur (Si
l'on veut comparer le PIB de la France et celui des Etats-Unis par
exemple).
IX ) LISTE des SAVOIR FAIRE : POURCENTAGES d’EVOLUTION
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Représenter une situation par un schémas à bulles emboîtées
Représenter une situation par un schémas à bulles étalées avec coefficient multiplicateur
Calculer le coefficient multiplicateur quand on connaît le taux en %
Calculer le taux en % quand on connaît le coefficient multiplicateur
Calculer la valeur finale quand on connaît le taux et la valeur initiale
Calculer la valeur initiale quand on connaît le taux et la valeur finale
Calculer le taux quand on connaît les valeurs finales et initiales.
Calculer un taux global pour des évolutions successives
Connaître les paradoxes et propriétés sur la comparaison des pourcentages et des valeurs
Connaître les paradoxes et propriétés sur l’addition des pourcentages .
11 Utiliser et calculer des indices base 100