Taux d`évolution - Résumé de cours

Taux d’évolution - Résumé de cours
TSTMG
Soient dans toute la suite y 1 et y 2 deux nombres réels strictement positifs.
I TAUX D ’ ÉVOLUTION
a) y 2 − y 1 est la variation absolue de y 1 à y 2 .
y2 − y1
b) t :=
est le taux d’évolution de y 1 à y 2 .
y1
y2
c) C :=
est le coefficient multiplicateur.
y1
•
•
y1
×C
×(1 + t )
y2
a) Si le taux d’évolution est positif, alors la situation correspond à une hausse.
b) Si le taux d’évolution est négatif, alors la situation correspond à une baisse.
c) Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, alors la situation correspond à une hausse.
d) Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, alors la situation correspond à une baisse.
II I NDICE SIMPLE , BASE 100
y2
× 100 est l’indice simple en base 100 de la valeur y 2 par rapport à la valeur y 1 ,
y1
a) Si l’indice est inférieur à 100, alors la valeur a subi une baisse.
• I :=
•
b) Si l’indice est supérieur à 100, alors la valeur a subi une hausse.
• L’indice en base 100 est le nombre I tel que l’évolution qui fait passer de y 1 à y 2 fait passer de 100 à I .
y1
×C
×(1 + t )
y2
100
×C
×(1 + t )
I
Indice I en base 100
C
×
10
0
0
0
I=
10
10
10
+
t)
C
(1
=
I
10
0
0×
taux d’évolution t
C = 1+t
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I−
t=
I=
t =C −1
coefficient
multiplicateur C
Taux d’évolution - Résumé de cours
TSTMG
III É VOLUTIONS SUCCESSIVES
• Si une valeur subit une évolution de coefficient multiplicateur C 1 puis une évolution de coefficient multiplicateur C 2 , alors le coefficient multiplicateur global est
C global = C 1 ×C 2 .
y1
• Si une valeur subit une évolution de taux t 1 puis une
évolution de taux t 2 , alors le taux d’évolution global est
t global = (1 + t 1 ) × (1 + t 2 ) − 1.
×C 1
×C 2
y2
×(1 + t 1 )
y3
×(1 + t 2 )
×(1 + t 1 )(1 + t 2 )
C global = C 1 ×C 2
• Attention, le taux d’évolution global n’est pas égal à la
somme des taux d’évolution : t global 6= t 1 + t 2 .
• Si une valeur subit n évolutions de coefficients multiplicateurs C 1 ,C 2 , . . . ,C n , alors le coefficient multiplicateur global est C global = C 1 ×C 2 × . . . ×C n .
• Si une valeur subit n évolutions de taux d’évolution t 1 , t 2 , . . . , t n , alors le taux d’évolution global est
t global = (1 + t 1 ) × (1 + t 2 ) × . . . × (1 + t n ) − 1.
y1
×C 1
×(1 + t 1 )
×C 2
y2
y3
×(1 + t 2 )
×C n
yn
×(1 + t n )
y n+1
×(1 + t 1 )(1 + t 2 ) . . . (1 + t n )
×C 1 × · · · ×C n
• Quel que soit le nombre d’évolutions, le taux d’évolution global est t global = C global − 1.
IV É VOLUTION RÉCIPROQUE
µ
×
• Deux évolutions successives sont réciproques si la valeur finale est égale à la valeur de départ.
• Pour un coefficient multiplicateur C , le coefficient multipli1
cateur réciproque est C 0 = .
C
• Pour un taux d’évolution t , le taux d’évolution réciproque
1
1
est t 0 =
− 1 soit t 0 = − 1.
1+t
C
1
1+t
×
¶
1
C
y1
y2
×C
×(1 + t )
V TAUX D ’ ÉVOLUTION MOYEN - R ACINE n- IÈME
• Soit a un réel strictement positif et n un entier naturel non nul. La racine n-ième de a est l’unique solution
p
1
positive de l’équation x n = a et est notée x = a n (ou parfois x = n a).
• Si une valeur suit n évolutions successives de taux d’évolution global Tglobal , alors le taux d’évolution
¡
¢1
moyen est t moyen = 1 + Tglobal n − 1 et le coefficient multiplicateur moyen est le réel C moyen = 1 + t moyen .
y1
×(1 + t moyen )
×(C moyen )
y2
×(1 + t moyen )
×(C moyen )
y3
×(1 + Tglobal )
×(C global )
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yn
×(1 + t moyen )
×(C moyen )
y n+1