Correction Exercices Fondamentaux

Correction des exercices du Chapitre II
*** Exercices Fondamentaux ***
a)
X
On sait que d est la médiatrice de [MN].
Or, par définition, la médiatrice est la droite qui passe par le
milieu du segment et lui est perpendiculaire.
Donc, I est le milieu de [MN]
X
On sait que Q est le symétrique de P par rapport à I.
Or, si deux points sont symétriques, alors le centre de symétrie
est le milieu du segment d’extrémités les deux points.
Donc, I milieu de [QP]
X
On sait que I est le milieu de [MN] et de [QP].
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur
milieu, alors c’est un parallélogramme.
Donc MPNQ est un parallélogramme.
X
On sait que MPNQ est un parallélogramme.
Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés
opposés sont parallèles deux à deux.
Donc (MP) et (NQ) sont parallèles.
b)
Démonstration de Véronique :
Elle ne démontre rien : elle se contente de vérifier. Elle ne reçevrait aucun point.
Démonstration de Salim :
Le chaînon déductif proposé est correct (il a oublié « on sait que », ce n’est pas très grave). Par contre, il manque
les trois premières étapes. Il aurait eu entre le quart et la moitié des points.
Démonstration d’Audrey :
Plusieurs erreurs :
1) Audrey ne démontre pas que I est le milieu de [MN] et de [QP] ;
2) Audrey n’utilise pas le bon théorème, mais la réciproque. Son chaînon déductif est faux ;
3) Audrey ne rédige que la dernière phrase (donc …) du dernier chaînon déductif. C’est mieux que rien.
On comprend bien le fil du raisonnement d’Audrey, mais la rédaction est vraiment à revoir.
Elle obtiendrait entre le quart et la moitié des points.
Démonstration de Jules :
Plusieurs erreurs :
1) Il manque la propriété (définition de la médiatrice) dans son 1er chaînon ;
2) Il ne démontre pas que I est le milieu de [PQ], il l’affirme ;
3) Le chaînon qui permet de conclure que MPNQ est un parallélogramme est très incomplet : il lui manque les
données et la propriété ;
4) Pareil pour la conclusion des côtés parallèles.
C’est la meilleure démonstration des quatre. Elle est cependant très mal rédigée. Par conséquent, Jules obtiendrait
entre la moitié est les trois-quarts des points.
Chapitre 2 : Géométrie dans l’Espace
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4ème Ozar Hatorah 2011-2012
X
On sait que [CD] et [AB] sont des points du cercle de
centre O.
Donc, O milieu de [CD] et de [AB]
X
On sait que O milieu de [CD] et de [AB] ;
Or, si un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en
leur milieu, alors c’est un parallélogramme ;
Donc ACBD est un parallélogramme.
X
On sait que ACBD est un parallélogramme ;
Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses
côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
Donc les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
X
On sait que (e) ⊥ (h) et (f) ⊥ (h) ;
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième, alors elles sont parallèles entre elles ;
Donc (e) // (f).
X
On sait que (e) // (f) et (f) // (g) ;
Or, si deux droites sont parallèles à une même troisième,
alors elles sont parallèles entre elles ;
Donc (e) // (g).
(f) // (g)
(1) Si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième, alors elles sont parallèles
Les données correspondantes seraient trois droites perpendiculaires. Nous n’en avons pas. Donc : niet.
(2) Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire
à l’autre.
C’est exactement la donnée b).
(3) Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange.
La donnée correspondante serait une égalité entre quatre segments. Nous n’en avons pas. Donc : niet.
(4) Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
On a bien un losange avec la donnée a).
(5) Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu, alors c’est la médiatrice de ce segment.
La donnée serait une droite perpendiculaire et un milieu. Nous n’avons rien de tout ça. Donc : niet.
(6) Si une droite est la médiatrice d’un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment.
On a bien une médiatrice avec la donnée c).
Chapitre 2 : Géométrie dans l’Espace
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4ème Ozar Hatorah 2011-2012
a)
* On sait que ABCD est un losange (donnée).
Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Donc (AC) est perpendiculaire à (BD)
* On sait que (KD) est parallèle à (AC) et (AC) perpendiculaire à (BD) (donnée).
Si deux droites sont parallèles et que l’une est perpendiculaire à une troisième,
Alors la seconde est perpendiculaire à la troisième.
Donc (KD) est perpendiculaire à (BD).
b)
On considère un losange ABCD. On trace la parallèle à (AC) passant par D. Elle coupe (BC) en K.
Démontrez que (KD) est perpendiculaire à (BD).
a)
X
On sait que E, H et G sont des point du cercle C ;
Or, par définition, tout point d’un cercle
équidistant du centre.
Donc FE = FG = FH
est
X
De même, E, F et G sont sur le cercle C’,
Donc HE = HG = HF.
X
Donc, FE = FG = FH = HE = HG.
X
On sait que FE = EH = HG = GF ;
Or, si un quadrilatère a quatre côtés égaux,
Alors c’est un losange.
Donc FEHG est un losange.
X
On sait que FEHG est un losange ;
Or, si un quadrilatère est un losange,
alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Donc (EG) et (FH) sont perpendiculaires.
X
On sait que (d) est la médiatrice de [EF] ;
Or, par définition, la médiatrice est la droite qui coupe le
segment en son milieu et perpendiculairement ;
Donc, (d) est perpendiculaire à (EF).
X
On sait que EFGH est un parallélogramme ;
Or, si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
Donc, (EF) et (HG) sont parallèles.
X
On sait que (d) ⊥ (EF) et (HG) // (EF) ;
Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire
à l’une est perpendiculaire à l’autre ;
Donc (d) ⊥ (HG).
b)
Chapitre 2 : Géométrie dans l’Espace
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4ème Ozar Hatorah 2011-2012