´Eléments de calcul actuariel

Éléments de calcul actuariel
Master Gestion de Portefeuille – ESA – Paris XII
Jacques Printems
[email protected]
30 novembre 2007
1
Valeur-temps de l’argent
Deux types de décisions ”duales” l’une de l’autre : épargner pour
une consommation future ou bien emprunter en vue d’une
consommation courante.
Besoin de déterminer, soit le montant de l’épargne, soit le coût de
l’emprunt.
Cas général : besoin d’évaluer des transactions concernant des
sommes présentes ou futures.
La valeur-temps de l’argent est un concept qui permet d’établir des
relations entre différents flux de trésorerie de dates différentes.
2
Plan
1. Taux d’intérêt.
2. Valeur future d’un montant ou d’un flux de trésorerie – Prêt.
3. Valeur aujourd’hui d’un montant future ou d’un flux de
trésorerie future – Emprunt.
4. Exercices.
3
1
Les taux d’intérêt.
L’idée d’une équivalence entre sommes associées à des dates
différentes est simple. Soit l’alternative :
– Payer 10 000 $ aujourd’hui et recevoir 9 500 $ aujourd’hui ?
– Payer 10 000 $ dans un an et recevoir 9 500 $ aujourd’hui ?
Il est ”juste” d’amputer la valeur à payer dans un an d’un montant
basé sur le temps passé avant que l’argent soit versé.
Taux d’intérêt r = (10 000 $ - 9 500 $)/9 500 $ = 0.0526 = 5,26%.
4
Les taux d’intérêt peuvent être vu de trois façons :
– taux minimum : c’est le montant minimum qu’un investisseur
estime recevoir à terme pour pouvoir accepter l’investissement.
– taux de remise (”discount”) : du point de vue du prêteur, recevoir
une somme (ex : $10000) dans un an en versant une somme
aujourd’hui (ex : $9500) implique un taux de remise de
500/9500 ≈ 0.0526, soit 5.26 %.
– coût d’opportunité : renoncer à épargner une somme pour une
consommation courante revient à renoncer à x% de gain
d’épargne. C’est le coût d’opportunité de la consommation.
5
Détermination par le marché.
r
=
taux réel d’intérêt ”risque-neutre”
+
prime d’inflation
+
prime de risque de défaut
+
prime de liquidité + prime de maturité
• Taux réel risque-neutre : reflète la sensibilité des gens à
l’alternative épargne/consommation (dans un monde sans
inflation).
• La prime d’inflation : rétribue l’investisseur du risque
d’inflation attendue (sa moyenne) sur la période considérée. La
somme de la prime d’inflation et du taux réel risque-neutre est le
taux nominal risque-neutre.
6
En fait,
1+Rnominal = (1+Rrisque−neutre )(1+Rinf lation ) ≈ 1+Rrisque−neutre +Rinf lation
Exemple : le livret A.
1
r = 0.25 + (EURIBOR + inflation),
2
arrondi à 0.25 par excès.
Exemple : Bons du trésor
– U.S. Treasury bills : taux d’intérêt à 90 jours des bons du trésor
américain représente le taux risque-neutre nominal sur cette
période.
– Bons du Trésor à taux fixe et à intérêts précomptés
(gouvernement français) : maturité 3, 6 et 12 mois.
– Finanzierungsschätze des Bundes (dim. Schätze) (gouvernement
allemand) : maturité jusqu’à 24 mois.
– Treasury bill du gouvernement brittanique : de 1 à 365 jours.
7
• La prime de risque de défaut : rétribue l’investisseur du
risque de défaut de l’emprunteur.
Facteurs secondaires :
• La prime de liquidité
• La prime de maturité
8
2
Valeurs futures d’un flux de trésorerie.
P
=
valeur présente d’un investissement (Principal)
FN
=
valeur future de l’investissement initial après N périodes
r
=
taux d’intérêt par période
Exemple :
Principal
$ 100.00
Intérêt de la 1ère année ($100 × 0.05)
$ 5.00
Intérêt de la 2ème année basé sur le montant principal ($100 × 0.05)
$ 5.00
Intérêt de la 2ème année basé sur les intérêt gagné pdt la 1ère année
(0.05 × $5.00 d’intérêt sur les intérêts)
Total
$ 0.25
$ 110.25
9
L’intérêt gagné sur chaque période : intérêt simple,
P × (1 + rN ).
L’intérêt gagné durant la période est réinvesti dans la période
suivante : intérêts composés (ou capitalisables)
(1)
FN = P × (1 + r)N
Exemple : F2 = $100 × (1.05)2 = 110.25$.
Remarque 1 Dans (1), te taux r et le nombre de période N
doivent être compatible. Ex : si N est en mois alors r doit être le
taux d’intérêt mensuel.
10
Fréquences des compositions
Les paiements d’intérêt peuvent avoir lieu plus d’une fois par an.
Par exemple, beaucoup de banques propose des taux d’intérêt
composés 12 fois par an.
rd = taux d’intérêt annuel déclaré
Ex : rd = 0.08% composé 12 fois par an ⇒ taux d’intérêt mensuel
0.08/12 = 0.0067 ou 0.67%.
(1 + 0.0067)12 = 1.083 6= 1.08.
Ainsi le terme (1 + rd ) ne représente plus une valeur future lorsque
la fréquence de composition des taux est plus d’une fois par an.
11
Soit m la fréquence de compositions par an, la valeur future pour
N périodes est
³
rd ´mN
(2)
FN = P × 1 +
.
m
rd
m
mN
= taux annuel déclaré / nombre de périodes par an
= nombre de périodes par an × nombre d’années
Remarque 2 Encore ici, le taux périodique et le nombre de
périodes de compositions doivent être compatibles.
12
Calcul de la durée
Les règles de calcul de la durée sont :
– une année compte 360 jours, 24 quizaines, 12 mois.
– Si la durée est calculée en jours, le compte est exact (ex : sans
indication contraire, le mois de février compte 28 jours).
– Si la durée est calculée en quinzaines : on compte les quinzaines à
partir du 1er ou du 16 qui suit le dépôt, à partir du 1er ou du 16
qui précède le retrait.
– Si la durée est calculée en mois, on ne tient pas compte de la
durée réelle des mois.
13
Exemple : Valeur future avec capitalisation mensuelle
Une banque australienne vous offre 6% capitalisable tous les mois.
Vous décidez d’investir A$ 1 000 000 sur un an.
Questions :
1. Quelle est la valeur future de votre investissement si les intérêts
des paiements sont réinvestis à 6% ?
2. Comparez avec le même taux composé une fois par an.
14
Composition continue
Si le nombre de compositions par an devient infini, alors le taux est
dit être composé continuement. Pour généraliser la formule (2), il
faut faire tendre m vers l’infini à N fixé. On obtient
(3)
F N = P × erd N
On remarque dans le tableau 1 que plus la fréquence des
capitalisations augmente, plus le montant futur augmente, la
composition en temps continue donnant le montant maximal.
De plus, $1 investi à 8.16% avec composition annuel donne la même
valeur que $1 investi à 8% avec composition semi-annuel : on
distingue le taux d’intérêt annuel déclaré et le taux annuel
effectif ou effective annuel rate, soit EAR.
15
Ici, 8% de³taux déclaré
annuel équivaut à 8.16% de taux EAR :
´
m
rd
− 1 ou
EAR = erd − 1
EAR = 1 +
|
{z
}
|
{z m
}
avec m compositions
avec une infinité de compositions.
Tab. 1 – Effet de la fréquence de compositions des taux sur une
valeur future.
Fréquence
rs /m
mN
Valeur future de $ 1
Annuel
8%/1 = 8%
1×1=1
$1.00(1.08) = $1.08
Semi-annuel
8%/2 = 4%
2×1=1
$1.00(1.04)2 = $1.081600
Trimestriel
8%/4 = 2%
4×1=1
$1.00(1.02)4 = $1.082432
Mensuel
8%/12 = 0.6667%
12 × 1 = 1
$1.00(1.00667)12 = $1.083000
Quotidien
8%/365 = 0.0219%
365 × 1 = 1
$1.00(1.000219)365 = $1.083278
$1.00e0.08(1) = $1.083287
Continue
16
Valeur future d’un flux de trésorerie.
On considère un flux de trésorerie avec versements constants de
$1 000 sur 5 ans avec un taux de 5%.
0
1
2
3
4
5
$1 000 (1.05)^4
$1 000
$1 000 (1.05)^3
$1 000
$1 000(1.05)^2
$ 1 000
$1 000 (1.05)^1
$1 000
$1 000 (1.05)^ 0
Fig. 1 – Valeur future après 5 ans d’un flux constant.
17
Formule générale : flux A, N périodes, taux d’intérêt r, on a
FN
£
¤
N −1
N −2
1
0
= A (1 + r)
+ (1 + r)
+ · · · + (1 + r) + (1 + r) ,
·
¸
N
(1 + r) − 1
= A
.
r
Preuve : On a FN = AS avec S =
N
−1
X
q k où q = 1 + r > 1.
k=1
On écrit
S
qS
= 1 + q + q 2 + · · · + q N −1
=
q + q2 + q3 + · · · + qN .
qN − 1
En soustrayant et en divisant par 1 − q, on obtient S =
.
q−1
18
3
Valeur de l’emprunt
Généralement, lorsque l’on emprunte (ou prête) c’est pour une
durée limitée et selon des modalités fixées à l’avance.
N
t1
F1
t2
F2
T
t3
F3
Fn
Fig. 2 – Flux de l’emprunteur. N = valeur de l’emprunt d’échéance
T = tn à t = 0, Fk = flux à la date tk
Le contrat stipule que l’emprunt est au taux r capitalisable à
chaque date tk .
19
Valeur de N ?
Point de vue de l’emprunteur :
Soit Nk la somme due au lendemain du remboursement de flux Fk .
On a le tableau suivant
N0
=
N
N1
=
..
.
N0 (1 + r)t1 − F1
Nk+1
=
..
.
Nk (1 + r)tk+1 −tk − Fk+1
Nn
=
Nn−1 (1 + r)tn −tn−1 − Fn = 0
20
On divise la ligne de chaque Nk pour k ≥ 1 par (1 + r)tk . On
obtient le tableau
N0
N1
(1 + r)t1
N2
(1 + r)t2
=
N
=
N0 −
=
N1
F2
−
(1 + r)t1
(1 + r)t2
F1
(1 + r)t1
..
.
Nk+1
(1 + r)tk+1
=
Nk
Fk+1
−
(1 + r)tk
(1 + r)tk+1
..
.
Nn
(1 + r)tn
=
Nn−1
Fn
= 0
−
t
t
n−1
n
(1 + r)
(1 + r)
21
On somme le tout :
N−
n
X
k=1
Fk
= 0,
t
k
(1 + r)
soit N =
n
X
k=1
Fk
.
t
k
(1 + r)
Point de vue du prêteur :
Prêter, c’est placer au taux r durant la période [0, T ]. D’où
N (1 + r)T
| {z }
valeur en T de la
somme reçue en t = 0
=
(1 + r)T −t1 F1
|
{z
}
valeur en T de la
+ . . .+
(1 + r)T −tn Fn
|
{z
}
= Fn reçue à tn
somme reçue à t = t1
En simplifiant par (1 + r)T , on obtient la même formule :
(4)
N = (1 + r)−t1 F1 + · · · + (1 + r)−tk Fk + · · · + Fn =
n
X
k=1
22
Fk
.
t
k
(1 + r)
Pour une valeur de N donnée, combien de flux possibles ? Réponse :
une infinité.
1. Annuités constantes : Fk = A, tk = k (années)
N =A
n
X
k=1
1
=A
k
(1 + r)
1
1+r
1
(1+r)n+1
1
− 1+r
−
1
On en tire la valeur de
n
(5)
A = rN
(1 + r)
= rN
n
(1 + r) − 1
Ã
=A
1−
1
1−
1
(1+r)n
1
(1+r)n
r
.
!
.
2. 
Remboursement du principal in fine :
 F = A, 1 ≤ k ≤ n − 1
k
 Fn = N + A
N =A
n−1
X
k=1
µ
¶
1
N +A
A
1
N
+
=
1
−
+
,
k
n
n
n
(1 + r)
(1 + r)
r
(1 + r)
(1 + r)
23
soit
A = rN
A
où encore r = .
N
3. Prêts ”étudiants”
Les remboursements n’ont lieu qu’à partir d’une date dans le
futur, disons t = k0 . Tout se passe comme si la somme à
rembourser était devenue N (1 + r)k0 . On applique l’équation
(5) en remplaçant N par N (1 + r)k0 , soit
(1 + r)k0 +n
A = rN
(1 + r)n − 1
24
Tableau d’amortissements
Méthode de suivi du remboursement d’un emprunt.
Capital prêté $ 100 000, taux annuel 5% sur 5 ans.
Méthode de remplissage :
On rappelle la formule :
Nk = Nk−1 (1 + r) − Fk ,
soit
Nk
|{z}
=
Nk−1
| {z }
capital dû au début
capital dû au début
(Fk − rNk−1 ) .
|
{z
}
capital ”amorti”
de l’année k
de l’année k − 1
= annuité − intérêt payé
25
−
1. Cas du remboursement in fine.
Année
Capital restant
Capital ”amorti”
Intérêt à payer
i
dû au début de i
à la fin de i
au début de i
1
100 000
0
5 000
5 000
100 000
2
100 000
0
5 000
5 000
100 000
3
100 000
0
5 000
5 000
100 000
4
100 000
0
5 000
5 000
100 000
5
100 000
100 000
5 000
105 000
0
Annuités
Capital amorti
Intéret
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
1
2
3
4
5
t
Fig. 3 – hachure = intérêts, blanc = capital amorti
26
Annuité
Capital restant
à la fin de i
2. Cas des fractions égales.
Année
Capital restant
Capital ”amorti”
Intérêt à payer
i
dû au début de i
à la fin de i
au début de i
1
100 000
20 000
5 000
25 000
80 000
2
80 000
20 000
4 000
24 000
60 000
3
60 000
20 000
3 000
23 000
40 000
4
40 000
20 000
2 000
22 000
20 000
5
20 000
20 000
1 000
21 000
0
Annuités
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
2
3
4
5
Fig. 4 – Fractions constantes.
27
t
Annuité
Capital restant
à la fin de i
3. Cas des annuités constantes.
Année
Capital restant
Capital ”amorti”
Intérêt à payer
i
dû au début de i
à la fin de i
au début de i
1
100 000
18 097
5 000
23 097
81 903
2
81 903
19 002
4 095
23 097
62 901
3
62 901
19 952
3 145
23 097
42 949
4
42 949
20 950
2 147
23 097
21 999
5
21 999
21 997
1 100
23 097
2!!!
Annuités
0
1
0
1
0
1
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
2
3
4
5
Fig. 5 – Annuités constantes.
28
t
Annuité
Capital restant
à la fin de i
1. Remboursement à la fin.
Fk = rNk−1 ,
1 ≤ k ≤ 4,
Fn = rNn−1 + N
2. Fractions égales.
Capital amorti/an = constant = C =⇒ Fk − rNk−1 = C =
N
De même Nk = N − k .
n
Soit C = 20 000 et Nk = 100 000 − kC.
3. Annuités constantes.
(1 + r)n
A = rN
= $23 097.
(1 + r)n − 1
29
N
.
n
4
Exercices.
Exercice 1 : Calcul d’un taux de croissance
En 1998, une entreprise a acquis un bénéfice net de $8 436 millions.
En 2002, elle empoche $ 8 445 millions. Quel est le taux de
croissance annuel des bénéfices nets de l’entreprise ?
Exercice 2 : Calcul d’un nombre de périodes
Combien de temps une somme de $10 000 000 placée à 7% avec
capitalisation annuelle met pour doubler de valeur (soit $20 000
000) ? En général, cela dépend-t-il du montant initial ?
30
Exercice 3 : Calcul d’annuités (1)
On souhaite acquérir une maison de $120 000 en payant d’abord
$20 000 et en empruntant le reste sur 30 ans 8̀ % avec paiements
mensuels. Quel sera le montant des mensualités (constantes) ? Quel
est le taux annuel effectif ?
Exercice 4 : Calcul d’annuités (2)
M. Dupond a 22 ans et prévoit de prendre sa retraite à 63 ans. Il
prévoit d’économiser $2 000 par an sur les 15 prochaines années. Il
veut pouvoir bénéficier de $100 000 de revenu par an pendant 20
ans durant sa retraite avec le premier paiement à la première année.
Combien devra-t-il économiser chaque année à partir de la 16ème
année ? On suppose qu’il prévoit d’investir dans un fond à 8% par
an en moyenne.
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Exercice 5 :
Vous allez recevoir F=$100 000 dans 10 ans. Votre fils projette
d’acheter une maison dans 4 ans. Vous voulez savoir quelle sera la
valeur de F à ce moment. Avec un taux à 8%, quelle sera la valeur
de F dans 4 ans ?
Exercice 6 :
Un manager de fonds de pension Canadien sait que le fonds doit
réaliser une somme de C$5 million d’ici 10 ans. Il souhaite investir
un montant aujourd’hui de façon à récupérer cette somme dans 10
ans. Le placement envisagé propose 6% composable mensuellement.
Combien doit-il investir aujourd’hui ?
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Exercice 7 :
Vous prenez votre retraite aujourd’hui et vous devez choisir entre
une somme globale ($2 000 000) et un versement annuel ($200 000)
pendant 20 ans avec le premier cette année. Le taux d’intérêt de la
banque est 7% composable annuellement. Quelle option vous
paraı̂t-elle la plus intéressante (vue d’aujourd’hui) ?
Exercice 8 :
Un manager de fonds de pension allemand prévoit un versement de
EUR 1 000 000 par an pour des retraites. Les premiers départs en
retraite n’arriveront pas d’ici 10 ans (à partir de maintenant), soit
t = 10. Les versements seront alors payés tous les ans jusqu’à
t = 39. Quelle est la valeur aujourd’hui de ce plan de retraite si le
taux est de 5% composable annuellement ?
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