Matrices symétriques réelles.

Université de Nice
2009-10
SL2M
Algèbre 2
Matrices symétriques réelles.
4. Calcul matriciel
4.1. Application bilinéaire symétrique associée à une matrice symétrique. On considère
une matrice symétrique A dans Mn (R). On appelle B la base canonique (e1 , . . . , en ) de Rn .
(1) À une telle matrice est associée une application linéaire f de Rn dans Rn . Si ~x est un
vecteur de Rn , on note X la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique
B. Le produit de matrices AX est une matrice colonne qui est la matrice dans la base
canonique B d’un vecteur ~y de Rn . Ce vecteur est l’image de ~x par f .
(2) À une telle matrice est associée une application bilinéaire symétrique de Rn × Rn dans R.
On considère deux vecteurs ~x et ~y de Rn de matrices respectives X et Y dans la base B.
Le produit de matrices t Y A X est une matrice 1 × 1, c’est-à-dire un réel. Remarquons que
ce réel est le produit scalaire h~y | f (~x)i. On notera φ l’application
φ : Rn × Rn −→ R
(~x, ~y ) 7−→ h~y | f (~x)i.
On note que, puisque A est symétrique,
t
Y A X = tX tA Y = tXA Y.
On a donc φ(~x, ~y ) = φ(~y , ~x), soit encore h~y | f (~x)i = hf (~y ) | ~xi.
Espace vectoriel euclidien E
~x
~y
f : E −→ E
~y = f (~x)
h~x | ~y i = h~y | ~xi
h~y | f (~x)i = hf (~x) | ~y i
Dans la base B
X
Y
A matrice carrée n × n
Y = AX
t
Y X = tXY
t
Y A X = t(AX)Y = tX tA Y
5. Formes bilinéaires symétriques
Dans cette section on étudie les applications bilinéaires symétriques
φ : E × E −→ R
(~u, ~v ) 7−→ φ(~u, ~v ).
où E est un espace vectoriel sur R. Comme l’espace d’arrivée est R on appelle une telle application
forme bilinéaire symétrique.
5.1. Lemme. On considère une application bilinéaire φ comme ci-dessus qui est de plus positive,
c’est-à-dire
∀~v ∈ E φ(~v , ~v ) ≥ 0.
L’ensemble des vecteurs ~v de E tels que φ(~v , ~v ) = 0 est un sous-espace vectoriel de E. C’est
aussi le sous-ensemble
{~v ∈ E | ∀w
~ ∈ E φ(~v , w)
~ = 0}
8
Démonstration. On considère un vecteur ~v tel que φ(~v , ~v ) = 0, un vecteur w
~ de E et un scalaire
réel λ. On calcule φ(~v + λw,
~ ~v + λw),
~ positif ou nul par hypothèse, en utilisant la bilinéarité :
0 ≤ φ(~v + λw,
~ ~v + λw)
~ = φ(~v , ~v ) + λ2 φ(w,
~ w)
~ + 2λφ(~v , w)
~ = λ2 φ(w,
~ w)
~ + 2λφ(~v , w).
~
On en déduit que la fonction λ 7−→ λ2 φ(w,
~ w)
~ + 2λφ(~v , w)
~ ne prend aucune valeur négative, ce
qui n’est possible que lorsque φ(~v , w)
~ = 0.
On vérifie ensuite que l’ensemble
{~v ∈ E | ∀w
~ ∈E
φ(~v , w)
~ = 0}
est un sous-espace vectoriel de E. C’est une conséquence de la linéarité de φ par rapport à son
premier argument.
Remarque. En particulier, une forme bilinéaire positive φ est un produit scalaire si et seulement
si l’une des deux propriétés suivantes est satisfaite
(1) l’ensemble {~v ∈ E | φ(~v , ~v ) = 0} est réduit au vecteur nul.
(2) le sous-espace vectoriel {~v ∈ E | ∀w
~ ∈E
φ(~v , w)
~ = 0} est réduit au vecteur nul.
5.2. Théorème. On considère un entier naturel n, un espace vectoriel euclidien E de dimension
finie n et une forme bilinéaire symétrique φ sur E. Il existe une base orthonormée (~v1 , . . . , ~vn )
de vecteurs de E, et une famille de réels (λ1 , . . . , λn ) telles que
(1) Pour i de 1 à n, φ(~vi , ~vi ) = λi .
(2) Pour i et j de 1 à n, i 6= j, φ(~vi , ~vj ) = 0.
P
P
~ i , alors
~ = ni=1 βi w
(3) Si ~v = ni=1 αi~vi et w
φ(~v , w)
~ =
n
X
λi αi βi .
i=1
En particulier,
φ(~v , ~v ) =
n
X
λi (αi )2 .
i=1
L’assertion (3) est équivalente aux deux premières, compte tenu de la bilinéarité de φ.
Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur l’entier n. Pour n = 0 il n’y a rien à
faire (une famille à 0 éléments est vide). On considère alors un entier n > 0, une forme bilinéaire
symétrique φ sur un espace euclidien E de dimension n et on fait l’hypothèse que le théorème est
vrai pour toute forme bilinéaire symétrique sur un espace de dimension strictement inférieure à n.
À l’aide de φ, on construit une application
h : Rn −→ R
~x 7−→ h(~x) := φ(~x, ~x).
La sphère unité de Rn est un ensemble fermé et borné de Rn , donc compact. La fonction h
est continue parce que polynomiale. Un théorème important d’analyse affirme que toute fonction
continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes sur ce compact. La fonction h est donc
bornée sur la sphère unité et il existe un vecteur v0 de norme 1, tel que tout vecteur v de norme
1 a une image h(v) majorée par h(v0 ). On désigne h(v0 ) par λ0 .
9
On considère alors l’application
ψ : Rn × Rn −→ R
(~u, ~v ) 7−→ λ0 h~u | ~v i − φ(~u, ~v ).
C’est encore une forme bilinéaire symétrique parce que φ et le produit scalaire sont toutes deux
des formes bilinéaires symétriques. D’autre part, ψ est positive. En effet, si v est nul ψ(0, 0) = 0
et sinon
~v
ψ(~v , ~v ) = k~v k2 (λ0 − h(
) ≥ 0.
k~v k
puisque k~~vvk est un vecteur de norme 1.
Le lemme 5.1 montre que
(1) L’ensemble des vecteurs ~v de E tels que h(~v ) = λ0 k~v k2 est un sous-espace vectoriel F0 de
E, non reduit à 0 puisqu’il contient ~v0 .
(2) Un vecteur ~v est dans F0 si et seulement si pour tout w de E, ψ(v, w) = 0.
On a donc montré :
∀~v ∈ F0 ∀w
~ ∈E
φ(w,
~ ~v ) = λ0 hw
~ | ~v i
En particulier, si w
~ est orthogonal à F0 , on voit que
∀~v ∈ F0
φ(w,
~ ~v ) = 0.
Tout vecteur ~v de E se décompose de manière unique en ~v 0 + ~v 00 avec ~v 0 ∈ F0 et ~v 00 ∈ F0⊥ . On
calcule φ(~v , w)
~ :
φ(~v , w)
~ = φ(~v 0 + ~v 00 , w
~0 + w
~ 00 ) = φ(~v 0 , w
~ 0 ) + φ(~v 0 , w
~ 00 ) + φ(~v 00 , w
~ 0 ) + φ(~v 00 , w
~ 00 )
= φ(~v 0 , w
~ 0 ) + φ(~v 00 , w
~ 00 ) = λ0 h~v 0 | w
~ 0 i + φ(~v 00 , w
~ 00 ).
Il suffit donc de connaı̂tre la valeur de φ sur un couple de vecteurs de F0⊥ pour connaı̂tre φ. Or F0⊥
est un espace vectoriel euclidien de dimension strictement inférieure à n. On peut lui appliquer
l’hypothèse de récurrence : il existe une base orthonormée de F0⊥ vérifiant les conclusions du
théorème. En prenant une base orthormée de F0 et en la concaténant avec celle obtenue pour F0⊥ ,
on obtient une base orthonormée de E vérifiant les conclusions du théorème.
5.2.1. Exemple. On considère la matrice symétrique
7 2
A :=
.
2 4
On lui associe la forme bilinéaire symétrique
φ : R2 × R2 −→ R
((u1 , u2 ), (v1 , v2 )) 7−→
u1 u 2
7 2
2 4
v1
v2
= 7u1 v1 + 4u2 v2 + 2u1 v2 + 2u2 v1 .
L’application h est alors
h : R2 −→ R
(x1 , x2 ) 7−→ 7x21 + 4x22 + 4x1 x2 .
10
Le cercle unité est l’ensemble des vecteurs de norme 1, autrement dit l’ensemble des vecteurs
(cos θ, sin θ) pour θ réel. Pour trouver le maximum de h sur le cercle, on étudie la fonction
R −→ R
3
3
cos 2θ + + 2 sin 2θ.
2
2
4
La dérivée vaut −3 sin 2θ + 4 cos 2θ et s’annule si et seulement si tan 2θ = 3 soit encore tan θ = 12
ou tan θ = −2. On vérifie que la deuxième valeur correspond à un maximum pour h. Le vecteur
2 1
~u = ( √ , √ )
5 5
est de norme 1 et rend la fonction h maximum. On trouve φ(~u, ~u) = h(~u) = 8. Le vecteur
1 −2
~v = ( √ , √ )
5 5
est de norme 1 et rend la fonction h minimum. On trouve φ(~v , ~v ) = h(~v ) = 3. La famille (~u, ~v ) est
orthonormée et on a φ(~u, ~v ) = 0.
On vérifie également les relations :
θ 7−→ h(cos θ, sin θ) = 7 cos2 θ + 4 sin2 θ + 4 sin θ cos θ = 4 +
f (~u) = 8~u et f (~v ) = 3~v .
5.2.2. Exemple. On considère dans Rn , muni de son produit scalaire usuel, une famille de vecteurs
(w
~ 1, . . . , w
~ d ) et on veut résoudre le problème suivant :
Quelle est la droite vectorielle qui est la plus proche de la famille (w
~ 1, . . . , w
~ d) ?
On quantifie la question de la manière suivante :
Trouver une droite vectorielle ∆ de Rn telle que la somme suivante soit minimale
Σ(∆) :=
d
X
kw
~ i − pr∆ (w
~ i )k2 .
j=1
La différence w
~ i − pr∆ (w
~ i ) est orthogonale à ∆ par définition de la projection orthogonale. Le
théorème de Pythagore montre alors la relation :
Σ(∆) :=
d
X
kw
~ j k2 − kpr∆ (w
~ j )k2 .
j=1
Considérons un vecteur unitaire ~u qui dirige ∆. La somme Σ s’écrit :
Σ(∆) :=
d
X
2
kw
~jk −
j=1
d
X
hw
~ j | ~ui2
j=1
La somme Σ(∆) est une différence de deux termes. Le premier terme est indépendant de ∆ et
P
ne dépend que de la famille de vecteurs. Le deuxième dj=1 hw
~ j | ~ui2 est une forme quadratique
associée à la forme bilinéaire symétrique
φ(~u, ~v ) =
d
X
hw
~ j | ~uihw
~ j | ~v i
j=1
Dans les notations du théorème, il s’agit de trouver le maximum de la fonction h(~u) = φ(~u, ~u)
lorsque ~u est de norme 1 pour en déduire le minimum de Σ(∆). C’est donc exactement le problème
étudié dans la preuve du théorème.
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Cet exemple est très utilisé en statistiques (analyse de données) ou en mécanique (axes principaux
de rotation d’un solide).
6. Réduction des matrices symétriques réelles
On considère un entier n et une matrice symétrique réelle A. On considère la forme bilinéaire
symétrique φ associée (voir 4.1). On veut calculer une base orthonormée (~v1 , . . . , ~vn ) et la famille
de réels (λ1 , . . . , λn ) dont le théorème 5.2 affirme l’existence.
Ces deux familles ont les propriétés suivantes
(1) Pour i de 1 à n, h~vi | f (~vi )i = φ(~vi , ~vi ) = λi .
(2) Pour i et j de 1 à n, i 6= j, h~vj | f (~vi )i = φ(~vi , ~vj ) = 0.
Considérons le vecteur f (~vi ) : on connait son produit scalaire avec tous les vecteurs de la base
orthonormée (~v1 , . . . , ~vn ). Il vaut donc λi~vi , autrement dit :
vi est un vecteur non nul du noyau de f − λi Id.
6.1. Définition. On appelle valeur propre de f un réel λ tel que le noyau ker(f − λId) n’est pas
réduit au vecteur nul. Un vecteur non nul de ker(f − λId) est appelé vecteur propre associé à
la valeur propre λ.
Lorsque λ est une valeur propre de f , le sous-espace vectoriel ker(f − λId) est le sous-espace
propre de f associé à la valeur propre λ.
Il s’agit donc de calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de f à partir de la matrice A
de f . On désigne par In la matrice identité n × n.
6.2. Théorème. On considère un réel λ et une application linéaire f : Rn −→ Rn de matrice A
dans la base B. Les propriétés suivantes sont équivalentes
(1) Le noyau ker(f − λId) n’est pas réduit au vecteur nul (λ est valeur propre de f ).
(2) Le rang de la matrice A − λIn est strictement inférieur à n.
(3) det(A − λIn ) = 0.
La preuve est une application directe des propriétés du rang et du déterminant.
6.2.1. Exemple. On reprend l’exemple 5.2.1. On considère la matrice symétrique
7 2
A :=
.
2 4
et le déterminant det(A − λI2 ) qui vaut λ2 − 11λ + 24. Les valeurs propres sont les racines de ce
polynôme du second degré, 8 et 3.
Les vecteurs propres associés à la valeur propre 8 sont éléments du noyau de f − 8Id, c’est-à-dire
les solutions du système linéaire sans second membre de matrice A − 8I2
−v1 + 2v2 = 0
.
2v1 − 4v2 = 0
Les deux équations sont proportionnelles et le système est de rang 1 (est-ce surprenant ?). L’ensemble des solutions est√une droite
vectorielle dirigée par le vecteur (2, 1). Un vecteur directeur
√
de norme 1 est ~u := (2/ 5, 1/ 5).
On opère
√ de même
√ pour la valeur propre 3 pour trouver un vecteur propre de norme 1 associé
~v := (1/ 5, −2/ 5).
On constate que la famille (~u, ~v ) est orthonormée.
12
6.3. Théorème. On considère une matrice symétrique A et l’application linéaire associée f :
Rn −→ Rn . Deux vecteurs propres ~u et ~v de f , associés à des valeurs propres différentes λ et µ
sont orthogonaux.
Démonstration. On considère le produit scalaire h~u | f (~v )i. Comme ~v est un vecteur propre associé
à la valeur propre µ on a
h~u | f (~v )i = h~u | µ~v i = µh~u | ~v i.
Comme A est symétrique on a aussi
h~u | f (~v )i = hf (~u) | ~v i
et comme ~u est un vecteur propre associé à la valeur propre λ on a
hf (~u) | ~v i = hλ~u | ~v i = λh~u | ~v i.
Au final, on obtient (λ − µ)h~u | ~v i = 0 qui implique h~u | ~v i = 0 puisque λ 6= µ.
6.4. Théorème (Matrices orthogonales). On considère un entier n et une matrice P de Mn (R).
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– 1. tP P = In (on dit que P est orthogonale).
– 2. La famille des vecteurs colonnes de P est orthonormée.
– 3. P tP = In
– 4. La famille des vecteurs lignes de P est orthonormée.
On considère l’application linéaire g qui a pour matrice P dans la base canonique B de Rn . Les
propriétés suivantes sont équivalentes aux 4 précédentes :
– 5. Pour toute b.o.n. (~v1 , . . . , ~vn ) de Rn , la famille des images (g(~v1 ), . . . , g(~vn )) est orthonormée.
– 6. Il existe une b.o.n. (~v1 , . . . , ~vn ) de Rn telle que la famille des images (g(~v1 ), . . . , g(~vn )) est
orthonormée.
Démonstration. L’équivalence entre les 2 premières propriétés est une conséquence des règles de
calcul d’un produit de matrices. Il en est de même pour l’équivalence entre les propriétés 3 et 4.
La propriété 5 implique clairement la 6. La propriété 2 signifie que 6 est vraie pour la base B. La
propriété 3 signifie que tP est aussi orthogonale.
Remarquons d’abord qu’une matrice orthogonale P est inversible. Notons (~v1 , . . . , ~vn ) la famille
de ses vecteurs colonnes. C’est une b.o.n. Désignons par R la matrice des coordonnées dans la base
(~v1 , . . . , ~vn ) des vecteurs (~e1 , . . . , ~en ) de la base canonique. On a P R = RP = In (le vérifier). On
en conclut que tP = R et que P tP = In (propriété 3). Les 4 premières propriétés sont équivalentes.
Montrons que la propriété 1 implique la propriété 5. On considère une famille orthonormée
(~v1 , . . . , ~vn ) de vecteurs de Rn . On désigne par Q la matrice des vecteurs (~v1 , . . . , ~vn ) dans la
base B. Elle est donc orthogonale. La matrice produit P Q est la matrice des coordonnées de la
famille (g(~v1 ), . . . , g(~vn )). Calculons
t
(P Q)P Q = tQ tP P Q = tQQ = In
ce qui prouve que P Q est orthogonale, donc que la famille (g(~v1 ), . . . , g(~vn )) est orthonormée.
Montrons ensuite que la propriété 6 implique la propriété 1. Si la propriété 6 est vraie il existe
une matrice orthogonale Q telle que P Q est orthogonale. On a alors
In = P Q t (P Q) = P Q tQ tP = P tP.
Remarque La multiplication des matrices induit sur l’ensemble des matrices n × n orthogonales
une structure de groupe. On note ce groupe O(n, R).
13
6.5. Théorème. On considère un entier n et une matrice symétrique réelle A de Mn (R). Il existe
une matrice orthogonale P telle que la matrice tP AP est diagonale.
Démonstration. On considère une b.o.n (~v1 , . . . , ~vn ) obtenue à partir du théorème 5.2 et la matrice
P des coordonnées des vecteurs (~v1 , . . . , ~vn ) dans la base canonique B. Désignons par Vi la matrice
colonne des coordonnées de ~vi dans B. Comme f (~vi ) = λi~vi , on a AVi = λi Vi . Mais Vi est aussi la
i-ème colonne de P . En résumé
AP = P D
où D est la matrice diagonale Diag(λ1 , . . . , λn ). On conclut en utilisant le fait que P −1 = tP .