Lycée Technique de Taza CPGE de Taza FILIÈRE MP Feuille d

Lycée Technique de Taza
FILIÈRE MP
CPGE de Taza
0
Feuille d’exercices n= 5
Compacité-Completude
???
Exercice 1. — Soit A une partie compacte d’un espace vectoriel normé E de dimension finie et x ∈ E.
1. Montre qu’il existe un élément a ∈ A tel que d(x, A) = kx − ak .
2. Soit B une autre partie compact de E tel que A ∩ B = ∅, montrer que d(A, B) > 0.
Exercice 2. — Soit F un fermé et K un compact d’un espace vectoriel E.
Montrer que F + K est un fermé de E.
2
Exercice 3. — Soit K une
partiecompact d’un evn E et f une application de K vers K telle que : ∀(x, y) ∈ K ,
x , y ⇒ f (x) − f (y) < x − y.
1. Justifier la continuité sur K de ϕ définie par ϕ(x) = f (x) − x .
2.
(a) Supposons que ∀x ∈ K f (x) , x. Montrer qu’il existe α ∈ K tel que f (x) − x ≥ f (α) − α.
(b) En déduire que f admet un unique point fixe.
Exercice 4. — Montrer que On (R) l’ensemble des matrices orthogonaux est un compact de Mn (R).
On (R) = {M ∈ Mn (R) / t MM = In }.
Exercice 5. — Soit E l’espace des polynômes de degéinferieur ou égale à n ∈ N .On munit E de la norme
Z 1
kPk =
|P(t)| dt.Soit (Pk )k une suite de polynômes tel que ∀k ∈ N kPk k ≤ 1.
0
Montrer qu’on peut extraire de (Pk )k une suite qui converge uniformement sur [0, 1].
Exercice 6. — Soit E un evn tel que le boule unité fermé est compacte.Montrer que E est complet.
Exercice 7. — Soit E un evn sur K et F un sous-espase vectoriel de dimension finie de E avec E , F.
1. Montrer que ∀x ∈ E, ∃y ∈ F / d(x, F) = x − y.
2.
(a) Soit x ∈ E, y ∈ F et λ ∈ K : Montrer que d(λx, F) = |λ| d(x, F) et d(x + y, F) = d(x, F).
(b) Montrer qu’il existe x0 ∈ E \ Ftel que d(x0 , F) = 1.
(c) En déduire qu’ il existe u ∈ E tel que d(u, F) = kuk = 1.
3. Montrer que E est de dimension finie si et si seulement si la boule unité fermé est compact.
Z 1 f (t) dt. On considère
Exercice 8. — On considère E = C([0, 1], R) l’espace vectoriel normé par f =
0

1 1


1
si
0
≤
x
≤
−



2 n


n
1 1
1

la suite ( fn )n≥2 définie sur [0, 1] par : fn (x) = 
−nx
+
si
−
≤
x≤


2
2
n
2



1

 0
si
≤x≤1
2
1. Montrer que ( fn )n≥2 est de Cauchy .
2. En déduire que E n’est pas complet.
1
M.El KATI
Lycée Technique de Taza
Exercice 9. — Soit X un eusemble
R) est l’ensemble des fonctions bornées de X vers R.
non vide
, B(X,
On munit B(X, R) de la norme f = sup f (t) .
t∈X
Montre queB(X, R) est complet.
1
Exercice 10. — Montrer que l l’ensemble des suite (xn )n≥0 reélles tel que
+∞
X
|xn | < +∞ est complet.
k=0
Exercice 11. — Soit E un evn.
1. Soit (xn )n une suite d’éléments de E qui vérifie :
∀n ∈ N
kxn+1 − xn k
≤
1
2n
(1)
Montrer que (xn )n est une suite de Cauchy.
2. Montrer que de toute suite Cauchy ,on peut extraire une sous suite vérifiant (1).
3. Montrer que E est complet si et seulement si toute suite de E vérifiant (1) est convergente.
4. Montrer que E est complet si et seulement si toute serie absolument convegente est convergente.
Exercice 12. — Soit A ∈ Mn (R).
1. Justifier l’existense de ε tel que ∀λ ∈]0, [
det(A − λI) , 0.
2. En déduire que GLn (R) est dense dans Mn (R).
Exercice 13. —
1. Soit f une application continue sur R , on suppose que f admet une limite finie en
+∞ et − ∞. Montrer que f est uniformement continue R.
2. En déduire que toute application monotone ,bornée sur R est uniformement continues.
Exercice 14. —
1. (un )n une suite d’éléments dans un Banach et αn terme général d’une serie rélle positive convergente
telle que kun k ≤ αn .
n
X
X
Montrer que la suite (
uk )n est convergente ( On dit que la serie
uk est convergente).
k=0
2. A une algébre normé (∀a, b ∈ A kabk ≤ kak kbk) de dimension finie avec un élément unité e .
Soit a ∈ A , telle que kak < 1. Montrer que e − a est inversible.Donner un exemple.
Exercice 15. — Soit n ∈ N∗ .
1. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables dansMn (R) est connexe par arcs.
2. Montrer que GLn (R) n’est pas connexe par arcs.
Exercice 16. — Soit A et B deux parties connexes par arc d’un K -espace vectoriel E de dimension finie.
1. Montrer que A × B est connexe par arc.
2. Montrer que A + B = {a + b/ a ∈ A, b ∈ B} est connexe par arc.
Exercice 17. — Soit A et B deux parties fermées d’un espace vectoriel normé E de dimension finie. On
suppose A ∩ B et A ∪ B connexes par arc, montrer que A et B sont connexes par arc.
Exercice 18. — Soit E un espace vectoriel normé réel de dimension n .
1. Soit H un hyperplan de E . E \ H est-il connexe par arcs ?
2. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension p ≤ n − 2 . E \ F est-il connexe par arcs ?
Exercice 19. —
2
M.El KATI
Lycée Technique de Taza
1. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables de Mp (C) est dense dans cet espace.
2. Soit P = Xp + ap−1 Xp−1 + + a1 X + a0 ∈ C[X] un polynôme normalisé de degré p.
Montrer que les racines de P sont toutes dans le disque fermé D de centre 0 et de rayon R = max(1, pM)
,avec M = max |ai |.
0≤i≤p−1
3. En déduire que l’ensemble des polynômes de degré p normalisés et scindés sur R est un fermé de
Rp [X].
4. Quelle est l’adhérence,dans Mp (R), de l’ensemble des matrices diagonalisables ?
Exercice 20. — Théorème de Carathéodory-Théorème de Helly.
1. Soient x1 , ..., xk des éléments de Rn , avec k > n + 1. Montrer l’existence de réels a1 , ..., ak non tous
nuls tels que :
k
X
ai = 0
et
i=1
k
X
ai xi = 0
(2)
i=1
2. Théorème de Carathéodory. Soit A une partie de Rn . On note E(A) l’enveloppe convexe de A ("plus
petit" convexe contenant A : c’est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs des familles finies
de points de A). Montrer que tout point de E(A) est barycentre à coefficients positifs d’une famille
de n + 1 points de A.
3. Théorème de Helly. Soient A1 , A2 , ..., Ak des parties convexes de Rn , avec k > n + 1. On suppose que
toute sous-famille de n + 1 parties choisies parmi A1 , ..., Ak a une intersection non vide.Démontrer
k
\
que
Ai , ∅
i=1
Exercice 21. — Soit E = Rn muni de sa structure euclidienne, soit A une partie de E. On dit qu’un
hyperplan affine H est un hyperplan d’appui de A si H ∩ A , ∅ et si la partie A est entiérement contenue
dans l’un des deux demi-espaces fermés délimités par H.
Dans la suite de l’exercice, C est un convexe fermé non vide de E.
1. Soit a ∈ E \ C.
(a) Montrer qu’il existe un unique point x de C tel que kx − ak = d(a, C) (le point x est appelé le
projeté de a sur C).
(b) Montrer qu’il existe un hyperplan d’appui de C passant par x.
2. Soit x un point de la frontière du convexe C. Montrer que, par le point x, il passe au moins un
hyperplan d’appui.
?
?
3
?
M.El KATI