Document 2193026
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— Semaine K22 — Programme de khôlles — Lycée César Baggio — Mathématiques Supérieures PTSI2 — 2012/2013 http://jourdan.math.free.fr CHAPITRE XXI ESPACES VECTORIELS §1. S TRUCTURE D ’ ESPACE VECTORIEL — Les axiomes d’espace vectoriel. Calculs dans un espace vectoriel — Exemples fondamentaux d’espaces vectoriels Espace vectoriel R ou C, Espace vectoriel Kn , Espace vectoriel d’applications, Espace vectoriel de suites, Espace vectoriel de matrices, — Espace vectoriel produit — Notion de combinaison linéaire §2. S OUS - ESPACES VECTORIELS — Définition, caractérisation. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. — Intersection de sous-espaces vectoriels. Sous-espace vectoriel engendré par une partie. — Somme de deux sous-espaces vectoriels §3. FAMILLES DE VECTEURS — Liberté — Familles génératrices — Base §4. S OMME DIRECTE ET PROJECTIONS — Somme directe de deux sous-espaces vectoriels, caractérisations. — Sous-espaces supplémentaires, caractérisations. — Projection, projecteur. §5. E XISTENCE DE BASES — T HÉORÈME DE LA BASE INCOMPLÈTE — Théorème de la base incomplète. Conséquences. —1/2— — Semaine K22 — ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE §6. T HÉORIE DE LA DIMENSION — Dimension d’un espace vectoriel. — Caractérisation des bases en dimension finie. — Dimension d’un produit. §7. S OUS - ESPACE VECTORIEL ET DIMENSION — Théorème du sous-espace. Rang d’une famille de vecteurs. — Applications aux sous-espaces supplémentaires, recollement de bases. Caractérisation des sous-espaces supplémentaires à l’aide de la dimension. — Formule de Grassmann. §8. R EPRÉSENTATION MATRICIELLE D ’ UNE FAMILLE DE VECTEURS — Définition. Matrice de passage, formule de changement de base. — Opérations élémentaires, calcul pratique du rang. D ÉMONSTRATIONS EXIGIBLES DES ÉTUDIANTS — Une famille est une base de E si, et seulement si c’est une famille libre et génératrice de E. — Théorème du sous-espace. — Formule de changement de base. On pourra vérifier que les exercices E8.14, E7.10, E8.17, E8.23, E7.9, E7.4, E8.6, E8.11, ont été correctement (re)-travaillés. —2/2—