Correction du contrôle 10 Exercice 1 Soient F et G deux sous

Correction du contrôle 10
Exercice 1
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E.
1. Montrer que F + G = {f + g, f ∈ F, g ∈ G} est un espace vectoriel réel.
2. Montrer que F + G = F ∩ G si et seulement si F = G.
Correction : 1. Montrons que F + G est un sous-espace vectoriel de E, ce qui prouvera que
F + G est un espace vectoriel réel. Comme F et G sont des sous-espaces vectoriels de E, ils
contiennent 0, de sorte que F + G contient 0 = 0 + 0. Soient x = f + g et x0 = f 0 + g 0 (f, f 0 ∈ F ,
g, g 0 ∈ G) deux éléments de F + G. On a x + x0 = (f + f 0 ) + (g + g 0 ) ainsi x + x0 ∈ F + G
puisque f + f 0 ∈ F , g + g 0 ∈ G d’après les propriétés fondamentales des sous-espaces vectoriels.
On démontre de même que pour tout réel λ l’élément λx appartient à F + G. Finalement F + G
est bien un espace vectoriel réel.
2. L’une des implications est triviale ; si F = G, les deux ensembles de l’égalité sont égaux
à F = G. Supposons dorénavant que F + G = F ∩ G. On va montrer que F ⊆ G, l’autre
inclusion se montre de la même manière. Soit f un élément de F . Comme 0 ∈ G, on a
f + 0 = f ∈ F + G = F ∩ G, ainsi f ∈ F ∩ G, en particulier f ∈ G. On montre ainsi par choix
arbitraire de f ∈ F que F ⊆ G puis de même que G ⊆ F ce qui par double inclusion donne bien
F = G. L’équivalence est démontrée.
Exercice 2
Soit E = F(R, R). On définit F comme étant l’ensemble des éléments f de E tels que f (1) = 0
et G comme étant le sous-ensemble de E formé des homothéties. On admet que F et G sont des
sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.
Correction : On commence par montrer que l’intersection de F et de G est l’espace vectoriel réduit à la fonction nulle. Soit f une fonction de F ∩ G, f est par définition une homothétie
telle que f (1) = 0 ; or le rapport d’une telle homothétie est nul, ainsi f est la fonction nulle.
Réciproquement la fonction nulle appartient bien à F ∩ G, ainsi F ∩ G = {0}. Montrons maintenant que F + G = E. Soit h ∈ E, on écrit
h(x) = h(x) − h(1)x + h(1)x
pour tout x ∈ R. Posons f (x) = h(x) − h(1)x et g(x) = h(1)x. La fonction f est dans F
puisque f (1) = h(1) − h(1) = 0 et la fonction g est une homothétie donc appartient à G. Ceci
montre bien que F + G = E et achève de démontrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires dans E.
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