Math 22A — Alg`ebre linéaire et affine 1 Devoir numéro 2 : Espaces

Math 22A — Algèbre linéaire et affine 1
Devoir numéro 2 :
Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
(http://math.univ-lille1.fr/∼mimp/Math12.html)
Exercice I. Dire si les ensembles suivants sont des R-espaces vectoriels :
1. F1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 3z, y + z = 3x}.
2. F2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 3z, x − 2y 6= −z}.
3. F3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 3z, x − 2y ≥ −z}.
4. F4 = {(x, y, P ) : x ∈ R, y ∈ C, P ∈ R2 [z]}.
5. F5 = {(x, y, z) : x ∈ R, y ∈ C, z ∈ Z}.
6. F6 = {(x, y) ∈ C2 : x + iy = 0}.
7. F7 = {(x, y, z) : x ∈ C, y ∈ C, x + iy = 0, z ∈ R2 }.
Exercice II. Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels :
1. E1 = {P ∈ R[X] : P est de degré 3}.
2. E2 = {P ∈ R[X] : ∃Q ∈ R[X] tel que P (X) = Q(X)(X 2 − 1), ∀X ∈ R}.
Corrigé.
Exercice I.
1. F1 est un sous ensemble de R3 . On a
(i) (0, 0, 0) ∈ F1 .
(ii) Si (x, y, z) ∈ F1 et (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ F1 , alors
x + y = 3z, y + z = 3x
et
x0 + y 0 = 3z 0 , y 0 + z 0 = 3x0 .
Donc (x + x0 ) + (y + y 0 ) = 3(z + z 0 ), (y + y 0 ) + (z + z 0 ) = 3(x + x0 ),
d’où (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ) ∈ F1 .
(iii) Si (x, y, z) ∈ F1 , λ ∈ R, alors x + y = 3z, y + z = 3x, donc
λx + λy = 3λz,
λy + λz = 3λx.
C’est-à-dire que (λx, λy, λz) ∈ F1 .
Donc F1 est un sous-espace vectoriel de R3 , par conséquent, F1 est un R-espace vectoriel.
2. F2 est un sous ensemble de R3 . On a (0, 0, 0) 6∈ F2 car x − 2y 6= −z n’est pas vérifiée
pour (x, y, z) = (0, 0, 0). Donc F2 n’est pas un sous-espace vectoriel.
3. On a v = (2, 1, 1) ∈ F3 car 2 + 1 = 3 × 1, 2 − 2 ≥ −1. mais −v = (−2, −1, −1) 6∈ F3
car (−2) − 2(−1) = 0 < 1. Donc F3 n’est pas un sous-espace vectoriel.
4. On a F4 = R × C × R2 [z]. Or R, C, R2 [z] sont des R-espaces vectoriels. Donc F4 est un
R-espace vectoriel.
√
√
5. On a v = (0, 0, 1) ∈ F5 , λ = 2 ∈ R, mais λv = (0, 0, 2) 6∈ F5 . Donc on ne peut pas
définir une loi externe sur F5 . Alors F5 n’est pas un R-espace vectoriel.
6. On a F6 ⊂ C2 , où C2 est un R-espace vectoriel.
(i) Il est clair que (0, 0) ∈ F6 .
(ii) Soit (x, y) ∈ F6 et (x0 , y 0 ) ∈ F6 . Alors x+iy = 0, x0 +iy 0 = 0. Donc (x+x0 )+i(y+y 0 ) =
0, d’où (x + x0 , y + y 0 ) ∈ F6 .
(iii) Soit λ ∈ R, (x, y) ∈ F6 . Alors x + iy = 0 et donc λx + iλy = 0. On a alors
(λx, λy) ∈ F6 .
Donc F6 est un sous espace vectoriel de C2 comme R-espace vectoriel.
7. On a en effet F7 = F6 × R2 où F6 est le même que ci-dessus. Or F6 est un R-espace
vectoriel d’après la question précédente, et R2 est un R-espace vectoriel, Donc F7 est un
R-espace vectoriel.
Exercice II.
1. P1 = x + x3 ∈ E1 , P2 = x2 − x3 ∈ E1 , mais P1 + P2 est de degré 2, donc P1 + P2 6∈ E1 .
E1 n’est pas un sous-espace vectoriel de R[X].
2. (i) On a 0 ∈ E2 , puisque 0 = 0 · (X 2 − 1), ∀X ∈ R.
(ii) Si P1 , P2 ∈ E2 , il existe Q1 , Q2 ∈ R[X] tels que P1 (X) = Q1 (X)(X 2 − 1) et P2 (X) =
Q2 (X)(X 2 − 1). Alors P1 (X) + P2 (X) = (Q1 (X) + Q2 (X))(X 2 − 1). D’où P1 + P2 ∈ E2 .
(iii) De même si P1 ∈ E2 , alors il existe Q1 ∈ R[X] tel que P1 (X) = Q1 (X)(X 2 − 1).
Alors pour tout λ ∈ R, λP1 (X) = λQ1 (X)(X 2 − 1), d’où λP1 ∈ E2 .
Donc E2 est un sous-espace vectoriel de R[X].