Université de Savoie Année 05/06

Université de Savoie
Année 05/06
Mathématiques générales : algébre (MATH 303 – 6ECTS)
FEUILLE D’EXERCICES 4
Exercice 1 Soient E un espace vectoriel de dimension n sur K, F et G deux sous-espaces
vectoriels de E et f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E × E. On note g
l’isomorphisme de E sur E ∗ défini par g(x) = f (., x) et H = {y ∗ ∈ E ∗ /(∀x ∈ F )(y ∗ (x) =
0)}.
1. Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E ∗ . Soit {a1 , a2 , · · · , ap } une base
de F que l’on complète en une base {a1 , a2 , · · · ap , · · · , an } de E. Montrer que :
{a∗p+1 , · · · , a∗n } une base de H.
2. Soit y ∈ F ⊥ , montrer que g(y) ∈ H.
3. Soit y ∗ ∈ H fixé et x ∈ E tels que : g(x) = y ∗ (un tel x existe car g est bijective).
Montrer que x ∈ F ⊥ .
4. Déduire de ce qui précède que dim H = dim F ⊥ et que dim F ⊥ = n- dim F . Montrer
que (F ⊥ )⊥ = F .
5. Démontrer que : (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ et que F ⊥ + G⊥ = (F ∩ G)⊥ .
Exercice 2 Soient {e1 , e2 , · · · , en } une base d’un espace vectoriel E et f une forme
bilinéaire symétrique définie positive.
1. On va montrer qu’il existe une base de E orthogonale (pour f ) {a1 , a2 , · · · , an } de
la forme :
a1
a2
a3
···
an
=
=
=
=
=
e1
e2 + λ12 a1
e3 + λ13 a1 + λ23 a2
···
en + λ1n a1 + · · · + λn−1 n an−1
Pour tout entier k, on note P(k) l’ensemble des propriétés :
• {a1 , a2 , · · · , ak } est une famille libre de E
• ai ⊥ aj pour (1 ≤ i < j ≤ k)
• ∃λi,j (1 ≤ i ≤ k − 1) (2 ≤ j ≤ k) tels que :
a1
a2
a3
···
ak
=
=
=
=
=
e1
e2 + λ12 a1
e3 + λ13 a1 + λ23 a2
···
ek + λ1k a1 + · · · + λk−1 k ak−1
Montrer par récurrence sur k (1 ≤ k ≤ n) que P(n) est vraie.
2. En déduire une base de E, orthonormale (pour f ). (Ce procédé s’appelle l’orthonormalisation
de Schmidt)
Exercice 3 On note Mn (IR) l’espace vectoriel des matrices n × n à coefficients réels.
Soit ϕ : Mn (IR) × Mn (IR) → IR l’application définie par ϕ(A, B) = trAB (trAB designe
la trace de la matrice AB).
1. Démontrer que : trAB = trBA.
2. Démontrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique.
3. Soit S le sous-espace vectoriel de Mn (IR), formé de matrices symétriques. Démontrer
que la restriction de ϕ à S est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
4. Démontrer que S ⊥ est l’ensemble des matrices antisymétriques de Mn (IR).
Exercice 4 Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IR ou Cl et {l1 , l2 · · · ln } n
formes linéaires sur E, linéairement indépendantes.
1. Démontrer que : q(x) =
n
X
(li (x))2 est une forme quadratique définie positive (E
i=1
étant un espace vectoriel sur IR).
2. Démontrer que : q(x) =
n
X
li (x) li (x) est une forme quadratique hermitienne définie
i=1
positive .
Exercice 5 Décomposer en somme de carrés les formes quadratiques suivantes :
1. x21 + x22 + x23 − 4x1 x2 − 4x2 x3 − 4x1 x3 .
2. x21 + 6x22 − 4x1 x2 + 8x1 x3 .
3. 4x1 x2 + 4x2 x3 + 4x3 x4 + 4x4 x1 .
Exercice 6 Soient {e1 , e2 , · · · , en } une base de IR n et {e∗1 , e∗2 , · · · , e∗n } la base duale . On
définit la forme bilinéaire symétrique f par f (x, y) =
n
X
ai e∗i (x) e∗i (y)
(ai ∈ IR).
i=1
1. Ecrire la matrice de f par rapport à la base {e1 , e2 , · · · , en } . Quelle propriété
possède cette base par rapport à f ?
2. Soit q la forme quadratique définie par q(x) =
n
X
ai (e∗i (x))2 . Déterminer sa forme
i=1
polaire. Démontrer que le noyau de f est l’ensemble des x de E tels que e∗i (x) = 0
pour tous les indices i tels que ai 6= 0.
3. Dans IR 3 , muni de sa base canonique on considère la forme quadratique
q(x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 x2 + 8 x1 x3 + 4 x2 x3 . Décomposer q en somme de carrés . En
utilisant ce qui précède déterminer une base de IR 3 orthogonale pour q . Quelle est
la matrice de q par rapport à cette base ?
4. Même question pour la forme quadratique :
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x21 + 2 x22 + 2 x23 + 3 x24 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x1 x4 + 4 x3 x4 .