Produits de taux

Introduction aux produits de taux d’intérêts
R&D – Banque CPR
8 avril 2002
Plan
1. Notations et préliminaires
2. Euribor, caplets, caps
3. Swaps, swaptions
4. Constant Maturity Swap (CMS)
5. Quelques produits exotiques
6. Annexes
1 Notations et préliminaires
Notations et préliminaires
1-1
Courbe des taux
• Dates de valeur
Par convention, il y a un décalage entre la date de fixing d’un taux et la date de départ de la
période d’intérêt (en général 2 jours).
⇒ Dans toute la suite on se place dans le monde J+2
Par exemple, r(0, T ) désignera un taux défini aujourd’hui, commençant dans 2 jours et
finissant à T . La période d’intérêt se calculera par :
fracannee(J+2,T)
• Zéro-coupon
On notera :
B(t, T ) =
1
(1 + r(t, T ))T −t
le prix à la date t d’une unité monétaire à la date T .
Notations et préliminaires
1-2
Changement de numéraire (1)
• Absence d’opportunité d’arbitrage
Par A.O.A., on sait que si St est le processus de prix d’un actif traité sur le marché alors :
¯ ¸
¯ ¸
· R
·
¯
¯
T
Bt
−
r
ds
Q
Q
s
¯
St = IE
e t
ST ¯¯ Ft
ST ¯ Ft = IE
BT
où Q est la probabilité risque-neutre et rs le taux sans risque.
On peut également écrire :
dSt
= rt dt + σ · dWtQ
St
avec σ quelconque (en particulier déterministe ou non).
• Mesure associée à un numéraire
On considère un actif traité X et on introduit la mesure QX associée à X et définie par sa
dérivée de Radon-Nikodym :
Notations et préliminaires
1-3
Changement de numéraire (2)
¯
¯
¯
dQ ¯
dQX ¯
XT − R T rs ds
XT Bt
=
e t
=
Xt BT
Xt
Ft
Par le théorème de Girsanov, on a la relation entre les mouvements browniens :
QX
dWt
= dWtQ − dt σ X
• A.O.A. et changement de numéraire
St
Si S est un actif traité, alors le processus X
est une martingale
t
sous la mesure QX associé au numéraire X
En effet, on peut écrire :
St
1
Q
=
IE
Xt
Xt
Notations et préliminaires
"
X
Bt
B
d
Q
t
Q
ST Ft = IE
B
X B
dQX
T
t
T
#
X
S
T
Q
Ft
ST Ft = IE
XT Ft
1-4
Exemple : la mesure T -forward
La mesure T -forward est la mesure associée au numéraire B(·, T ).
Si on note Γ(t, T ) la volatilité à la date t du zéro-coupon de maturité T , on a :
B (·,T )
dWtT := dWt
Notations et préliminaires
= dWtQ − dt Γ(t, T ).
1-5
2 Euribor, caplets, caps
Euribor, caplets, caps
2-1
Taux Euribor (1)
• Taux spot
Le taux Euribor spot est le taux actuariel donné par la courbe entre aujourd’hui (comprendre
J+2) et la date de fin de l’Euribor :
µ
¶
1
1
1
1 + δ R(0, δ) =
⇐⇒ R(0, δ) =
−1
B(0, δ)
δ B(0, δ)
On peut avoir plusieurs durées : essentiellement 3M et 6M.
• Calcul du taux
Pour calculer proprement le taux, on a besoin :
– d’une durée δ
– d’une convention pour calculer la période d’intérêts
Pour trouver la date de fin, on additionne à la date de départ la durée, en utilisant la règle
“modified following ”.
Euribor, caplets, caps
2-2
Taux Euribor (2)
Exemple : Euribor 6M
Euribor 6M
Début
05/04/02
05/10/02
Fin
07/10/02
03/04/02
6M
δ
Le 5 octobre 2002 est un samedi.
Euribor, caplets, caps
2-3
Taux Euribor (3)
• Contrat forward (ou Forward Rate Agreement, FRA)
Un Euribor forward de maturité T est un contrat forward sur l’Euribor débutant à T (fixing à
T − 2J ) et terminant à T + δ . La maturité T est calculée en utilisant la règle “m”, mais la
date de référence reste la date sans modification.
L’expression du taux forward à la date t est :
1
FRA(t, T, T + δ) =
δ
µ
¶
B(t, T )
−1
B(t, T + δ)
En particulier, le processus FRA(·, T, T + δ) est une martingale sous la probabilité forward
terminale QT +δ .
Euribor, caplets, caps
2-4
Taux Euribor (4)
Exemple : Euribor 3M dans 6M
Euribor 6M
Date 0
05/04/02
05/10/02
03/04/02
6M
Début
07/10/02
05/01/03
Fin
06/01/03
3M
δ
Le 5 janvier 2003 est un dimanche.
Euribor, caplets, caps
2-5
Caplets et Caps (1)
• Caplets
Un caplet est une option d’achat sur un Euribor forward.
L’option de strike K verse à la date T + δ la différence positive entre l’Euribor T → T + δ
et K .
Son prix à la date t se calcule donc par :
Caplet(t, T, T + δ) = δ B(t, T
T +δ £
Q
+ δ) IE
(FRA(T, T, T
¯ ¤
+ δ) − K)+¯ Ft
Comme FRA(·, T, T + δ ) est une martingale sous QT +δ , si on suppose sa volatilité déterministe, le prix
d’un caplet est donné par la formule de Black & Scholes.
Ce sont les hypothèses du modèle Libor Market Model (ou BGM pour Brace–Gatarek–Musiela).
Euribor, caplets, caps
2-6
Caplets et Caps (2)
• Caps
Un cap est une somme de caplets s’enchaı̂nant.
Exemple : Cap 1Y sur Euribor 3M
Euribor 3M
Début
05/04/02
05/07/02
3M
07/10/02
06/01/03
3M
3M
Fin
07/04/03
3M
K
Le prix du cap est la somme du prix des caplets le composant.
Euribor, caplets, caps
2-7
3 Swaps, swaptions
Swaps, swaptions
3-1
Swaps (1)
• Définition
Un swap est l’échange de flux variables indexés sur un taux contre des
flux fixes calculés à partir d’un taux constant.
Graphiquement :
Euribor 6M
Début
6M
6M
1Y
6M
6M
Fin
1Y
Taux fixe S
Swaps, swaptions
3-2
Swaps (2)
• Construction de l’échéancier
Pour calculer l’échéancier d’un swap, on a besoin de :
– durée totale du swap
– convention pour les jours fériés
– branche fixe : période, base
– branche variable : période, base
Le principe est le suivant :
– on calcule d’abord la date théorique de fin de swap
– on calcule à partir de cette date de fin théorique les dates théoriques des coupons pour
les deux jambes
– on décale éventuellement les dates théoriques pour tenir compte des jours fériés
Swaps, swaptions
3-3
Swaps (3)
• Cas pratique : Swap 3Y contre Euribor 6M
−→ 1ère étape : Date de fin théorique
Début
05/04/02
Fin théorique
05/04/05
1
Swaps, swaptions
3-4
Swaps (4)
−→ 2ème étape : Dates théoriques des coupons
Début
05/04/02
05/10/02
6
Swaps, swaptions
05/04/03
5
05/10/03
4
05/04/04
3
05/10/04
Fin théorique
05/04/05
2
3-5
Swaps (5)
−→ 3ème étape : Prise en compte des jours fériés
Euribor 6M
Début
05/04/02
07/10/02
07/04/03
06/10/03
05/04/04
05/10/04
Fin
05/04/05
Taux fixe S
Swaps, swaptions
3-6
Swaps (6)
−→ 4ème étape : Calcul des périodes d’intérêt avec les vraies dates
~
δ1
Début
05/04/02
~
δ2
07/10/02
δ1
Swaps, swaptions
~
δ3
~
δ4
07/04/03
06/10/03
δ2
~
δ5
~
δ6
05/04/04
05/10/04
Fin
05/04/05
δ3
3-7
Evaluation d’un swap (1)
On cherche à évaluer la valeur en 0 d’un swap commençant à cette date. On procède en
évaluant la PV de la branche fixe puis celle de la branche variable. La PV du swap est la
différence des deux PV.
• Branche fixe
Si on note (Ti, δi)1≤i≤n de la partie fixe du swap, on a en faisant abstraction du notionnel :
PVfix(0, T1 → Tn) =
n
X
δi B(0, Ti) S
i=1
Swaps, swaptions
3-8
Evaluation d’un swap (2)
• Branche variable
On note (Tej , δej )1≤j≤m l’échéancier de la partie variable du swap.
La PV de la partie variable est égale à l’espérance sous Q des flux actualisés, ou encore en
utilisant les probabilités forward :
PVvar(0, Te1 → Tem) =
=
m
X
j =1
m
X
δej B(0, Tej
Tej
Q
) IE
h
³
´¯ i
¯
FRA Tej−1, Tej−1, Tej ¯ F0
³
δej B(0, Tej ) FRA 0, Tej−1, Tej
´
j =1
en utilisant les propriétés de martingale des FRA. Puis avec leur définition :
PVvar(0, Te1 → Tem) = 1 − B(0, Tem) = 1 − B (0, Tn)
Cette valeur ne dépend pas de l’échéancier de la jambe variable, mais uniquement de la date
de fin.
Swaps, swaptions
3-9
Evaluation d’un swap (3)
• Taux de swap
Le taux de swap est le taux S(0, Tn) égalisant les PV
des deux branches du swap finissant en Tn.
En égalisant les deux expressions obtenues plus haut, on obtient :
1 − B (0, Tn)
S(0, Tn) = n
X
δi B(0, Ti)
i=1
Le terme
Pn
i=1 δi B(0, Ti) peut être appelé sensibilité, level, coupon process...
Swaps, swaptions
3-10
Taux de swap forward (1)
• Définition
On considère un swap commençant dans le futur, à une date T .
Le taux de swap forward en t est le taux S(t, T, Tn) égalisant
les PV en t des deux branches du swap commençant en T et
finissant en Tn.
En prenant l’espérance des flux actualisés en t, on montre :
B(t, T ) − B(t, Tn)
S(t, T, Tn) =
n
X
δi B(t, Ti)
i=1
Swaps, swaptions
3-11
Taux de swap forward (2)
• Echéancier
On calcule l’échéancier à partir de la date de départ théorique.
Exemple : Swap 2Y dans 1Y
Date 0
05/04/02
Début
07/04/03
1
Swaps, swaptions
Départ théorique
05/04/03
06/10/03
05/04/04
05/10/04
Fin
05/04/05
2
3-12
Swaption (1)
• Définition
Une swaption de strike K sur le swap T −→ Tn est le droit d’entrer
dans un swap à la date T avec un taux fixe égal à K .
Deux types de swaptions :
– swaption payeuse : on reçoit le variable et on paye le fixe
– swaption receveuse : on reçoit le fixe et on paye le variable
Date 0
05/04/02
Début
07/04/03
06/10/03
05/04/04
05/10/04
Fin
05/04/05
Départ théorique
05/04/03
L’option est exercée une fois, au début du swap (6= caps).
Swaps, swaptions
3-13
Swaption (2)
• Mesure associée au swap
Le prix à la date t d’une swaption payeuse est donné par :
¯ ¤
T £ Pn
Q
¯
Sw(t, T, Tn) = B(t, T ) IE
i=1 δiB(T, Ti) (S(T, T, Tn) − K)+ Ft
On définit la mesure associée au swap QLVL comme étant la mesure associée au
numéraire :
n
X
LVL(t, T, Tn) =
δiB(t, Ti)
i=1
En faisant le changement de mesure :
Sw(t, T, Tn) = LVL(t, T, Tn
LVL £
Q
) IE
(S(T, T, T
¯ ¤
n) − K)+¯ Ft
Le taux de swap forward S (·, T, Tn ) est une martingale sous QLVL : sous certaines hypothèses, on peut
utiliser une formule de Black-Scholes (Swap Market Model).
Swaps, swaptions
3-14
Swaption (3)
• Physical settlement et Cash settlement
Lorsque le swap sur lequel est écrit l’option est effectivement réalisé, on parle de physical
settlement.
Pour des raisons pratiques, les contreparties peuvent décider de s’échanger à la maturité de
l’option la PV du swap de strike K : elle est égale à la différence entre le taux forward et le
strike, multiplié par le level. On parle alors de cash settlement.
=⇒ Problème pour l’évaluation des ZC
On remplace les taux zéro-coupons par le taux de swap :
∀ i, B(T, Ti) ≈
Swaps, swaptions
1
(1 + S(T, Tn))Ti−T
3-15
4 Constant Maturity Swap (CMS)
Constant Maturity Swap (CMS)
4-1
Options CMS (1)
• Définition
Une option CMS de maturité T sur le swap T −→ Tn est une option
sur la valeur du taux de swap S(T, T, Tn) à la date T .
Par exemple, un CMS call verse à la date T : (S(T, T, Tn) − K)+. Son prix à la date t est
donc donné par :
CMScall(t, T, Tn) =
T
Q
B(t, T ) IE
£
¯ ¤
(S(T, T, Tn) − K)+¯ Ft
Un CMS call (resp. put) est différent d’une swaption payeuse (resp. receveuse) puisque dans un cas on paye
(S − K )+ sous la mesure forward QT , alors que dans l’autre on paye (S − K )+ sous la mesure swap
QLVL.
Pour passer de l’un à l’autre, il y a un ajustement de convexité qui correspond au drift de passage d’une
mesure à l’autre.
Constant Maturity Swap (CMS)
4-2
Options CMS (2)
• Taux CMS
Le taux CMS est le taux obtenu par parité call-put appliquée aux options CMS.
On obtient immédiatement :
CMS(t, T, Tn) =
T
Q
IE
[S(T, T, Tn)| Ft]
Bien entendu, on a toujours : CMS(T, T, Tn) = S(T, T, Tn)
Par définition, le taux CMS est une martingale sous la probabilité forward. Il a même volatilité que le taux
de swap forward. Pourquoi ne pas utiliser Black-Scholes pour calculer le prix des options CMS ?
=⇒ Parce qu’on ne connaı̂t pas la valeur du taux CMS aujourd’hui.
Constant Maturity Swap (CMS)
4-3
Options CMS (3)
• Evaluation du prix par surréplication
Pay-off CMS call
Pay-off cash-settled swaption
Pay-off
Pay-off
Taux swap
K
Taux swap
K
Pay-off
CMS
w1 Cw1 + w2 Cw2
Surréplication :
w1 Cw1
K = K1
Constant Maturity Swap (CMS)
K2
K3
Taux swap
4-4
Options CMS non standard
• Option CMS payée avec délai
Une option CMS payée avec délai est une option CMS sur un swap S(T, T, Tn) payée à une
date Tp > T . Son prix est donc :
CMScall(t, T, Tn, Tp) = B(t, Tp
=
Tp £
Q
(S(T, T, T
) IE
T
Q
B(t, T ) IE
£
¯ ¤
n) − K)+¯ Ft
¯ ¤
B(T, Tp) (S(T, T, Tn) − K)+¯ Ft
• Cap CMS
Un cap CMS est un cap dont chaque caplet est une option CMS.
On paye à la date Ti+1 la différence positive entre le taux de swap S(Ti, Ti, Ti + U ) et un
strike, U étant une constante (par ex. 10Y).
Constant Maturity Swap (CMS)
4-5
5 Quelques produits exotiques
Quelques produits exotiques
5-1
Flexi-caps
Un flexi-cap est un cap dont seule une partie des caplets peut être exercée.
Le nombre de caplets pouvant être exercés est déterminé à l’avance (par exemple la moitié du
nombre total).
Différentes modalités d’exercice :
• exercice dès que le caplet a une valeur intrinsèque non nulle (autocap)
• exercice laissé au choix du détenteur de l’option (chooser-cap ou liberty-cap)
Quelques produits exotiques
5-2
Bermudan swaptions
Une Bermudan swaption est une option qui permet à son détenteur d’entrer à différentes
dates dans un swap jusqu’à une date fixée.
Les dates d’exercice possibles de l’option correspondent généralement à un échéancier de
swap.
Par exemple, si on reprend le swap 2Y dans 1Y, une Bermudan swaption permettrait :
• soit d’entrer dans un swap 2Y le 07/04/03
• soit d’entrer dans un swap 1Y le 05/04/04
• soit de ne rien faire
Combinée avec un swap normal, une Bermudan swaption permet d’obtenir un swap annulable.
Quelques produits exotiques
5-3
Quanto swaps (1)
• Variable Etr. contre Fixe Dom.
Exemple : Notionnel en EUR avec les flux :
Libor 6M (GBP)
Début
6M
6M
1Y
6M
6M
Fin
1Y
Taux fixe (EUR)
Quelques produits exotiques
5-4
Quanto swaps (2)
• Variable Etr. contre Variable Dom.
Exemple : Notionnel en EUR avec les flux :
Libor 3M (GBP)
Début
3M
3M
6M
3M
3M
Fin
6M
Euribor 6M (EUR)
Quelques produits exotiques
5-5
6 Annexes
Annexes
6-1
Extrait du calendrier
2005
2004
2003
2002
Voici un extrait du calendrier utile pour les exemples :
Annexes
M
J
V
S
D
L
M
Avril
3
4
5
6
7
8
9
Juillet
3
4
5
6
7
8
9
Octobre
2
3
4
5
6
7
8
Janvier
1
2
3
4
5
6
7
Avril
2
3
4
5
6
7
8
Octobre
1
2
3
4
5
6
7
Avril
31
1
2
3
4
5
6
Octobre
5
6
7
8
9
10
11
Avril
5
6
7
8
9
10
11
Octobre
5
6
7
8
9
10
11
6-2
Publication de volatilités dans Alpha (1)
Dans Alpha, les volatilités implicites des swaptions et de caplets se présentent sous la forme :
5Y
4Y
0.1
148
68
88
0.1
La première colonne indique la durée du swap (1Y, 2Y,...) ou du caplet (3M ou 6M), la
deuxième la maturité de l’option.
Le chiffre du centre (68) correspond à la volatilité absolue du produit à la monnaie, exprimée
en bp. Si le taux forward du swap 2Y dans 4Y est 5.73%, la volatilité B&S que l’on doit
prendre pour une swaption ATM est :
σBS
Annexes
68
=
= 11.9%
5.73
6-3
Publication de volatilités dans Alpha (2)
Les chiffres de droite (88 et 0.1) permettent de calculer la volatilité pour une swaption en
dehors de la monnaie. 88 serait la volatilité (absolue) de la swaption de strike :
K = 5.73% + 0.1 = 15.73%
La volatilité est interpolée linéairement entre le forward et le point donné en dehors.
De même, les chiffres de gauche (148 et 0.1) permettent de trouver la volatilité d’une
swaption dans la monnaie. 148 serait la volatilité de la swaption de strike :
K = 5.73% − 0.1 = −4.27%
Ce point fictif ne sert qu’à donner une indication de la pente pour l’interpolation linéaire.
Annexes
6-4