Feuille d`exercices 4

Université de Nice
2005-2006
Licence de mathématiques (L3)
Algèbre et géométrie
Feuille d’exercices 4
Exercice 1. On

2
1
A=
1
0
considère les trois matrices A, B, M de M4 (Q) définies par





−1 1 0
5 1 −1 −1
2 3 1 −2




2 0 −1
 , B = 1 5 −1 −1 , M = 0 2 −1 2  .
1 1 3 −1
6 6 4 −10
0 2 −1
−1 1 2
1 1 −1 3
3 3 1 −3
(1) Montrer que les matrices A et B sont trigonalisables et que chacune d’entre elles a une
seule valeur propre de multiplicité 4, qu’on notera respectivement λ et µ.
(2) Calculer pour n = 1, 2, 3, les dimensions de Ker(A−λI4 )n et de Ker(B −µI4 )n . Pouvait-on
connaı̂tre ces dimensions sans calcul ? Que peut-on en déduire en ce qui concerne la forme
normale de Jordan de A et de B ?
(3) Déterminer les sous-espaces caractéristiques de A et de B, et une base de Jordan pour A
et pour B. Comment en trouver d’autres bases de Jordan ?
(4) Montrer que la matrice M est trigonalisable, et déterminer ses sous-espaces caractéristiques.
En déduire une base de Jordan pour M . Comment en trouver d’autres bases de Jordan ?
Exercice 2. On considère les matrices C, D de M3 (Q) définies par




1 0 0
3 −1 1
C = 2 0 1 , D = 0 2 1 .
0 0 2
1 −1 2
(1) Déterminer une matrice P ∈ Gl3 (Q) telle que P −1 CP = D.
(2) En déduire C n pour n ∈ N.
Exercice 3. Combien y a-t-il de formes normales de Jordan J dans M7 (Q) telles que
(1) J est nilpotente d’indice 3 ;
(2) rg(J) = 4.
Etant donnée une quelconque des formes de Jordan J considérées ci-dessus, donner une condition
nécessaire et suffisante pour que la forme normale de Jordan d’une matrice M ∈ M7 (Q) soit J.
Exercice 4. On rappelle qu’un élément x d’un groupe multiplicatif G est d’ordre n si xn = eG ,
et si xm 6= eG pour tout entier positif non nul m < n. (eG désigne l’élément neutre de G).
(1) Soit A ∈ GlN (C) une matrice d’ordre n. Que peut-on dire sur le polynôme minimal de A ?
En déduire que A est diagonalisable.
(2) Soit k un corps, et A ∈ GlN (k) une matrice d’ordre n. Montrer que les valeurs propres de
A sont des racines niemes de l’unité de k.
(3) Soit A ∈ Gl2 (k). Montrer que si A 6= λI2 , λ ∈ k, alors polynôme minimal et polynôme
caractéristique de A coı̈ncident. Déterminer les coefficients de ce polynôme en fonction de
la trace et du déterminant de A.
1
2
p
−1
(4) On admet le résultat suivant : pour tout nombre premier p, le polynôme XX−1
est irréductible
dans Q[X]. En déduire qu’il ne peut exister dans Gl2 (Q) de matrice A d’ordre p, si p est
premier 6= 2, 3. Donner des matrices A ∈ Gl2 (Q) d’ordre 2, d’ordre 3 et d’ordre 4.
Exercice 5. On considère les trois formes quadratiques suivantes sur R3 ,
q1 (x, y, z) = x2 + xy − y 2 + z 2 ,
q2 (x, y, z) = xy + 3yz − z 2 ,
q3 (x, y, z) = xy + yz + zx.
(1) Ecrire q1 , q2 , q3 comme somme de carrés indépendants ;
(2) En déduire la signature de q1 , q2 , q3 .
(3) Déterminer les matrices symétriques A1 , A2 , A3 telles que qi (v) = t vAi v pour v ∈ R3 .
(4) Pour quels couples (i, j) il existe un changement de base t P Ai P = Aj ?
√
Exercice 6. Dessiner les coniques de R2 d’équation x2 −4xy +y 2 = 16 et 4x2 +2 3xy +2y 2 = 16.
Exercice 7. On considère les matrices symétriques réelles S1 , S2 définies par




1 −3 −1
1 1
0
1  , S2 = 1 −2 0  .
S1 = −3 1
−1 1 −5
0 0 −1
Pour chacune d’entre elles trouver un repère orthonormé de R3 dans lequel elle se diagonalise.
Exercice 8. On considère N points (Ai )i=1,...,N de l’espace affine Rn , et on suppose que leur
barycentre est G. Pour toute droite affine D de Rn , on pose
φ(D) =
N
X
(d(Ai , D))2
i=1
où d(Ai , D) désigne la distance euclidienne du point Ai à la droite D. On se propose de déterminer
les droites D pour lesquelles cette quantité est la plus petite possible.
(1) Montrer que pour toute droite DG passant par G et parallèle à D, on a φ(DG ) ≤ φ(D).
(2) Pour tout vecteur unitaire ~v , on note D~v la droite passant par G de vecteur directeur ~v .
Montrer la formule
~ i k2 − < ~v |GA
~ i >2 .
d(Ai , D~v )2 = kGA
(3) En déduire que la fonction
q(~v ) = φ(D~v ) −
N
X
~ i k2
kGA
i=1
n
est une forme quadratique sur R , et que φ prend son minimum sur toute droite D~v pour
laquelle ~v est un minimum de la forme quadratique q|S restreinte à la sphère-unité S de
Rn .