Notions d`optimisation convexe

L2 - 2ème semestre
Année 2003-2004
Analyse Numérique
Feuille de TD no 4
Notions d’optimisation convexe
Exercice 1
Les fonctions suivantes sont-elles convexes sur le domaine D ?
1. f (x) = ln x, D =]0, +∞[.
2. g(x) = ax2 + bx + c, a ∈ R? , D = R.
3. h(x) = |x|, D = R.
x2 si x < 0
4. i(x) =
, D = R.
x2 − 5 si x ≥ 0
5. j(x, y) = x2 + y 2 − xy, D = R2 .
Exercice 2
Soient n nombres réels strictement positifs x1 , . . . , xn . On note leur moyenne
n
n
Y
1/n
1X
arithmétique M =
xi et leur moyenne géométrique G =
xi
.
n i=1
i=1
1. Montrer que la fonction x 7−→ ex est convexe sur R.
2. En déduire que G ≤ M .
Indication : écrire la relation de convexité pour la fonction x 7−→ ex en
prenant des coefficients λi tous égaux à n1 .
Exercice 3
On considère la fonction de deux variables définie par :
f : R2 −→ R
(x, y) 7−→ f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 4y + 6
1. Montrer que f est strictement convexe.
2. Montrer que f est coercive.
3. En déduire que f admet un unique minimum que l’on précisera.
Exercice 4
On considère la fonction de deux variables définie par :
f : R2 −→ R
x2 y 2
+
(x, y) 7−→ f (x, y) = x arctan x + y arctan y +
2
2
1
1
2
2
− ln(1 + x ) − ln(1 + y )
2
2
1
1. Déterminer la matrice hessienne H de la fonction f .
2.a. Déterminer un α > 0 tel que, pour tout (u, v) ∈ R2 , on ait
u
u
k22 .
≥ αk
(u v) H
v
v
b. Déterminer un M > 0 tel que
kHk2 ≤ M.
c. À l’aide
de la méthode du gradient, construire une suite (Xp )p∈N avec
xp
Xp =
qui converge vers la solution unique (a, b) de
yp
f (a, b) =
inf
(x,y)∈R2
f (x, y).
3. Déterminer le plus petit entier p à partir duquel on a :
xp
a
k
−
k2 ≤ 10−2 .
yp
b
2