Notions d`optimisation convexe
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Notions d`optimisation convexe
L2 - 2ème semestre Année 2003-2004 Analyse Numérique Feuille de TD no 4 Notions d’optimisation convexe Exercice 1 Les fonctions suivantes sont-elles convexes sur le domaine D ? 1. f (x) = ln x, D =]0, +∞[. 2. g(x) = ax2 + bx + c, a ∈ R? , D = R. 3. h(x) = |x|, D = R. x2 si x < 0 4. i(x) = , D = R. x2 − 5 si x ≥ 0 5. j(x, y) = x2 + y 2 − xy, D = R2 . Exercice 2 Soient n nombres réels strictement positifs x1 , . . . , xn . On note leur moyenne n n Y 1/n 1X arithmétique M = xi et leur moyenne géométrique G = xi . n i=1 i=1 1. Montrer que la fonction x 7−→ ex est convexe sur R. 2. En déduire que G ≤ M . Indication : écrire la relation de convexité pour la fonction x 7−→ ex en prenant des coefficients λi tous égaux à n1 . Exercice 3 On considère la fonction de deux variables définie par : f : R2 −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 4y + 6 1. Montrer que f est strictement convexe. 2. Montrer que f est coercive. 3. En déduire que f admet un unique minimum que l’on précisera. Exercice 4 On considère la fonction de deux variables définie par : f : R2 −→ R x2 y 2 + (x, y) 7−→ f (x, y) = x arctan x + y arctan y + 2 2 1 1 2 2 − ln(1 + x ) − ln(1 + y ) 2 2 1 1. Déterminer la matrice hessienne H de la fonction f . 2.a. Déterminer un α > 0 tel que, pour tout (u, v) ∈ R2 , on ait u u k22 . ≥ αk (u v) H v v b. Déterminer un M > 0 tel que kHk2 ≤ M. c. À l’aide de la méthode du gradient, construire une suite (Xp )p∈N avec xp Xp = qui converge vers la solution unique (a, b) de yp f (a, b) = inf (x,y)∈R2 f (x, y). 3. Déterminer le plus petit entier p à partir duquel on a : xp a k − k2 ≤ 10−2 . yp b 2