1 scalaires et vecteurs

Vecteurs et scalaires
VECTEURS ET SCALAIRES
Le premier cours « Analyse vectorielle » a été publié par Wilson et Gibbs, en 1901. Ce
cours reposait sur les travaux de Hamilton, Cauchy, Grassman et Maxwell. Dès lors,
les équations qui décrivent de nombreux phénomènes physiques, s’écrivent sous une
forme ramassée. L’électromagnétisme en est un bel exemple d’application présenté
au chapitre 6.
VECTEUR. C’est une grandeur possédant à la fois un module, une direction et un
sens. Un vecteur se représente par une flèche définissant module direction et sens.
Le point O est l’origine, le point P est l’extrémité.
Selon les ouvrages, un vecteur OP est
r
représenté soit par A , soit par A, son
r
module est représenté par A .
r
A ou A
P
O
SCALAIRE. C’est une grandeur sans direction, notée avec les caractères habituels de
l’algèbre.
ALGEBRE VECTORIELLE. Les opérations d’addition, de soustraction etc…
s’étendent à l’algèbre des vecteurs. Quelques définitions fondamentales :
1
Vecteurs et scalaires
1 Deux vecteurs A et B sont égaux s’ils
ont même module, même direction,
même sens.
A
2 Un vecteur de sens opposé a celui de A
mais ayant même module et même
direction se note –A
B
A
3 La somme des vecteurs A et B est un
vecteur C obtenu en effectuant la
construction ci-contre.
A=B
-A
A
B
C=A+B
4 La différence des vecteurs A et B est le
vecteur C qui, ajouté à B donne le
vecteur A
5 Le produit d’un vecteur A par un
scalaire m est un vecteur mA de module
|m| multiplié par |A|.
PROPRIETES DE L’ALGEBRE VECTORIELLE.
L’addition est :
Commutative :
Associative :
La multiplication est : Commutative :
Associative :
Distributivité :
A+B = B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
mA=Am
m(n)A=mnA
(m+n)A=mA+nA
VECTEUR UNITAIRE. Un vecteur unitaire est un vecteur de module = 1. Si A est
un vecteur de module |A| # 0, alors le rapport A/|A| est un vecteur unitaire de même
direction et de même sens que A.
Un vecteur A peut donc être représenté par un vecteur unitaire a dirigé selon
A et multiplié par le module de A. A=a|A|
VECTEURS UNITAIRES ORTHOGONAUX i, j, k. Ce sont les vecteurs
unitaires dirigés selon les axes x, y, z positifs qui sont les axes d’un système de
coordonnées en 3 dimensions. Ces trois vecteurs unitaires sont respectivement
appelé : i, j, k.
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Vecteurs et scalaires
C
SYSTEME DIRECT. Dans un repère
orthogonal direct, le fait d’effectuer une
rotation vissant de l’axe Ox vers l’axe Oy,
fait avancer dans le sens positif sur l’axe
des z.
COMPOSANTES D’UN VECTEUR.
Tout vecteur A se décompose selon 3
composantes comme indiqué sur la
figure ci-contre. Les vecteurs A1i, A2j,
A3k sont les vecteurs composantes dans
les directions x,y,z. La somme (ou
résultante) des trois composantes est le
vecteur A
r
r
r
r
A = A1i + A2 j + A3 k
Son module résulte du théorème de
Pythagore :
A = A = A12 + A22 + A32
En général, le vecteur de position d’un
point M situé aux coordonnées x, y, z,
est :
r
r r
r = xi + yj + zk
De module :
COSINUS DIRECTEURS Les angles
α β γ que fait le vecteur r avec les
directions positives des axes de
cordonnées sont tels que :
x
y
z
cos α =
cos β =
cos γ =
r
r
r
r = r = x2 + y2 + z2
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =1
3
Vecteurs et scalaires
DISTANCE ENTRE DEUX POINTS
P et Q de coordonnées connues.
Soit P(x1, y1, z1) et Q(x2, y2, z2) les
coordonnées des points P et Q.
r
r
r
Vecteur position de P : r1 = x1i + y1 j + z1k
Vecteur
position
de
Q:
r
r
r
r2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k
PQ = r2 − r1
r
r
r
r
r
r
PQ = ( x1i + y1 j + z1 k ) - ( x 2 i + y 2 j + z 2 k )
r
r
r
PQ = ( x 2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k
Le module de PQ est :
PQ = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2
C’est la distance entre les points P et Q
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Vecteurs et scalaires
PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL.
PRODUIT SCALAIRE. Le produit
scalaire de deux vecteurs A et B, noté
A.B est le produit :
A.B = A.B cos α.
A
θ
Acosθ = Ab
La Projection de A sur B, A.cos θ, est
égale à A.b où b est un vecteur unitaire
dirigé selon B (voir exercice)
B
Propriétés du produit scalaire
Commutativité du produit scalaire
Distributivité
A.B = B.A
A.(B+C) = A.B+A.C
m (A.B) = (mA).B = A.(m.B) = (A.B)m
Si A=A1i+A2j+A3k, et B=B1i+B2j+B3k,
B3
Alors :
A.B = A1B1+ A2 B2+ A3
A.A = A2=A12+A22+A32
B.B = B2=B12+B22+B32
Si A.B = 0, et si A et B sont des vecteurs non nuls, alors les deux vecteurs sont
perpendiculaires
i.i = j.j = k.k = 1
i.j = j.k = k.i = 0
5
Vecteurs et scalaires
PRODUIT VECTORIEL.
Le produit vectoriel de deux vecteurs A
et B noté A ∧ B est le produit :
A ∧ B = A.B sin α u
u est un vecteur unitaire donnant le sens
et la direction du vecteur C = A ∧ B
Propriétés du produit vectoriel.
Non commutativité
A ∧ B=-B ∧ A
Distributivité
A ∧ (B+C) = A ∧ B + A ∧ C
m(A ∧ B) = (mA) ∧ B = A ∧ (m.B) = (A ∧ B)m
i∧ i = j∧ j = k∧ k = 0
i ∧ j = k, j ∧ k = i, k ∧ i = j
i
j k
A ∧ B = A1
B1
A2
B2
A3
B3
VECTEURS RECIPROQUES. Les vecteurs a, b, c et a’, b’, c’ sont dits
réciproques si :
a.a’ = b.b’ = c.c’ = 1
a’.b = a’.c = b’.a = b’.c = c’.a = c’.b = 0
Cet ensemble de vecteurs est réciproque si et seulement si :
a' =
Où : a.b ∧ c ≠ 0
b∧c
a.b ∧ c
b' =
c∧a
a.b ∧ c
c' =
a∧b
a.b ∧ c
CHAMP SCALAIRE Si à tout point (x, y, z) d’une région de l’espace correspond un
scalaire Φ(x,y,z), Φ s’appelle une fonction scalaire.
Exemple : La température T(x, y, z, t) à un instant précis, en tout point de la terre,
définit un champ scalaire.
CHAMP VECTORIEL Si à tout point (x, y, z) d’une région de l’espace correspond
un vecteur E(x,y,z), E s’appelle une fonction vectorielle..
Exemple : Le champ électrique E T(x,y,z,t) à un instant précis, en tout point de la terre, définit
un champ vectoriel.
Un champ indépendant du temps est dit champ stationnaire.
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Vecteurs et scalaires
EXERCICES
r Solution.
r
1/ Pour quelles Les deux vecteurs A et B sont perpendiculaires si le
r r
valeurs de a les deux
A
.B = 0
produit
scalaire
vecteurs :
A=ai-2j+k et
r
r r
r
r r
r r
B=2ai+aj-4k
A.B = (ai − 2 j + k )(2ai + aj − 4k ) = 2a 2 − 2a + 4
sont-ils perpendiculaires ?
D’où les deux valeurs de a qui satisfont à la condition
demandée :
a1 = 2

 a 2 = −1
r
r r r Solution.
r
r
r
R = r1 + r2 + r3 = 4i − 4 j + 0k
r
R =4 2
2/ Etant donnés les vecteurs : r1 =
3i-2j+k, r2 = 2i-4j-3k, r3 = i+2j+2k
Trouver le module de la somme des
trois vecteurs.
Solution.
3/ Trouver un vecteur unitaire parallèle
à la résultante R des vecteurs :
r1 = 2i+4j-5k,
Le vecteur unitaire // de R est
r
r R
donné par : u = r
R
r2 = i+2j+3k
r
r
r
r
R = 3 i + 6 j − 2k →
r
r
r
r 3 i 6 j 2k
u=
+
−
7
7
7
r
R =7
r
r
u est orienté selon R , on vérifie que
son module vaut 1
7
Vecteurs et scalaires
r r
Calcule de A ∧ B
1ère méthode
r
i
r
j
r r
A ∧ B = A1 A 2
B1 B 2
4/ Soit les deux vecteurs : A = 2i+3j-k,
calculer A ∧ B et B ∧ A
r
k
r
i
r
j
A3 = 2 − 3
B3
1
4
r
k
r
1 = 10 i
−2
2ème méthode
(
) (
)
r r r
r
r
r
r r
A ∧ B = 2 i − 3 j − k ∧ i + 4 j − 2k
r r
r
r r r
r
r r
= 2 i ∧ i + 4 j − 2k - 3 j ∧ i + 4 j − 2k − k ∧
(
)
(
)
5/ Un poids P de 75 kilogrammes est
suspendu au milieu d’une corde comme le
montre le schéma ci contre. Quelle est la
tension exercée sur chaque brin de la
corde ?
120°
Par construction : F1=F2=75kg
P
Par calcul : F =
2 cos α / 2
F
F
75kg
8
Vecteurs et scalaires
6/ Trouver l’angle formé par les deux
vecteurs : A = 2i+2j-k, B = 6i-3j+2k.
A
Vérifier que la projection orthogonale
de A sur B conduit à A cosθ = A.b.
b étant le vecteur unitaire de B.
θ
A cosθ = A.b
Acosθ est la projection orthogonale de
r
r
A sur B
4 4
A cos θ = 3 =
21 7
r
Le vecteur
unitaire
selon
B
est
r
r B 6r 3r 2r
b= r = i − j+ k
7
7
B 7
Solution
r
r r
r
r
A = 2 i + 2 j − k 
r
r
r  ⇒ A = 3 et
r
B = 6 i − 3 j + 2 k 
B
r
B =7
Pour calcul l’angle θ, il faut utiliser les
deux propriétés :
Le produit
r
r r 4
rr B 6 r 3 r 2 r r
Ab = r =  i − j + k  2 i + 2 j − k =
7
7 
7
B 7
rr
Donc : A cos θ = Ab
r r
1 / A • B = A • B • cos θ = 21cosθ 
r r

2 / A • B = A1B1 + A 2 B 2 + A 3 B3 = 4
4
⇒ θ = Arc cos = 80°
21
(
9
)