Corrigé 3

MAT 2521 Devoirs 1 Corrigé
J. Scott
3-35 (a) On considère le rectangle U = [b1 , c1 ] × · · · × [bn , cn ].
i. Si a ≥ 0, alors g(U ) = [b1 , c1 ] × · · · × [abj , acj ] × · · · × [bn , cn ] est
un rectangle, alors
v(g(U ))
=
(c1 − b1 ) · · · (acj − abj ) · · · (cn − bn )
=
a(c1 − b1 ) · · · (cj − bj ) · · · (cn − bn )
=
av(U ).
La matrice pour g par rapport à la base usuelle de Rn est


1
0


..


.




a




.
..


0
1
alors det g = a.
Si a < 0, alors acj < abj , donc g(U ) est le rectangle [b1 , c1 ] ×
· · ·×[acj , abj ]×· · ·×[bn , cn ]. On trouve que v(g(U )) = −av(U ) =
|a|v(U ) = | det g|v(U ), comme désiré.
On remarque qu’en utilisant ces idées, on peut montrer que
v(g(U )) = v(U ) si U est un parallélépipède.
ii. Tout d’abord on remarque que la matrice de g est triangulaire
(soit supérieur, soit inférieur) avec les 1 dans la diagonale. Donc
det g = 1.
D’après la prochaine partie, on peut supposer j = 1 et k = 2.
Alors
g(U ) = P × [b3 , c3 ] × · · · × [bn , cn ]
où P est le parallélogramme aux sommets (b1 , b1 + b2 ), (b1 , b1 +
c2 ), (c1 , c1 + b2 ), et (c1 , c1 + c2 ). En utilisant Fubini, on trouve
que
n
Y
v(g(U )) = v(P ) ×
(ci − bi ).
i=3
1
Pour trouver v(P ), on remarque que P est la partie de R2
encadrée par les droite x1 = b1 , x1 = c1 , x2 = x1 + b2 , et
x2 = x1 + c2 . Alors, d’après Fubini,
Z c1 Z x1 +c2
1 dx2 dx1
v(P ) =
x1 +b2
b
Z 1c1
=
(c2 − b2 ) dx1
b1
=
(c1 − b1 )(c2 − b2 )
= v([b1 , c1 ] × [b2 , c2 ]).
Alors v(g(U )) = v(U ) = | det g|v(U ).
iii. Evidémment, det g = −1 (car g échange deux coordonnées).
Alors g(U ) est le produit des [bi , ci ] avec [bj , cj ] et [bk , ck ] transposés. Puisque la multiplication dans R est commutative, on
trouve que v(g(U )) = v(U ) = | det g|v(U ).
(b) Les trois genres d’application i, ii, et iii, sont les applications linéaires
élémentaires qui correspondent aux opérations élémentaires d’une
matrice. Le procédé d’élimination de Gauss montre que toute application linéaire g est donc la composée d’applications élémentaires
g = gm ◦ · · · ◦ g1 . Il s’ensuit que det g = det gm · · · det g1 . Donc
v(g(U ))
= v(gm (gm−1 (· · · (g1 (U )) · · · ))
= | det(gm )|v(gm−1 (· · · (g1 (U )) · · · ))
..
.
= | det(gm )| · · · | det(g1 )|v(U )
= | det(g)|v(U ).
n
n
4-2 Soit
P ω ∈ ∧ V . Soit (e1 , . . . , en ) la base usuelle de R . Écrivons f (ej ) =
aij ei . Alors
X
det f =
sgn σaσ(1)1 · · · aσ(n)n .
σ∈Sn
2
Puisque ω est alterné,
f ∗ ω(e1 , . . . , en )
= ω(f (e1 ), . . . , f (en ))
!
n
n
X
X
= ω
ai1 ei , . . . ,
ai1 n ei1
i1 =1
=
X
in =1
ai1 1 · · · ain n ω(ei1 , . . . , ein )
i1 ,...,in
X
=
ai1 1 · · · ain n ω(ei1 , . . . , ein )
i1 ,...,in distincts
=
X
aσ(1)1 · · · aσ(n)n ω(eσ(1) , . . . , eσ(n) )
σ∈Sn
=
X
aσ(1)1 · · · aσ(n)n (sgn σ)ω(e1 , . . . , en )
σ∈Sn
=
det f ω(e1 , . . . , en ).
4-6 (a) On considère la 1-forme ϕ : R2 → R définie par ϕ(w) = det(v, w).
Alors
v 1
ϕ(e1 ) = det 1
= −v2
v2 0
et
v
ϕ(e2 ) = det 1
v2
0
= v1 .
1
Donc le produit vectoriel du vecteur v est le vecteur z = (−v2 , v1 ),
ce qui est une rotation autour de l’origine de π/2.
(b) Posons vn = v1 × · · · × vn−1 . Tout d’abord nous montrons que
hvi , vn i = 0 quelque soit i = 1, . . . , n − 1, d’où (v1 , . . . , vn ) est bel
et bien une base de Rn .
Pn
Écrivons vi = j=1 vij ej . Par construction, pour i = n, on a
vnj = det(v1 , . . . , vn−1 , ej ).
De plus,
hvi , ej i = vij .
3
Alors
*
hvi , vn i =
vi ,
n
X
+
vnj ej
j=1
=
n
X
hvi , ej ivnj
j=1
=
n
X
vij det(v1 , . . . , vn−1 , ej )
j=1

=
det v1 , . . . , vn−1 ,
n
X

vij ej 
j=1
=
det(v1 , . . . , vn−1 , vi )
=
0
car la i-ième et la n-ième colonnes sont égales.
Or, la matrice pour le changement de base (ei ) → (vi ) est [v1 v2 · · · vn ].
det(v1 , v2 , . . . , vn−1 , vn )
=
=
n
X
j=1
n
X
det(v1 , v2 , . . . , vn−1 , ej )vnj
2
vnj
j=1
≥
0.
Cette expression est nulle si et seulement si vnj = 0 quelque soit
j, si et seulement si det(v1 , . . . , vn−1 , ej ) = 0 quelque soit j. Mais
ceci est le cas si et seulement si ej est une combinaison linéaire de
v1 , . . . , vn−1 quelque soit j = 1, . . . , n ; la dimensions de Rn étant
n rend cela impossible. Donc le déterminant est strictement positif,
donc [v1 , . . . , vn ] est l’orientation usuelle.
4