MÉTHODE DES MINEURS PRINCIPAUX

MÉTHODE DES MINEURS PRINCIPAUX
Soit q une forme quadratique. On considère la matrice associée :


a b c 


M = b d e  .


c e f
Mineurs principaux nord-ouest. Ce sont :
∆1 = det a = a,
∆2 = det
a b
b d
!
et


a b c 


∆3 = det b d e  = det M.


c e f
Ils permettent de déterminer si la forme quadratique est définie positive ou négative en utilisant
le critère suivant.
Critère des mineurs principaux nord-ouest.
q définie positive ⇐⇒ ∆1 > 0, ∆2 > 0 et ∆3 > 0 ;
q définie négative ⇐⇒ ∆1 < 0, ∆2 > 0 et ∆3 < 0.
Si ce critère ne s’applique pas, il faut calculer tous les mineurs principaux (pas seulement
les nord-ouest).
Mineurs principaux quelconques.
– mineurs d’ordre 1 : det a = a, det b = b et det c = c ;
!
!
!
a b
a c
d e
– mineurs d’ordre 2 : det
, det
et det
;
b d
c f
e f


a b c 


– mineurs d’ordre 3 : det b d e  = det M.


c e f
Ils permettent de déterminer si la forme quadratique est positive ou négative en utilisant le
critère suivant.
Critère des mineurs principaux quelconques.
q positive ⇐⇒ mineurs d’ordre 1 ≥ 0, mineurs d’ordre 2 ≥ 0 et mineurs d’ordre 3 ≥ 0 ;
q négative ⇐⇒ mineurs d’ordre 1 ≤ 0, mineurs d’ordre 2 ≥ 0 et mineurs d’ordre 3 ≤ 0.
Dans les autres cas, la forme quadratique change de signe (c’est le cas par exemple si ∆2 < 0
ou si ∆1 > 0 et ∆3 < 0 ou si ∆1 < 0 et ∆3 > 0, etc.)
Remarque. On a donné uniquement le critère en dimension 3, mais il fonctionne dans toutes
les dimensions.