Calculs de déterminants

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Quelques outils
Définition 1 (Groupe des permutations)
Soit n ∈ N∗ . Une permutation est une bijection de J1; nK dans J1; nK. On note σ n l’ensemble des
permutations.
Soit σ ∈ σ n . On appelle orbite de k ∈ J1; nK suivant σ notée |k|σ l’ensemble {σ i (k), i ∈ N}.
On appelle cycle toute permutation telle qu’il existe une et une seule orbite non réduite à un élément
(l’orbite est alors appelée support). Un cycle de longueur 2 est une transposition.
Toute permutation sur J1; nK s’écrit comme la composée commutative de cycles de supports disjoints
de manière unique (à l’ordre près). Toute permutation distincte de l’identité s’écrit comme la composée
de transpositions.
1 2 3 4 5 6 7
Exemple 1 : σ =
= 1 3 7 6 2 4 = 1 3 3 7 7 6 2 4
3 4 7 2 5 1 6
Définition 2 (Signature d’une permutation)
La signature de σ, notée ε(σ) vaut (−1)n−m où m est le nombre de permutations suivant σ.
Si σ se décompose en k ∈ N∗ transpositions, sa signature est ε(σ) = (−1)k . La parité de k ou n − m ne
dépend pas de la décomposition choisie.
Les permutations de signature 1 sont dites paires (éléments du noyau Un de ε), les autres étant impaires.
Définition 3 (Application n-linéaire)
n
On considère f ∈ F E . Si, pour tout i ∈ J1; nK et tout (aj )j∈J1;nK\{i} ∈ E n−1 , l’application
E −→ F
x 7−→ f (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., an ) est linéaire, alors f est dite n-linéaire sur E.
Proposition 1 (Propriétés des applications n-linéaires)
Si f est n-linéaire, alors pr tt i ∈ J1; nK, (aj )j∈J1;nK\{i} ∈ E n−1 , on a f (a1 , ..., ai−1 , 0, ai+1 , ..., an ) = 0.
f est dite alternée ssi f associe 0 à tout n-uplet contenant deux fois la même composante. En particulier,
si une composante d’un n-uplet est une combinaison linéaire des autres (famille liée), alors f donne 0.
f est dite symétrique ssi pour tout σ ∈ σ n , f (x1 , ..., xn ) = f (xσ(1) , ..., xσ(n) ).
f est dite antisymétrique ssi pour tout σ ∈ σ n , f (x1 , ..., xn ) = ε(σ)f (xσ(1) , ..., xσ(n) ).
De plus une application n-linéaire est antisymétrique ssi elle est alternée.
Enfin, f est symétrique (resp. antisymétrique) ssi on ne change pas (resp. on multiplie par −1) l’image
par f d’une famille de n vecteurs de E en échangeant deux éléments.
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Définition du déterminant
Définition 4 (Déterminant d’une matrice carrée)
Soient n ∈ N∗ et M ∈ Mn (K) (notée (ai,j )(i,j)∈J1;nK2 ). Le déterminant de M est le scalaire
det(M ) =
X
σ∈
σ
ε(σ)
n
n
Y
aσ(i),i
i=1
Théorème 1 (Propriétés du déterminant)
Soit n ∈ N∗ . On a det(In ) = 1 et pour tout (M, N, λ) ∈ Mn (K)2 × K, on a :
? det(t M ) = det(M )
? det(λM ) = λn det(M )
? det(M N ) = det(M ) det(N )
1
? M ∈ GLn (K) ssi det(M ) 6= 0. Si M ∈ GLn (K), alors det(M −1 ) =
det(M )
On considère E, un K-ev de dimension n muni d’une base e = (e1 , ..., en ).
Définition 5 (Déterminant d’une famille de vecteurs)
Le déterminant dans la base e d’une famille (a1 , ..., an ) ∈ E n , noté dete (a), est le déterminant de la
matrice obtenue en écrivant en colonnes les coordonnées de a1 , puis a2 , ..., puis an dans la base e.
Théorème 2
L’application a 7−→ dete (a) est une forme n-linéaire antisymétrique tq dete (e) = 1.
Une famille a de n vecteurs de E est une base ssi dete (a) 6= 0.
Définition 6 (Déterminant d’un endomorphisme)
Soit u ∈ L(E). det(u) représente le déterminant de toute matrice représentative de u.
Théorème 3
On a det(IdE ) = 1, et pour tout (u, v, λ) ∈ L(E)2 × K, on a :
? det(λu) = λn det(u)
? det(u ◦ v) = det(u) det(v)
? u ∈ GL(E) ssi det(u) 6= 0. Si u ∈ GL(E), alors det(u−1 ) =
1
det(u)
? det(u) = dete (u(e1 ), ..., u(en ))
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Méthodes de calculs
Remarque 1 (Pivot de Gauss)
En utilisant des pivots de Gauss sur les lignes et/ou sur les colonnes d’une matrice M ∈ Mn (K), on ne
change pas son déterminant det(M ).
Définition 7 (Cofacteur)
Soient n ∈ N∗ , M ∈ Mn (K), (i, j) ∈ J1; nK2 . On note Mi,j la matrice obtenue à partir de M en lui
enlevant la ième ligne et la j ème colonne de M . On appelle cofacteur d’indice (i, j) de M le scalaire
(−1)i+j det(Mi,j )
Remarque 2
On trouve le signe devant det(Mi,j ) dans le cofacteur d’indice (i, j) selon sa position dans ce tableau :


+ − + −
− + − + ... 


+ − + −



− + − +



..
...
.
Théorème 4 (Formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne)
On appelle (ai,j )(i,j)∈J1;nK2 les coefficients de M . Pour tout (i, j) ∈ J1; nK2 , on note Ai,j le cofacteur de
ai,j . Soit p ∈ J1; nK. On a :
n
X
ak,p Ak,p
det(M ) =
det(M ) =
k=1
n
X
ap,k Ap,k
k=1
Remarque 3
Avec cette méthode de calcul, il est judicieux de choisir une ligne (ou colonne) avec plein de zéros.
Remarquons que la méthode de Sarrus ne fonctionne que pour les déterminants 3 × 3.
Exemple 2 : Développement par rapport à la colonne 1, puis la ligne 2, et enfin un pivot de Gauss en
(1, 1) du déterminant :
1 −1 −1
2 4
2
3 7
1
=1·
4 2
−1 −1
−1 −1
−2·
+3·
7 1
7
1
4
2
−1 −1
1 −1
1 −1
+4·
−2·
7
1
3 1
3 7
1 0 0
= 2 6 4
3 10 4
= −2 ·
Application 1 (Inversion de matrice)
Soient n ∈ N∗ , M ∈ Mn (K). On note (ai,j )(i,j)∈J1;nK2 = M . Pour tout (i, j) ∈ J1; nK2 , on note Ai,j le
tf
tf
f = (Ai,j )
cofacteur de ai,j . On pose M
(i,j)∈J1;nK2 (comatrice de M ). Alors M M = M M = det(M )In .
Si M est inversible, alors
1 tf
M −1 =
M
det(M )
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Application 2 (Formule de Cramer)
Soient n ∈ N∗ , M ∈ GLn (K) et B ∈ Mn,1 (K). On étudie l’équation (système (S)) M X = B d’inconnue
X ∈ Mn,1 (K). L’unique solution de (S) est

det(M1 )
 det(M ) 


..

X=
.


 det(M1 ) 

det(M )
où pour tout i ∈ J1; nK, Mi est obtenu en remplaçant dans M la ième colonne par B.
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