DM1 :fonctions,suites,nombres complexes - Pagesperso

PCSI
DM n°1
À remettre le mercredi 18 septembre 2013
Exercice 1
2
On pose :
K =∫
√2
1- Soit
dx
√ x2 1
f la fonction de [ 1,+∞ [ dans ℝ définie par :
f ( x )=ln ( x+√ x 2 1)
f est bien définie sur l'intervalle [ 1,+∞ [ .
1-a- Justifier que la fonction
1-b- Calculer la fonction dérivée de
f , sur l'intervalle ] 1,+∞ [ .
K .
1-c- En déduire la valeur de
2
2- On pose :
J =∫ √ x
2
1 dx
√2
2
2-a Démontrer que :
J =∫
√2
2-b- Déterminer la valeur de
x2
dx K
√ x2 1
J .
3- La fonction cosinus hyperbolique, notée ch est définie sur ℝ par :
ch ( x)=
e x +e
2
x
3-a- Démontrer que : ∀ x∈ℝ , x≥1 : ch ( f ( x))= x
3-b- Démontrer que :
∀( x , y ) , x≥0 et y≥1 : y=ch ( x )⇒ x= f ( y )
Johann Heinrich Lambert (1728-1777)
Johann Heinrich Lambert a tout d'un couteau Suisse multifonction. Et pour cause. À la fois
mathématicien, physicien et astronome alsacien du 18ième siècle, ce scientifique est né à Mulhouse
qui faisait partie, à l'époque, des terres helvétiques. Issu d'une famille de sept enfants et d'un père
couturier, Lambert ne peut intégrer un établissement d'études supérieures – son milieu d'origine est
trop modeste. Il met un terme à ses études afin d'aider sa famille, tout en étudiant les sciences en
parfait autodidacte.......1765. C'est à cette époque que Lambert entreprend une étude complète des
fonctions hyperboliques et introduit les notations modernes cosh, sinh, tanh. Il démontre en outre
l'irrationalité du nombre pi.
« Fonctions usuelles », Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan, édition Cépaduès.
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Exercice 2 : Entiers somme de deux carrés.
Un entier naturel n est somme de deux carrés, s'il existe deux entiers naturels a et b tels
que :
n=a 2+b2 .
1- Parmi les entiers naturels compris entre 1 et 10 lesquels sont somme de deux carrés ?
2- Soient z et z ' deux nombres complexes.
Démontrer que : ∣z ×z '∣=∣z∣×∣z '∣ .
3- En déduire que si n et n ' sont deux nombres entiers somme de deux carrés, alors n×n '
est aussi un entier somme de deux carrés.
3- Soit : (n , p)∈ℕ 2 . Démontrer que si n est somme de deux carrés, alors n p est somme de
deux carrés.
4- Écrire 4225 comme somme de deux carrés.
Pierre de Fermat (1601 ou 1607-1665) : le prince des amateurs.
Les premières lettres de Fermat à Mersenne exposent en particulier la Théorie de la recherche du
maximum et du minimum mise au point vers 1629 et qu'il applique à la détermination des tangentes
à une courbe ; ce sont les débuts du calcul différentiel....
En optique, Fermat pose le principe que la nature agit toujours par les voies les plus courtes,
montrant que ce principe implique les deux lois de Descartes et fondant ce qu'on appelle maintenant
le calcul des variations. Si Fermat a marqué le monde mathématique, c'est surtout par ses résultats
géniaux en théorie des nombres. Même Pascal ne pouvait le comprendre. : cherchez ailleurs qui
vous suive dans vos inventions numériques...cela ma passe de loin (1654). En août 1659, il écrit à
Carcavi une Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres énumérant des résultats
obtenus par sa méthode de descente infinie :
tout nombre premier de la forme 4k+1 s'écrit comme somme de 2 carrés. p=a 2 +b2 .
tout entier est somme de 4 carrés au plus.
Une équation de la forme : x 2 dy 2=1 , avec d sans facteurs carré, a une infinité de
solutions.
Fermat « Multi pertransibunt et augebitur scienta » (beaucoup passeront et la science augmentera)
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« Histoire des mathématiques », Jean-Pierre Escofier, édition Dunod.
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Exercice 3 : équation de droite avec les nombres complexe.
A,B et C sont trois points d'affixes respectives a,b et c.
3-a- Démontrez qu'une condition nécessaire et suffisante pour que A,B et C soient alignés est que
l'on ait :
a ( ̄b ̄c )+b( ̄c ̄a )+c ( ̄a ̄b )=0 .
3-b- A et B étant deux points distincts donnés, écrivez une condition nécessaire et suffisante à
laquelle doivent satisfaire z et ̄z pour que le point M d'affixe z appartienne à la droite (AB).
3-c- Déduisez-en que lorsque a et b sont de module 1, la relation précédente s'écrit :
z +a b ̄z (a+b)=0
Exercice 4 : une propriété géométrique.
z et
1- Démontrer que pour tous nombres complexes
z ' on a :
∣z +z '∣2+∣z z '∣2 =2(∣z∣2+∣z '∣2 )
2- Soient O, M,N, et P les points d'affixes respectives 0 ,
2-a- Quelle est la nature du quadrilatère OMNP ?
2-b- Interpréter géométriquement l'égalité précédente.
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z , z +z ' , et
z' .
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Exercice 5 : étude d'une suite homographique.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à1.
On se propose de résoudre sur ] 0,+∞ [ , l'équation
E n : x=1+
2
E 1 : x=1+
;
x
E 2 : x=1+
2
1+
E n définie par :
2
1+
2
x
;
2
1+
1- Écrire les équations
Que remarquez vous ?
2- Soit
E1 ,
E 2 et
(n traits de fractions)
⋱
2
x
E 3 et les résoudre.
f la fonction définie sur ℝ∗ par
f ( x )=1+
2
et soit ( x n ) la suite définie par :
x
x 0>0 et x n+1= f ( x n)
2-a- Prouver que l'équation
f ( x )=x admet deux solutions α et β telles que α<0<β .
xn β
( x 0≠α)
xn α
Montrer que (u n ) est bien définie pour tout entier n et que la suite (u n ) est une suite
géométrique, dont on précisera la raison.
2-b- On pose : u n=
3- Résoudre l'équation
En .
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