Exercices d`arithmétique Divisiblité, congruences PGCD et Bezout

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Exercices d’arithmétique
Divisiblité, congruences
Exercice 1 (Changements de base) Écrire 1427 en base 7.
Exercice 2 (Une équation diophantienne)
1. Démontrer que pour tout n ∈ N, 8 ne divise pas (3n + 1).
2. En déduire toutes les solutions (m, n) ∈ (N∗ )2 de l’équation 2m − 3n = 1.
Exercice 3 Déterminer tous les entiers naturels x et y vérifiant x2 − 4y 2 = 13.
Exercice 4 Démontrer que pout tout entier n ∈ N, l’entier n(n + 2)(7n − 5) est divisible par 6.
Exercice 5 Nous sommes le mardi 4 novembre 2014. Quel jour de la semaine serons-nous le 4 novembre 2015 ?
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Exercice 6 Déterminer le chiffre des unités de 7(7 ) .
Exercice 7 (Nombre de multiples) Soit n ∈ N∗ et k ∈ N tel que k 6 n. Combien y-a-t-il de multiples de k
inférieurs ou égaux à n ?
PGCD et Bezout
Exercice 8 (Points entiers d’une droite) On veut trouver tous les couples d’entiers (x, y) tels que
62x + 43y = 1 (E).
1. Déterminer le PGCD d de 62 et 43 en utilisant l’algorithme d’Euclide, puis déterminer un couple d’entiers
(u0 , v0 ) tel que d = 62u + 43v.
2. Démontrer que si (x, y) et (x0 , y0 ) sont solutions de (E), alors 62 divise (y − y0 ). En déduire que les
solutions de (E) sont les couples de la forme :
(u0 , v0 ) + k(−43, 62), k ∈ Z.
3. Quelle est l’interprétation géométrique du couple (−43, 62) ?
4. Résoudre l’équation diophantienne 744x + 516y = 12.
Exercice 9 (Inverse modulo n) Démontrer que si ab ≡ ac mod n et a ∧ n = 1, alors b ≡ c mod n. Le
résultat est-il vrai sans la dernière hypothèse ?
Exercice 10 (Chiffrement affine) On numérote les lettres de l’alphabet de 0 à 25. On va coder ces nombres
à l’aide d’une fonction de chiffrement. On pose A = {0, . . . , 25}, si x ∈ A, on note f (x) le reste de 17x + 22 dans
la division euclidienne par 26 (ou f (x) ≡ 17x + 22 mod (26)). Cela définit ainsi une application f de A dans A.
1. Chiffrer le mot BAC.
2. Déterminer un entier u tel que 17u ≡ 1 mod 26. En déduire que l’application f est inversible, déterminer
son inverse.
3. Déchiffrer alors le mot BEC.
Exercice 11 Soit n ∈ N.
1. Déterminer le pgcd de n2 + n et 2n + 1.
2. Déterminer le pgcd de n + 1 et 3n − 2.
Exercice 12 (Sous-groupes de Z) Soit a et b des entiers. On note d leur pgcd et m leur ppcm. Si k est un
entier, on note kZ l’ensemble des multiples de k. Démontrer que
aZ + bZ = dZ
et aZ ∩ bZ = mZ.
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Nombres premiers
Exercice 13 Soit n > 2 un entier. Le nombre n4 + 4 est-il premier ? On pourra factoriser le polynôme X 4 + 4
en remarquant que X 4 + 4 = (X 2 + 2)2 − 4X 2 .
Exercice 14 (Plages de nombres composés arbitrairement longues) Construire 1000 entiers consécutifs non premiers. On pourra considérer les successeurs de 1001!.
Exercice 15 (Vu à l’oral) Soit p > 5 un nombre premier. Démontrer que p2 − 1 est divisible par 24.
Exercice 16 (Nombres premiers dans une progression arithmétique) On veut montrer qu’il existe une
infinité de nombres premiers congrus à −1 modulo 4. On raisonne par l’absurde, il existe alors un nombre fini
de nombres premiers congrus à −1 modulo 4 que l’on note p1 , . . . , pk . On pose alors N = 4p1 × p2 × · · · × pk − 1.
1. 2 divise t-il N ?
2. Quels sont les nombres premiers congrus à 0 ou à 2 modulo 4 ?
3. Démontrer que N possède au moins un diviseur premier congru à −1 modulo 4. Conclure.
Exercice 17 (Petit théorème de Fermat) Soit p un nombre premier. On veut montrer que pour tout a ∈ N,
si a ∧ p = 1, alors ap−1 ≡ 1 mod (p).
1. Soit k ∈ J1, p − 1K, démontrer que p |
mod (p).
p
k
. En déduire que pour tout entier a on a (a + 1)p ≡ ap + 1
2. En déduire par récurrence que pour tout a ∈ N, on a ap ≡ a mod (p).
3. En déduire le petit théorème de Fermat.
Divers
Exercice 18 (Un vrai-faux) Soit a, b, u, v, n des entiers.
1. Si au + bv = 5, on peut en déduire que a ∧ b = 5.
2. Si a = b mod n alors ua = ub mod n.
3. L’équation 51x + 39y = 1 admet une infinité de couple d’entiers (x, y) solutions.
4. Si u | bc et que b et c sont premiers entre eux, alors u | b ou u | c.
5. Si n > 2 est composé, alors n = ab avec a > 1 et b > 1.
Exercice 19 (Racines rationnelles d’un polynôme) Soit P = a0 + a1 X + . . . + an X n un polynôme à
coefficients entiers avec an 6= 0. Soit pq une racine rationnelle de P avec p ∧ q = 1.
1. Démontrer que q | an et p | a0 .
2. Exemple 1 : quelles sont les racines rationnelles potentielles de 3X 3 − 2X 2 − 2X − 5 ?
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3. Exemple 2 : démontrer à l’aide de ce critère que le nombre 2 3 n’est pas rationnel.
Exercice 20 (Nombres de Fermat)
1. Soit k un entier naturel impair. Démontrer que a + b divise ak + bk .
2. Soit n ∈ N, démontrer que si 2n + 1 est premier, alors n est une puissance de 2.
3. On appelle nombre de Fermat, les entiers de la forme Fn = 22 + 1 avec n ∈ N. Pierre de Fermat avait
conjucturé que les nombres de Fermat étaient tous premiers. Que pensez-vous de sa conjecture ?
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Exercice 21 Soit a et b deux entiers. Démontrer que a | b si et seulement si a2 | b2 .
Exercice 22 Déterminer le nombre de diviseurs de l’entier n = 2a 3b 4c où a, b et c sont des entiers naturels.
Exercice 23 Soit n un entier qui admet une racine carrée entière et une racine cubique entière. Démontrer
qu’il admet une racine sixième entière.