Théorie des fractions continues

Transcription

THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES
Développement en fraction continue de
N étant un rationnel
Bernard RONK
23 mars 2014
√
N,
0-2
0-3
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Introduction
1
2 Rappels sur les fractions continues
2.1 Approche algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés élémentaires des réduites . . . . . . . . . .
2.2.1 Propriété fondamentale des réduites . . . . . .
2.2.2 Longueur du développement . . . . . . . . . . .
2.3 Développements associés . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Expansion-contraction à droite. Changement de
2.3.2 Développement inverse . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Expansion-contraction à gauche
Développements complémentaires . . . . . . . .
2.4 Formulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Concaténation de deux développements . . . .
3 Développements symétriques
3.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Expansion-contraction symétrique
3.2 Développement symétrique pair (DSP) . .
3.2.1 Propriétés de ces coefficients . . .
3.3 Développement symétrique impair (DSI) .
3.3.1 Propriétés de ces coefficients . . .
3.4 Unicité de la formulation . . . . . . . . . .
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4 Irrationnels purs
4.1 Approche algorithmique . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Définition de l’algorithme . . . . . . . . .
4.1.2 Propriétés des coefficients . . . . . . . . .
4.1.3 Généralisation aux modules fractionnaires
4.2 Théorème central . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Conventions de notation . . . . . . . . . .
4.2.2 Relations remarquables . . . . . . . . . .
4.3 Formulation matricielle . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Coefficients de la fin de période . . . . . .
4.3.2 Symétrie des coefficients . . . . . . . . . .
4.4 Comparaison des cas D entier - D rationnel . . .
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1
1
2
3
3
4
4
5
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5
6
7
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1
2
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1
1
1
2
3
4
6
6
8
9
9
11
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parité
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0-4
TABLE DES MATIÈRES
5 Parité de la période - Propriétés
5.1 Période paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Factorisation du module D . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Seconde approche - Développement dual . . . . . . . . . .
5.1.3 Cas où D est une puissance impaire d’un nombre premier
5.1.4 Application - Factorisation des grands nombres . . . . . .
5.2 Période impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Décomposition du module D en somme de deux carrés . .
5.2.2 Cas où D est une puissance impaire d’un nombre premier
5.2.3 Application - Décomposition des grands nombres en somme
de deux carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Compléments
√
6.1 Typologie des développements
√ de D pour D entier . . . .
6.1.1 Développement de D lorsque D est une puissance
paire d’un nombre premier . √
. . . . . . . . . . . . .
6.2 Quelques développements
formels
de
D . . . . . . . . . .
√
6.3 Développement de N 2 ± 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Développements duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
im. . .
. . .
. . .
. . .
7 Problèmes ouverts
7.1 Longueur de la période Θ(D) . . . . . . . . . . . .
7.2 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Définition de la fonction α() . . . . . . . . .
7.3.2 Recherche empirique de la forme analytique
.
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Annexes théoriques
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. . . .
de α()
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1
1
2
3
5
8
9
9
10
11
1
1
2
3
6
10
1
1
2
2
2
6
10
A Solution de l’équation de Bezout
11
B Solution de l’équation de Pell-Fermat
13
C Nombres de la forme A2 + B 2
17
C.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
D Code de chiffrement à clé publique
Exemples de calculs
I
Développement d’un rationnel
√
II Développement de D, D entier
√
III Développement de D, D rationnel
IV Solution de l’équation de Pell-Fermat
√
V D, D premier de la forme 4.n + 1
21
1
1
3
5
7
9
TABLE DES MATIÈRES
VI
√
D, D premier de la forme 4.n + 3
0-5
11
VII Sur les nombres de Fermat
13
Bibliographie
16
0-6
TABLE DES MATIÈRES
0-7
TABLE DES FIGURES
Table des figures
4.1
Comparaison des formules pour D entier et D =
6.1
Typologie des développements pour D entier
7.1
7.2
7.3
. . . . . . .
11
. . . . . . . . . . .
3
Période du développement de 22.k+1 . . . . . . . . . . . . . . .
Période du développement de 32.k+1 . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs de Θ(n) et α(n) pour n ≤ 30 . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
6
C
A
Exemples de calculs
√
II.1 Développement de √43 - Période paire . .
II.2 Développement de 61 - Période impaire
q
III.1 Développement de 35
- Période paire .
q 19
III.2 Développement de 65
17 - Période impaire
1
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
3
4
. . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . .
6
IV.1 Solution de l’équation de Pell-Fermat X 2 − 19.Y 2 = 1 . .
IV.2 Solution de l’équation de Pell-Fermat X 2 − 13.Y 2 = ±1 .
q
0417
VII.1Développement en fraction continue de 670641
. . . . .
q
2131 0721
VII.2Développement en fraction continue de 67 2804
27 4177
. . . .
. . . .
7
8
. . . .
13
. . . .
14
0-8
TABLE DES FIGURES
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
1-1
Chapitre 1
Introduction
La théorie des nombres représente l’un des plus beaux fleurons de l’édifice
mathématique. Ceci provient sans doute autant de sa beauté intrinsèque que
de l’absence d’une méthode générale d’attaque des problèmes, d’où une grande
difficulté dans l’établissement de nouveaux théorèmes. Une autre raison réside
probablement dans le fait que cette théorie n’a, pendant longtemps, pratiquement jamais eu d’applications directes, la recherche “gratuite” étant alors d’autant plus belle. Cette dernière raison est toutefois de moins en moins valable car
la découverte d’une méthode de décomposition des grands nombres en facteurs
premiers revêt maintenant un intérêt stratégique (voir annexe D).
Bien que la théorie des fractions continues puisse être abordée sans faire appel à des notions complexes de la théorie des nombres, elle conduit néanmoins
rapidement à des résultats remarquables, révélant toute une richesse de relations
aussi subtiles qu’inattendues. Injustement délaissée, elle semble susceptible de
conduire à des méthodes originales d’attaque de certains problèmes de la théorie
des nombres.
Une de ses caractéristique est de présenter des résultats imprédictibles par
une formule, nécessitant ainsi la réalisation effective des calculs pour l’obtention
du résultat désiré. Par cette caractéristique, cette théorie se rapproche de toute
une classe de problèmes spécifiques de la théorie des nombres, par exemple ceux
relatifs à la recherche des diviseurs d’un nombre ou de sa décomposition en
somme de deux carrés.
La théorie des fractions continues peut être développée et utilisée de diverses
façons, par exemple pour obtenir des approximations numériques de fonctions
(voir [5]). Pour notre part, nous nous limiterons à un aspect
√ théorique précis,
celui de l’étude du développement en fraction continue de N , N étant un entier ou un rationnel. Dans ce cadre, le présent opuscule propose un ensemble de
résultats, rassemblés sous une forme logique quant à la progression de l’exposé,
et cohérent quant à la notation utilisée.
Les cinq premiers chapitres regroupent à la fois des résultats classiques et
des résultats de recherches personnelles. Il ne nous est pas possible de tracer
clairement la limite entre les deux car il faudrait disposer pour cela d’une biblio-
1-2
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
thèque exhaustive, ce qui n’est pas notre cas. Toutefois, on peut probablement
caractériser l’originalité du travail par :
– la présentation des développements symétriques (chapitre 2) qui, bien que
d’un niveau très élémentaire, conduit à deux beaux théorèmes et ne semble
pas courante,
√
– les propriétés fondamentales du développement de N qui, présentés habituellement comme découlant des propriétés des nombres algébriques, sont
ici appréhendées par une voie purement algorithmique,
√
– enfin, la présentation des propriétés du développement de N qui, selon
la parité de la période, conduisent à une décomposition de N en produit
de facteurs ou en somme de deux carrés, ne semble pas non plus courante.
Le sixième chapitre, pour sa√part, constatant le peu de connaissances que
l’on a sur le développement de N tente de montrer les perspectives ouvertes
par une approche algorithmique, appuyée sur les capacités actuelles des ordinateurs, et tente ainsi de baliser de nouvelles voies de recherche. Les résultats
acquis ainsi par cette voie sont encore trop fragmentaires pour être publiés, à
l’exception de conjectures concernant un comportement asymptotique.
La progression dans la présentation privilégie l’approche algorithmique car
celle-ci permet de mener de pair les développements théoriques et les calculs sur
ordinateurs, ces derniers présentant le double intérêt de pouvoir vérifier certains
résultats théoriques et de permettre la découverte, par induction, de nouvelles
propriétés.
Dans le cadre de l’homogénéisation de l’écriture évoquée plus haut, les indices
lettres liés aux développements respectent systématiquement les conventions
suivantes :
– Les indices courants sont écrits en minuscules
– Les indices liés à la longueur du développement ou à celle de sa période
sont écrits en majuscules
– Dans les développements des nombres fractionnaires (nombre fini de termes)
et sauf indication explicite contraire, les indices commencent à 1. La valeur
du dernier indice est ainsi égal à la longueur de la période.
– Dans les développements des nombres irrationnels purs (développement
infini périodique), les indices commencent à zéro. Compte-tenu des propriétés de ces développements, l’indice du dernier terme de la première
période est ainsi égal à la longueur de la période.
La multiplication est sytématiquement représentée par un point dans les formules (ex : a = b.c) afin d’alléger celles-ci. Toutefois, pour éviter toute ambigüité, le produit de deux nombres sera noté × (ex : 20 = 2 × 10).
Enfin, certains résultats ont été reportés en annexe dans le but d’alléger
la présentation. Les annexes alphabétiques sont relatives à des résultats théoriques, tandis que les annexes numériques (chiffres romains) sont réservées à des
applications numériques, destinées à concrétiser certains algorithmes pour en
faciliter la compréhension.
CHAPITRE 2. RAPPELS SUR LES FRACTIONS CONTINUES
2-1
Chapitre 2
Rappels sur les fractions
continues
Sommaire
2.1
2.2
Approche algorithmique . . . . . . . . . . . . . . .
1
Propriétés élémentaires des réduites . . . . . . . .
2
2.2.1 Propriété fondamentale des réduites . . . . . . . . .
3
2.2.2 Longueur du développement . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3 Développements associés . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.1 Expansion-contraction à droite. Changement de parité 4
2.3.2 Développement inverse . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3.3 Expansion-contraction
à
gauche
Développements complémentaires . . . . . .
5
2.4 Formulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4.1 Concaténation de deux développements . . . . . . .
7
2.1
Approche algorithmique
A
Soit X = B
un nombre fractionnaire > 1, on peut alors écrire A = a1 .B + reste
avec a1 entier > 0 et reste < B
1
X peut donc se mettre sous la forme X = a1 + reste
B = a1 + x1 avec a1 entier > 0
B
et x1 = reste fractionnaire > 1
On peut poursuivre l’algorithme : x1 = a2 + x12 , x2 = a3 + x13 . . .
Celui-ci s’arrêtera 1 pour xn−2 = an−1 + xN1−1 si xN −1 = aN est entier.
1. Inversement, si X est irrationnel, l’algorithme ne s’arrête pas et le développement est
infini
2-2
On reconnait là l’algorithme de calcul du pgcd (Cf annexe 1). Finalement,
X pourra s’écrire sous forme de la fraction continue :
X = a1 +
1
a2 +
1
1
a3 +
a4 +
..
.
aN −1 + 1
aN
Nous conviendrons d’écrire cette fraction continue sous la forme symbolique :
X = (a1 ,a2 ,a3 ,a4 , . . . . . . ,aN −1 ,aN )
Les ai sont les coefficients du développement ou quotients incomplets, les xi
étant les quotients complets.
Les réduites successives sont alors constituées des fractions continues :
Pn
= (a1 ,a2 ,a3 , . . . . . . ,an )
Qn
avec
P1 = a1
Q1 = 1
P2 = a2 .P1 + 1
Q2 = a2
et, bien entendu :
PN
QN
Pn = an .Pn−1 + Pn−2
Qn = an .Qn−1 + Qn−2
pour
pour
n>2
n>2
(2.1)
= (a1 ,a2 ,a3 , . . . . . . ,aN )
Convention d’écriture : Les formules ci-dessus peuvent être généralisées
à tous les indices au moyen de la convention d’écriture sur les indices -1 et 0,
selon :
P−1 = 0 P0 = 1 Pn = an .Pn−1 + Pn−2
Q−1 = 1 Q0 = 0 Qn = an .Qn−1 + Qn−2
2.2
n>0
n>0
(2.2)
Propriétés élémentaires des réduites
On démontre aisément par récurrence que, pour tout n > 1 :
Pn .Qn−1 − Pn−1 .Qn = (−1)n
(2.3)
d’où l’on déduit immédiatement :
pgcd(Pn ,Qn ) = pgcd(Pn ,Pn−1 ) = pgcd(Qn ,Qn−1 ) = 1
Et, par suite, les réduites sont des fractions irréductibles.
(2.4)
2-3
n
Pn−1
Pn
On peut écrire (2.3 ) selon Q
−Q
= Q(−1)
, donc chaque réduite est
n
n−1
n .Qn−1
alternativement plus grande ou plus petite que la précédente. En raison du mode
de calcul, Pn > Pn−1 et Qn > Qn−1 au delà d’un certain rang, la différence cidessus tend donc vers 0 lorsque n → ∞. Donc, les réduites convergent vers X
par valeurs successivement inférieures (indices impairs) et supérieures (indices
pairs) :
P2.n
P2.n−1
<X<
Q2.n−1
Q2.n
Soit encore : 0 < X −
P2.n−1
Q2.n−1
<
P2.n
Q2.n
−
P2.n−1
Q2.n−1
=
1
Q2.n .Q2.n−1
<
1
Q22.n−1
1
X − P2.n−1 <
2
Q2.n−1
Q2.n−1
(2.5)
D’où le résultat suivant, très important en théorie des nombres :
Théorème 1 Quelle que soit la valeur X, elle peut toujours être approchée par
une fraction pq telle que X − pq < q12
On démontre également aisément :
2.2.1
Pn .Qn−2 − Pn−2 .Qn = (−1)n+1 .an
(2.6)
Pn
Pn+1 − Pn−1
=
Qn
Qn+1 − Qn−1
(2.7)
Propriété fondamentale des réduites
Théorème 2 Toute fraction réalisant une meilleure approximation qu’une réduite a ses deux termes supérieurs à ceux de la réduite
En effet, partons de
P2.n−1
Q2.n−1
<X <
P2.n
Q2.n
et supposons qu’il existe une fraction
approchant encore mieux X. Cette fraction est nécéssairement comprise entre
P2.n−1
P2.n
< VU < Q
.
les deux réduites, soit Q
2.n−1
2.n
Cherchons deux nombre α et β tels que :
U = α.P2.n−1 + β.P2.n et V = α.Q2.n−1 + β.Q2.n
U
V
Compte-tenu du fait que P2.n .Q2.n−1 − P2.n−1 .Q2.n = 1, on trouve :
P2.n
α = V.P2.n − U.Q2.n = V.Q12.n .( Q
− VU ) > 0
2.n
β = U.Q2.n−1 − V.P2.n−1 =
1
U
V.Q2.n−1 .( V
−
P2.n−1
Q2.n− )
>0
Ce qui démontre le théorème.
2.2.2
Longueur du développement
A
ne peut pas généralement être déduite
La longueur du développement de B
directement de la seule connaissance de A et B. Il faut procéder explicitement
au calcul.
On peut observer toutefois que le développement le plus long correspond
sensiblement à une suite de 1, celle-ci correspondant elle-même à une division
2-4
par une valeur inférieure à 2 à chaque étape 2 . Si le développement admet n
termes, A est alors de l’ordre de 2n .
A
est très irrégulière en foncFinalement, la longueur du développement de B
A
tion de B , mais on constate, pratiquement, qu’elle est "de l’ordre" de log(A).
2.3
2.3.1
Opérations sur le développements. Développements associés
Expansion-contraction à droite. Changement de parité
L’algorithme générateur du développement en fraction continue d’un rationnel X conduit nécessairement à aN > 1. On note toutefois que :
0
0
X = (a1 ,a2 , . . . ,aN −1 ,aN ) = (a1 ,a2 , . . . ,aN −1 ,aN = aN − 1,aN +1 = 1)
(2.8)
Toute fraction possède ainsi deux développements. Cette propriété est intéressante car elle permet de choisir la parité et de résoudre ainsi l’équation de
Bezout dans les 2 cas possibles (Cf annexe A).
Si le développement initial est de longueur N et admet respectivement aux
PN −1
PN
et Q
, le second développement est de lonrangs N-1 et N les réduites Q
N −1
N
gueur N+1 et admet alors respectivement aux rangs N-1, N et N+1 les réduites
PN −PN −1
PN −1
PN
QN −1 , QN −QN −1 et QN
PN
On constate que la somme du développement, Q
, reste inchangée mais que
N
l’avant-dernière réduite est différente. Les deux développements ne sont donc
pas strictement équivalents. Ceci implique que les deux dernières réduites sont
nécessaires pour caractériser un développement. Ce point sera précisé plus loin
au §2.4. Mais, dans l’immédiat, introduisons la notion de réduites caractéristiques constituées par les deux dernières matrices d’un développement.
Nous désignerons par expansion à droite l’opération précédente qui, à un
développement caractérisé par :
– une période N
– un dernier terme aN > 1
PN −1
PN
– des réduites caractéristiques égales à Q
et Q
N −1
N
fait correspondre un nouveau développement caractérisé par :
– une période N+1
– un dernier terme égal à 1
PN −PN −1
PN
et Q
N −QN −1
N
De la même manière, nous désignerons par contraction à droite l’opération
inverse qui, à un développement caractérisé par :
– une période N
– un dernier terme aN = 1
2. Exemple :
34
21
= (1,1,1,1,1,1,2)
– des réduites caractéristiques égales à
PN −1
QN −1
et
2-5
PN
QN
fait correspondre un nouveau dévelopement caractérisé par :
– une période N-1
– un dernier terme égal à aN −1 + 1, donc > 1
PN −PN −1
PN
et Q
N −QN −1
N
Ainsi, les formules donnant les nouvelles réduites en fonction des anciennes
sont identiques pour l’expansion et la contraction à droite, les nouvelles réduites
valant respectivement :
PN
PN − PN −1
et
QN − QN −1
QN
2.3.2
(2.9)
Développement inverse
La relation PN = aN .PN −1 + PN −2 peut s’écrire également :
PN
= aN +
PN −1
1
PN −1
PN −2
On peut recommencer cette transformation avec
proche en proche, l’algorithme s’arrêtera pour :
PN −1
PN −2 .
En poursuivant ainsi de
P2
1
1
= a2 +
= a2 +
P1
P1
a1
soit finalement :
PN
= (aN ,aN −1 ,aN −2 , . . . . . . ,a2 ,a1 )
PN −1
Appliqué à
QN
QN −1 ,
(2.10)
l’algorithme s’arrêterait à :
Q3
Q1
1
= a3 +
= a3 +
Q2
Q2
a2
d’où :
QN
= (aN ,aN −1 ,aN −2 , . . . . . . ,a2 )
QN −1
(2.11)
A la suite de cette opération d’inversion, les réduites caractéristiques valent
respectivement QQNN−1 et PPNN−1 . Ainsi, inverser un développement revient à
échanger les termes PN −1 et QN .
2.3.3
Expansion-contraction à gauche
Développements complémentaires
A
avec B < A2 , alors X = (a1 ,a2 ,a3 , . . . . . . ,aN ) avec a1 > 1.Les
Soit X = B
PN −1
PN
réduites caractéristiques de X valent Q
et Q
. Nous appellerons expansion
N −1
N
à gauche l’opération faisant passer de X à X’, tel que :
X 0 = (1,a1 − 1,a2 ,a3 , . . . . . . ,aN ), développement de longueur N+1.
2-6
Recherchons les réduites caractéristiques de X’. Procédons pour cela en
trois étapes :
– Considérons d’abord X1 , développement inverse de X. Ses réduites caractéristiques valent QQNN−1 et PPNN−1
– Considérons ensuite X2 , obtenu par expansion à droite de X1 . Ses réduites
PN
N −QN
caractéristiques valent PNP−1
−QN −1 et PN −1
– Considérons enfin le développement inverse de X2 qui est précisément X’.
PN −1
PN
Ses réduites caractéristiques sont : PN −1
−QN −1 et PN −QN
Nous définirons de même la contraction à gauche d’un développement
X = (a1 ,a2 , . . . ,aN ) lorsque a1 = 1. Le résultat sera un développement de
longueur N-1 dont la valeur du premier terme sera a2 +1, les autres se déduisant
sans changement de ceux du développement de X.
Les calculs, conduits de manière identique à l’expansion, fournissent les
PN −1
PN
réduites caractéristiques du nouveau développement : PN −1
−QN −1 et PN −QN
Comme pour l’expansion et la contraction à droite, les formules donnant
l’expression des nouvelles réduites caractéristiques par rapport aux anciennes
sont identiques pour l’expansion et pour la contraction à gauche. Ces nouvelles
réduites valent :
PN −1
PN
et
PN −1 − QN −1
PN − QN
(2.12)
Remarque : Que X’ soit obtenu par expansion ou par contraction à
PN
A
A
N
gauche, on peut toujours écrire : X = B
=Q
, X 0 = PNP−Q
= A−B
d’où :
N
N
1
1
+ 0 =1
X
X
(2.13)
Nous dirons que les développements X et X’ sont des développements
complémentaires
2.4
Formulation matricielle
Soit le développement X = (a1 ,a2 a3 , . . . . . . ,aN ). La seule connaissance de
des coefficients du développement ne suffit pas pour calculer directement
PN
QN et
PN −1
QN −1 .
Il est nécessaire pour cela de calculer la totalité des réduites (Cf. annexe
2).
Par contre, la connaissance des coefficients du développement et de ses
PN −1
PN −2
PN
et Q
permet de calculer directement Q
deux réduites caractéristiques Q
N
N −1
N −2
et, de proche en proche, la totalité des réduites. C’est à partir de ce constat que
nous avons été amené à considérer les réduites de rang N-1 et N comme des
2-7
réduites caractéristiques. Il peut sembler alors logique d’utiliser ces deux
valeurs pour caractériser X sous forme matricielle selon :
PN PN −1
X=
QN QN −1
Nous allons montrer que cette notation est cohérente :
– Une réduite limitée à un seul terme s’écrit X = (a1 ) =
a1
1
1
, avec la
0
convention (2.2) P0 = 1 et Q0 = 0
– Supposons
que cette notation soit cohérente au rang n, c’est à dire :
Pn Pn−1
Pn
Qn =
Qn Qn−1
Le calcul du terme
s’effectue
alors selon :
suivant Pn Pn−1
an+1 1
an+1 .Pn + Pn−1 Pn
.
=
Qn Qn−1
1
0
an+1 .Qn+ Qn−1 Qn
Pn+1 Pn
ce qui est précisément la représentation de
dans la notation
Qn+1 Qn
proposée. Elle est donc cohérente au rang n+1.
– La notation étant cohérente pour a1 , elle l’est par récurrence pour a2 ,a2 , · · · ,aN
et, finalement :
a1 1
a2 1
aN 1
PN PN −1
X=
.
······
=
(2.14)
1 0
1 0
1 0
QN QN −1
Chaque matrice admet -1 comme déterminant. Le déterminant du produit
vaut donc (−1)N et l’on retrouve directement Pn .Qn−1 −Pn−1 .Qn = (−1)n , soit
la formule (2.3 )
Remarque : Cette représentation matricielle d’un développement n’a évidemment de sens que si le nombre de termes du développement est fini.
2.4.1
Concaténation de deux développements
Appelons concaténation le fait d’écrire deux développements à la suite
l’un de l’autre et notons l’opération ⊕ selon :
(a1 ,a2 , · · · ,aN ) ⊕ (b1 ,b2 , · · · ,bM ) = (a1 ,a2 , · · · ,aN ,b1 ,b2 , · · · ,bM )
La notation matricielle va nous permettre de calculer rapidement la valeur des
réduites caractéristiques
du résultat de la concaténation. Posons
en0 effet 0:
PN PN −1
PM PM −1
X = a1 ,a2 , · · · ,aN ) =
et Y = b1 ,b2 , · · · ,bM ) =
QN QN −1
Q0M Q0M −1
Alors Z =
”
PM
+N
”
QM +N
D’où le résultat : Z =
”
PM
+N −1
”
QM +N −1
= X⊕Y =
0
PN .PM
+ PN −1 .Q0M
0
QN .PM + QN −1 .Q0M
PN
QN
PN −1
QN −1
0
PM
.
Q0M
0
PM
−1
0
QM −1
0
0
PN .PM
−1 + PN −1 .QM −1
0
QN .PM −1 + QN −1 .Q0M −1
2-8
Les réduites caractéristiques de X et de Y admettant respectivement pour
déterminant (−1)N et (−1)M , la matrice produit admet (−1)N +M pour déterminant.
0
0
Il découle de ceci que les quantités PN .PM
+PN −1 .Q0M et QN .PM
+QN −1 .Q0M
0
sont premières entre elles. Il en est de même pour les quantités PN .PM −1 + PN −1 .Q0M −1
0
0
et QN .PM
−1 + QN −1 .QM −1 . Les deux termes d’une même colonne de la matrice
produit étant premiers entre eux, la fraction correspondante est irréductible et,
par suite, la matrice produit est la matrice des réduites caractéristiques
de Z.
On peut donc égaler directement les coefficients PN” +M , Q”N +M , PN” +M −1 ,
ainsi que les réduites caractéristiques de Z :
Q”N +M −1 ,
0
PN” +M = PN .PM
+ PN −1 .Q0M
”
0
QN +M = QN .PM + QN −1 .Q0M
et
”
PN
+M −1
Q”N +M −1
”
PN
+M
Q”N +M
=
=
0
0
PN” +M −1 = PN .PM
−1 + PN −1 .QM −1
”
0
QN +M −1 = QN .PM −1 + QN −1 .Q0M −1
(2.15)
0
0
PN .PM
−1 +PN −1 .QM −1
0
0
QN .PM
+Q
.Q
N
−1
−1
M −1
(2.16)
0
PN .PM
+PN −1 .Q0M
0 +Q
0
QN .PM
N −1 .QM
Remarque : On peut écrire Z selon :
PN −1 +
P ” +N
=
Z= M
Q”M +N
QN −1 +
0
PM
Q0M
.PN
0
PM
Q0M
.QN
=
PN −1 + Y.PN
QN −1 + Y.QN
ce qui revient à utiliser la valeur fractionnaire Y du second développement
comme un (N+1)ème coefficient.
Cette écriture est purement formelle puisqu’il faut multiplier haut et bas par
Q0N pour obtenir des valeurs entières au numérateur et au dénominateur.
Nous utiliserons ainsi cette notation symbolique selon laquelle un ou plusieurs termes d’un développement peuvent ne pas être entiers, mais ceci ne
représentera qu’une facilité d’écriture. Par exemple :
pN pN −1
, alors X = (a1 ,a2 , . . . ,aN ,x) avec x raSi (a1 ,a2 , . . . ,aN ) =
qN qN −1
+x.PN
tionnel représente la valeur X = pqNN−1
−1 +x.qN
3-1
CHAPITRE 3. DÉVELOPPEMENTS SYMÉTRIQUES
Chapitre 3
Développements symétriques
Sommaire
3.1
Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Expansion-contraction symétrique . . . . . .
3.2 Développement symétrique pair (DSP) . . .
3.2.1 Propriétés de ces coefficients . . . . . . . . .
3.3 Développement symétrique impair (DSI) . .
3.3.1 Propriétés de ces coefficients . . . . . . . . .
3.4 Unicité de la formulation . . . . . . . . . . . .
3.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
1
2
2
3
4
4
5
Propriétés générales
Soit X = A/B = (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aN ) un développement symétrique de longueur N, c’est à dire tel que aN = a1 ,aN −1 = a2 , . . . etc.
Pn
En rapprochant les formules Q
= (a1 ,a2 ,a3 , . . . . . . ,an ) et la formule (2.10)
n
PN
PN
PN
PN −1 = (aN ,aN −1 ,aN −2 , . . . . . . ,a2 ,a1 ), il vient : QN = PN −1 soit PN −1 = QN
La réciproque est évidente, d’où finalement :
PN −1 = QN ⇐⇒ (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aN ) est symétrique
(3.1)
En effet, en reportant PN −1 dans (2.3), on obtient PN .QN −1 − Q2N = (−1)N
soit
Q2N ≡ (−1)N +1 (mod PN )
(3.2)
Réciproquement, soient A et B deux rationnels tels que B 2 ≡ ±1 (mod A),
alors le rationnel A/B possède un développement symétrique. En effet, d’après
la congruence précédente, il existe K tel que B 2 − K.A = ±1.
– Cette équation implique que A et B sont premiers entre eux, donc la
fraction A/B est irréductible.
3-2
– En résolvant l’équation de Bezout B.x − A.y = ±1, on tombe nécessairement sur la solution B.B − A.K = ±1. Par suite, B/K est l’avant-dernière
réduite du développement de A/B. Si la longueur de ce développement
est N, cette solution implique : B = PN = QN −1 . Donc, d’après (3.1), le
développement de A/B est symétrique.
Définition : Soit M un nombre entier et la congruence x2 ≡ a (mod M ),
a est appelé résidu quadratique de M. Nous désignerons x comme racine
quadratique de a pour le modulo M.
Théorème 3 Tout rationnel A/B possède un développement symétrique pair si
B est racine quadratique de -1 pour le module A, ou un développement symétrique impair si B est racine quadratique de 1 pour le modulo A.
3.1.1
Expansion-contraction symétrique
A
= (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aN ) de longueur
Soit un développement symétrique X = B
PN −1
PN
N, dont les deux dernières réduites valent respectivement Q
et Q
.
N −1
N
Supposons B < A2 , alors a1 = aN > 1. On peut donc réaliser une expansion
symétrique en effectuant successivement :
– L’expansion à gauche, les nouvelles réduites valant alors par application
PN −1
PN
de (2.12) : PN −1
−QN −1 et PN −QN .
– L’expansion à droite, par application de (2.9) à ces nouvelles réduites :
PN −PN −1
PN
(PN −QN )−(PN −1 −QN −1 ) et PN −QN
Compte-tenu du fait que PN −1 = PN , les réduites du nouveau développePN −QN
N
ment sont finalement donné par : PN −2.Q
et PNP−Q
N +QN −1
N
Dans le cas où a1 = aN = 1, on peut effectuer l’opération inverse, c’est à
dire opérer une contraction symétrique. On vérifie que c’est encore la même
formulation qui fournit les nouveaux coefficients caractéristiques, soit :
PN − QN
PN
et
PN − 2.QN + QN −1
PN − QN
(3.3)
Si on note X’ la valeur du développement après expansion symétrique, on retrouve comme dans le cas de l’expansion à gauche seule :
1
1
+ 0 =1
X
X
3.2
(3.4)
Développement symétrique pair (DSP)
Considérons le développement symétrique pair (DSP) de longueur N = 2.K
X=
A
B
= (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aK ,aK , . . . ,a2 ,a1)
PK PK−1
et posons Y = (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aK ) =
QK QK−1
3-3
D’après 2.10 et 2.11 : (aK , . . . ,a2 ,a1) =
PK
PK−1
QK
QK−1
D’où, en appliquant les formules 2.16 :
P2.K P2.K−1
X =
Q2.K Q2.K−1
PK PK−1
PK
QK
=
.
QK QK−1
PK−1 QK−1
2
2
PK + PK−1
PK .QK + PK−1 .QK−1
=
PK .QK + PK−1 .QK−1
Q2K + Q2K−1
Et, d’après (2.15), on peut identifier directement les coefficients :
P2.K−1
3.2.1
P2.K
Q2.K−1
= Q2.K
2
2
= PK−1
+ PK
2
= QK−1 + Q2K
= PK−1 .QK−1 + PK .QK
(3.5)
Propriétés de ces coefficients
I. - Pour N = 2.K, et sachant que Q2.K = P2.K−1 l’égalité (2.3) devient:
2
P2.K−1
= Q22.K = P2.K .Q2.K−1 − 1
(3.6)
Il en découle en particulier :
Q2.K est racine quadratique de − 1 pour P2.K
(3.7)
II. - D’après le théorème précédent (théorème 3), si A admet B comme racine
quadratique de -1, alors A/B admet un DSP de longueur 2.K et, d’après (3.5),
A se décompose alors en somme de deux carrés selon :
2
2
A = PK
+ PK−1
avec pgcd(PK ,PK−1 ) = 1
(3.8)
Mais la réciproque est vraie :
Soit en effet A = α2 + β 2 avec pgcd(α,β) = 1 et supposons α < β
pL
Alors α
β = (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aL ) = qL et on peut construire le DSP :
P2.L
(aL , . . . ,a2 ,a1 ,a1 ,a2 , . . . ,aL ) = Q
2.L
2
2
avec P2.L = PL−1
+ PL2 = qL
+ p2L = α2 + β 2 = A d’après (3.5)
et
Q2.L ≡ −1 (mod P2.L )
d’après (3.7)
Le DSP ainsi construit correspond bien au développement de A/B avec
B 2 ≡ −1 (mod A). D’où :
B 2 ≡ −1
(mod A) ⇐⇒ A = α2 + β 2 avec pgcd(α,β) = 1
III. - Les 3 propriétés suivantes sont donc équivalentes :
– Il existe B tel que B 2 ≡ −1 (mod A)
– A = α2 + β 2 avec pgcd(α,β) = 1
– A/B admet un développement symétrique pair
(3.9)
3-4
D’où :
Théorème 4 A tout couple B et A-B de racines quadratiques de -1 pour A, on
peut associer une décomposition de A en somme de deux carrés premiers entre
eux, et réciproquement.
En particulier, soit p un nombre premier de la forme 4.n+1. On sait
que ces nombres admettent −1 comme résidu quadratique. Il existe donc une
racine quadratique a de −1 pour p, telle que 0 < a < p. Supposons qu’il en existe
une seconde : b. Alors a2 ≡ b2 ≡ −1 (mod p), soit encore (a − b).(a + b) ≡ −1
(mod p). Ceci entraine, p étant premier, a = b ou a + b = p. Ainsi, dans l’intervalle [0,p] le couple a,p − a est unique et, par suite, la décomposition en somme
de deux carrés est unique. Ainsi, p est somme de deux carrés d’une façon
et d’une seule. Nous retrouvons là l’un des théorèmes de Fermat, celui-là
même qui a parfois été qualifié de plus beau de la théorie des nombres
3.3
Développement symétrique impair (DSI)
Considérons le développement symétrique impair (DSI) de longueur N=2.K+1
A
= (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aK ,aK+1 ,aK, . . . ,a2 ,a1 ) X=B
PK PK−1
et posons Y = (a1 ,a2 ,a3 , . . . ,aK ) =
. Alors :
QK QK−1
P2.K+1 P2.K
X =
Q2.K+1 Q2.K
PK PK−1
aK+1 1
PK
QK
=
.
.
QK QK−1
1
0
PK−1 QK−1
PK+1 PK
PK
QK
=
.
QK+1 QK
PK−1 QK−1
PK .PK+1 + PK .PK−1 PK+1 .QK + PK .QK−1
=
QK+1 .PK + QK .PK−1 QK+1 .QK + QK .QK−1
Avant d’identifier terme à terme, vérifions que les deux termes de la seconde
diagonale sont effectivement égaux. En effet :
(PK+1 .QK + PK .QK−1 ) − (QK+1 .PK + QK .PK−1 )
= (PK+1 .QK − QK+1 .PK ) + (PK .QK−1 − QK .PK−1 )
expression qui, d’après (2.3) vaut : (−1)K+1 + (−1)K = 0
On obtient finalement l’ensemble des coefficients caractéristiques en identifiant terme à terme selon :
P2.K
3.3.1
P2.K+1
Q2.K
= Q2.K+1
=
=
=
=
PK .(PK−1 + PK+1 )
QK .(QK−1 + QK+1 )
PK+1 .QK + PK .QK−1
QK+1 .PK + QK .PK−1
(3.10)
Propriétés de ces coefficients
I. - Pour N = 2.K +1, et sachant que P2.K = Q2.K+1 , l’égalité (2.3) devient :
2
Q22.K+1 = P2.K
= Q2.K .P2.K+1 + 1
(3.11)
3-5
Il en découle en particulier que :
Q2.K+1 est racine quadratique de 1 pour P2.K+1
(3.12)
II. - D’après le théorème (3), si A admet B comme racine quadratique de 1,
alors A/B admet un DSI de longueur 2.K + 1 et, d’après (3.10), A se décompose
alors en 2 facteurs selon A = PK .(PK−1 + PK+1 )
Cherchons le pgcd de ces deux facteurs sachant que PK+1 = uK .PK +PK−1 :
pgcd(PK ,PK−1 + PK+1 ) = pgcd(PK ,2.PK−1 + uK .PK ) = pgcd(PK ,2.PK−1 ) = 1
ou 2 puisque pgcd(PK ,PK−1 ) = 1. Et finalement :
A = PK .(PK−1 + PK+1 ) avec pgcd(PK ,PK−1 + PK+1 ) = 1 ou 2
(3.13)
La réciproque de cette propriété II. est fausse On ne peut pas nécessairement
associer une racine quadratique de 1 à toute décomposition de A en produit de
2 facteurs. D’où :
B2 ≡ 1
(mod A) =⇒ A = α.β avec pgcd(α,β) = 1 ou 2
(3.14)
III. - L’absence de réciprocité ne permet pas comme dans le cas du DSP de
formuler des équivalences. Nous ne formulerons qu’un théorème, malheureusement moins puissant que le précédent :
Théorème 5 A tout couple B et A-B de racines quadratiques de 1 pour A, on
peut associer une décomposition de A en produit de deux facteurs, le pgcd de ces
deux facteurs étant 1 ou 2
Remarque : 1 et A − 1 sont toujours des racines quadratiques de 1 pour A.
Ce qui signifie que A = A1 possède toujours le développement trivial :
A = (A)
conduisant à la factorisation triviale A = 1.A
3.4
Unicité de la formulation
Les formules (3.5) d’une part et (3.10) d’autre part, semblent être de nature
assez différentes. Elles peuvent toutefois être unifiées en fonction de K et de N
en posant :
Longueur du développement K = 2.N si K pair et K = 2.N + 1 si K impair.
Dans ces conditions, la formulation devient unique selon :
PN −1
=
PN
QN
QN −1
= PK .PN −K + PK−1 .PN −K−1
= PK .QN −K + PK−1 .QN −K−1
= QK .QN −K + QK−1 .QN −K−1
(3.15)
Cette unicité de formulation montre bien qu’il existe une certaine parenté
entre la décomposition d’un nombre en somme de deux carrés et sa décomposition en produit de deux facteurs. La comparaison des deux derniers théorèmes
conforte d’ailleurs ce point de vue.
Il existe toutefois une différence notable entre ces deux décompositions. En effet, la décomposition en produit de facteurs existe toujours (même un nombre
3-6
premier p peut s’écrire p = 1.p) tandis que la décomposition en somme de deux
carrés ne concerne qu’une partie des entiers. Tout nombre contenant au moins
un facteur de la forme 4.N + 3 ne peut être décomposé en somme de deux carrés
(voir Annexe C).
4-1
CHAPITRE 4. IRRATIONNELS PURS
Chapitre 4
Développement des nombres
irrationnels purs
Sommaire
4.1
Approche algorithmique . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Définition de l’algorithme . . . . . . . . . . .
4.1.2 Propriétés des coefficients . . . . . . . . . . .
4.1.3 Généralisation aux modules fractionnaires . .
4.2 Théorème central . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Conventions de notation . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Relations remarquables . . . . . . . . . . . .
4.3 Formulation matricielle . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Coefficients de la fin de période . . . . . . . .
4.3.2 Symétrie des coefficients . . . . . . . . . . . .
4.4 Comparaison des cas D entier - D rationnel
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
4
6
6
8
9
9
11
Soit un nombre entier D > 1, non carré parfait.
On se propose d’étudier
√
le développement en fraction continue de X = D
4.1
4.1.1
Approche algorithmique
Définition de l’algorithme
On part de l’équation : X 2 −D = 0 et on pose u0 =
Dans ces conditions, on peut écrire X = u0 +
x1 :
1
x1
j√ k
√
D = partie entière( D).
avec x1 > 1
En reportant dans l’équation de départ, on obtient une nouvelle équation en
−(u20 − D).x21 − 2.u0 .x1 − 1 = 0
d’où l’on peut à nouveau écrire x1 = u1 +
1
x2
avec u1 entier et x2 > 1
4-2
On peut poursuivre indéfiniment cette itération. A chaque étape, on passe
de l’équation fi (xi ) = ai .x2i + bi .xi + ci = 0 à la suivante par le changement de
1
variable xi = ui + xi+1
avec ui entier et xi+1 > 1.
Les coefficients de la nouvelle équation sont alors donnés par :
= −(ai .u2i + bi .ui + ci ) = −fi (ui )
0
= −(2.ai .ui + bi )
= −fi (ui )
1 ”
= −ai
= − 2 .fi (ui )
j
√ k
+2. D
les valeurs des ui successifs étant fournis par ui = −bi2.a
i
De façon pratique, ui sera obtenu par :
√
−bi + 2.u0
−bi + 2.u0
−bi + 2. D
ui =
≤
<
2.ai
2.ai
2.ai
ai+1
bi+1
ci+1
(4.1)
(4.2)
Remarque : Le choix du signe - dans les 3 équations (4.1) est arbitraire. Il
correspond au souci de conserver des signes constants à chacun des coefficients
du trinôme générateur (Cf. §4.1.2).
4.1.2
Propriétés des coefficients
Les équations (4.2) et (4.1) définissent entièrement l’algorithme de calcul des
coefficients à partir du jeu de valeurs initiales :
j√ k
D
a0 = 1 b0 = 0 c0 = −D u0 =
• I. - On vérifie aisément que le déterminant reste invariant et égal à 4.D
d’une étape à l’autre :
∆ = b2i − 4.ai .ci = b2i+1 − 4.ai+1 .ci+1 = 4.D
(4.3)
• II. - D’après (4.1), si bi est pair, alors bi+1 est également pair. Or b0 = 0
est pair, donc tous les bi sont pairs.
• III. - Supposons maintenant qu’à l’étape
i, on ait : ai > 0 bi < 0 c1 < 0. L’équation
génératrice fi (xi ) = ai .x2i + bi .xi + ci = 0 représente alors une parabole dont la concavité est
tournée vers le haut (car ai > 0) et dont l’axe
vertical passe par le point A et a pour abscisse
b1
x = − 2.a
> 0.
i
L’extremum de la fonction fi (xi ) vaut
= − aDi < 0. Cette courbe admet donc deux racines réelles, celles-ci
étant de signe contraire puisque acii < 0. Nous allons montrer que ui satisfait
toujours :
bi
−
< ui entier < la racine positive
2.ai
4.ai .ci −b2i
4.ai
4-3
En effet :
bi
bi
< 1, ui étant par définition un entier positif ⇒ − 2.a
< ui .
– Si − 2.a
i
i
r
√2
2
bi −4.ai .ci
bi
bi
– Si − 2.a
≥
1,
la
longueur
du
segment
AX1
vaut
=
− acii
2.ai
2.ai
i
2
bi
Or, par hypothèse, 2.a
> 1 et − acii > 0, donc la longueur du segment
i
AX1 est supérieure à 1 et il existe au moins un entier entre A et X1.
bi
Ainsi, dans tous les cas, − 2.a
< ui . Pour cette valeur de ui , la fonction est négative
i
et sa dérivée est positive donc, d’après (4.1), ai+1 > 0 et bi+1 < 0.
Par ailleurs, si ai > 0, ci+1 = −ai < 0.
Finalement, si les 3 inégalités sont vraies pour i, elles le sont pour i + 1. Or
elles sont vraies pour i=1, d’où :
ai > 0
bi < 0
ci < 0
∀i>0
(4.4)
Le cas i = 0 n’est pas considéré ici dans la mesure où, pour cette seule valeur
de l’indice, b = 0, ce qui affaiblit le jeu d’inégalités ci-dessus.
• IV. - En fonction des signes des coefficients (4.4), le terme −4.ai+1 .ci+1 ,
appartenant au déterminant (4.3), est positif. Ainsi, ∆ est une somme de deux
nombres positifs et, par suite, le nombre de triplets possibles ai , bi et ci est
limité. Donc, les équations fi () doivent se reproduire périodiquement à partir
d’un certain rang et le développement est périodique à partir d’un certain rang. Soit, avec la convention qu’une partie surlignée est périodique :
√
X=
4.1.3
D = (a1 ,a2 , . . . ,aL ,u1 ,u2 , . . . ,uN , . . .)
Généralisation aux modules fractionnaires
Les valeurs prises successivement par les différents coefficients ai , bi , ci et ui
sont, par définition, des valeurs entières et positives. Ceci reste vrai si, au lieu de
considérer D entier, nous choisissons plus généralement une valeur rationnelle
D= C
A , les entiers C et A satisfaisant à :
– C et A entiers > 0,
– C
A irréductible
– D=
C
A
> 1 non carré parfait.
L’équation initiale X 2 −
C
A
= 0 s’écrit alors :
A.x20 − C = 0
et les calculs s’organisent comme précédemment avec comme valeurs initiales :
$r %
C
a0 = A b0 = 0 c0 = −C et u0 =
A
4-4
Le déterminant des équations génératrices reste constant mais vaut maintenant :
∆ = b2i − 4.ai .ci = 4.A.C 6= 4.D
tandis que les égalités (4.2) deviennent :
√
−bi + 2.A.u0
−bi + 2.A.u0
−bi + 2. A.C
ui =
≤
<
(4.5)
2.ai
2.ai
2.ai
Finalement, à partir des valeurs initiales de a0 , b0 , c0 et u0 , les calculs se déroulent de façon identique dans les deux cas. Le raisonnement et les conclusions
du § précédent, quant à la périodicité du développement, restent valables.
Les annexes 3 et 4 montrent de façon pratique l’organisation des calculs dans
les deux cas.
4.2
Théorème central
√
Théorème 6 Le développement en fraction continue de D, D étant un rationnel supérieur à 1 et non carré parfait, est de longueur infinie et possède les
3 propriétés suivantes :
– La partie non périodique se limite à un seul terme.
– Le dernier terme de la partie périodique est égal au double du terme de la
partie non périodique.
– La partie périodique, privée de son dernier terme, est symétrique.
La démonstration complète de ce théorème repose sur les propriétés des
nombres irrationnels quadratiques. Le lecteur intéressé pourra se reporter aux
ouvrages d’Edouard CALLANDREAU ou de Jean TRIGNAN (voir bibliographie). L’approche suivante, issue de la démarche algorithmique, ne constitue pas
une démonstration.
pN pN −1
Posons y = (u1 ,u2 , . . . ,uN ) =
puis en utilisant la notation
qN qN −1
N +pN −1
symbolique z = (u1 ,u2 , . . . ,uN , . . . . . .) = (u1 ,u2 , . . . ,uN ,z) = z.p
z.qN +qN −1
C’est une équation du second degré en z : qN .z 2 + (qN −1 − pN ).z − pN −1 = 0
d’où l’on tire aisément z.
p
pN − qN −1 + (qN −1 − pN )2 + 4.qN .pN −1
z=
2.qN
0
pL p0L−1
Et si on pose (a1 ,a2 , . . . ,aL ) =
alors, toujours en notation
0
0
qL
qL−1
symbolique, X = (a1 ,a2 , . . . ,aL ,z) =
X
=
=
p0L .z+p0L−1
0 .z+q 0
qL
L−1
soit :
h
i
p
p0L . pN − qN −1 + (qN −1 − pN )2 + 4.qN .pN −1 + 2.qN .p0L−1
h
i
p
0
0 . p −q
2 + 4.q .p
qL
+
(q
−
p
)
N
N −1
N −1
N
N N −1 + 2.qN .qL−1
p
p0L .(pN − qN −1 ) + 2.qN .p0L−1 + p0L . (qN −1 − pN )2 + 4.qN .pN −1
p
0 .(p − q
0
0
2
qL
N
N −1 ) + 2.qN .qL−1 + qL . (qN −1 − pN ) + 4.qN .pN −1
4-5
ce qui peut s’écrire X =
√
√ β avec α, β et γ entiers. Soit, en multipliant
α+p0L .
0 .
γ+qL
β
haut et bas par la quantité conjuguée du dénominateur :
X=
√
0
0
α.γ − p0L .qL
.β + (p0L .γ − qL
.α). β
0 2 .β
γ 2 − qL
(4.6)
0
La condition pour que X soit un irrationnel pur s’écrit alors α.γ − p0L .qL
.β = 0.
Il faut donc annuler, après remplacement α, β et γ par leurs valeurs, l’expression
suivante :
0
0
0 0 0
pL .(pN − qN −1 ) + 2.qN .p0L−1 . qL
.(pN − qN −1 ) + 2.qN .qL−1
−pL .qL . (qN −1 − pN )2 + 4.qN .pN −1
Développons et simplifions par 2.qN , il vient :
0
0
0
0
(qL−1
.p0L + p0L−1 .qL
).(pN − qN −1 ) + 2.qN .p0L−1 .qL−1
− 2.pN −1 .p0L .qL
=0
que nous pouvons réarranger selon :
0 0
0
qL−1
. p0L .(pN − qN −1 ) + 2.qN .p0L−1 +qL
. pL−1 .(pN − qN −1 ) − 2.pN −1 .p0L = 0
Mais pN = uN .pN −1 + pN −2 , la quantité entre crochets du second terme
peut donc s’écrire : p0L−1 .(uN .pN −1 + pN −2 − qN −1 ) − 2.pN −1 .p0L
soit encore : pN −1 .(uN .p0L−1 − 2.p0L ) + p0L−1 .(pN −2 − qN −1 )
Finalement, la condition pour que X soit un irrationnel pur s’écrit :
0
0
0
qL−1
. p0L .(pN − qN −1 ) + 2.qN .p0L−1 +qL
.pN −1 .(uN .p0L−1 −2.p0L )+qL
.p0L−1 .(pN −2 −qN −1 ) = 0
Nous admettrons que la seule façon de satisfaire cette égalité est d’assurer
simultanément la nullité des trois termes, ce qui entraine alors :
– q0L−1 = 0 Car la quantité entre crochets est positive. Or, aucun qN n’est
0
nul sauf q0 (voir 2.2). Donc qL−1
= 0 → L = 1 et par suite :
0
qL
= q0 1 = 1
p0 L = p0 1 = a1
– uN .p0L−1 − 2.p0L = 0 → uN =
–
2.p0L
p0L−1
p0L−1 = p0 0 = 1
= 2.a1
pN−2 = qN−1
donc, d’après (3.1), (u1 ,u2 , . . . ,uN−1 ) est symétrique
Ce sont bien les trois propriétés du théorème central.
(4.7)
4-6
4.2.1
Conventions de notation
– La partie non périodique étant ainsi limitée au seul terme a1 , nous poserons
u0 = a1 et nous écrirons finalement :
√
X = D = (u0 ,u1 ,u2 ,u3 , . . . ,uN −1 ,uN , . . . . . .)
(4.8)
Avec cette notation homogène en ui , l’indice du dernier terme
de la première période est égale à la période elle-même.
Remarque : Cette notation modifie les formules dans lesquelles intervient
la parité de l’indice. Par exemple, la formule (2.3) devient, lorsque les
indices commencent à 0 :
Pn .Qn−1 − Pn−1 .Qn = (−1)n+1
– Nous conviendrons de noter à l’aide de majuscules les réduites relatives à
X et à l’aide de minuscules les réduites relatives au développement privé
de son terme u0 soit :
Pi
= (u0 ,u1 ,u2 , . . . ,ui ) mais pqii = (u1 ,u2 , . . . ,ui )
X=Q
i
Avec cette convention d’écriture, les pi et les qi ne changent pas de signification par rapport à ce qui précède pour les indices allant de 1 à N, mais
ces derniers s’étendent maintenant jusqu’à l’∞.
Ces quantités sont reliées entre elles par les relations suivantes :
Pi = u0 .pi + qi
pi = Qi
⇐⇒
Qi = pi
qi = Pi − u0 .Qi
4.2.2
(4.9)
Relations remarquables
0
0
, les
et qL−1
En fonction des valeurs déterminées ci-dessus pour p0L , p0L−1 , qL
quantités α, β et γ deviennent respectivement :
α = u0 .(pN − qN −1 ) + 2.qN
β = (qN −1 − pN )2 + 4.qN .pN −1
γ = pN − qN −1
soit, en reportant dans l’expression de X (4.6),
√ de laquelle on ne conserve
0
(p0L .γ−qL
.α). β
que la partie irrationnelle pure X =
, et après simplification :
0 2 .β
γ 2 −qL
p
(qN −1 − pN )2 + 4.qN .pN −1
X=
2.pN −1
Mais, on peut encore simplifier en tenant compte :
– d’une part, de la relation qN −1 = pN −2
– d’autre part, de la relation pN = uN .pN −1 + pN −2 = 2.u0 .pN −1 + pN −2
p
X=
)2
(qN −1 − pN + 4.qN .pN −1
=
2.pN −1
q
4.u20 .p2N −1 + 4.qN .pN −1
2.pN −1
r
=
u2o +
qN
pN −1
4-7
Et finalement :
D = u20 +
qN
pN −1
(4.10)
On notera, de plus, que D entier ⇐⇒ pN−1 divise qN .
u2 .p
+q
N
Repartons de (4.10), soit D = 0 pNN−1
−1
On a qN = uN .qN −1 + qN −2 = 2.u0 .qN −1 + qN −2 d’où :
D
=
=
=
u20 .pN −1 + 2.u0 .qN −1 + qN −2
pN −1
u20 .p2N −1 + 2.u0 .qN −1 .pN −1 + qN −2 .pN −1
p2N −1
2
(u0 .pN −1 + qN −1 )2 − qN
−1 + qN −2 .pN −1
2
pN −1
D’autre part :
d’après (4.9), u0 .pN −1 + qN −1 = PN −1
N
2
d’après (4.7), −qN
−1 + qN −2 .pN −1 = −qN −1 .pN −2 + qN −2 .pN −1 = (−1)
et enfin d’après (4.9), pN −1 = QN −1
Finalement, D =
2
N +1
PN
−1 +(−1)
,
2
QN −1
soit :
PN2 −1 − D.Q2N −1 = (−1)N
(4.11)
Notons au passage que cette formule fournit, pour D entier, toutes
les solutions de l’équation de Pell-Fermat (cf Annexe B)
Repartons de (4.11). On peut écrire en s’appuyant sur les relations (4.7) et
(4.9) :
D
=
=
=
=
u20 .pN −1 + 2.u0 .qN −1 + qN −2
pN −1
u20 .pN −1 + u0 .qN −1 + u0 .pN −2 + qN −2
pN −1
u0 .(u0 .PN −1 + qN −1 ) + (u0 .pN −2 + qN −2 )
pN −1
u0 .PN −1 + PN −2
QN −1
Mais, puisque PN = uN .PN −1 + PN −2 = 2.u0 .PN −1 + PN −2 , D peut aussi
0 .PN −1
s’écrire : D = PN −u
QN −1
Soit, en prenant la demi-somme de ces deux expressions de D :
D=
PN + PN −2
2.QN −1
(4.12)
Repartons
de (4.11)
en remplaçant D par sa valeur tirée de (4.10) soit :
qN
2
− u0 + pN −1 .Q2N −1 = (−1)N
En tenant compte du fait que pN −1 = QN −1 (d’après 4.9), on peut écrire cette
équation selon :
PN2 −1
4-8
PN2 −1 − u20 .Q2N −1 = qN .pN −1 + (−1)N soit encore :
(PN −1 − u0 .QN −1 ).(PN −1 + u0 .QN −1 ) = pN .qN −1
La première parenthèse vaut qN −1 . On peut donc finalement écrire :
PN −1 + u0 .QN −1 = pN = QN = 2.u0 .QN −1 + QN −2
soit PN −1 = u0 .QN −1 + QN −2
En combinant ces deux dernières lignes, on obtient finalement :
(4.13)
QN − PN −1 = PN −1 − QN −2 = u0 .QN −1
Ainsi, les 3 termes QN −2 , PN −1 et QN sont en progression arithmétique
4.3
Formulation matricielle
Les équations génératrices sont des formes quadratiques et peuvent se mettre
sous la forme :
ai b2i
x
2
.
ai .xi + bi .x + ci = ( x 1 ) . bi
1
c
i
2
Cette notation est cohérente, on peut vérifier que :
ai b2i
ai+1 bi+1
ui 1
ui
2
=
−
.
.
bi
bi+1
1
0
1
c
c
i
i+1
2
2
1
0
(4.14)
redonne bien les relations (4.1).
Itérons sur les n premiers produits matriciels gauche et droite :
an b2n
a0 b20
un−1 1
u1 1
u1 1
un−1
=
.
.
.
.
.
.
.
.
bn
b0
1
0
1
0
1
0
1
c
c
n
0
2
2 b0 a0
Pn−1 Qn−1
Pn−1 Pn−2
= (−1)n .
. b0 2 .
Pn−2 Qn−2
Q
c
n−1 Qn−2
0
2
1
0
Mais a0 = A, b0 = 0 et c0 = −C, par suite :
an b2n
Pn−1 Qn−1
A
0
Pn−1 Pn−2
n
= (−1) .
.
.
bn
Pn−2 Qn−2
0 −C
Qn−1 Qn−2
cn
2
2
2
A.Pn−1 − C.Qn−1
A.Pn−1 .Pn−2 − C.Qn−1 .Qn−2
n
= (−1) .
2
A.Pn−1 .Pn−2 − C.Qn−1 .Qn−2
A.Pn−2
− C.Q2n−2
Et enfin, en identifiant terme à terme :
an
bn
cn
2
= (−1)n .(A.Pn−1
− C.Q2n−1 )
n
= (−1) .2.(A.Pn−1 .Pn−2 − C.Qn−1 .Qn−2 )
2
− C.Q2n−2 )
= (−1)n .(A.Pn−2
(4.15)
Ces formules peuvent également être additionnées ou soustraites selon :
an + bn + cn = (−1)n . A.(PN −1 + PN −2 )2 − C.(QN −1 + QN −2 )2
an − bn + cn = (−1)n . A.(PN −1 − PN −2 )2 − C.(QN −1 − QN −2 )2
(4.16)
4-9
4.3.1
Coefficients de la fin de période
En comparant la première de ces équations pour n = N avec (4.11), on
trouve :
– D entier
aN = (−1)N .(PN2 −1 − D.Q2N −1 ) ⇒ aN = 1
−bN + 2.u0
Par ailleurs, uN = 2.u0 =
. Cette équation ne peut être
2
satisfaite que pour bN = −2.u0 ou bN = −2.u0 + 1.
Mais bN étant pair ⇒ bN = −2.u0 .
cN peut alors être déduit de (4.3 ) et finalement :
aN = 1
– D=
bN = −2.u0
cN = u20 − D
(4.17)
C
A
De la même manière :
aN
C
= (−1)N .(PN2 −1 − .Q2N −1 ) ⇒ aN = A
A
A
−bN + 2.A.u0
= 2.u0 =
⇒ bN = −2.A.u0
2
aN = (−1)N .(A.PN2 −1 −C.Q2N −1 ) soit
Par ailleurs, uN
Et finalement :
aN = A
4.3.2
bN = −2.A.u0
cN = A.u20 − C
(4.18)
Symétrie des coefficients
L’équation matricielle (4.14) peut s’inverser selon :
ai
bi
2
bi
2
ci
=−
0
1
1 −u1
ai+1
. bi+1
2
bi+1
2
0
1
.
1 −u1
ci+1
d’où l’on tire facilement les équations inverses de (4.1) :
ai
bi
c1
= −ci+1
= 2.ci+1 .ui − bi+1
= −ci+1 .u2i + bi+1 .ui − ai+1
(4.19)
D’autre part, si la période est N :
aN
= a0
= −c1
bN
= bN +1
= b1
cN
= −aN −1 = −a1
uN −1 = u1
On vérifie alors facilement en reportant ces valeurs dans les équations inverses, que :
aN −1 = −c2
bN −1 = b2
cN −1 = −a2
uN −1 = u2
4 - 10
et, de façon plus générale, on peut poursuivre ces calculs de proche en proche.
Si i + j = N + 1, on trouve alors :
ai = cj
= aj−1
bi = bj
ci = −aj
= cj+1
ui = uj−1
Ainsi, la symétrie des coefficients peut s’exprimer par :
ai = aj
bi = bj
ci = cj
ui = uj
si i + j
si i + j
si i + j
si i + j
=N
=N +1
=N +2
=N
(4.20)
Il en résulte immédiatement un test d’arrêt des calculs à mipériode. En effet :
– aK+1 = aK
cK+1 = −aK d’après (4.1) donc cK+1 = −aK+1
Ainsi, l’équation de rang K a ses coefficients extrêmes opposés. On vérifie
que, dans ce cas,√les deux systèmes (4.1) et (4.19) parcourent les équations
génératrices de D à partir du rang K, mais en sens inverse. La période
est donc de 2.K + 1.
– bK+1 = bK
Dans ce cas, la seconde équation de (4.1) peut s’écrire bK+1 = bK =
−(2.aK .uK + bK ) soit aK .uK + bK = 0. En reportant dans la première
équation, on obtient alors aK+1 = −cK .
Puisque, cK+1 = −aK , les deux équations de rang K et K + 1 ont leurs
coefficients extrêmes opposés et leur coefficient central égal. Le système
(4.1) opérant sur l’équation de rang K et le système (4.19) opérant sur
l’équation de rang K + 1 parcourent donc également les équations génératrices en sens inverse comme précédemment. Mais cette fois, la période
est de 2.K.
Soit finalement :
si aK+1 = aK
si bK+1 = bK
⇒ periode = 2.K + 1
⇒ periode = 2.K
(4.21)
Remarque sur la longueur de la période :
D’une façon générale, rien ne permet a priori de connaître à l’avance la période du développement. Celle-ci possède une borne supérieure liée au nombre
maximum de triplets ai , bi et ci mais cette borne n’admet pas de formulation
simple.
En pratique, on peut constater que la période est sensiblement de l’ordre
√
de D avec√toutefois de très grands écarts. Le cas de 1621 est bien connu, la
période de 1621 étant de 79.
4 - 11
4.4
Comparaison des cas D entier - D rationnel
La figure suivante met en comparaison les formules obtenues respectivement
pour D entier et D rationnel irréductible. 1
C
A
D=
D entier
a0 = 1 b0 = 0 c0 = −D u0 =
j√ k
D
irréductible
a0 = A b0 = 0 c0 = −C u0 =
∆ = b2i − 4.ai .ci = 4.D
jq k
C
A
∆ = b2i − 4.ai .ci = 4.A.C
ai+1 = −(ai .u2i + bi .ui + ci )
bi+1 = −(2.ai .ui + bi )
ci+1 = −ai
ui =
j
−bi +2.u0
2.ai
k
≤
−bi +2.u0
2.ai
<
√
−bi +2. D
2.ai
aN = 1 bN = −2.u0 cN = u20 − D
D = u20 +
qN
pN −1
PN2 −1 − D.Q2N −1 = (−1)N
D=
PN +PN −2
2.QN −1
ui =
j
−bi +2.A.u0
2.ai
k
≤
−bi +2.A.u0
2.ai
<
√
−bi +2. A.C
2.ai
aN = A bN = −2.A.u0 cN = A.u20 − C
C
A
PN2 −1 −
C
A
= u20 +
qN
pN −1
C
2
A .QN −1
=
= (−1)N
PN +PN −2
2.QN −1
QN − PN −1 = PN −1 − QN −2 = u0 .QN −1
2
an = (−1)n .(Pn−1
− D.Q2n−1 )
2
an = (−1)n .(A.Pn−1
− C.Q2n−1 )
bn = (−1)n .(Pn−1 .Pn−2 − D.Qn−1 .Qn−2 )
bn = (−1)n .(A.Pn−1 .Pn−2 − C.Qn−1 .Qn−2 )
2
cn = (−1)n .(Pn−2
− D.Q2n−2 )
2
cn = (−1)n .(A.Pn−2
− C.Q2n−2 )
Fig. 4.1 – Comparaison des formules pour D entier et D =
1. La période est notée N dans les deux cas.
C
A
4 - 12
CHAPITRE 5. PARITÉ DE LA PÉRIODE - PROPRIÉTÉS
5-1
Chapitre 5
Propriétés liées à la parité de
la période
Sommaire
5.1
Période paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5.1.1 Factorisation du module D . . . . . . . . . . . . . .
2
5.1.2 Seconde approche - Développement dual . . . . . . .
3
5.1.3 Cas où D est une puissance impaire d’un nombre
premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5.1.4 Application - Factorisation des grands nombres . . .
8
5.2 Période impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.2.1 Décomposition du module D en somme de deux carrés 9
5.2.2 Cas où D est une puissance impaire d’un nombre
premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2.3 Application - Décomposition des grands nombres en
somme de deux carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
De la même manière que, au chapitre 3, nous avons vu apparaître des propriétés spécifiques liées, soit aux développement symétriques pairs (DSP), soit aux
développements symétriques
impairs (DSI), les propriétés les plus importantes
√
des développements de D sont fortement dépendantes à la parité de la période.
Nous étudierons successivement les développements admettant une période paire,
puis les développements admettant une période impaire.
5.1
Développements admettant une période paire
√
Soit X = D un développement admettant une période paire N = 2.K. Les
2.K − 1 premiers termes de la période forment une suite symétrique impaire de
longueur 2.(K − 1) + 1, soit d’après (3.10) :
p2.K−2
=
p2.K−1
q2.K−2
q2.K−1
=
=
=
=
pK−1 .(pK−2 + pK )
qK−1 .(qK−2 + qK )
pK .qK−1 + pK−1 .qK−2
qK .pK−1 + qK−1 .pK−2
(5.1)
5-2
soit, en combinant avec les relations (4.9) :
P2.K−1
=
u0 .pK−1 .(pK−2 + pK ) + pK−1 .qK−2 + pK .qK−1
=
pK−1 .(u0 .pK−2 + qK−2 ) + pK .(u0 .pK−1 + qK−1 )
=
QK−1 .PK−2 + QK .PK−1
et finalement :
P2.K−1
Q2.K−1
=
=
=
QK−1 .PK−2 + QK .PK−1
QK−2 .PK−1 + QK−1 .PK
QK−1 .(QK−2 + QK )
(5.2)
la seconde relation se démontrant de manière analogue à la première.
5.1.1
Factorisation du module D
• Partons de la première des relations (5.2) :
P2.K−1
d’où :
=
=
QK−1 .PK−2 + QK .PK−1
PK−1 .QK−2 − (−1)K + QK .PK−1
P2.K−1 + (−1)K = PK−1 .(QK + QK−2 )
(5.3)
en partant de la seconde relation (5.2), on aurait trouvé :
P2.K−1 − (−1)K = QK−1 .(PK + PK−2 )
(5.4)
et en combinant (5.3) avec la troisième relation de (5.2), on obtient :
Q2.K−1
P2.K−1 + (−1)K
=
= QK + QK−2
PK−1
QK−1
(5.5)
D’autre part, la relation (4.11) peut s’écrire dans le cas d’une période paire
N = 2.K:
D=
2
P2.K−1
−1
(P2.K−1 − 1).(P2.K−1 + 1)
=
2
Q2.K−1
Q22.K−1
(5.6)
soit en remplaçant par les valeurs tirées de (5.2), (5.3) et (5.4)
D=
PK−1 .(PK−2 + PK )
QK−1 .(QK−2 + QK )
(5.7)
Un développement possédant une période paire conduit ainsi à
une factorisation.
Nous savons que pgcd(PK−1 ,QK−1 ) = 1, qu’en est-il du pgcd des deux autres
termes de l’expression (5.7)? Posons p = pgcd(PK−2 + PK ,QK−2 + QK ) Alors :
p
| QK−1 .(PK−2 + PK ) − PK−1 .(QK−2 + QK )
| (QK−1 .PK−2 − PK−1 .QK−2 ) − (PK .QK−1 − PK−1 .QK )
|
−(−1)K−1 + (−1)K = 2.(−1)K
5-3
Par suite, p = 1 ou p = 2 et (5.7) peut se mettre sous l’une des deux formes :
F orme 1
D=
PK−1
PK−2 + PK
.
QK−2 + QK
QK−1
(5.8)
F orme 2
D=
2.PK−1
PK−2 + PK
.
QK−2 + QK 2.QK−1
(5.9)
ou
les formes (5.8) et (5.9) correspondant respectivement à p = 1 et p = 2 et, par
suite :
Si D est un entier, alors chaque quotient est un entier.
Recherchons si ces deux quotients sont premiers entre eux. Appelons p0 le
pgcd des deux quantités PK−1 et PK−2 + PK :
p0
= pgcd(PK−1 ,PK−2 + PK )
= pgcd(PK−1 ,uK .PK−1 + 2.PK−2 )
= pgcd(PK−1 ,2.PK−2 )
Or pgcd(PK−1 ,PK−2 ) = 1 donc p0 = 1 ou 2
Ainsi, si D est un entier impair, les deux quotients sont premiers
entre eux.
• D’autre part, en reportant dans (4.1), la valeur de bK+1 tirée de (4.21), on
obtient :
bK+1 = −(2.aK .uK + bK ) = bK
soit
uK = −
bK
aK
(5.10)
Reportons maintenant cette valeur de bK dans (4.3), on obtient
4.D = b2K − 4.aK .cK = (aK .uK )2 − 4.aK .cK soit :
4.D = −aK .(4.cK − aK .u2K ) = −aK .(4.cK + bK .uK )
(5.11)
Nous obtenons ici une factorisation fonction de aK , bK , cK et uK . Ceci n’est
pas négligeable dans la mesure où ces valeurs, étant périodiques, restent bornées
alors que les coefficients Pk et Qk croîssent sans limite avec k et sont souvent
déjà très grands lorsque k est de l’ordre de K.
5.1.2
Seconde approche - Développement dual
La partie symétrique d’indice 1,2, . . . ,2.K −1 comporte un terme central uK .
Posons :
y = (u1 ,u2 , . . . ,uK−1 ) et y 0 = (uK−1 ,uK−2 , . . . ,u2 ,u1 ).
On peut alors écrire sous forme symbolique :
√
D = (u0 ,y,uK ,y 0 ,2.u0 , . . .)
(5.12)
5-4
K−1
K−2
y est entièrement défini par ses deux dernières réduites pqK−1
et pqK−2
et
de même y 0 est entièrement défini par ses deux dernières réduites ppK−1
K−2
Pour calculer D au moyen de D = u20 +
cielle :
(y,uK ,y 0 ,2.u0 )
pK−1
qK−1
2.u0K .pK−1 + pK−2
2.u0K .qK−1 + qK−2
=
=
D’autre part :
(y,uK ,y 0 ,2.u0 ) =
p2.K
q2.K
pK−2
qK−2
p2.K−1
q2.K−1
q2.K
p2.K−1 ,
uK
.
1
qK−1
qK−2
partons de l’écriture matri-
pK−1 qK−1
2.u0 1
.
.
pK−2 qK−2
1
0
pK−1
2.u0 .pK−1 + qK−1 pK−1
.
qK−1
2.u0 .pK−2 + qK−2 pK−2
1
0
Ce qui permet d’obtenir q2.K et p2.K−1 selon :
q2.K
=
(uK .qK−1 + qK−2 ).(2.u0 .pK−1 + qK−1 ) + qK−1 .(2.u0 .pK−2 + qK−2 )
p2.K−1
=
(uK .pK−1 + pK−2 ).pK−1 + pK−1 .pK−2
= pK−1 .(uK .pK−1 + 2.pK−2 )
On peut alors calculer D en fonction de ces valeurs et, après factorisation
convenable, on trouve :
u0 .pK−1 + qK−1 u0 .uK .pK−1 + 2.u0 .pK−2 + uK .qK−1 + 2.qK−2
.
= I.J
uK .pK−1 + 2.pK−2
pK−1
(5.13)
Notons au passage l’identité entre ces deux facteurs et ceux de la forme 1
(5.8). En effet, d’après les formules de transformation (4.9) :
u0 .pK−1 + qK−1 = PK−1
uK .pK−1 + 2.pK−2 = pK + pK−2 = QK + QK−2
Or, les deux quotients de la forme 1 ne peuvent pas avoir de facteur commun
autre que 2.
D=
D’où, en particulier, si D est un entier impair, I et J sont premiers
entre eux.
Cas où uK est pair - Développement dual
Supposons uK pair, soit uK = 2.u0K . Dans ce cas, la relation (5.13) s’écrit :
D=
u0 .pK−1 + qK−1 u0 .u0K .pK−1 + u0 .pK−2 + u0K .qK−1 + qK−2
.
u0K .pK−1 + pK−2
pK−1
(5.14)
Cette formule appelle plusieurs remarques :
– En posant sous forme symbolique (y,u0K ) =
être mise sous la forme symétrique :
D=
u0K .pK−1 +pK−2
u0K .qK−1 +qK−2
0
u0 .pK−1 + qK−1 u0 .p0K + qK
.
= I.J
0
pK
pK−1
=
p0K
0 ,
qK
elle peut
(5.15)
5-5
Sous cette forme, on voit clairement que chacun des deux dénominateurs est premier avec le numérateur de l’autre fraction. En
particulier, si D est entier chaque fraction représente un entier.
– La seconde fraction, J, est à l’évidence supérieure à 1.
– On peut montrer que I est différente de 1, en effet, supposons I = 1 :
u0 pK−1 + qK−1 = p0K = u0K .pK−1 + pK−2 ⇒ pK−1 |(pK−2 − qK−1 )
Or, les deux quantités pK−2 et qK−1 sont toutes deux inférieures à pK−1 .
Cette divisibilité n’est donc possible que si elles sont égales entre elles, soit
pK−2 = qK−1 et, par suite, y admet un développement symétrique.
Dans ces conditions, I = 1 entraine de plus u0 = u0K
Ainsi, y admettant un développement symétrique et étant suivi d’un terme
2.u0K = 2.u0 , la véritable période du développement est K, ce qui est
contraire à l’hypothèse, donc I 6= 1.
0
– De plus, p0K > pK−1 et (u0 .pK−1 + qK−1 ) < (u0 .p0K + qK
) donc J > I.
– Finalement, l’ensemble des relations sur I et J :
J >I
J >1
I 6= 1
permet d’écrire selon le cas :
D entier
D f ractionnaire
⇒
⇒
J >I>1
J >1>I>0
(5.16)
Considérons maintenant le développement que nous appellerons développement dual :
√
E = (u0K ,y 0 ,2.u0 ,y,2.u0K , . . .)
obtenu par les permutations u0 ←→ u0K et y ←→ y 0 , soit pK−2 ←→ qK−1 .
Il est clair que, dans la relation (5.15), ces permutations inversent le premier
facteur de D et laissent invariant le second. Par suite, si un nombre D entier
est composé de deux facteurs I et J tels que J > I > 1, le développement dual
conduira à un nombre E = JI fractionnaire et > 1.
Ainsi,
√
19 × 11 = (14,2,5,3,2,3,5,2,28,
. . .) tandis que le développement dual
q
conduit à (1,3,5,2,28,2,5,3,2, . . .) =
5.1.3
19
11 .
Cas où D est une puissance impaire d’un nombre
premier
• La remarquable propriété que nous venons d’établir, relativement au développement dual, permet d’affirmer que certains nombres ne peuvent pas
admettre un développement de période paire avec un terme central
lui-même pair. Il en est ainsi :
– des nombres premiers. Si un nombre premier admet un développement
de période paire, le terme central du développement est impair. En effet,
5-6
dans le cas contraire les relations I > 1 et J > 1 permettraient de décomposer ce nombre en un produit de deux facteurs différents de 1, ce qui est
absurde.
– des nombres de la forme p2.n+1 , p étant premier. Si un tel nombre
admet un développement pair, le terme central est impair. En effet, dans le
cas
contraire, le développement dual conduirait à une fraction de la forme
pa
= pa−b entier avec a + b = 2.n + 1 et a − b > 0, or p2.n+1 étant entier,
pb
le nombre dual doit être fractionnaire.
Ainsi, si D est de la forme p2.n+1 , p premier, et possède une période
paire égale à 2.K, alors uK est impair.
• Considérons à partir de maintenant le cas où D = p2.n+1 avec p
premier impair. On peut alors préciser la valeur de uK . Pour cela, repartons
de (5.13). En fonction des inégalités, PK−2 + PK > PK > PK−1 > QK−1 , la
seconde fraction J de (5.8) est supérieure à 1. D étant un nombre impair, I et J
n’ont aucun facteur commun (5.1.2), par suite la première fraction vaut nécessairement 1, soit :
u0 .pK−1 + qK−1 = uK .pK−1 + 2.pK−2
− pqK−1
u0 − uK = 2. ppK−2
K−1
K−1
Chacune des deux fractions du second membre est comprise entre 0 et 1. Le
résultat devant être entier,
u0 − uK ne peut valoir que 0 ou 1.
u0 impair =⇒ uK = u0
Ainsi, uK étant impair :
u0 pair
=⇒ uK = u0 − 1
Par suite, u20 étant le plus grand carré inférieur à D, u2K est le plus grand
carré impair inférieur à D.
• Considérons la factorisation (5.9). La première fraction s’écrit
2.PK−1
2.PK−1
=
QK−2 + QK
2.QK−2 + uK .QK−1
Cette fraction étant égale à 1 et uK étant impair, QK−1 doit être pair pour
assurer la divisibilité.
De la même manière, en considérant que la seconde fraction est un nombre
entier, on montre que PK−1 doit être également pair, ce qui est impossible car
pgcd(PK−1 ,QK−1 ) = 1.
Donc, la factorisation 2 est impossible si D est premier impair
• Nous avons vu que c’est la première fraction de (5.8) qui vaut 1, soit :
PK−1 = QK−2 + QK
(5.17)
relation qui, reportée dans (5.3) et (5.2), nous fournit également :
2
P2.K−1 + (−1)K = PK−1
(5.18)
Q2.K−1 = PK−1 .QK−1
(5.19)
5-7
• En écrivant (5.6) selon :
D=
2
P2.K−1
−1
(P2.K−1 − (−1)K ).(P2.K−1 + (−1)K )
=
Q22.K−1
Q22.K−1
et en remplaçant P2K−1 et Q2.K−1 par leurs valeurs tirées de (5.18) et de (5.19),
on obtient :
P2.K−1 − (−1)K = D.Q2K−1
En comparant cette relation avec (5.18), on voit que PK−1 et QK−1 sont liés
par :
(5.20)
2
PK−1
− D.Q2K−1 = 2.(−1)K
Cette très belle relation nous fournit des solutions d’une nouvelle équation
α2 − D.β 2 = ±2, voisine de celle de Pell-Fermat. Elle va nous fournir, en outre,
de nouvelles propriétés :
– La relation (5.20 ) implique que PK−1 et QK−1 sont de même parité. Mais
pgcd(PK−1 ,QK−1 ) = 1, donc ces deux termes sont impairs.
2
≡ 1 (mod 4). Il en est de même pour QK−1 .
Si PK−1 est impair, PK−1
La relation ci-dessus peut donc s’écrire modulo 4 :
1 − D ≡ 2.(−1)K
Soit D ≡ 3
(mod 4)
(mod 4) ∀ K. Ainsi, D est donc de la forme 4.n + 3.
Un développement de période paire est impossible si D est de la
forme 4.n + 1.
– La première des equations (4.15 ) s’écrit pour l’indice K, dans le cas dans
2
− D.Q2K−1 ). En comparant
le cas du module entier : aK = (−1)K .(PK−1
cette relation avec (5.20), il vient aK = 2
• La relation (5.10 ) s’écrit alors uK = − abK
= − b2K , valeur que l’on peut
K
2
reporter dans (5.11 ), soit : D = uK − 2.cK . Soit finalement, pour les propriétés
des coefficients du rang K :
aK = 2 uK = −
bK
2
D = u2K − 2.cK
uK impair
(5.21)
Finalement : Nous allons voir à la section suivante que les développements
qui admettent une période impaire conduisent à une décomposition du module
en somme de deux carrés, ce qui en exclut donc les nombres de la forme 4.n+3.
Par suite, nous écrirons dès maintenant:
5-8
√
Le développement de D dans le cas où D est de la forme
D = p2.k+1 , p étant premier de la forme 4.n+3, admet une
période paire. Ce développement présente les propriétés suivantes :
5.1.4
–
–
–
–
–
La période du développement est paire, soit 2.K
Ce développement conduit à une factorisation de la forme 1
uK est le plus grand impair tel que u2K < D
aK = 2
bK = −2.uK
–
–
–
–
cK = K2
2
P2.K−1 = PK−1
+ (−1)K+1
Q2.K−1 = PK−1 .QK−1
2
PK−1
− D.Q2K−1 = 2.(−1)K
u2 −D
Application - Factorisation des grands nombres
Le problème général de la factorisation d’un nombre est caractérisé par la
fait qu’il n’existe pas de méthode générale fournissant la solution au prix d’un
nombre déterminé d’opérations. Les algorithmes susceptibles de conduire à la
solution comportent un nombre d’opérations croissant très rapidement, bien
qu’irrégulièrement, avec la taille du nombre à factoriser.
La difficulté de ce problème, et l’inexistence d’une solution générale simple,
a toujours excité l’intérêt d’un grand nombre de mathématiciens. Il fait l’objet
actuellement, et pour la première fois, d’un intérêt pratique tout particulier en
raison de sa liaison directe avec les codes de chiffrement dits "à clef publique"
(cf Annexe C).
Sans √
être directement liée à la taille du module D, la période du développement de D croît néanmoins, "en moyenne", avec cette taille, aucune formule ne
permettant de déterminer par avance cette longueur qui n’est connue qu’après
résultat du calcul du développement.
Ainsi, dans les deux cas (essais systématiques de diviseurs ou développement de la racine du module), la complexité croît mais de façon "aléatoire". Il
existe donc des cas où la seconde l’emporte en rapidité, voire est même la seule
accessible. Il est facile de construire de tels exemples :
Soit à chercher la factorisation du module 28265783. Le développement en
fraction continue donne
√
28265783 = (5316,1,1,3,1,5,1,3,1,1,10632, . . .)
La période est de 10 (test d’arrêt fourni par b6 = b5 ) et a5 = 1622 = 2 × 811
Sachant d’autre part que aK divise 2.D, 811 est nécessairement l’un des facteurs, ce qui conduit à 28265783 = 811 × 34853, cette factorisation ayant été
obtenue en 5 itérations seulement.
Les relations (4.15) peuvent également fournir dans certains cas un moyen
détourné pour factoriser D. Supposons en effet qu’à une étape impaire le
coefficient an soit un carré parfait an = α2 . Alors la première équation du
groupe (4.15) s’écrit :
2
D.Q2n−1 = Pn−1
− α2 = (Pn−1 − α).(Pn−1 + α)
5-9
et conduit à une factorisation si pgcd(Pn−1 − α,D) et pgcd(Pn−1 + α,D) sont
simultanément différents de 1.
5.2
Développements admettant une période impaire
√
Soit maintenant X = D un développement admettant une période impaire
N = 2.K + 1
Les 2.K premiers termes de la partie périodique forment alors une suite symétrique paire. En utilisant les formules (3.5), on peut écrire :
q2.K
p2.K
q2.K−1
= p2.K−1
=
=
=
p2K−1 + p2K
2
2
qK−1
+ qK
pK−1 .qK−1 + pK .qK
(5.22)
et en combinant ces valeurs avec les relation (4.9), on obtient :
Q2.K
P2.K
5.2.1
= Q2K−1 + Q2K
= PK−1 .QK−1 + PK .QK
(5.23)
Décomposition du module D en somme de deux carrés
Repartons de (4.10) :
D
q2.K+1
p2.K
2
u0 .p2.K + 2.u0 .q2.K + q2.K−1
p2.K
2
2
2
u0 .(pK−1 + p2K ) + 2.u0 .(pK−1 qK−1 + pK .qK ) + qK−1
+ qK
p2K−1 + p2K
= u20 +
=
=
=
(u0 .pK−1 + qK−1 )2 + (u0 .pK + qK )2
p2K−1 + p2K
Et finalement
D=
2
2
PK−1
+ PK
Q2K−1 + Q2K
(5.24)
Ainsi, D divise une somme de deux carrés, il est donc lui-même de
cette forme.
L’approche algorithmique nous permet d’écrire immédiatement cette décomposition. En effet :
D’après la relation (4.21), aK+1 = aK donc cK+1 = −aK = −aK+1
Par suite (4.3) s’écrit 4.D = b2K+1 + 4.a2K+1 , soit finalement :
D=
bK+1
2
2
+ a2K+1
(5.25)
5 - 10
Cette décomposition est intéressante car elle nous permet de constater que,
b étant pair, D est toujours égal à la somme de deux carrés entiers.
Ainsi, seuls les nombres décomposables en une somme de deux carrés
peuvent admettre un développement de période impaire
Si le module était un nombre rationnel C
A , alors l’expression précédente deviendrait :
A.C =
bK+1
2
2
+ a2K+1
(5.26)
et chacun des termes du produit, A et C, est une somme de deux carrés (voir
Annexe C).
En remplaçant dans (5.25 ) aK+1 et bK+1 par les valeurs issues de (4.15),
on peut écrire D sous la forme :
2
D = (PK .PK−1 − D.QK .QK−1 )2 + (PK
− D.Q2K )2
(5.27)
Montrons que ces deux carrés sont premiers entre eux. Appelons p leur
pgcd, alors :
p
2
| PK .(PK .PK−1 − D.QK .QK−1 ) − PK−1 .(PK
− D.Q2K )
| D.QK .(PK−1 .QK − PK .QK−1 )
| D.QK
De la même façon :
p
2
| QK−1 .(PK
− D.Q2K ) − QK .(PK .PK−1 − D.QK .QK−1 )
| PK .(QK−1 .PK − QK .PK−1 )
| PK
Ainsi, d divise pgcd(D.QK ,PK ), soit pgcd(D,PK ) car pgcd(PK ,QK ) = 1
Mais d’après (5.24), tout diviseur de D et de PK divise aussi PK−1 , donc p
divise à la fois PK et PK−1 . Ces deux dernières valeurs étant premières entre
elles, p = 1.
5.2.2
Cas où D est une puissance impaire d’un nombre
premier
Soit p un nombre premier de la forme 4.n + 1. Ses puissances impaires p2.i+1
sont également
p de la forme 4.N + 1.
Par suite, p2.i+1 ne peut admettre une période paire car celle-ci suppose un
module D de la forme 4.n + 3.
√
Ainsi, le développement de D dans le cas où D est de la forme
D = p2.k+1 , p étant premier de la forme 4.n+1, admet une période
impaire.
5.2.3
5 - 11
Application - Décomposition des grands nombres en
somme de deux carrés
De manière similaire à la factorisation, il n’existe pas de méthode générale
permettant, en un nombre déterminé d’opérations, de décomposer un nombre
donné D en somme de deux carrés (en supposant qu’une telle décomposition
existe). Nous avons d’ailleurs vu à la section (3.4) Unicité de la formulation
la parenté entre deux problèmes. Curieusement toutefois, ce second problème
ne paraît pas avoir fait l’objet de recherches aussi approfondies que le précédent.
Là encore, les algorithmes utilisables voient leur nombre d’opérations augmenter rapidement avec la taille du nombre à décomposer, rendant aléatoire une
recherche directe au-delà d’une certaine taille. De la même manière, et en raison
de la parenté avec les deux démarches, le développement en fraction continue
doit fournir, dans certains cas, une solution plus rapide. Il est également facile
d’en construire un exemple :
√
24887858 = (4988,1,3,2,2,3,1,9976, . . .)
Ce développement fournit, par application de la formule (5.25), la décomposition :
24887858 = 33432 + 37032
Compte tenu du test d’arrêt à mi-période, ce calcul n’a nécessité que 4 itérations.
p
En pratique, si la décomposition en fraction continue de (D) s’avère impossible, le √
nombre d’opérations étant trop élévé, on pourra rechercher la décomposition de T.D, T étant un nombre de la forme α2 + β 2 . Si le résultat est atteint,
c’est à dire si T.D est décomposé en somme de deux carrés, il est alors toujours
possible de retrouver la décomposition de D (voir annexe C).
√
Là aussi, on peut illustrer par un exemple : Si D = 12443929, la période de D
est 3635. Multiplions D par 2, nous retrouvons 24887858 qui est la valeur de
l’exemple précédent pour lequel la période correspondante est 7.
Remarque : Si on cherche à factoriser un nombre dont on connait déjà
par ailleurs une décomposition en somme de deux carrés (C’est typiquement
N
le cas des nombres de Fermat FN = 22 + 1) et si l’on obtient une seconde
décomposition en somme de deux carrés, alors la factorisation est acquise (voir
annexe C). Ainsi, décomposer un nombre en somme de deux carrés peut
être un moyen détourné pour décomposer ce nombre en produit de
deux facteurs.
5 - 12
6-1
CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS
Chapitre 6
Compléments
Sommaire
√
Typologie des développements
de D pour D entier 1
√
6.1.1 Développement de D lorsque D est une puissance
impaire d’un nombre premier . . . . √
. . . . . . . . .
2
6.2 Quelques développements formels de D . . . . .
3
√
6.3 Développement de N 2 ± 1 . . . . . . . . . . . . . .
6
6.4 Développements duals . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.1
6.1
Typologie des développements de
entier
√
D pour D
√
Nous avons vu dans l’étude sur les développements de D admettant une
période paire, que :
– la factorisation 2 est impossible si D est premier impair (Exclusion 1)
– un développement de période paire est impossible si D est de la forme
4.n + 1 (Exclusion 2)
√
Nous avons également vu dans l’étude sur les développements de D admettant une période impaire que seuls les nombres décomposables en une somme
de deux carrés peuvent admettre un développement de période impaire. Or, un
nombre impair somme de deux carrés est de la forme 4.n + 1 et tout diviseur de
ce nombre est également de cette forme (voir annexe C).
Donc, tout nombre comportant au moins un facteur de la forme 4.n + 3, et
en particulier un nombre premier de cette forme, admet un développement pair.
(Exclusion 3)
Enfin, nous avons vu que les deux carrés issus d’un développement de période
impaire (voir 5.27) sont premiers entre eux. Ces deux carrés ne peuvent donc
pas être simultanément pairs. Par suite, D ne peut être pair que si chacun de
6-2
ces carrés est impair, soit :
D = (4.n1 + 1)2 + (4.n2 + 1)2 = 4.N + 2
Ainsi, un nombre dont la racine admet un développement impair ne peut donc
en aucun cas être divisible par 4. (Exclusion 4)
Le tableau de la page suivante résume ces conclusions.
6.1.1
√
Développement de D lorsque D est une puissance
impaire d’un nombre premier
Nous avons vu dans les précédents paragraphes que :
√
– Si p est un nombre premier de la forme 4.n+1, D2.k+1 admet toujours
un dévelopement de période impaire.
√
– Si p est un nombre premier de la forme 4.n+3, D2.k+1 admet toujours
un dévelopement de période paire.
Il reste à étudier le cas particulier p=2.
√
2 = (1,2,...) admet un développement de période impaire égale à 1. Nous
allons montrer que toutes les autres puissances impaires de 2 admettent des
développements pairs. En effet :
√
Supposons que 22.k+1 k > 1 admette un développement de période impaire. On obtient alors une décomposition de 22.k+1 en somme de deux carrés
premiers entre eux, selon :
22.k+1 = A2 + B 2
avec
pgcd(A,B) = 1
A et B ont nécessairement même parité, mais ils ne peuvent être impairs car
A2 + B 2 serait de la forme 4.N+2. Ils sont donc tous deux pairs, soit A=2.A’ et
B=2.B’. On peut alors écrire :
22.k+1 = A2 +B 2 = 4.A02 +4.B 02 soit 22.k−1 = A02 +B 02 avec pgcd(A0 ,B 0 ) = 1
On peut alors itérer le raisonnement, A’=2.A" B’=2.B" et on peut écrire :
22.k−1 = A02 +B 02 = 4.A”2 +4.B”2 soit 22.k−3 = A”2 +B”2 avec pgcd(A”,B”) = 1
L’itération s’arrêtera pour :
2
2
2 = (A(k) ) + (B (k) ) = 1 + 1
Ce qui implique que la décomposition initiale était
2
2
22.k+1 = (2k ) + (2k )
Mais les deux carrés doivent être premiers entre eux. Donc cette décomposition
est impossible et par suite :
√
Développement de
22.k+1
k=0
=⇒ période impaire = 1
k entier > 1 =⇒ période paire
6-3
Typologie des développements pour D entier
Développements
pairs
4.n + 1
impair
D
4.n + 3
pair
4.n + 2
4.n
Développements
impairs
Forme 1
Forme 2
premier
Exclusion 2
Exclusion 1
5, 13, 17, 29, 37,
41, ...
composé
Exclusion 2
21, 33, 45, ...
65, 85, ...
premier
3, 7, 11, 19, 23,
31, 43, 47, ...
Exclusion 1
Exclusion 3
composé
15, 27, 35, ...
39, ...
Exclusion 3
6, 14, 18, 22, 34,
38, 42, 46, ...
30, ...
2, 10, 26, ...
8, 20, 24, 28, 32,
40, 44, 48, ...
12, ...
Exclusion 4
composé
(sauf 2)
composé
Fig. 6.1 – Typologie des développements pour D entier
6.2
Quelques développements formels de
√
D
√
• D’une façon générale, le développement de D conduit à une suite de
valeurs difficilement prévisibles, ceci étant notamment vrai pour la valeur de la
période. Toutefois,
certaines valeurs de D admettent un développement formel
√
simple pour D. Les calculs s’organisent alors comme pour le développement
d’une valeur D numérique, en application de l’algorithme défini par les formules
(4.1) et (4.2).
p
Ainsi, soit à calculer la valeur de n2 − 2 pour n ≥ 2.
On choisit le déterminant jsimplifié
∆0 = n2 − 2 et, pour calculer u, on utilise
√ k √
√
0
0
la partie entière de ∆ soit
∆ =
n2 − 2 = n − 1
Les calculs s’organisent alors selon :
6-4
k
j

 − b + √∆0 
 2


u=
a
rang
a
b
c
0
1
0
−(n2 − 2)
1
2.n − 3
−2.(n − 1)
-1
2
2
−2.(n − 2)
−(2.n − 3)
3
2.n − 3
−2.(n − 2)
-2
1
4
1
−2.(n − 1)
−(2.n − 3)
2.(n − 1)
D’où
n−1
2.(n − 1)
=1
2.n − 3
2.n − 3
=n−2
2
p
n2 − 2 = (n − 1, 1, n − 2, 1, 2.(n − 1), . . .) pour tout n ≥ 2
Ce tableau appelle les remarques suivantes :
- Le test d’arrêt fonctionne conformément aux formules (4.21). Ici b2 = b3
(en bleu) correspondant à une période paire de longueur 4.
j√ k
∆0 par n − 1, les valeurs u0 , u3 et u4 sont
- Ayant choisi de remplacer
des valeurs exactes.
- A l’inverse, les valeurs u1 et u2 (en rouge) représentent des parties entières
d’expressions littérales. Elles sont définies dans les deux cas et par suite le développement formel est possible.
Mais ceci
√ n’est pas
toujours possible. Par exemple, la valeur d’une expression
telle que
n2 + 15 dépend de n. Ainsi, celle-ci vaut respectivement n + 3 pour
n = 1, n + 2 pour n = 2 et n + 1 pour n ≥ 3
• Moyennant cette dernière remarque,
√ certaines valeurs entières D admettent
un développement formel simple pour D. Il en est ainsi de valeurs voisines d’un
carré parfait :
p
n2 − 2
=
(n − 1, 1, n − 2, 1, 2.(n − 1), ...)
p
n2
−1
=
(n − 1, 1, 2.(n − 1), ...)
p
n2 + 1
=
(n, 2.n, ...)
p
n2 + 2
=
(n, n, 2.n, ...)
6-5
p
4.n4 + 4 = (2.n, n, 4.n, ...)
p
(2.n + 1)2 + 4 = (2.n + 1, n, 1, 1, n, 4.n + 2, ...)
Certaines valeurs rationnelles voisines de l’umité admettent également un
développement simple :
r
n+1
n
r
n+1
n−1
r
n
n−1
=
(1, 2.n, 2, ...)
=
(1, n − 1, 2,...)
=
(1, 2.(n − 1), 2,...)
On trouvera également :
p
n2 + n
=
(n, 2, 2.n,...)
p
4.n2 + n
=
(2.n, 4, 4.n, ...)
p
4.n2 − n
=
(2.n − 1, 1, 2, 1, 4.n − 2, ...)
p
9.n2
+ 2.n
=
(3.n, 3, 6.n, ...)
p
9.n2
− 2.n
=
(3.n − 1, 1, 1, 1, 6.n − 2, ...)
p
p
α2 .n2 + α
α2 .n2 + 2.α
= α.n, 2.n, 2.α.n,...)
=
(α.n, n, 2.α.n, ...)
Il est clair qu’il existe une infinité de tel développements. Pour les obtenir, on
part de l’expression de D et on applique les formules (4.1) et (4.2). Si tous les ui
sont calculables formellement sans ambigüité, 1 on obtient alors une expression
formelle simple. Mais ceci est loin d’être le cas général.
On peut, à l’inverse, se définir d’abord le développement, puis utiliser la
formule (4.10), pour calculer D. Cette méthode conduit toujours à un résultat
mais celui-ci est généralement fractionnaire
1. L’ambiguïté, nous l’avons vu, ne peut provenir que du calcul de ui en raison de l’opérateur
plus grande valeur entière inférieure à. Ainsi :
√
– La valeur d’expressions telles que
n2 + 15 dépend de n.
√
– Par contre,
4.n2 + 3 = 2.n sans ambiguïté.
6-6
6.3
Développement de
√
N2 ± 1
Certains développements présentent des propriétés remarquables. Il en est
ainsi, par exemple, de certains développements liés aux nombres de la forme
N 2 ± 1.
Effectivement, considérons un nombre de la forme N 2 ± 1 dont on connaît
une factorisation, soit :
A.B = N 2 ± 1
Si on suppose A > B on peut écrire :
r
A
B
=
A
B
=
N
B
2
±
1
B2
N
± avec
B
de l’ordre de
1
2.B 2
A
On peut donc s’attendre à ce que les développements en F.C. deux quantités
B
r
A
et
, qui sont très voisines, possèdent en commun leurs premiers termes.
B
C’est effectivement le cas.
• Développements liés aux nombres de la forme N 2 + 1
A
D’après les propriétés des DSP, le quotient
admet un développement syN
A
métrique pair, que l’on peut écrire
= (u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , u0 ) de période
N
2.k + 2 (en utilisant ici l’indice u0 pour plus de commodité).
De façon plus précise, on peut écrire ce développement sous la forme matricielle :
A N
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , u0 ) =
N B
pk pk−1
Posons (u1 , ... uk ) =
.
qk qk−1
On peut écrire, toujours en notation matricielle :
A
u0 1
pk pk−1
pk
qk
u0 1
=
.
.
.
1 0
qk qk−1
pk−1 qk−1
1 0
N
u0 .pk + qk u0 .pk−1 + qk−1
u0 .pk + qk
pk
=
.
pk
pk−1
u0 .pk−1 + qk−1 pk−1
2
(u0 .pk + qk ) + (u0 .pk−1 + qk−1 )2
pk .(u0 .pk + qk ) + pk−1 .(u0 .pk−1 + qk−1 )
=
pk .(u0 .pk + qk ) + pk−1 .(u0 .pk−1 + qk−1 )
p2k + p2k−1
A N
=
N B
D’où l’on peut tirer :
6-7
(u0 .pk + qk )2 + (u0 .pk−1 + qk−1 )2
A
=
N
= pk .(u0 .pk + qk ) + pk−1 .(u0 .pk−1 + qk−1 )
B
= p2k + p2k−1
√
Considérons maintenant le développement périodique X = (u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , 2.u0 , ... )
de période 2.k + 1. Sa partie périodique s’écrit, sous forme matricielle :
pk pk−1
pk
qk
2.u0 1
(u1 , ... uk , uk , ... u1 , 2.u0 ) =
.
.
qk qk−1
pk−1 qk−1
1
0
2
2
pk + pk−1
pk .qk + pk−1 .qk−1
2.u0 1
=
.
2
qk2 + qk−1
1
0
2
2
2
2
2.u0 .(pk + pk−1 ) + pk .qk + pk−1 .qk−1
pk + pk−1
=
2
2.u0 .(pk .qk + pk−1 .qk−1 ) + qk2 + qk−1
Et on peut écrire directement d’après (4.10) :
X
= u20 +
=
=
2
2.u0 .(pk .qk + pk−1 .qk−1 ) + qk2 + qk−1
2
2
pk + pk−1
(u0 .pk + qk )2 + (u0 .pk−1 + qk−1 )2
p2k + p2k−1
A
B
D’où :
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , u0 )
équivalent à A.B
=
=
A
N





N




B
N2 + 1
r
⇒ (u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , 2.u0 , ... ) =








Réciproquement, supposons que l’on ait les deux développements :
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , u0 )
=
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , 2.u0 , ... )
=
A
N
r
(6.1)
A
B
Le premier développement étant symétrique, on peut toujours s’écrire :
A N
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , u0 ) =
avec A.B 0 = N 2 + 1
N B0
On peut alors effectuer les calculs identiques aux précédents sur chacun des
deux développements et on trouve nécessairement B = B 0 . Par suite :
A
B
6-8
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , u0 )
=
A
N
r
(u0 , u1 , ... uk , uk , ... u1 , 2.u0 , ... )
=









(6.2)
⇒ A.B = N 2 + 1




A 



B
On observe que, bien qu’opérant en sens inverse, les deux formules (6.1) et
(6.2) ne sont pas exactement des réciproques.
• Développements liés aux nombres de la forme N 2 − 1
Ce cas se traite de la même manière que le précédent.
A
admet un développement syméD’après les propriétés des DSI, le quotient
N
A
= (u0 , u1 , ... uk , uk+1 , uk , ... u1 , u0 ) de
trique impair que l’on peut écrire
N
période 2.k + 3 (en utilisant encore ici comme précédemment l’indice 0).
Ce qui s’écrit sous forme matricielle :
(u0 , u1 , ... uk , uk+1 , uk , ... u1 , u0 ) =
u0
1
A
N
=
=
pk
qk
pk−1
qk−1
pk
.
qk
N
B
pk−1
qk−1
Posons (u1 , ... uk ) =
A
N
1
0
A
N
N
B
On peut écrire :
uk+1
.
1
1
0
pk
.
pk−1
u0
.
qk−1
1
qk
1
0
En développant et en identifiant terme à terme, on obtient :
A =
(a0 .pk + qk ).(ak+1 .qk + ak+1 .a0 .pk + 2.a0 .pk−1 + 2.qk−1 )
B
=
pk .(pk .ak+1 + 2.pk−1 )
N
=
ak+1 .a0 .p2k + pk .ak+1 .qk + 2.pk .a0 .pk−1 + pk .qk−1 + pk−1 .qk
On considére maintenant le développement périodique
√
X = (u0 , u1 , ... uk , uk+1 , uk , ... u1 , 2.u0 , ... )
de période 2.k + 2. Sa partie périodique s’écrit, sous forme matricielle :
(u1 , ... uk , uk+1,
uk ,
... u1 , 2.u0 ) =
pk
qk
pk−1
qk−1
uk+1
.
1
1
0
pk
.
pk−1
qui vaut après développement :
2.ak+1 .a0 .p2k + 4.pk .a0 .pk−1 + pk .ak+1 .qk + pk .qk−1
2.qk .ak+1 .a0 .pk + 2.qk .a0 .pk−1 + 2.qk−1 .a0 .pk + ak+1 qk2 + 2.qk .qk−1
2.u0
.
qk−1
1
qk
1
0
p2k .ak+1 + 2.pk .pk−1
pk .ak+1 .qk + pk .qk−1 + pk−1 .qk
6-9
=
p2.k+2
q2.k+2
p2.k+1
q2.k+1
Et, d’après (4.10) :
q2.k+2
X = a20 +
p2.k+1
2.qk .ak+1 .a0 .pk + 2.qk .a0 .pk−1 + 2.qk−1 .a0 .pk + ak+1 qk2 + 2.qk .qk−1
= a20 +
p2k .ak+1 + 2.pk .pk−1
Soit, tous calculs faits :
X=
(a0 .pk + qk ).(ak+1 .qk + ak+1 .a0 .pk + 2.a0 .pk−1 + 2.qk−1 )
A
=
pk .(pk .ak+1 + 2.pk−1 )
B
D’où :
(u0 , ... uk , uk+1 , uk , ... u0 )
équivalent à A.B
=
A
N





N




B
= N2 − 1
r
⇒ (u0 , u1 , ... uk , uk+1 , uk , ... u1 , 2.u0 , ... ) =








Et on démontre comme précédemment la pseudo-réciprocité :
(u0 , u1 , ... uk , uk+1 , uk , ... u1 , u0 )
(u0 , u1 , ... uk , uk+1 , uk , ... u1 , 2.u0 , ... )
=
A
N









(6.3)
⇒ A.B = N 2 − 1


r


A 


=

B
(6.4)
Remarque : Si l’on utilise la factorisation triviale N 2 − 1 = (N + 1).(N − 1),
on trouve :
r
N +1
N +1
= (1, N ) et
= (1, N − 1, 2, ...)
N
N −1
N +1
Il faut utiliser l’écriture avec expansion à droite
= (1, N − 1, 1) pour
N
retrouver la formulation ci-dessus. D’une façon générale, ceci est vrai pour tout
A
développement N
dont le ptremier terme vaut 1.
• Propriétés de ces développements
A
– La longueur du développement de
est de l’ordre de logA. Par suite,
r N
A
la période du développement de
, qui lui est égale, est remarquablement courte,
B
√
le développement
de N admettant habituellement une période de l’ordre
√
de N .
A
B
6 - 10
r
– Si A.B = N + 1, le développement de
2
A
fournit 2 :
N
La décomposition de A.B en somme de deux carrés (voir 5.26) selon
2
A.B = a2K+1 + b0 K+1
La décomposition de A et B en somme de deux carrés (voir 3.5) selon
2
2
A = PK−1
+ PK
et B = Q2K−1 + Q2K
r
A
2
peut, d’après (5.11), fournir
– Si A.B = N − 1, le développement de
N
une factorisation supplémentaire de A.B, ak divisant 4.A.B
6.4
Développements duals
On rappelle (voir partie 5.1) que pour qu’un développement admette un
développement dual, il faut et il suffit que la période du développement soit
paire et que le terme milieu de la partie symétrique de la période soit lui-même
pair.
Le développement dual peut alors être construit et ces
r deux développements
√
A
sont ceux de deux valeurs représentables par A.B et
B
Qu’en est-il lorsque N , dont le développement est tel qu’il admet un dual,
contient plus de deux facteurs?
Si N se décompose en n facteurs premiers pi , alors il existe 2n manière de
pa .pb ...
combiner ces n facteurs sous forme de rapport
.
pe .pf ...
A
Ces 2n rapports peuvent être triés par paires d’inverses ( B
et B
A ) et, dans
chacune de ces paires, un et un seul des deux rapports est plus grand que 1.
Par suite, on ne peut construire que 2n−1 rapports plus grands que 1 et les
développements en fractions continues correspondants vont s’organiser en 2n−2
couples de développements duals.
Considérons par exemple N = 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
Les 8 rapports supérieurs à 1 valent respectivement (classés par valeur crois77 91 143 385 455 715 1001 5005
sante) :
65 55 35
13
11
7
5
1
√ On rappelle, d’autre part, que si le développement en fraction continue de
N admet une période impaire 2.n + 1, alors le terme ak , obtenu lors de l’algorithme de calcul du développement, divise N .
Il est intéressant de noter la valeur de ak , conjointement au calcul du développement proprement dit.
Moyennant ces considérations, les résultats de calcul suivants regroupent les
2. Voir dans l’annexe C l’application de cette propriété aux nombres de Fermat.
6 - 11
développements duals et indiquent pour chacun d’eux, la valeur du ak correspondante :
sqrt(5005/1) = (70, 1,2,1,14,1,34,2,3, 2, 3,2,34,1,14,1,2,1, 140, ...)
sqrt(91/55) = (1, 3,2,34,1,14,1,2,1, 140, 1,2,1,14,1,34,2,3, 2, ...)
ak = 55
ak = 1
sqrt(385/13) = (5, 2,3,1,4,3,1,1,1,1,2,9, 20, 9,2,1,1,1,1,3,4,1,3,2, 10, ...) ak = 7
sqrt(715/7) = (10, 9,2,1,1,1,1,3,4,1,3,2, 10, 2,3,1,4,3,1,1,1,1,2,9, 20, ...) ak = 13
sqrt(455/11) = (6, 2,3,6,1,3,1,2,2,1,6, 28, 6,1,2,2,1,3,1,6,3,2, 12, ...)
sqrt(1001/5) = (14, 6,1,2,2,1,3,1,6,3,2, 12, 2,3,6,1,3,1,2,2,1,6, 28, ...)
ak = 5
ak = 11
sqrt(143/35) = (2, 46,1,10,1,4,3,11, 2, 11,3,4,1,10,1,46, 4, ...)
sqrt(77/65) = (1, 11,3,4,1,10,1,46, 4, 46,1,10,1,4,3,11, 2, ...)
ak = 65
ak = 35
On notera que, dans chacun de ces développements, la valeur ak est égale
au dénominateur du rapport conduisant au développement dual.
6 - 12
7-1
CHAPITRE 7. PROBLÈMES OUVERTS
Chapitre 7
Problèmes ouverts
Sommaire
7.1
7.2
7.3
Longueur de la période Θ(D) . . . . . . . . . . . .
Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Définition de la fonction α() . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Recherche empirique de la forme analytique de α() .
1
2
2
2
6
Le contenu de ce chapitre est entièrement prospectif. A partir du fait qu’il
n’existe pas d’approche
formelle permettant de prévoir les propriétés du déve√
loppement de D pour D quelconque, il est proposé ici trois axes de recherche.
La démarche est la même dans chaque cas : si l’exploration par ordinateur permet de mettre en évidence des propriétés intéressantes, celles-ci peuvent alors
conduire à des études destinées à en produire des démonstrations.
7.1
Longueur de la période Θ(D)
Considérons la fonction Θ(D) entière et positive, définie par :
√
Θ(D) = longueur de la période du développement de
D
Cette fonction est définie pour tout rationnel non carré parfait, supérieur à 1
et la calcul de sa valeur est réalisable, pour tout D, au moyen de l’algorithme
défini au chapitre 3. Elle suscite néanmoins de nombreuses interrogations.
On ne sait pas, dans le cas général, expliciter Θ(D) au moyen d’une formule
et il est nécessaire d’effectuer le calcul complet jusqu’au test d’arrêt pour obtenir
sa valeur. L’allure générale de Θ(D) n’incite d’ailleurs pas à l’optimisme quant
à l’existence d’une telle formule.
7-2
7.2
Lois de composition
Si les développements√en fraction continue
de D1 et D2 admettent respective√
ment pour période p1 = D1 et p2 = D2 , que peut-on dire
q du développement
√
D1
en fraction continue de quantités telles que D1 .D2 ou
D2 , ou de quantité
plus complexes?
Ce point est particulièrement important car, dans la plupart des cas, il sera
impossible
lorsque D sera très grand d’obtenir directement le développement
√
de D en raison de la longueur de q
la période. Le recours au développement
√
1
d’expressions telles que D1 .D2 ou D
D2 sera alors nécessaire (voir en (5.1.4)
et (5.2.2) les applications).
On peut se poser également le
problème
inverse, à savoir :
q
√
D1
Connaissant p1
D1 .D2 et p2
D2 , quelle est la fonction f (D1 ,D1 ) telle
que , par exemple, p(f (D1 ,D2 )) = p1 .p2 ou toute autre fonction de p1 et p2 ?
Ces problèmes sont très compliqués et, à notre connaissance, n’ont pas encore reçu de début de solution. Une méthode pragmatique pourrait consister en
une recherche numérique, assistée par ordinateur, permettant par induction de
présumer des lois. Il resterait bien entendu, ensuite, à élaborer les démonstration
correspondantes.
Ceci n’est pas une simple vue de l’esprit puisque les conjectures concernant
un comportement asymptotique, présentées dans le paragraphe suivant, ont été
établies de cette manière et présentent un haut degré de vraisemblance et de
cohérence.
7.3
Comportement asymptotique
Cette recherche porte sur le comportement de Θ(n2.k+1 ) lorsque k → ∞. La
taille de ces nombres augmentant rapidement, l’approche empirique ne peut être
effectuée que par ordinateur. La machine présente alors ses propres limitations
de taille des nombres manipulables (pratiquement jusqu’à 1017 ), et de temps
calcul.
De façon pratique, les études ont été menées pour tous les modules non carrés
parfaits jusquà 268. En raison des limitations évoquées ci-dessus, les puissances
explorées diminuent au fur et à mesure que le module augmente. Menés jusqu’à
283 pour ce qui est du module 2, les calculs portent encore sur la 7ème puissance
pour le module 268. Typiquement, les figures (7.1 ) et (7.2) pages 7-4 et 7-5,
concernant les module 2 et 3, sont représentatives de l’ensemble des résultats
obtenus.
7.3.1
Définition de la fonction α()
Les calculs mentionnés permettent d’observer le résultat remarquable suivant, valables pour tous les modules considérés, dans la limite des exposants
7-3
autorisés par le calcul :
2.k+1
Θ(n
)
Le rapport Θ(n
2.k−1 ) → n lorsque k → ∞. Cette convergence est
lente mais nette. Elle n’est ni alternée, ni monotone mais irrégulière.
Par suite, nous avancerons la conjecture suivante :
Θ(n2.k+1 ) → α(n).nk
lorsque
k→∞
Ainsi α(n) est une valeur asymptotique. Les approximations correspondant
aux α() des premiers entiers sont rapportées dans la figure (7.3) page 7-6.
Les valeurs de α(n) sont bien entendu des valeurs approchées et ont été
arrondies à 10−4 .
On remarque tout de suite dans la figure (7.3) des relations du genre α(8) = 2.α(2),
elles sont aisément démontrables. En effet, d’après la formule précédente :
2.i+1 i
Θ n2.k+1
→ α n2.k+1 . n2.k+1
mais on peut également écrire :
2.i+1 Θ n2.k+1
= Θ n2.(2.i.k+k+i)+1
→ α(n).n2.i.k+k+i
=
=
nk .α(n).ni.(2.k+1)
i
nk .α(n). n2.k+1
d’ou :
α n2.k+1 = nk .α(n)
Généralisation de la conjecture sur α(n)
On s’intéresse maintenant à des nombres de la forme N = ak .n, a premier
avec n, et on observe le rapport existant entre α(ak .n) et α(n)
• Si l’exposant de a est impair :
On constate toujours le rapport α(a2.i+1 .n) = ai .α(n). Cette formule peut
aisément être généralisée selon :
α(a2.i+1 .b2.j+1 . . . . .n) = ai .bj . . . . .α(n)
• Si l’exposant de a est pair : Considérons d’abord le cas N = a2 .n avec
2
.n)
toujours pgcd(a,n) = 1. Le rapport α(a
α(n) prend un valeur rationnelle simple
égale :
– soit à une puissance d’un entier inférieur à a.
2
2
×5)
×2)
Exemples : α(5
= 3 α(7
= 23
α(2)
α(5)
Cet entier peut être 1 :
α(22 ×3)
α(3)
=1
7-4
2.k+1
22.k+1
Θ(22.k+1 )
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
2
8
32
128
512
2048
8192
32768
131072
524288
2097152
8388608
33554432
134217728
536870912
2147483648
8589934592
34359738368
137438953472
549755813888
2199023255552
8796093022208
35184372088832
140737488355328
562949953421312
2251799813685248
9007199254740992
36028797018963968
144115188075855872
576460752303423488
2305843009213693952
9223372036854775808
36893488147419103232
147573952589676412928
590295810358705651712
2361183241434822606848
9444732965739290427392
37778931862957161709568
151115727451828646838272
604462909807314587353088
2417851639229258349412352
9671406556917033397649408
1
2
4
4
12
24
48
96
196
368
760
1524
3064
6068
12168
24360
48668
97160
194952
389416
778832
1557780
3116216
6229836
12462296
24923320
49849604
99694536
199394616
398783628
797556364
1595117676
3190297400
6380517544
12761088588
25522110948
51044281208
102088450460
204177067944
408353857832
816708255152
1633415849496
Θ(22.k+1 )
Θ(22.k−1 )
2.
2.
1.
3.
2.
2.
2.
2.041666667..
1.877551020..
2.065217391..
2.005263158..
2.010498688..
1.980417755..
2.005273566..
2.001972387..
1.997865353..
1.996383661..
2.006504734..
1.997496820..
2.
2.000148941..
2.000421112..
1.999166938..
2.000421199..
1.999897932..
2.000118925..
1.999906278..
2.000055610..
1.999971895..
1.999972687..
2.000006204..
2.000038899..
1.999975784..
2.000008385..
1.999994810..
2.000002324..
1.999997807..
2.000001636..
1.999998638..
2.000001321..
1.999999191..
Fig. 7.1 – Période du développement de 22.k+1
2k
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
67108864
134217728
268435456
536870912
1073741824
2147483648
4294967296
8589934592
17179869184
34359738368
68719476736
137438953472
274877906944
549755813888
1099511627776
2199023255552
α=
Θ(22.k+1 )
2k
1.
1.
1.
.5
.75
.75
.75
.75
.765625
.71875
.7421875
.744140625
.748046875..
.740722656..
.742675781..
.743408203..
.742614746..
.741271973..
.743682861..
.742752075..
.742752075..
.742807388..
.742963791..
.742654324..
.742810726..
.742772818..
.742816985..
.742782176..
.742802829..
.742792390..
.742782246..
.742784550..
.742798997..
.742790003..
.742793117..
.742791190..
.742792053..
.742791238..
.742791846..
.742791340..
.742791831..
.742791530..
7-5
2.k+1
22.k+1
Θ(32.k+1 )
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
3
27
243
2187
19683
177147
1594323
14348907
129140163
1162261467
10460353203
94143178827
847288609443
7625597484987
68630377364883
617673396283947
5559060566555523
50031545098999707
450283905890997363
4052555153018976267
36472996377170786403
328256967394537077627
2954312706550833698643
26588814358957503287787
2
2
10
30
98
270
818
2382
7282
21818
65650
196406
589982
1768938
5309294
15924930
47779238
143322850
429998586
1289970842
3869957114
11609762666
34829416842
104488103446
Θ(32.k+1 )
Θ(32.k−1 )
1.
5.
3.
3.266666667..
2.755102040..
3.029629629..
2.911980440..
3.057094878..
2.996154902..
3.008983408..
2.991713632..
3.003889901..
2.998291473..
3.001401971..
2.999443993..
3.000279310..
2.999688902..
3.000209568..
2.999942055..
3.000034565..
2.999971918..
3.000011111..
2.999995779..
Fig. 7.2 – Période du développement de 32.k+1
3k
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
531441
1594323
4782969
14348907
43046721
129140163
387420489
1162261467
3486784401
10460353203
31381059609
94143178827
α=
Θ(32.k+1 )
3k
2.
.666666666..
1.111111111..
1.111111111..
1.209876543..
1.111111111..
1.122085048..
1.089163237..
1.109891784..
1.108469237..
1.111788514..
1.108717618..
1.110155219..
1.109522976..
1.110041482..
1.109835752..
1.109939082..
1.109823982..
1.109901510..
1.109880073..
1.109892861..
1.109882472..
1.109886577..
1.109885015..
7-6
n
Θ(n)
α(n)
n
Θ(n)
α(n)
n
Θ(n)
α(n)
1
-
-
11
2
2.5225..
21
6
1.3209..
2
1
.7428..
12
2
1.1098..
22
6
2.5183..
3
2
1.1098..
13
5
3.0207..
23
4
3.2621..
4
-
-
14
4
.7166..
24
2
.6439..
5
1
1.2166..
15
2
.5793..
25
-
-
6
2
.3220..
16
-
-
26
1
1.9487..
7
4
2.3331..
17
1
1.7652..
27
2
3.3298..
8
2
1.4855..
18
2
.7428..
28
4
.5834..
9
-
-
19
6
4.9125..
29
5
4.1646..
10
1
1.5326..
20
2
1.2168..
30
2
1.3016..
Fig. 7.3 – Valeurs de Θ(n) et α(n) pour n ≤ 30
– soit au quotient d’une puissance d’un entier inférieur à a par une puissance
d’un diviseur de2 a.
2
α(32 ×29)
α(62 ×5)
α(62 ×7)
×47)
= 213
= 323
= 31
= 212
Exemples : α(2
α(47)
α(29)
α(5)
α(7)
Mais, si l’exposant pair est plus grand que 2, on peut appliquer la même
formule que dans le cas impair tant que l’on ne considère pas la totalité de
l’exposant.
Ainsi, soit N = a2.k .n et pgcd(a,n) = 1, on peut alors écrire :
α(N ) = α(a2.k .n) = a.α(a2.k−2 .n) = a2 .α(a2.k−4 .n) = . . . = ak−1 .α(a2 .n)
mais on ne peut rien dire du dernier α(a2 .n) qui prend l’une au l’autre des
valeurs de la seconde forme.
7.3.2
Recherche empirique de la forme analytique de α()
La valeur asymptotique de α(2) semble converger vers une valeur comprise
entre .742791 et .742792, les 6 premières décimales semblant stables au rang 83.
On peut alors imaginer
une approximation de α(2), par exemple
rde chercher
p1
p2 pq3 pq4
sous la forme α(2) = .
.π 3 .e 4 , en vue de d’essayer de trouver ultérieuq1
q2
rement, par induction, la forme analytique de cette valeur asymptotique (pour
autant que cette forme existe).
De façon pratique,
r on va rechercher des ensembles de valeurs pi et qi rendant
α(2)
q2
1
.
. p p très voisine d’un entier.
l’expression
p1
p2 π q33 .e q44
7-7
Pour être satisfaisante, l’approximation doit fournir toutes les décimales
"sûres" et présenter, d’autre part, la forme la plus simple possible car il est
évident qu’en complexifiant à l’infini, on peut toujours approcher toute valeur.
En cherchant à représenter au mieux la valeur .742791, on peut ainsi trouver :
Expressions utilisant seulement π :
7048
8
√π
62. 17
√
9
7. 14.π 4
√
11. 13
√
3
16. 2.π 4
= .7427914804..
= .7427914204..
= .7427915872..
Expressions utilisant π et e :
√
1153. 2
√
3.π.e6
√
12928. 2
√
9
7.π 7 .e 8
46
√
4
3. 3.π.e 3
649
√
3
4. 6.π 7 .e4
√
129. 5
√
7
4. 7.π 5 .e2
70892
√
3
19. 5.π 2 .e6
√
13. 5
√
1
4. 11.π 14 .e
=
.7427914800..
=
.7427914913..
=
.7427912304..
=
.7427914935..
=
.7427914833..
=
.7427914998..
=
.7427913429..
Ces résultats appellent quelques remarques :
– Il est étonnant de trouver autant de formules possédant la précision requise, au moyen de paramètres pi et qi relativement simples. La profusion
des résultats semble plaider contre la méthode.
A noter qu’il est beaucoup plus difficile de trouver des expressions possédant π ou e au numérateur.
– La première formule parait la plus simple, π étant seul présent et avec un
exposant entier, mais il est toutefois remarquable que dans chacune des
autres formules, l’une ou l’autre des valeurs π ou e possède toujours un
exposant entier.
7-8
Si on effectue maintenant la même recherche avec α(3) dont la valeur semble
pouvoir être encadrée par 1.10988 et 1.10989, on obtient encore de très nombreux résultats. Par exemple :
Expressions utilisant seulement π :
√
19
=
1.1098878703..
=
1.1098844090
8
=
1.1098821966
4
=
1.1098878703
=
1.1098850032
4
3.π 17
√
9. 7
√
6
4. 10.π 13
√
3. 14
13
5.π
√
19
17
3.π
√
699. 7
√
38. 2.π 3
Expressions utilisant π et e :
√
68. 2
5
8
π 2 .e 5
58642
√
10. π.e8
1326
√
7
5
5. 7.π 4 .e 2
13140658
4 .e9
15.π√
2362. 6
√
9
8
7. 5.π 7 .e 2
1286
√
1
11. 7.π 3 .e 4
√
57. 6
9
8
13.π.e
√
63. 3
√
1
7
8. 10.π 6 .e 6
√
81. 3
√
7
1
19. 5.π 9 .e 5
√
187. 3
√
4
5
19. 7.π 9 .e 4
=
1.1098851937
=
1.1098850001
=
1.1098799802..
=
1.1098800000..
=
1.1098799978..
=
1.1098799984..
=
1.1098798421..
=
1.1098798892..
=
1.1098799950..
=
1.1098799644..
Les 7 premières valeurs ont été calculées en cherchant à représenter 1.109885
et les 8 dernières en cherchant à représenter 1.10988.
La profusion des résultats (voir quelques résultats dans fichier Total results.txt)
montre que cette voie de recherche ne permet probablement pas d’aboutir.
7-9
Certaines valeurs peuvent être extrêmement voisines de la valeur recherchée.
Ainsi :
1.10988 peut être approché par :
157163
q
= 1.1098800000095501122630809120079409307479
8
8. 57 .π 7 .e 5
.742791 peut être approché par :
13297993
= .7427910000000811628219547459946043655443
11.π 9 .e4
- 10
ANNEXE A. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE BEZOUT
A - 11
Annexe A
Solution de l’équation de
Bezout
1. - Enoncé du problème
Etant donné M et N, deux entiers premiers entre eux, trouver x et y entiers
tels que M.x − N.y = ±1
Ce problème peut être résolu au moyen de l’algorithme des fractions continues. Pour cela, supposons M > N et développons le quotient M
N en fraction
continue.
Il est clair que, d’après (2.3), l’avant-dernière réduite fournit, selon la parité
du développement, la solution à l’une des deux équations proposées. Le changement de parité fournit la solution de l’autre équation.
Soit par exemple à résoudre 457.x − 53.y = ±1
Le développement du quotient conduit à 457
53 = (8,1,1,1,1,1,6)
L’avant-dernière réduite vaut 69
d’où,
la
période
étant impaire :
8
457 × 8 − 53 × 69 = −1
Changeons la parité en effectuant l’expansion à droite : 457
53 = (8,1,1,1,1,1,5,1)
L’avant-dernière réduite vaut maintenant 388
d’où,
la
période
étant cette fois
45
paire :
457 × 45 − 53 × 88 = 1
Remarque : Dans chacun des cas, la solution est unique et satisfait les inéquations 0 < y < 457 et 0 < x < 53
Ceci découle des propriétés des réduites. Toutefois, chaque solution génère
une famille infinie selon :
A - 12
ANNEXE A. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE BEZOUT
x
=
8 + 53.λ
y
=
69 + 457.λ
dans le premier cas
x
=
45 + 53.λ
y
=
388 + 457.λ
dans le second cas
2. Problèmes dérivés
Problème 1 : Trouver x et y tels que A.x − B.y = ±C
Supposons pgcd(A,B) = 1. Alors, l’algorithme ci-dessus fournit x0 et y0 tels
que A.x0 − B.y0 = ±1
Les couples C.x0 + λ.B et C.y0 + λ.A sont alors les solutions cherchées. En effet :
A.(C.x0 + λ.B) − B.(C.y0 + λ.A) = C.(A.x0 − B.y0 ) = ±C
Problème 2 : Résoudre la congruence A.x ≡ B
(mod N )
Il suffit de résoudre A.x − N.y = B. C’est le problème précédent.
Remarque : On notera toutefois qu’une solution plus générale consiste, dans
ce dernier cas, à calculer la table des inverses modulo N .
Si N n’est pas un nombre premier, il faut que A soit premier avec N . Son
inverse s’exprime alors selon A−1 avec A.A−1 ≡ 1 (mod N )
La solution cherchée est alors fournie par x = A−1 .B
ANNEXE B. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PELL-FERMAT
B - 13
Annexe B
Pell-Fermat
1. - Résultats classiques
On appelle équation de Pell-Fermat l’équation diophantienne
X 2 − D.Y 2 = ±1
dans laquelle D est un entier positif non carré parfait, et dont on recherche
toutes les solutions en nombres entiers.
√
Si le développement de D est de période N, on montre alors que toutes les
solutions de cette équation sont fournies par les couples de réduites précédant
les fins de période.
– Période paire N = 2.K Tous ces couples de réduites de rang 2.nK − 1
sont solution de X 2 − D.Y 2 = 1 selon :
2
P2.n.K−1
− D.Q22.n.K−1 = 1
– Période impaire N = 2.K + 1 Le couple x0 et y0 de rang K − 1 est
solution de X 2 − D.Y 2 = −1 et les couples suivants sont alternativement
solution de X 2 − D.Y 2 = 1 et X 2 − D.Y 2 = −1
D’une façon générale, il suffit d’ailleurs de calculer le premier couple solution
x0 = PN −1 et y0 = QN −1 . Tous les autres couples sont alors fournis par la
formule :
√
√ n
xn + yn . D = x0 + y0 . D
Ceci se démontre aisément par récurrence. Supposons que la formule ci-dessus
soit vraie jusqu’à l’indice n. Calculons le résultat pour l’indice n + 1 :
√
√
√
(xn + yn . D).(x0 + y0 . D) = (x0 .xn + y0 ∗ yn .D) + (x0 .yn + xn .y0 ). D
B - 14
Les quantités entre parenthèses représentent effectivement les solutions du rang
n + 1. Vérifions-le, en posant = ±1 :
(x0 .xn + y0 ∗ yn .D)2 − (x0 .yn + xn .y0 )2 .D
=
x20 .x2n + y02 .yn2 .D − x20 .yn2 .D − x2n .y02 .D
=
(x20 − y02 .D) . (x2n − yn2 .D)
|
{z
} |
{z
}
= =
= ()n
n+1
()
La relation étant, par définition, vraie pour l’indice 0 est donc vraie pour tout
indice.
2. - Généralisation aux modules fractionnaires
L’équation de Pell-Fermat admet, de manière analogue, une solution
si D =
√
est un rationnel >1 non carré parfait. En effet dans ce cas, si D admet une
période N, les réduites de rang k.N − 1 sont solution de l’équation :
C
A
2
Pk.N
−1 −
C 2
Q
= (−1)k.N
A k.N −1
avec les mêmes règles que ci-dessus pour le choix du signe. Ceci résulte du fait
(vu au § 4.3) que aN = A.q
Ainsi, en développant
9ème réduite conduit à :
35
19
on obtient un développement de période 10 et la
137192 −
35
× 101082 = 1
19
3. - Extension à l’équation de la forme A.X 2 − C.Y 2 = ±E
q
Si dans le développement de C
A l’un des an vaut E, alors la première des
relations (4.15) permet d’écrire selon la parité
2
A.Pn−1
− C.Q2n−1 = (−1)n .E
Si une telle solution existe, alors il en existe une infinité. Remarquons que rien
n’impose
que E soit différent de 1. Considérons par exemple le développement
q
de 27
13 . Il admet une période de 10 et on constate que a6 = 1. D’où en prenent
les réduites de rang 5 :
13 × 492 − 27 × 342 = 1
B - 15
4. - Extension des solutions à des formes voisines
Dans certains cas, les solutions d’une équation de Pell-Fermat peuvent être
étendues à des équations possédant une forme voisine.
Par exemple, à tout couple (X,Y ) solution de X 2 − D.Y 2 = 1 on peut associer un couple solution de l’équation voisine X 02 − 4.D.Y 02 = 1 selon :
X0 = X
X 0 = 2.X 2 − 1
si Y pair
∀Y
Y 0 = Y2
Y 0 = X.Y
La première solution est triviale et suppose Y pair. La seconde est tout à
fait générale :
(2.X − 1)2 − 4.D.(X.Y )2
=
4.X 4 − 4.X 2 + 1 − 4.D.X 2 .Y 2
=
4.X 2 . (X 2 − D.Y 2 − 1) +1
|
{z
}
=
1
= 0
B - 16
C - 17
ANNEXE C. NOMBRES DE LA FORME A2 + B 2
Annexe C
Nombres de la forme A2 + B 2
Cette annexe rassemble quelques résultats relatifs aux nombres représentables par une somme de deux carrés.
C.1
Propriétés générales
1. - Produit de deux nombres de cette forme
Le produit de deux nombres qui sont chacun somme de deux carrés, est luimême de cette forme. Il l’est même en général de deux façons différentes. En
effet :
P
=
(A2 + B 2 ).(α2 + β 2 )
=
(A.α + B.β) + (A.β − B.α)
=
(A.α − B.β) + (A.β + B.α)
2
2
2
2
(C.1)
Mais si A = B ou α = β, les deux formes sont identiques et P est somme de
deux carrés d’une seule façon. Il est alors également double d’une somme de
deux carrés puisque l’un de ses deux facteurs est lui-même de cette forme
2. - Quotient de deux nombres de cette forme
Théorème 7 Tout diviseur d’une somme de deux carrés est lui-même de cette
forme.
Ce théorème est d’une grande importance dans la théorie des formes quadratiques. Nous ne le redémontrerons pas ici, mais nous nous poserons le problème
suivant :
A2 + B 2
Soit P = 2
.
α + β2
C - 18
P divisant le numérateur est donc lui-même une somme de deux carrés. Trouver
ces deux carrés.
Ecrivons P = a2 + b2 et appliquons les formules ci-dessus
(α.a ± β.b)2 + (α.b ∓ β.a)2 = A2 + B 2
D’où le système d’équations
α.a ∓ β.b = A
α.b ± β.a = B
en remarquant que échanger A et B revient à échanger ± et ∓.
La solution est immédiate :
a=
A.α ± B.β
α2 + β 2
(C.2)
A.β ∓ B.α
b=
α2 + β 2
Il reste à faire le choix sur les signes. C’est le critère de divisibilité qui permet
de choisir.
3. - Théorème de Fermat
Tout nombre premier de la forme 4.n + 1 est somme de deux
carrés d’une façon et d’une seule.
C’est le théorème de Fermat que nous avons déjà rencontré au paragraphe
(3.2.1)
4. - Nombre somme de deux carrés de plusieurs façons
Si un nombre est décomposable en somme de deux carrés de deux façons
différentes au moins, alors ce nombre est composé.
Supposons que l’on ait : P = A2 + B 2 = α2 + β 2 . On peut alors écrire :
P.(A2 − α2 )
=
A2 .(α2 + β 2 ) − α2 .(A2 + B 2 )
=
A2 .β 2 − B 2 .α2
=
(A.β − B.α).(A.β + B.α)
Mais P ne peut pas diviser l’un des facteurs du second membre. En effet, supposons qu’il divise le premier facteur et appliquons (C.1 ).
2
P 2 = (A2 + B 2 ).(α2 + β 2 ) = (A.α + B.β) + (A.β − B.α)
2
P divisant le second facteur, divise aussi le premier. On peut alors simplifier par
P 2 , ce qui conduit à la relation 1 = X 2 + Y 2 , X et Y entiers > 1 ce qui est
absurde.
C - 19
La démonstration est identique pour le second facteur. Donc P est composé et
on peut écrire :
P = pgcd(P,A.β − B.α).pgcd(P,A.β + B.α)
(C.3)
5. - Une propriété de ces nombres
Si N = A2 + B 2 , alors ∃ K < N tel que K.N = D2 + 1
Il existe même nécessairement deux solutions. Supposons en effet B > A et
b
B
soit l’avant dernière réduite du développement de , alors |B.a − A.b| = 1.
a
A
Ceci permet d’écrire
(a2 + b2 ).(A2 + B 2 ) = (a.A + b.B)2 + (a.B − b.A)2 = (a.A + b.B)2 + 1
D’où la première solution K1 .N = D12 + 1 avec :
K1 = a2 + b2
et
D1 = a.A + b.B
(C.4)
Mais on peut changer la parité du développement et on obtient alors une
seconde solution K2 .N = D22 + 1 avec :
K2 = (A − a)2 + (B − b)2
et
D2 = (A − a).A + (B − b).B
(C.5)
Ces deux solutions sont différentes car si l’on avait A − a = a et B − b = b,
B
A
a
A
et b =
d’où
= ce qui est impossible.
ceci impliquerait a =
2
2
B
b
Si N est premier, D1 et D2 sont les seules racines quadratiques de 1 pour
N . Il n’existe alors pas d’autres valeurs de K.
Remarque :
– On notera que D1 + D2 = A2 + B 2 = N
– On notera également que si l’on ne se limite pas à K < N , chacune de ces
solutions en génère une infinité selon :
∀k entier (k 2 .N + 2.k.D + K).N = (k.N + D)2 + 1
(C.6)
N
N
et
se déduisent l’un de l’autre par
D1
D2
expansion- contraction symétrique.
– Enfin, les deux développements
Exemple numérique :
641 = 252 + 42
(6,4) =
(6,3,1) =
25
4
25 6
4 1
19
3
25
4
= (6,4) = (6,3,1)
62 + 12 = 37 et 37 × 641 = 1542 + 1
192 + 32 = 370 et 370 × 641 = 4872 + 1
C - 20
et on verifie bien que :
154 + 487 = 641
641
= (4,6,6,4)
154
641
= (1,3,6,6,3,1)
487
641 étant premier, il n’y a pas d’autre solution inférieure à 641.
ANNEXE D. CODE DE CHIFFREMENT À CLÉ PUBLIQUE
D - 21
Annexe D
Code de chiffrement à clé
publique
Note : Le texte ci-après a été rédigé dans la fin des années 1990. Mais,
depuis, des progrès considérables ont été effectués, tant dans la puissance de
calcul des ordinateurs que dans celui des algorithmes de chiffrement.
Devant l’impossibilité pratique de suivre au jour le jour ces progrès techniques
et théoriques, j’ai préféré conserver le texte initial, contribuant ainsi à la mise
en évidence de l’accélération de la partie “payante” de cette si belle Théorie des
nombres.
L’opération de transmission d’un message codé comprend par définition trois
phases : chifrement par l’émetteur, transmission, déchiffrement par le destinataire. L’émetteur réalise le chiffrement au moyen d’un code qui, s’il est connu,
permet généralement l’opération inverse, c’est à dire le déchifrement du message. Par suite, le code de chiffrement doit rester nécessairement rester secret,
en dehors de l’émetteur et du destinataire.
Dans un code de chiffrement dit à clé publique, il n’en est plus de même.
La clé de chiffrement est publique mais sa connaissance ne permet pas, à elle
seule, de décoder les messages. Autrement dit, si l’on appelle f () la fonction de
codage, sa forme est telle qu’elle ne permet pas, tout au moins en pratique, de
déterminer la fonction inverse f −1 ().
Voyons un peu comment fonctionne un tel code appelé R.S.A. car imaginé
en 1977 par Rivest, Shamir et Adleman du Massachusetts Intitute of Technology.
Supposons que nous connaîssions deux nombres premiers p et q très grands
(pour fixer les idées, chacun d’eux serait de l’ordre de 100 chiffres ou plus),
dont le produit vaut N = p.q. Le code de chiffrement à clé publique sera constitué de deux nombres : N que nous venons de définir et E un nombre quelconque.
L’émetteur, ayant réduit son message à un ensemble de valeurs numériques,
codera celles-ci au moyen de la fonction :
C ≡ PE
(mod N )
(D.1)
D - 22
ANNEXE D. CODE DE CHIFFREMENT À CLÉ PUBLIQUE
Dans cette formule 1 , P représente la valeur à transmettre et C la valeur
codée transmise.
Le receveur décodera d’une manière analogue la valeur C recue selon :
P ≡ CD
(mod N )
(D.2)
sachant que D doit satisfaire la relation :
D.E ≡ 1
(mod (p − 1).(q − 1))
(D.3)
La démonstration de ceci est simple. Reportons dans (D.1 ) la valeur de P
tirée de (D.2 ). Il vient :
C ≡ C D.E (mod N )
ce qui implique, d’après le théorème de Fermat :
D.E ≡ 1
(mod φ(N ))
φ(N ) étant l’indicateur d’Euler 2 de N et valant dans le cas présent (p−1).(q−1),
ce qui établit bien (D.3 ).
Ainsi, pour obtenir l’algorithme de décodage, il faut résoudre (D.3 ) et donc
connaître les facteurs p et q de N . Or, s’il est relativement facile de calculer des
nombres premiers de 100 chiffres et plus, et donc de produire des nombres N de
200 chiffres et plus, il est encore impossible de décomposer en facteurs premiers
un nombre de 200 chiffres ou plus, composé uniquement de deux facteurs.
L’algorithme de codage R.S.A., outre son élégance, est donc un code de chiffrement à toute épreuve, ... jusqu’à ce que de nouveaux progrès soient réalisés
dans la décomposition des grands nombres.
1. L’opération représentée ici est une congruence modulo N , signifiant que C est égal au
reste de la division entière de P E par N
2. Si N = aα .bβ .cγ ... alors φ(N ) = N.(1 − a1 ).(1 − 1b ).(1 − 1c )....
La fonction φ(N ) est égale au nombre de nombres positifs < N et premiers avec N
Elle est, en particulier, multiplicative : φ(m.n) = φ(m).φ(n)
I-1
ANNEXE I. DÉVELOPPEMENT D’UN RATIONNEL
Annexe I
Développement en fraction
continue de N rationnel
1. - Cas d’une fraction irréductible
Rang
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
.
.
6577
3571
3006
565
181
22
5
2
=
=
=
=
=
=
=
=
.
.
1
1
5
3
8
4
2
2
×
×
×
×
×
×
×
×
.
.
3571
3006
565
181
22
5
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
6577
3571
.
.
3006
565
181
22
5
2
1
0
P
Q
0
1
1
2
11
35
291
1199
2689
6577
1
0
1
1
6
19
158
651
1460
3571
coefficients du développement
Le dernier quotient vaut 1. Par conséquent, la fraction est irréductible
Ainsi : 6577 et 3571 sont premiers entre eux
6577
= (1,1,5,3,8,4,2,2)
3571
I-2
ANNEXE I. DÉVELOPPEMENT D’UN RATIONNEL
2. - Cas d’une fraction réductible
4301
1547
Rang
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
.
.
4301
1547
1207
340
187
153
34
=
=
=
=
=
=
=
.
.
2
1
3
1
1
4
2
×
×
×
×
×
×
×
.
.
1547
1207
340
187
153
34
17
+
+
+
+
+
+
+
.
.
1207
340
187
153
34
17
0
P
Q
0
1
2
3
11
14
25
114
253
1
0
1
1
4
5
9
41
91
valeur du pgcd
Le dernier quotient vaut 17 et est égal au pgcd du numérateur et du dénominateur
Ainsi : pgcd(4301,1547) = 17
253
4301
=
= (2,1,3,1,1,4,2)
1547
91
ANNEXE II. DÉVELOPPEMENT DE
√
II - 3
D, D ENTIER
Annexe II
Développement
√ en fraction
continue de D, D entier
1. - Développement en fraction continue de
√
43
i
a
b
c
u
P
Q=p
q
0
1
0
-43
6
6
1
.
1
7
-12
-1
1
7
1
1
2
6
-2
-7
1
13
2
1
3
3
-10
-6
3
46
7
4
4
9
-8
-3
1
59
9
5
5
2
-10
-9
5
341
52
29
6
9
-10
-2
1
400
61
34
7
3
-8
-9
3
1541
235
131
8
6
-10
-3
1
1941
296
165
9
7
-2
-6
1
3482
531
296
10
1
-12
-7
12
43725
6668
3717
Fig. II.1 – Développement de
d’où
√
√
43 - Période paire
43 = (6,1,1,3,1,5,1,3,1,1,12,...) de période paire N = 10
II - 4
ANNEXE II. DÉVELOPPEMENT DE
√
√
D, D ENTIER
61
i
a
b
c
u
P
Q=p
q
0
1
0
-61
7
7
1
.
1
12
-14
-1
1
8
1
1
2
3
-10
-12
4
39
5
4
3
4
-14
-3
3
125
16
13
4
9
-10
-4
1
164
21
17
5
5
-8
-9
2
453
58
47
6
5
-12
-5
2
1070
137
111
7
9
-8
-5
1
1523
195
158
8
4
-10
-9
3
5639
722
585
9
3
-14
-4
4
24079
3083
2498
10
12
-10
-3
1
29718
3805
3083
11
1
-14
-12
14
440131
56353
45660
Fig. II.2 – Développement de
d’où
et
√
√
61 - Période impaire
61 = (7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,...) de période impaire N = 11
61 = a26 +
b6
2
2
= 52 + 62
ANNEXE III. DÉVELOPPEMENT DE
√
III - 5
D, D RATIONNEL
Annexe III
Développement
√ en fraction
continue de D, D rationnel
q
35
19
i
a
b
c
u
P
Q=p
q
0
19
0
-35
1
1
1
.
1
16
-38
-19
2
3
2
1
2
31
-26
-16
1
4
3
1
3
11
-36
-31
3
15
11
4
4
40
-30
-11
1
19
14
5
5
1
-50
-40
50
965
711
254
6
40
-50
-1
1
984
725
259
7
11
-30
-40
3
3917
2886
1031
8
31
-36
-11
1
4901
3611
1290
9
16
-26
-31
2
13719
10108
3611
10
19
-38
-16
2
32339
23827
8512
Fig. III.1 – Développement de
D’où
q
35
19
q
35
19
- Période paire
= (1,2,1,3,1,50,1,3,1,2,2,...) de période paire N = 10
III - 6
√
ANNEXE III. DÉVELOPPEMENT DE
q
D, D RATIONNEL
65
17
i
a
b
c
u
P
Q=p
q
0
17
0
-65
1
1
1
.
1
48
-34
-17
1
2
1
1
2
3
-62
-48
21
43
22
21
3
27
-64
-3
2
88
45
43
4
23
-44
-27
2
219
112
107
5
23
-48
-23
2
526
269
257
6
27
-44
-23
2
1271
650
621
7
3
-64
-27
21
27217
13919
13298
8
48
-62
-3
1
28488
14569
13919
9
17
-34
-48
2
84193
43057
41136
Fig. III.2 – Développement de
D’où
q
65
17
q
65
17
- Période impaire
= (1,1,21,2,2,2,2,21,1,2,...) de période impaire p = 9
On vérifie de plus que 65 × 17 =
a25
+
b5
2
2
= 232 + 242 = 1105
ANNEXE IV. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PELL-FERMAT
IV - 7
Annexe IV
Pell-Fermat
Les deux exemples suivant illustrent la solution classique dans les deux cas :
période paire et période impaire.
1. - Période paire
Soit à résoudre X 2 − 19.Y 2 = 1,
√
19 admettant une période paire p = 6
i
a
b
c
u
P
Q=p
q
0
1
0
-19
4
4
1
.
1
3
-8
-1
2
9
2
1
2
5
-4
-3
1
13
3
1
3
2
-6
-5
3
48
11
4
4
5
-6
-2
1
61
14
5
5
3
-4
-5
2
170
39
14
6
1
-8
-3
8
1421
326
117
7
3
-8
-1
2
3012
691
248
8
5
-4
-3
1
4433
1017
365
9
2
-6
-5
3
16311
3742
1343
10
5
-6
-2
1
20744
4759
1708
11
3
-4
-5
2
57799
13260
4759
12
1
-8
-3
8
483136
110839
39780
Fig. IV.1 – Solution de l’équation de Pell-Fermat X 2 − 19.Y 2 = 1
IV - 8
ANNEXE IV. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PELL-FERMAT
On vérifie bien que :
1702 − 19 × 392
=
1
2
=
1
2
57799 − 19 × 13260
2
et d’une façon générale : P6.k−1
− 19.Q26.k−1 = 1
2. - Période impaire
Soit à résoudre X 2 − 19.Y 2 = ±1,
√
13 admettant une période paire p = 5
i
a
b
c
u
P
Q=p
q
0
1
0
-13
3
3
1
1
4
-6
-1
1
4
1
1
2
3
-2
-4
1
7
2
1
3
3
-4
-3
1
11
3
2
4
4
-2
-3
1
18
5
3
5
1
-6
-4
6
119
33
20
6
4
-6
-1
1
137
38
23
7
3
-2
-4
1
256
71
43
8
3
-4
-3
1
393
109
66
9
4
-2
-3
1
649
180
109
10
1
-6
-4
6
4287
1189
720
Fig. IV.2 – Solution de l’équation de Pell-Fermat X 2 − 13.Y 2 = ±1
On vérifie bien que:
182 − 13 × 52
6492 − 13 × 1802
=
=
−1
1
2
et d’une façon générale : P5.k−1
− 13.Q25.k−1 = (−1)k
ANNEXE V.
√
D, D PREMIER DE LA FORME 4.N + 1
Annexe V
√
Développement de D, D
premier de la forme 4.n + 1
√
5
=
(2,4, . . .)
13
=
(3,1,1,1,1,6, . . .)
17
=
(4,8, . . .)
29
=
(5,2,1,1,2,10, . . .)
37
=
(6,12, . . .)
41
=
(6,2,2,12, . . .)
53
=
(7,3,1,1,3,14, . . .)
61
=
(7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14, . . .)
73
=
(8,1,1,5,5,1,1,16, . . .)
89
=
(9,2,3,3,2,18, . . .)
97
=
(9,1,5,1,1,1,1,1,1,5,1,18, . . .)
101
=
(10,20, . . .)
109
=
(10,2,3,1,2,4,1,6,6,1,4,2,1,3,2,20, . . .)
113
=
(10,1,1,1,2,2,1,1,1,20, . . .)
137
=
(11,1,2,2,1,1,2,2,1,22, . . .)
149
=
(12,4,1,5,3,3,5,1,4,24, . . .)
157
=
(12,1,1,7,1,5,2,1,1,1,1,2,5,1,7,1,1,24, . . .)
173
=
(13,6,1,1,6,26, . . .)
181
=
(13,2,4,1,8,6,1,1,1,1,2,2,1,1,1,1,6,8,1,4,2,26, . . .)
193
=
(13,1,8,3,2,1,3,3,1,2,3,8,1,26, . . .)
197
=
(14,28, . . .)
229
=
(15,7,1,1,7,30, . . .)
233
=
(15,3,1,3,1,1,1,1,3,1,3,30, . . .)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
V-9
V - 10
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
ANNEXE V.
√
241
=
(15,1,1,9,1,5,3,3,1,1,3,3,5,1,9,1,1,30, . . .)
257
=
(16,32, . . .)
269
=
(16,2,2,32, . . .)
277
=
(16,1,1,1,4,10,1,7,2,2,3,3,2,2,7,1,10,4,1,1,1,32, . . .)
281
=
(16,1,3,4,1,1,6,6,1,1,4,3,1,32, . . .)
293
=
(17,8,1,1,8,34, . . .)
313
=
(17,1,2,4,11,1,1,3,2,2,3,1,1,11,4,2,1,34, . . .)
317
=
(17,1,4,8,1,2,2,1,8,4,1,34, . . .)
337
=
(18,2,1,3,1,11,2,4,1,3,3,1,4,2,11,1,3,1,2,36, . . .)
349
=
(18,1,2,7,7,2,1,36, . . .)
353
=
(18,1,3,1,2,1,1,1,1,1,1,2,1,3,1,36, . . .)
373
=
(19,3,5,5,3,38, . . .)
389
=
(19,1,2,1,1,1,1,2,1,38, . . .)
397
=
(19,1,12,3,4,9,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,9,4,3,12,1,38, . . .)
401
=
(20,40, . . .)
409
=
(20,4,2,7,1,1,1,4,2,2,13,13,2,2,4,1,1,1,7,2,4,40, . . .)
421
=
(20,1,1,13,5,1,3,1,2,1,1,1,2,9,1,7,3,3,2,2,3,3,7,1,9,2,1,1,1,2,1,3,1,5,13,1,1,40, . . .)
433
=
(20,1,4,4,2,2,1,3,13,1,1,1,1,13,3,1,2,2,4,4,1,40, . . .)
449
=
(21,5,3,1,1,1,7,1,5,5,1,7,1,1,1,3,5,42, . . .)
457
=
(21,2,1,1,1,5,2,13,1,3,1,4,1,1,4,1,3,1,13,2,5,1,1,1,2,42, . . .)
461
=
(21,2,8,10,1,1,1,1,1,1,1,1,10,8,2,42, . . .)
509
=
(22,1,1,3,1,1,2,10,1,8,8,1,10,2,1,1,3,1,1,44, . . .)
521
=
(22,1,4,1,2,1,2,8,1,3,3,1,8,2,1,2,1,4,1,44, . . .)
541
=
(23,3,1,5,1,8,2,4,1,2,3,1,1,11,15,2,2,1,1,1,1,1,1,2,2,15,11,1,1,3,2,1,4,2,8,1,5,1,3,46, . . .)
557
=
(23,1,1,1,1,46, . . .)
569
=
(23,1,5,1,5,9,2,1,2,3,3,2,1,2,9,5,1,5,1,46, . . .)
577
=
(24,48, . . .)
593
=
(24,2,1,5,2,2,1,1,2,2,5,1,2,48, . . .)
601
=
(24,1,1,15,1,5,5,3,1,1,2,1,2,2,1,9,9,1,2,2,1,2,1,1,3,5,5,1,15,1,1,48, . . .)
613
=
(24,1,3,6,1,4,1,1,1,3,2,11,1,15,1,1,2,2,1,1,15,1,11,2,3,1,1,1,4,1,6,3,1,48, . . .)
617
=
(24,1,5,4,2,1,6,2,2,6,1,2,4,5,1,48, . . .)
641
=
(25,3,6,1,9,3,1,3,1,5,1,1,5,1,3,1,3,9,1,6,3,50, . . .)
653
=
(25,1,1,4,7,12,1,1,1,3,3,1,1,1,12,7,4,1,1,50, . . .)
661
=
(25,1,2,2,4,4,16,1,9,2,1,12,5,1,1,1,2,1,3,1,1,3,1,2,1,1,1,5,12,1,2,9,1,16,4,4,2,2,1,50, . . .)
673
=
(25,1,16,3,5,2,3,1,1,6,1,5,1,1,1,1,1,1,1,1,5,1,6,1,1,3,2,5,3,16,1,50, . . .)
677
=
(26,52, . . .)
701
=
(26,2,10,10,2,52, . . .)
ANNEXE VI.
√
Annexe VI
√
Développement de D, D
premier de la forme 4.n + 3
√
3
=
(1,1,2, . . .)
7
=
(2,1,1,1,4, . . .)
11
=
(3,3,6, . . .)
19
=
(4,2,1,3,1,2,8, . . .)
23
=
(4,1,3,1,8, . . .)
31
=
(5,1,1,3,5,3,1,1,10, . . .)
43
=
(6,1,1,3,1,5,1,3,1,1,12, . . .)
47
=
(6,1,5,1,12, . . .)
59
=
(7,1,2,7,2,1,14, . . .)
67
=
(8,5,2,1,1,7,1,1,2,5,16, . . .)
71
=
(8,2,2,1,7,1,2,2,16, . . .)
79
=
(8,1,7,1,16, . . .)
83
=
(9,9,18, . . .)
103
=
(10,6,1,2,1,1,9,1,1,2,1,6,20, . . .)
107
=
(10,2,1,9,1,2,20, . . .)
127
=
(11,3,1,2,2,7,11,7,2,2,1,3,22, . . .)
131
=
(11,2,4,11,4,2,22, . . .)
139
=
(11,1,3,1,3,7,1,1,2,11,2,1,1,7,3,1,3,1,22, . . .)
151
=
(12,3,2,7,1,3,4,1,1,1,11,1,1,1,4,3,1,7,2,3,24, . . .)
163
=
(12,1,3,3,2,1,1,7,1,11,1,7,1,1,2,3,3,1,24, . . .)
167
=
(12,1,11,1,24, . . .)
179
=
(13,2,1,1,1,3,5,13,5,3,1,1,1,2,26, . . .)
191
=
(13,1,4,1,1,3,2,2,13,2,2,3,1,1,4,1,26, . . .)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
VI - 11
VI - 12
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
ANNEXE VI.
√
199
=
(14,9,2,1,2,2,5,4,1,1,13,1,1,4,5,2,2,1,2,9,28, . . .)
211
=
(14,1,1,9,5,1,2,2,1,1,4,3,1,13,1,3,4,1,1,2,2,1,5,9,1,1,28, . . .)
223
=
(14,1,13,1,28, . . .)
227
=
(15,15,30, . . .)
239
=
(15,2,5,1,2,4,15,4,2,1,5,2,30, . . .)
251
=
(15,1,5,2,1,2,2,15,2,2,1,2,5,1,30, . . .)
263
=
(16,4,1,1,1,1,15,1,1,1,1,4,32, . . .)
271
=
(16,2,6,10,1,4,1,1,2,1,2,1,15,1,2,1,2,1,1,4,1,10,6,2,32, . . .)
283
=
(16,1,4,1,1,1,3,10,1,15,1,10,3,1,1,1,4,1,32, . . .)
307
=
(17,1,1,11,5,1,3,17,3,1,5,11,1,1,34, . . .)
311
=
(17,1,1,1,2,1,6,3,17,3,6,1,2,1,1,1,34, . . .)
331
=
(18,5,5,1,6,2,3,1,1,2,1,2,1,11,2,1,1,17,1,1,2,11,1,2,1,2,1,1,3,2,6,1,5,5,36, . . .)
347
=
(18,1,1,1,2,4,1,17,1,4,2,1,1,1,36, . . .)
359
=
(18,1,17,1,36, . . .)
367
=
(19,6,2,1,3,1,1,2,1,12,19,12,1,2,1,1,3,1,2,6,38, . . .)
379
=
(19,2,7,3,2,2,6,12,1,4,1,1,1,3,4,19,4,3,1,1,1,4,1,12,6,2,2,3,7,2,38, . . .)
383
=
(19,1,1,3,19,3,1,1,38, . . .)
419
=
(20,2,7,1,2,3,1,2,1,19,1,2,1,3,2,1,7,2,40, . . .)
431
=
(20,1,3,5,1,2,7,1,19,1,7,2,1,5,3,1,40, . . .)
439
=
(20,1,19,1,40, . . .)
443
=
(21,21,42, . . .)
463
=
(21,1,1,13,1,5,4,1,1,1,1,2,2,6,1,3,21,3,1,6,2,2,1,1,1,1,4,5,1,13,1,1,42, . . .)
467
=
(21,1,1,1,1,3,3,21,3,3,1,1,1,1,42, . . .)
479
=
(21,1,7,1,3,2,21,2,3,1,7,1,42, . . .)
487
=
(22,14,1,2,4,1,1,3,2,5,1,6,1,1,21,1,1,6,1,5,2,3,1,1,4,2,1,14,44, . . .)
491
=
(22,6,3,4,8,1,1,1,2,1,1,21,1,1,2,1,1,1,8,4,3,6,44, . . .)
499
=
(22,2,1,21,1,2,44, . . .)
503
=
(22,2,2,1,21,1,2,2,44, . . .)
523
=
(22,1,6,1,1,1,4,2,3,14,1,21,1,14,3,2,4,1,1,1,6,1,44, . . .)
547
=
(23,2,1,1,2,1,2,1,7,15,2,6,5,23,5,6,2,15,7,1,2,1,2,1,1,2,46, . . .)
563
=
(23,1,2,1,2,23,2,1,2,1,46, . . .)
571
=
(23,1,8,1,1,2,1,1,1,15,3,2,1,6,7,1,4,2,3,4,2,23,2,4,3,2,4,1,7,6,1,2,3,15,1,1,1,2,1,1,8,1,46, . . .)
587
=
(24,4,2,1,1,1,1,23,1,1,1,1,2,4,48, . . .)
599
=
(24,2,9,3,2,1,1,3,1,6,4,1,2,1,23,1,2,1,4,6,1,3,1,1,2,3,9,2,48, . . .)
607
=
(24,1,1,1,3,7,1,15,1,1,4,1,23,1,4,1,1,15,1,7,3,1,1,1,48, . . .)
619
=
(24,1,7,3,5,4,1,3,1,2,1,1,9,2,1,1,1,15,1,23,1,15,1,1,1,2,9,1,1,2,1,3,1,4,5,3,7,1,48, . . .)
ANNEXE VII.
VII - 13
SUR LES NOMBRES DE FERMAT
Annexe VII
Sur les nombres de Fermat
Nous avons vu dans la partie 6.3 que si un nombre est de la forme A.B = N 2 + 1
et que l’on connait les facteurs A et B, alors il est facile de calculer la décomposition de A, de B et de A.B en somme
qde deux carrés au moyen du calcul du
développement en fraction continue de
A
B
(en supposant A > B).
Appliquons cet algorithme aux premiers nombres de Fermat non premiers :
5
• Considérons F5 = 22 + 1 = 6 55362 + 1 =
q641 × 670 0417
Le développement en fraction continue de
n
0
1
2
3
4
5
a
3
2
2
3
641
1453
0449
0449
1453
641
b’ = -b/2
-6
-6
-6
-6
-6
0
5382
0430
2264
0430
5382
c
-670 0417
-641
-3 1453
-2 0449
-2 0449
-3 1453
670 0417
641
s’écrit 1 :
U
p=Q
q
P
Q
1
4
6
6
4
204
0
1
4
25
154
641
13 0918
1
0
1
6
37
154
3 1453
0
1
102
409
2556
1 5745
6 5536
1338 5089
1
0
1
4
25
154
641
13 0918
Fig. VII.1 – Développement en fraction continue de
On obtient
q
670 0417
641
q
670 0417
641
= (102,4,6,6,4,204,...) 2 et la période est égale à 5.
4
On notera que conformément aux résultats obtenus en 6.3, P4 = 22 = 6 5536
1. Les nombres sont représentés en base 10000, base adaptée à la technique de calcul en
multiprécision sur PC utilisée ici
2. Avec la convention que la partie surlignée est périodique
VII - 14
ANNEXE VII.
Le tableau nous fournit la décomposition (non triviale) de F5 en somme de
deux carrés ainsi que celle de chacun de ses deux facteurs (chiffres en bleu) :
F5
=
6 22642 + 2 04492
641
=
42 + 252
670 0417
=
4092 + 25562
• Application à F6 dont on connait la factorisation
6
F6 = 22
=
42 9496 72962 + 1
=
27 4177 × 67 2804 2131 0721
Calculons le développement en fraction continue de
n
a
b’ = -b/2
q
67 2804 2131 0721
27 4177
c
U
P
Q
0
1
1
0
0
27 4177
0
-67 2804 2131 0721
1 5664
1 5664
1
1
81 0692 8129
-42 9470 8528
-27 4177
1
1 5665
1
2
4 8276 3104
-38 1221 9601
-81 1692 8129
16
26 6304
17
3
65 1060 0737
-39 1199 0063
-4 8276 3104
1
28 1969
18
4
17 9614 2493
-25 9861 0674
-65 1060 0737
3
111 2211
71
5
59 3698 2344
-27 8981 6805
-17 9614 2493
1
139 4180
89
6
14 3879 3759
-31 4716 5539
-59 3698 2344
5
808 3111
516
7
14 3879 3759
-40 4680 3256
-14 3879 3759
5
4180 9735
2669
8
59 3698 2344
-31 4716 5539
-14 3879 3759
1
4989 2846
3185
9
17 9614 2493
-27 8981 6805
-59 3698 2344
3
1 9148 8273
1 2224
10
65 1060 0737
-25 9861 0674
-17 9614 2493
1
2 4138 1119
1 5409
11
4 8276 3104
-39 1199 0063
-65 1060 0737
16
40 5358 6177
25 8768
12
81 0692 8129
-38 1221 9601
-4 8276 3104
1
42 9496 7296
27 4177
13
27 4177
-42 9470 8528
-81 0692 8129
3 1328
134 5567 8903 5265
85 8967 5824
Fig. VII.2 – Développement en fraction continue de
q
67 2804 2131 0721
27 4177
q
2131 0721
On trouve 67 2804
= (15664,1,16,1,3,1,5,5,1,3,1,16,1,31328,...), dé27 4177
veloppement dont la période vaut 13.
Le tableau ci-dessus fournit immédiatement la décomposition de F6 en somme
de deux carrés ainsi que celles de ses deux facteurs :
ANNEXE VII.
F6
=
40 4680 32562 + 14 3879 37592
27 4177
=
892 + 5162
67 2804 0721
=
139 41802 + 808 31112
VII - 15
• On peut poursuivre avec le nombre de Fermat suivant, F7 , qui se décompose
en deux facteurs particulièrement importants :
F7
7
=
22 + 1 = 2128 + 1
=
340 2823 6692 0938 4634 6337 4607 4317 6821 1457
=
5 9649 5891 2749 7217 × 57 0468 9200 6851 2905 4721
Le développement de
q
57 0468 9200 6851 2905 4721
5 9649 5891 2749 7217}
s’écrit :
(309,3,1,33,1,1,3,4,1,2,2,1,3,3,1,1,6,4,1,1,1,1,1,1,1,1,4,6,1,1,3,3,1,2,2,1,4,3,1,1,33,1,3,618,...)
Il admet une période de 43 et le tableau (non reproduit ici) des calculs
correspondants fournit les résultats cherchés, soit :
F7
=
1638 2350 2215 3546 44792 + 847 9443 8579 3640 25042
57 0468 9200 6851 2905 4721
=
392 5815 67612 + 645 2508 29402
5 9649 5891 2749 7217
=
1 2694 55962 + 2 0864 89992
VII - 16
ANNEXE VII.
BIBLIOGRAPHIE
VII - 17
Bibliographie
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Robert Carmichaël - Analyse indéterminée. Presses Universitaires
de France (1929)
Edouard Callandreau - Célèbres problèmes mathémathiques. Albin Michel (1949)
Hardy & Wright - An introduction to the théory of numbers.
Oxford University Press (1973)
François Leboeuf - Revue Quadrature n° 2, 3, 4, et 6. Ed. du
Choix (1990)
Jean Patry - Les fractions continues. Théorie et application. Ed.
Technip (1991)
Jean Trignan - Les fractions continues. Editions du Choix (1994)
Alain Faisant - L’équation diophantienne du second degré. Ed.
Hermann (1991)

Théorie des fractions continues

Transcription

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